Integrali curvilinei Problema: se una grandezza è distribuita su una curva, oppure su una superficie, ed ha densità f (P ), come misurare la quantità totale di tale grandezza su osu? Gli strumenti sono l integrale curvilineo el integrale superficiale: f ds = quantità totale contenuta in (d) () () di una grandezza con densità lineare (superficiale) Serve approfondire i concetti di curva e superficie parametrica. f : () R. 1 Curve parametriche Sono i sottoinsiemi di R n che ammettono una rappresentazione del tipo: x 1 = x 1 (t) (n-upla di equazioni parametriche della curva ), :, t I con x 1 (t),..., x n (t) continue su un intervallo I. x n = x n (t) In altri termini, è l immagine di una funzione vettoriale : I t R n definita e continua su un intervallo I. (t) =(x 1 (t),..., x n (t)) La funzione si dice parametrizzazione della curva (= im = (I)). Punto di vista cinematico: ilparametro t può essere interpretato come tempo e allora èlalegge oraria del moto del punto mobile (t), dicui =im èlatraiettoria (luogo delle posizioni occupate durante il moto).
Esempio. 2 Archi Definizione 1 Una curva è un arco se ammette una parametrizzazione definita su un intervallo compatto [a, b], cioè se è l immagine di una funzione :[a, b] R n continua. Intuitivamente: gli archi sono le curve che possono essere descritte da un punto mobile (t) che parte da una posizione (a) e termina su un altra (b). Non vale per ogni curva: si può dimostrare che ogni arco è un insieme compatto di R n. Sarà sottinteso che per gli archi useremo solo parametrizzazioni definite su intervalli [a, b]. Inoltre tratteremo solo archi semplici e, quasi esclusivamente, regolari.
Definizione 2 Un arco è semplice se ammette una parametrizzazione :[a, b] R n tale che (t 1 )=(t 2 ) = t 1 = t 2 oppure t 1,t 2 {a, b} (ad es. iniettiva). Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione semplice. Intuitivamente: gli archi semplici sono quelli che non hanno autointersezioni, cioè che possono essere descritti da punti mobili (t) che non ripassano mai dalla stessa posizione, fatta eccezione, eventualmente, per gli istanti iniziale t = a efinalet = b del moto. Si dimostra che un arco semplice può essere solo di due tipi: esistono due punti diversi A, B ogni sua parametrizzazione semplice tali che ogni sua parametrizzazione semplice ètaleche (a) = (b) soddisfa (a) =A e (b) =B oppure (a) =B e (b) =A. si dice che èunarco chiuso si dice che èunarco aperto ed i punti A, B si chiamano estremi di
Gli archi semplici chiusi del piano soddisfano una notevole proprietà, espressa dal seguente: Teorema 1 (di Jordan) Se èunarcosemplicechiusodir 2, allora R 2 \ consiste di due aperti connessi disgiunti tali che è la frontiera di entrambi; uno è limitato (e viene detto interno di ); l altro è non limitato (e viene detto esterno di ). Un arco semplice chiuso di R 2 viene detto anche arco di Jordan. Definizione 3 Un arco è regolare se ammette una parametrizzazione :[a, b] R n tale che (i) è semplice (ii) C 1 ([a, b]) (iii) t (a, b) risulta (t) = 0. Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione regolare. Per visualizzare la nozione di regolarità, ricordiamo la definizione di retta tangente.
