UNIVERSITÀ DI PISA ANNO ACCADEMICO 3-4 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA 16/6/4 COGNOME E NOME MATRICOLA ESERCIZIO 1 (Punti 9) Data la struttura piana mostrata in Figura 1, calcolare in modulo e verso lo spostamento verticale del punto D conseguente all'applicazione delle due forze F, in direzione orizzontale, in corrispondenza del punto A. Dati: L = 1 mm = 4 mm S =1 mm F = 1 N h = 5 mm materiale : acciaio F S Sez. A-A A B C D h A F y x L L L A Fig. 1
ESERCIZIO (Punti 9) Verificare la resistenza della struttura mostrata in Fig., utilizzata per sollevare ripetutamente dei corpi di massa M. Dati: L = 1 mm M = 1 Kg = 5 mm h 1 = 1 mm h = 14 mm σ S = 7 MPa (tensione snervamento materiale) Δσ L = 5 MPa (limite di fatica materiale) L L K t =.5 h h 1 M Fig.
ESERCIZIO 3 (Punti 9) Verificare la resistenza del giunto ullonato a flangia posto all estremità della trave mostrata in Fig. 3. La flangia è di forma quadrata ed i ulloni sono disposti su di essa in maniera simmetrica. Condurre la verifica ad attrito. Dati: L = 1 mm a = 8 mm = mm d = 15 mm F 1 = 5 N F = N Φ = 8 mm σ = 8 MPa (tensione limite materiale ullone) f=.3 (coefficiente di attrito flange) ϕ min = 1.5 (coefficiente di sicurezza minimo richiesto) a 1 A F 1 Φ y x A F 4 3 d L F 1 Sez. A-A x F z Fig. 3
ESERCIZIO 4 (Punti 6) Dato il raccio rootico in moto piano mostrato in Figura 4, calcolare velocità ed accelerazione dei punti A e B. Sono date nella Figura velocità ed accelerazioni angolari dei due corpi che costituiscono il raccio e sono indicati i relativi versi positivi (rotazioni attorno all asse Z, uscente dal foglio). Dati: L = 1 mm. ω= 1 sec -1 dω/dt = -5 sec - B 3 OA=AB=L A 45 ω=5 sec -1 dω/dt = 1 sec - Y X O Fig. 4
CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/6/4 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 1 F Sez. A-A A B C D S h A F Y X L L L A Dati Fig. 1 L := 1 mm h := 5 mm := 4 mm s := 1 mm F := 1 mm MY := 1 MPa (Modulo di Young) Calcolo reazioni vincolari Il diagramma di corpo liero della trave con reazioni vincolari incognite è mostrato in Fig. Le Equazioni di equilirio sono: YB + YC = Ris.Y = XB + 1-1 = Ris.X = Yc*L - *F*= MomZ(B) = 1 di 5
F X B A B C D ξ y z Y B Y C F Y X L L L Fig. Le equazioni di equilirio vengono tradotte in un sistema di equazioni lineari del tipo A*x=C con A matrice dei coefficienti e C vettore dei termini noti 1 1 A := 1 C := L F sol := Soluzione lsolve( A, C) X B := sol X B = Y B := sol Y 1 B = 8 Y C := sol Y C = 8 Momento flettente Mx Il momento Mx è dato da: ξ := 1,.. 3L M x ξ ( ) := F if ξ L ( ) F + Y B ξ L if L < ξ < L otherwise di 5
1.1 4 M x ( ξ) 5 1 3 ξ Calcolo reazioni vincolari per carico fittizio Schema di calcolo in Fig. 3 Ris.X = XB1 = Ris.Y= YB1 + YC1 + 1 = Mz(B)= YC1*L + 1**L = X B1 A B C D ξ y z Y B1 Y C1 1 N Y X L L L Fig. 3 1 D := 1 1 E := L 1 1 L sol1 := lsolve( D, E) X B1 := sol1 X B1 = Y B1 := sol1 Y 1 B1 = 1 Y C1 := sol1 Y C1 = 3 di 5
Momento Mx dovuto al carico fittizio M x1 ξ ( ) := if ξ ( ) L Y B1 ξ L if L < ξ < L ( ) ( ) Y B1 ξ L + Y C1 ξ L otherwise 1 M x1 ( ξ) 5 1 3 ξ Calcolo spostamento Il calcolo dello spostamento viene condotto con il metodo degli integrali di Mohr. Si valuta il momento di inerzia della sezione: s h 3 J x := J 1 x = 14.167 Dato che Mx= nel primo tratto di trave ed Mx1= nell'ultimo tratto è sufficiente valutare l'integrale di Mohr nella parte centrale, per L<=ξ<=L L M x ( ξ) Mx1 ( ξ) δ := dξ δ =.61 MY J x L Il valore di δ è positivo, per cui l'estremità della trave si sposta concordemente con il verso del carico fittizio (verso l'alto) Svolgimento integrale 4 di 5
