Formulario per Fisica con Esercitazioni

Formulario per Fisica con Esercitazioni 27 gennaio 2015 1 Errori di misura Errore sulle misure dirette: Errore massimo (il risultato della misura non fluttua): 1 oppure 1/2 divisione della scala. Errore statistico (il risultato della misura fluttua): migliore stima della grandezza: x = 1 n i=1 x i, con errore: s x = s n, dove la deviazione standard stimata s è data da: s = n n i=1 (x i x) 2 n 1 Errore sulle grandezze derivate: Errori massimi. Misuro le grandezze indipendenti x 1, x 2,..., x n, ottenendo x 1 = x 1,0 ± x 1, x 2 = x 2,0 ± x 2, e così via, fino a x n = x n,0 ± x n. Poi calcolo y = f(x 1,0, x 2,0,..., x n,0 ). L errore y su y è dato da: y = f x1 x 1 + f x2 x 2 +... + f xn x n Errori statistici per variabili non correlate. Misuro le grandezze indipendenti x 1, x 2,..., x n, ottenendo x 1 = x 1,0 ± σ 1, x 2 = x 2,0 ± σ 2, e così via, fino a x n = x n,0 ± σ n. Poi calcolo y = f(x 1,0, x 2,0,..., x n,0 ). L errore σ y su y è dato da: 2 Cinematica σ y = ( f x 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f f σ1 2 + σ2 2 +... + σn x 2 x 2 n Definizioni. Sia r(t) il vettore posizione di un punto variabile col tempo t. Si definisce la velocità v(t) = d r/ e l accelerazione a(t) = d v/ = d 2 r/ 2. Moto rettilineo uniforme. a = 0; v = v 0 =costante; r(t) = r 0 + v 0 t Moto uniformemente accelerato. a =costante; v(t) = v 0 + at; r(t) = r 0 + v 0 t + 1 2 at2. Moto circolare uniforme. Velocità angolare: ω = dθ, costante. Posizione: r(t) = r cos(ωt) i + r sin(ωt) j. Velocità: v(t) = rω sin(ωt) i + rω cos(ωt) j. Accelerazione: a(t) = rω 2 cos(ωt) i rω 2 sin(ωt) j. L accelerazione è centripeta, la componente tangente alla traiettoria è nulla. Modulo della velocità: v = ωr. Modulo dell accelerazione (centripeta): a = ω 2 r = v2. r 1

3 Operazioni con i vettori Dati due vettori a = a x i + a y j + a z k e b = bx i + b y j + b z k, sia θ l angolo compreso tra i due vettori. Si ha: Prodotto scalare. a b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos θ. Segue che se a e b non sono nulli allora a b = 0 se e solo se a b. Prodotto vettoriale. a b = (a y b z a z b y ) i + (a z b x a x b z ) j + (a x b y a y b x ) k. In alternativa, direzione e verso di a b si trovano con la regola della mano destra e il modulo a b = a b sin θ. Se a e b non sono nulli allora a b = 0 se e solo se a b. 4 Dinamica del punto materiale Leggi di Newton. In un sistema inerziale si ha: 1) F = 0 v = costante. 2) F = m a. 3) F 1,2 = F 2,1, NB: F 1,2 e F 2,1 non hanno lo stesso punto di applicazione! Quantità di moto. Si definisce la quantità di moto per una particella di massa m il prodotto p = m v. Se non ci sono forze esterne (punto isolato) la quantità di moto si conserva durante il moto. Teorema dell impulso. Si definisce impulso J della forza F nell intervallo di tempo t 2 t 1 al quantità: J t2 t 1 F = F (t2 t 1 ) (1) Dove nel secondo passaggio si è applicato il teorema della media ottenendo anche il risultato collaterale J = F t. Per il II principio della meccanica si ha il teorema dell impulso: J = t2 t 1 F = m v2 m v 1 P. (2) Lavoro fatto da una forza. L AB = B F ds. In generale L A AB dipende dal cammino fatto per andare da A a B. Forze conservative. Una forza F è detta conservativa se esiste una funzione U(x, y, z) detta energia potenziale, tale che F = U. Se F è conservativa L AB non dipende dal percorso scelto per andare da A a B; il lavoro in un percorso chiuso è nullo. Alcune forze conservative importanti sono a) la forza di gravità P = m g, scegliendo un asse y diretto verso l alto si ha U P = mgy; b) la forza della molla: F = k l e quindi UF = k( l) 2 /2. Energia cinetica e conservazione dell energia. Si definisce energia cinetica di un punto materiale di massa m la quantità K = 1 2 mv2. Come conseguenza della seconda legge di Newton si trova che L AB = K B K A (teorema dell energia cinetica o delle forze vive). Se le forze che agiscono sul punto materiale sono tutte conservative si ha anche che L AB = (U B U A ) e quindi: K A + U A = K B + U B, cioè, nel passare da A a B l energia meccanica totale K + U si conserva. Forze non conservative. Le forze di attrito sono tipiche forze non conservative che si oppongono allo spostamento e quindi sono anti-parallele rispetto a quest ultimo. Per quanto riguarda il modulo: nel caso dinamico f a = µ k N, dove N è la forza normale applicata dal vincolo al corpo che si muove e µ k è il coefficiente di attrito dinamico. Nel caso statico f a µ s N, dove µ s è il coefficiente di attrito statico. Per una data superficie generalmente si ha µ k µ s. 2