Definizione 4 Sia un arco regolare e sia P 0. SidicecheP 0 èunpunto regolare di se esiste una parametrizzazione regolare :[a, b] R n di tale che P 0 = (t 0 ) con t 0 (a, b). In tal caso, la retta passante per P 0 e parallela al vettore (t 0 ) = 0 si chiama retta tangente a in P 0. In caso contrario si dice che P 0 èunpunto singolare. La retta tangente è un oggetto geometrico, perché non dipende dalla parametrizzazione regolare : se :[a, b] R n èun altratalechep 0 = t 0 con t 0 (a, b), allora t 0 e (t 0 ) risultano paralleli. (t 0 ) dipende invece da ed è detto vettore tangente a in P 0 relativo a. La presenza della retta tangente esprime il fatto che la curva è liscia vicino a P 0. In sostanza: punti regolari = punti in cui c è la retta tangente. Se :[a, b] R n è regolare, allora tutti i punti (t) con t (a, b) sono regolari. Di conseguenza un arco regolare può essere solo di tre tipi: aperto e con punti tutti regolari tranne gli estremi A, B chiuso e senza punti singolari (, regolari tali che (a) = (b) = (a) =( b) ) chiuso e con un solo punto singolare P 0 ( regolare è tale che (a) = (b) =P 0 )
Esempio notevole. Se f :[a, b] R è una funzione di classe C 1, allora il suo grafico è un arco regolare, con parametrizzazione regolare standard (t) =(t, f (t)) con t [a, b]. Infatti... Archi regolari a tratti Intuitivamente: sono cammini che uniscono 2 punti, percorrendo più archi regolari (tratti) senza ripassare mai dalla stessa posizione (tranne, eventualmente, per inizio e fine). Definizione 6 R n èunarco regolare a tratti se è l unione = 1... k di un numero finito di archi regolari aperti 1,..., k,chechiamiamotratti di, taliche ciascun tratto interseca almeno 1 degli altri tratti; ogni intersezione di 2 tratti è un estremo di entrambi e di nessuno degli altri tratti. Se ogni tratto condivide entrambi gli estremi con altri tratti, allora diremo che è chiuso; diversamente (cioè se esistono tratti con un estremo non condiviso con alcun altro tratto), diremo che è aperto e, in tal caso, i 2 punti che sono estremi di un solo tratto si dicono estremi di. Si dimostra che il teorema di Jordan vale anche per archi regolari a tratti chiusi di R 2.
archi regolari a tratti archi non regolari a tratti Notiamo che la scomposizione in tratti di un arco regolare a tratti non è unica e che nulla vieta di scomporre in tratti un arco regolare e vederlo come arco regolare a tratti. 3 Integrali curvilinei (di prima specie) Motiviamo la loro definizione intuitivamente, in relazione al loro significato fisico. Siano un arco regolare e :[a, b] R n una sua parametrizzazione regolare. Fissiamo t (a, b) ed un incremento dt > 0 infinitesimo, e consideriamo i punti (t) e (t + dt) e la lunghezza ds (in senso intuitivo) del sottoarco elementare che li unisce. Perlacontinuitàdi, è ragionevole approssimare ds (t + dt) (t). Per la dierenziabilità di, siha (t + dt) (t) = (t) dt + o (dt) dt0 equindi ds (t + dt) (t) (t) dt = (t) dt.
Supponiamo che su sia distribuita una massa con densità lineare f : R continua. Perlacontinuitàdif, possiamo pensare che f sia costante sul sottoarco elementare di che unisce (t) e (t + dt), lacuimassasaràallora: f ( (t)) ds f ( (t)) (t) dt. Per l interpretazione dell integrale come somma di contributi infinitesimi, si avrà quindi: massa di = b a f ( (t)) (t) dt. Per regolare, poniamo := \{punti singolari di } = {punti regolari di }. Definizione 7 Siano un arco regolare in R n ed f :domf R n R un campo scalare limitato e continuo su. Si chiama integrale curvilineo (di prima specie) di f lungo il numero fds:= b a f ( (t)) (t) dt = b a f (x 1 (t),..., x n (t)) [x 1 (t)] 2 +... +[x n (t)] 2 dt dove :[a, b] R n è una qualsiasi parametrizzazione regolare di. Nota bene. La definizione stessa di fdsdà anche un modo per calcolarlo.
Nelle ipotesi della definizione, si dimostra che l integrale curvilineo: esiste sempre; è indipendente dalla scelta della parametrizzazione regolare. Si denota anche con f (P ) of (x 1,..., x n ) al posto di f e, se si ha già una parametrizzazione regolare di, anche con al posto di. Se n =2, ha significato geometrico di area con segno della superficie sottesa da f su : ci torneremo quando avremo definito l area di una superficie. x 2 + y 2 =1 Esempio. Calcolare l integrale di f (x, y, z) =xy 2 z lungo l arco : z =2 x 0.
Lunghezza di un arco regolare Le considerazioni fatte all inizio (ds (t) dt) motivano anche la seguente: Definizione 8 Sia un arco regolare in R n. Chiamiamo lunghezza di l integrale curvilineo lungo della funzione costantemente uguale ad 1, ossia il numero () := b a (t) dt = 1 ds dove :[a, b] R n è una qualsiasi parametrizzazione regolare di. Estensione ad archi regolari a tratti Per regolare a tratti, poniamo := \{estremi dei tratti di }. Definizione 9 Se èunarcoregolareatrattiinr n ed f :domf R n R èun campo scalare limitato e continuo su, allora si pone fds:= k i=1 i fds e () := k ( i ) = i=1 k i=1 i 1 ds = 1 ds dove = 1... k è una qualunque scomposizione in tratti di. fdse () esistono e si dimostra che non dipendono dalla scomposizione in tratti di.