I ξ := ( ) F + Y B ( ξ L) ξ Y B1 ( ξ L) d 1 ( ) := Y B1 I ξ 3 Y B ξ 3 + 1 ( F Y B L) ξ ( F Y B L) L ξ IL ( ) I( L) δ := δ =.61 MY J x 5 di 5
CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/6/4 SVOLGIMENTO ESERCIZIO L L K t =.5 h h 1 M Fig. 1 Dati L := 1 mm h 1 := 1 mm h := 14 mm M := 1 Kg := 5 mm MY := 1MPa σ s := 7 MPa Δσ L := 5 MPa K t :=. Schema di calcolo Lo schema di calcolo è riportato nella Fig. 1 di 5
L P ξ y z Fig. Calcolo forza applicata g := 9.81 m sec P:= M g P = 1.96 1 4 Andamento momento flettente Mx Il momento Mx è dato da: ξ := 1,.. L M x ξ ( ) := P ( L ξ) M x ( ξ). 1 7 4.1 7 5 1 15 ξ Analisi Dato che il carico applicato varia nel tempo in modo ciclico tra ed il valore massimo P, secondo le modalità indicate schematicamente nel seguito, si rende necessario analizzare la resistenza a fatica della struttura. di 5
Carico( t) := if mod( t, ) > 1 P otherwise t :=,.1.. 1.1 4 Carico() t 1.1 4 4 6 8 1 t Dal diagramma del momento flettente si evince che i punti potenzialmente pericolosi sono : la sezione in cui varia la sezione, posta ad L/ (sezione 1), nella quale si ha una sezione ridotta ed un effetto di intaglio e la sezione di incastro (sezione ), nella quale si ha il massimo momento flettente Verifica sezione 1 Si cacolano in primo luogo le tensioni agenti. Momento di Inerzia 3 h 1 J x1 := J 1 x1 = 7. 1 6 Tensione nominale massima ( ) M x ( L) h 1 σ max1 := σ J x1 max1 = 163.5 Parametri del ciclo di fatica La tensione massima nel ciclo è data da σmax1, mentre la tensione minima si verifica in assenza di carico ed è pari a; σ min1 := Si ottiene quindi: ( ) Δσ 1 := σ max1 σ min1 Range di tensione = tensione massima 3 di 5
σ max1 + σ min1 σ m1 := Tensione media = tensione massima/ Δσ 1 = 163.5 σ m1 = 81.75 Effetto della tensione media Si tiene conto della tensione media con il metodo di Sodeerg Δσ 1 σ s Δσ eq1 := Δσ eq1 = 185.119 σ s σ m1 Verifica a fatica Il range di tensione deve essere maggiorato per l'effetto di intaglio. Il coefficiente di sicurezza contro la rottura per fatica è dato da: Δσ L φ := φ = 1.35 Δσ eq1 K t Verifica sezione Si cacolano in primo luogo le tensioni agenti. Momento di Inerzia 3 h J := J 1 = 1.143 1 7 Tensione nominale massima M x ( ) h σ max := σ J max = 4.45 ( ) Parametri del ciclo di fatica La tensione massima nel ciclo è data da σmax1, mentre la tensione minima si verifica in assenza di carico ed è pari a; σ min := 4 di 5
Si ottiene quindi: ( ) Δσ := σ max σ min Range di tensione = tensione massima σ max + σ min σ m := Tensione media = tensione massima/ Effetto della tensione media Si tiene conto della tensione media con il metodo di Sodeerg Δσ σ s Δσ eq := Δσ eq = 9.1 σ s σ m Verifica a fatica In questo caso non è presente l'effetto di intaglio. Il coefficiente di sicurezza contro la rottura per fatica è dato da: Δσ L φ := φ = 1.74 Δσ eq 5 di 5
CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/6/4 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 3 a 1 A F 1 Φ y x A F 4 3 d L F 1 Sez. A-A x F z Fig. 1 Dati L := 1 mm a:= 8 mm f :=.3 Coefficiente di attrito piastre := mm φ := 8 mm ν := 1.5 Coefficiente sicurezza d := 15 mm σ amm := 8 MPa F 1 := 5 N F := N Calcolo Forze e Momenti agenti sul giunto Le forze ed i momenti agenti sul giunto vengono calcolati utilizzando il SR mostrato in Fig.. Si ottiene: a F Y := F 1 F X := M Z := F 1 1 di 5