Figura 1: Momenti d inerzia per alcune figure solide di uso comune. 5 Dinamica dei corpi rigidi Centro di massa. Per un sistema di punti materiali m i con i = 1,..., n è utile definire il Centro di Massa (CM) come quel punto che ha posizione: r CM = n i=1 m i r i n i=1 m i (3) o, equivalentemente, nel caso di corpi continui, con densità ρ: r CM = ρ( r) rdv V ρ( r)dv (4) V Si dimostra che ai fini del calcolo della risultante delle forze e dei loro momenti la forza di gravità può essere pensata come se fosse applicata nel centro di massa. Quantità di moto. Per un corpo esteso di massa totale M la quantità di moto è data da: P = M v CM dove v CM è la velocità del centro di massa: v CM = d r CM /. Momento di una forza. Data una forza F applicata nel punto P, si definisce il momento τ della forza F rispetto al punto O il vettore τ = r F. Dove r è il vettore posizione di P rispetto a O, cioè r = P O (il vettore che va da O a P ). Momento d inerzia. Per un sistema di i = 1,..., n punti materiali di massa m i si definisce il momento d inerzia I s rispetto all asse s lo scalare: I s = n i=1 m id 2 i, dove d i è la distanza del punto materiale i esimo dall asse s. Nel caso di un corpo continuo con densità ρ( r) la definizione di I s si trasforma naturalmente in: I s = ρ( r) [d( r)]2 d r. In figura 1 sono riportati V i momenti d inerzia per alcune figure solide di uso frequente. Teorema di Huygens-Steiner (o dell asse parallelo). Il momento d inerzia rispetto a un asse s, parallelo a un altro asse c passante per il centro di massa, si ottiene sommando al momento di inerzia I cm rispetto a c il prodotto tra la massa M del corpo e la distanza d al quadrato tra gli assi c ed s: I s = I cm + M d 2. Momento angolare o momento della quantità di moto. Per un punto materiale P di massa m e velocità v, il momento angolare L rispetto al punto O è definito come: L = r m v, dove r 3

è il vettore posizione di P rispetto a O, cioè r = P O (il vettore che va da O a P ). Per un corpo rigido che ruota con velocità angolare ω attorno a un asse fisso s si trova che il momento angolare calcolato rispetto a un punto sull asse s è dato da L = I s ω. Equazioni cardinali della dinamica. Dato un corpo di massa M a cui siano applicate forze esterne con risultante F ext, la sua quantità di moto P = M v cm varia secondo la prima equazione cardinale della dinamica: F ext = d P se la massa è costante l equazione (5) diventa F ext = M a cm. Detto τ o il momento risultante delle forze esterne calcolato rispetto a un punto O che sia fisso oppure il centro di massa, il momento angolare L calcolato rispetto a O varia in accordo con la seconda equazione cardinale: τ o = d L (6) Se il corpo in questione è rigido e ruota con velocità angolare ω attorno a un asse principale (assumere equivalente ad asse di simmetria) si ha L = I o ω e quindi l equazione (6) si trasforma in: d ω τ o = I o = I o α (7) dove α è l accelerazione angolare. In questo caso L, τ o, α sono tutti diretti come ω. Energia cinetica di un corpo rigido. Teorema di König per l energia cinetica di un corpo rigido: K = 1 2 Mv2 cm + 1 2 I cmω 2 dove: v cm è la velocità del centro di massa, ω è il modulo della velocità angolare, I cm è il momento d inerzia calcolato rispetto a un asse passante per il centro di massa e parallelo a ω. 6 Gravitazione Forza di attrazione gravitazionale tra due masse M e m poste a distranza r l una dall altra. La forza F m agente su m, dovuta alla presenza di M è data da: (5) F m = G Mm r 2 ˆr (8) Dove ˆr è il versore diretto secondo la congiungente le due masse (assunte puntiformi) ed uscente da M (la forza tra le due masse è attrattiva). G è la costante di gravitazione universale: G = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2. Campo gravitazionale. Si può definire un campo gravitazionale: F g = m m = GM ˆr (9) r2 Il campo di un sistema di masse è la somma vettoriale dei campi delle singole masse. Si dimostra che g è un campo conservativo e che vale il Teorema di Gauss (vedi Eq.(13)) come per il campo elettrico: Φ g g da = 4πGM (10) SC 4