Baricentro e momenti d inerzia di un arco Tramite l integrale curvilineo, le definizioni di baricentro, centroide e momenti di inerzia si estendono in modo del tutto naturale agli archi: se un arco regolare a tratti in R n su cui sia definita una densità lineare di massa µ : R limitata e continua su, allora si chiamano: baricentro di il punto G =(x 1,..., x n ) di coordinate x i := x i µ (x 1,..., x n ) ds µ (x 1,..., x n ) ds, i =1,...,n (centroide se µ =1); momento di inerzia di rispetto all origine O il numero I O := [d (P, O)] 2 µ (P ) ds = x 2 1 +... + x 2 n µ (x1,...,x n ) ds; momento di inerzia di rispetto all asse a (retta di R n ) il numero I a := [d (P, a)] 2 µ (P ) ds. 4 Integrali di lavoro (o curvilinei di seconda specie o di linea) Problema. Supponiamo di avere un campo di forze F (nel piano o nello spazio) entro il quale si muove un punto materiale P (non necessariamente sotto la sola azione di F). Se F è costante (in modulo, direzione e verso) e la traiettoria di P è rettilinea, allora il lavoro compiuto dalla forza è L = F r, dover è il vettore spostamento subito da P. Se però la forza F non è costante, oppure la traiettoria di P non è rettilinea, come determinare il lavoro compiuto da F per P che si sposta lungo la propria traiettoria? La schematizzazione matematica è: campo di forze campo vettoriale F :domf R n R n traiettoria del moto arco regolare in R n (o regolare a tratti) verso del moto orientamento di
Orientamento di archi regolari Intuitivamente: può essere solo di 3 tipi, ciascuno dei quali può essere percorso solo in 2 modi diversi (detti opposti tra loro). chiuso senza punti singolari chiuso con un punto singolare aperto Orientare signifca scegliere uno dei suoi 2 versi di percorrenza possibili come privilegiato, chiamandolo verso positivo; il verso opposto si dirà allora negativo. Per archi aperti orientati si potrà parlare di estremo iniziale ed estremo finale, indipendentemente dalla scelta di una parametrizzazione. Matematicamente: si può ragionare in più modi; vediamone uno. In ogni punto P, c è la retta tangente e quindi ci sono esattamente 2 versori tangenti opposti tra loro. Assegnando un versore tangente (P ) ad ogni P, ottengo un campo vettoriale : R n. In questo modo, posso costruire infiniti campi di versori tangenti. Proposizione: Tra questi, ne esistono solo 2 che risultano continui su. Inoltre sono opposti tra loro: sesono 1 e 2, allora 2 (P )= 1 (P ), P. Definizione: Orientare significa scegliere uno dei 2 possibili campi continui di versori tangenti come privilegiato, chiamandolo positivo. Se indico con il campo positivo, l altro è esidirànegativo.
La scelta di un campo corrisponde alla scelta di un verso di percorrenza: quello per cui da ogni punto P si prosegue lungo la parte di arco che sta nel semipiano in cui punta (P ). Operativamente è utile il seguente risultato, che permette di esprimere il campo tramite parametrizzazioni. Proposizione. Sia èunarcoregolareorientatodauncampo esia :[a, b] R n una sua parametrizzazione regolare. Allora vale una sola delle seguenti alternative: ( (t)) = (t) (t), t (a, b) oppure ( (t)) = (t), t (a, b). (t) Si dice rispettivamente che èconcorde/discorde con l orientamento di, oancheche induce su l orientamento positivo/negativo. In termini di percorrenza, ciò significa che il punto mobile (t) percorre nel verso positivo/negativo. Nota. Per ogni :[a, b] R n regolare, si definisce la parametrizzazione opposta a ponendo ()(t) := (t) per ogni t [a, b], dove a := b e b := a. La parametrizzazione :[a, b] R n è ancora regolare e risulta im () =im con ()(a) = (b) e ()( b)= (a), per cui e parametrizzano lo stesso arco con orientamenti opposti.