F Z := F M X := F 1 L M Y := F Y = 5 1 3 F X = M Z = 1 5 Azioni di distacco F Z = 1 3 M X = 5 1 6 M Y = Azioni di scorrimento a 1 Y Coordinate dei ulloni Φ 4 d 3 X d d X := d Y := d d d d d Fig. Calcolo preserraggio N A := π φ 4 Area ullone A = 5.65 N := σ amm A.8 Preserraggio prescritto N = 3.17 1 4 Forze agenti sui singoli ulloni j := 1.. 4 ( ) ( Y j ) r := X + Distanza del singolo ullone dal aricentro (Fig. 3) j j θ := 135 45 45 135 Angolo tra la congiungente col aricentro e l'asse X (Fig. 3) n := 4 Numero totale di ulloni di 5
a Y r j θ j X d Fig. 3 Azioni di taglio Azioni prodotte da Fy La forza Fy viene equiripartita sui ulloni (ipotesi di flangia rigida): F Y T Yyj := T n Yy1 = 1.5 1 3 T Yy Y X Fig. 4 (versi per FY positiva) Azioni prodotte da Mz Il momento Mz produce azioni taglianti sui singoli ulloni proporzionali alla loro distanza dal aricentro e normali alla congiungente con quest'ultimo. Per facilitare l'analisi dei risultati vengono calcolate le componenti di tali azioni lungo X ed Y. 3 di 5
π π M Z r sin θ j j M 18 Z r cos j θ j 18 T Zx := T j 4 Zy := j 4 k = 1 333.333 ( r k ) 333.333 T Zx = T 333.333 Zy = 333.333 k = 1 333.333 333.333 333.333 333.333 ( r k ) T Zy Y X Fig. 5 (versi per MZ poisitivo) Azioni taglianti totali Le azioni taglianti totali si ottengono da una somma vettoriale delle componenti X ed Y T := j T Zx j + T Zy + T Yyj j T = 975.39 1.618 1 3 1.618 1 3 975.39 Azioni Normali Azioni prodotte da Fz La forza Fz viene equiripartita tra i ulloni ottenendo: 4 di 5
F Z N Zj := N n Z = Azioni prodotte da Mx Le azioni prodotte da Mx risultano proporzionali alla distanza dall'asse X. 5 5 5 5 N Xj := M X Y j 4 k = 1 ( Y k ) N X = 1.667 1 4 1.667 1 4 1.667 1 4 1.667 1 4 Azioni normali totali N := N j Xj + N Zj N = 1.717 1 4 1.717 1 4 1.617 1 4 1.617 1 4 Verifica ad attrito Si calcola il coefficiente di sicurezza per i carichi di taglio e si verifica che risulti maggiore di 1.5. f N N j γ j := γ = T j ( ) 4.615.78 8.96 14.867 Si nota che i coefficienti di sicurezza sono tutti maggiori di 1.5 e che il ullone più critico è il numero. Si verificano inoltre i limiti sulla forza normale agente sui singoli ulloni, calcolando il rapporto tra.8*n e la forza normale stessa. 1.499.8 N 1.499 α j := α = N 1.59 j 1.59 Dato che il rapporto risulta sempre maggiore di 1 il limite è rispettato e tutti i ulloni risultano quindi verificati. 5 di 5
CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/6/4 SVOLGIMENTO ESERCIZIO 4 ω= 1 sec -1 dω/dt = -5 sec - B 3 OA=AB=L A 45 ω=5 sec -1 dω/dt = 1 sec - Y X O Dati L := 1 ω 1 := ω p1 := Vettori velocità ed accelerazione angolare corpo 1 5 1 ω := ω p := 1 5 Vettori velocità ed accelerazione angolare corpo Velocità ed Accelerazione di A Per il calcolo della velocità ed accelerazione di A si applicano le usuali formule relative ad un corpo rigido in rotazione attorno ad un punto fisso. 1 di
L OA := L Vettore che congiunge il punto a terra O con A Velocità di A 3.536 := V A = V A ω 1 OA 1 3 3.536 1 3 Accelerazione di A.475 1 4 a A := ω p1 OA ω 1 OA aa = 1.61 1 4 Velocità ed Accelerazione di B Per il calcolo della velocità ed accelerazione del punto B si ricorre alle relazioni relative ad un corpo rigido in moto roto-traslatorio generale. L 3 AB := L AB = 866.5 5 Vettore congiungente A e B Velocità di B 3 1.464 1 V B := V A + ω AB V B = 5.15 1 3 Accelerazione di B 1.89 1 a B := a A + ω p AB ω AB 5 a B = 6.494 1 4 di