Energia Potenziale. L energia potenziale gravitazionale tra due masse M ed m si può scrivere come U g = GMm/r dove r è la distanza tra le masse. U g è l energia che deve essere spesa per portare una delle due masse a distanza infinita dall altra. Leggi di Keplero. 1) L orbita descritta da un pianeta è un ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. 2) Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. 3) I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite. 7 Elettrostatica Forza tra due cariche q 1 e q 2 puntiformi (forza di Coulomb) a distanza r: F = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 ˆr (11) con ɛ 0 = 8.85 10 12 C 2 /(Nm 2 ). Può far comodo anche K = 1 4πɛ 0 9 10 9 Nm 2 /C 2. La forza tra due cariche dello stesso segno è repulsiva. Campo elettrico in P, generato da una carica puntiforme q posta in O: E = 1 q ˆr (12) 4πɛ 0 r2 con r vettore posizione da O a P. Il campo di un sistema di cariche è la somma vettoriale dei campi delle singole cariche. Teorema di Gauss. Data una superficie chiusa SC : Φ( E) = E da = Q int (13) ɛ 0 SC Potenziale elettrico. E definito come quella funzione V tale che E = V. Quindi si ha: B A E dl = (V (B) V (A)) (14) Quando non specificato si assume B e V ( ) = 0. Il potenziale relativo al campo elettrico generato da una carica puntiforme q, a distanza r dalla carica pertanto è: V (r) = 1 q (15) 4πɛ 0 r Una carica q che si muove da A a B acquista (o perde) un energia U = q[v (A) V (B)]. Energia Potenziale. L energia potenziale elettrostatica tra due cariche q 1 e q 2 si può scrivere come U e = q 1 q 2 /(4πɛ 0 r) dove r è la distanza tra le cariche. U e è l energia che deve essere spesa per portare una delle due cariche a distanza infinita dall altra. Densità di energia. La densità di energia del campo elettrico è u E = ɛ 0 E 2 /2. Dielettrici. Se lo spazio vuoto viene sostituito con un mezzo dielettrico con costante dielettrica relativa ɛ r, le formule viste valgono ancora, purché si sostituisca ɛ 0 con ɛ = ɛ 0 ɛ r. Condensatori. Capacità: C = Q/V dove Q = carica sulle armature e V = ddp tra le armature. Dati due condensatori C 1 e C 2, se sono collegati in serie hanno la stessa carica sulle armature (Q 1 = Q 2 ) e la capacità equivalente è C s = (C1 1 +C2 1 ) 1. Se C 1 e C 2 sono collegati in parallelo allora hanno la stessa ddp ai capi (V 1 = V 2 ) e la capacità equivalente è C p = C 1 + C 2. Posto ɛ = ɛ 0 ɛ r, vedi Fig. 2 per le formule relative alla capacità dei condensatori di varia geometria. Nota: la capacità dipende solo dalla geometria dei conduttori (e dei dielettrici) usati. L energia immagazzinata nel condensatore è pari a E = CV 2 /2 = QV/2 = Q 2 /(2C). 5

8 Campo magnetico Figura 2: Capacità di vari tipi di condensatore. Forza di Lorentz. Una particella con carica q che viaggia con velocità v in un campo magnetico B subisce una forza F L = q v B. Campo magnetico generato da una corrente. Un tratto infinitesimo dl di filo percorso dalla corrente i genera nel punto P un campo magnetico infinitesimo db(p ) dato da: db(p ) = µ 0i 4π dl r (16) r 3 dove r è il vettore posizione che va dall elemento dl al punto P in cui viene calcolato db. La costante µ 0 è detta permeabilità magnetica del vuoto e vale: µ 0 = 4π 10 7 Tm/A. Questa relazione è detta I A formula di Laplace o legge di Biot-Savart. Un filo disposto lungo una curva l nello spazio genera quindi in P un campo magnetico B(P ) = µ 0i 4π l dl r r 3 (17) Forza subita da un filo. Un tratto infinitesimo dl di filo percorso da corrente i e immerso nel campo magnetico B subisce una forza data dalla II A formula di Laplace: df = i dl B (18) Su un filo disposto lungo una curva l nello spazio agisce quindi una forza magnetica totale F = i dl B (19) Teorema di Ampère. La circuitazione del campo magnetico B è pari a µ 0 per la corrente i c concatenata con la linea chiusa scelta per la circuitazione: B dl = µ0 i c. Densità di energia. La densità di energia del campo magnetico è u B = B 2 /(2µ 0 ). l 6