Orientamento di archi regolari a tratti Definizione. Se = 1... k è una qualunque scomposizione in tratti di, allora orientare significa orientare ciascun tratto i in modo che ogni punto di intersezione di due tratti è punto finale di uno e iniziale dell altro (in tal caso si dice che tutti i tratti i sono orientati compatibilmente). Si dimostra che i i possono essere orientati compatibilmente solo in due modi diversi e che quindi anche per gli archi regolari a tratti esistono solo 2 orientamenti possibili, i quali corrispondono ancora all idea intuitiva di due versi di percorrenza diversi. Per archi regolari a tratti aperti orientati, si può ancora parlare di estremi iniziale e finale. Integrali di lavoro (o curvilinei di seconda specie o di linea) Definizione 1 (lavoro lungo archi regolari). Sia un arco regolare orientato esia F :domf R n R n un campo vettoriale limitato e continuo su. Si chiama lavoro (o integrale di linea o integrale curvilineo di seconda specie) di F lungo il numero L (F) := F ds dove : R n è il campo continuo di versori tangenti che dà l orientamento di. Si tratta dell integrale curvilineo del campo scalare F, che è continuo e limitato su perché entrambi i campi F e sono continui e risulta F F = F cost. perché F èlimitato. Per evidenziare il campo che dà l orientamento di, siscriveanche L, (F).
1 Dipendenza del lavoro dall orientamento. Cambiando orientamento il lavoro cambia segno, cioè risulta L, (F) =L, (F). Dim. Ovvia, perché F () ds = (F ) ds = F ds. 2 Formula di calcolo. Se :[a, b] R n è una qualsiasi parametrizzazione regolare di, allora b + F ( (t)) (t) dt se è concorde con F ds = a b F ( (t)) (t) dt se è discorde con. a () Dim. Per definizione di integrale curvilineo ed essendo ( (t)) = ± (t) / (t), siha F ds = b = ± a b F ( (t)) ( (t)) (t) dt = a F ( (t)) (t) dt, b a F ( (t)) ± (t) (t) dt (t) asecondache sia concorde/discorde con. Esempio. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) =(y, x) lungo l arco di parabola y = x 2, x [0, 2].
Definizione 2 (lavoro lungo archi regolari a tratti). Se = 1... k èun arco regolare a tratti orientato (ossia tutti i i sono orientati compatibilmente) ed F :domf R n R n è un campo vettoriale limitato e continuo su, allora si pone L (F) := k L i (F) i=1 (e si usano gli stessi nomi della definizione precedente). Il risultato dipende dall orientamento come in 1,manon dalla scomposizione in tratti. Il calcolo si fa parametrizzando ciascun tratto e usando la formula 2 di prima. Oltre ad L (F), si usano anche i simboli F dp, F 1 dx 1 +... + F n dx n (dove F =(F 1,..., F n ) e l espressione integranda è detta forma dierenziale) con eventualmente al posto di, oanchef (P ) o F (x 1,..., x n ) al posto di F. Se è chiuso, si usa spesso al posto di esiparladicircuitazione di F lungo.
5 Teorema di Green (in R 2 ) Definizione. Chiamiamo dominio di Green ogni aperto limitato connesso D R 2 tale che la sua frontiera D è unione di un numero finito di archi regolari a tratti (ev. uno solo), chiusi e a due a due disgiunti (detti componenti di D). Per la frontiera di un dominio di Green, cioè per tutte le sue componenti, si assume convenzionalmente come orientamento positivo il verso di percorrenza che lascia localmente (cioè nell intorno di ogni punto) il dominio D alla propria sinistra (v. figura). Teorema di Green. Sia D un dominio di Green con D orientata positivamente esiaf =(F 1,F 2 ) C 1 (D) un campo vettoriale. Se D ha una sola componente, allora F2 D x F 1 dxdy = F dp y D Se D ha più componenti 1,..., k, allora D F2 x F 1 dxdy = y k j=1 j F dp. Nota bene. Le formule possono essere usate nei due sensi.
Osservazioni. 1) L integrando a primo membro è il cosiddetto rotore di F: rot F := F 2 x F 1 y. Le formule di Green si riformulano allora come D rot F dx dy = D F dp (1 componente) = k j F dp j=1 (più componenti). 2) Orientando D negativamente, le formule di Green diventano rot F dx dy = D D F dp = (1 componente) k j F dp j=1 (più componenti). Corollario. Se D è un dominio di Green con D orientata positivamente, allora area (D) = 1 (y, x) dp = 1 2 2 D (1 componente) k j=1 j (y, x) dp (più componenti). Dim. Il campo F (x, y) =(y, x) soddisfa le ipotesi del teorema di Green su D, quindi (y, x) dp = D D rot F dx dy = D 2 dx dy =2area(D). Analogamente si ottiene: area (D) = D (y, 0) dp = D (0,x) dp.