Forza elettromotrice indotta (Legge di Faraday). La forza elettromotrice ɛ indotta in un circuito immerso in un campo magnetico B è data da: ɛ = dφ S( B) dove Φ S ( B) è il flusso di B attraverso una qualsiasi superficie S che si appoggia al circuito: Φ S ( B) = B S da. Il segno nell equazione (18) indica che la f.e.m. indotta è tale da opporsi alla variazione di Φ S ( B), questo risultato è detto Legge di Lenz. (Auto)Induttanze. In un circuito di perimetro l il flusso del campo magnetico Φ S ( B) attraverso una superfice S di bordo l è proporzionale alla corrente i: Φ S ( B) = Li La costante di proporzionalità L si definisce autoinduttanza del circuito quindi la legge di Faraday prende la forma ɛ = L di (21) L autoinduttanza di un solenoide è bene approssimata da (20) L = µ 0 vn 2 (22) dove v è il volume del solenoide e n numero di spire per metro. Le induttanze in serie e in parallelo si comportano come le resistenze. L energia immagazzinata in una induttanza è pari a E = Li 2 /2. 9 Circuiti Leggi di Ohm. Dato un conduttore con resistenza R, percorso da una corrente i e con ddp V ai capi, si ha: 1) V = ir 2) R = ρ l/s dove ρ è la resistività del materiale, S la sezione e l la lunghezza del conduttore. La potenza dissipata (per effetto Joule) è data da P = V i = i 2 R = V 2 /R. Resistenze in serie e in parallelo. Date due resistenze R 1 e R 2, la resistenza equivalente della serie delle due resistenze è R s = R 1 + R 2. La resistenza equivalente del parallelo è R p = (R 1 1 + R 1 2 ) 1. Leggi di Kirchhoff. 1) In un nodo la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti. 2) In una maglia la somma algebrica delle differenze di potenziale ai capi di ciascun elemento circuitale deve essere nulla. Circuito RC (transiente). a) Scarica: Un condensatore con capacità C e ddp ai capi pari a V o viene collegato ai capi di una resistenza R al tempo t = 0. La ddp V c tra le armature del condensatore varia con la legge: V c = V o e t/(rc). b) Carica: Un generatore ideale di ddp V 0 viene collegato all istante t = 0 ad una resistenza R in serie con un condensatore C. La ddp V c ai capi di C varia con la legge: V c = V 0 (1 e t/(rc) ). Circuito RL (transiente). a) Accensione: un induttanza L con una resistenza R in serie viene collegata ai capi di un generatore di tensione V 0 al tempo t = 0. La ddp V c ai capi di R varia con la legge: V c = V o (1 e tr/l ). b) Spegnimento: Un induttanza L percorsa da una corrente i 0 viene magicamente connessa al tempo t = 0 in parallelo ad una resistenza R. Nel circuito non è presente alcun generatore. La ddp V c ai capi di R varia con la legge: V c = Ri 0 e tr/l. Circuito LC. Un condensatore con capacità C e ddp ai capi pari a V o viene collegato ai capi di una induttanza L al tempo t = 0. La ddp V c tra le armature del condensatore varia con la legge: V c = V o cos(ωt), con ω = 1/ LC. 7

10 Eq. di Maxwell Le eq. di Maxwell in forma integrale trascurando le proprietà dielettriche e magnetiche della materia sono: SC l SC l E da = Q int ɛ 0 (23) E dl = dφ S( B) (24) B da = 0 (25) ( B dl dφ S ( = µ 0 i c + ɛ ) E) 0 (26) Nella prima e nella terza eq. SC è una superficie chiusa. Nella seconda e nella quarta eq. l è una linea chiusa e S è una superficie aperta che ha come bordo l. La prima eq. è il teor. di Gauss. La seconda eq. è la legge di induzione di Faraday. Il segno al secondo membro merita il nome di legge di Lenz. La terza eq. equivale ad affermare che non esistono monopoli magnetici. La quarta eq. è il teor. di Ampère, modificata da Maxwell con l aggiunta della corrente di spostamento. 8