Modellistica Ambientale, 2013/14 Dinamiche di Crescita: 2 popolazioni Il modello preda predatore
Interazione di due popolazioni: il modello Preda-Predatore Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato dal matematico italiano Vito Volterra (1860-1940) per studiare un fenomeno che era stato evidenziato dallo zoologo Umberto D Ancona. Analizzando le statistiche relative alla pesca nel nord dell Adriatico, D Ancona aveva osservato che durante gli ultimi anni della prima guerra mondiale e negli anni immediatamente seguenti si era verificato un sostanziale aumento della percentuale dei predatori (Selaci) pescati. L unica circostanza che appariva collegabile a questo incremento era la diminuzione dell attività di pesca causata dalle attività belliche.
Il modello x(t) : popolazione delle prede y(t) : popolazione dei predatori dx(t) = F x (x(t), y(t)) = x(t)[a αy(t)] dy(t) = F y (x(t), y(t)) = y(t)[ b + βx(t)] con a, b non negativi, e α e β positivi.
Equilibrio I valori delle due popolazioni all equilibrio, se esiste, sono ottenuti risolvendo il sistema x[a αy] = 0 y[ b + βx] = 0 È facile verificare che l equilibrio si ottiene o per x = y = 0, caso banale e poco interessante, oppure in corrispondenza ai valori x = b β, y = a α.
Equilibrio Consideriamo una soluzione della forma: (x + ɛ(t), y + η(t)) (ɛ e η sono gli scostamenti di x e di y dall equilibrio) Imponendo che sia soluzione dell equazione differenziale, abbiamo il sistema: ossia d(x + ɛ(t)) = F x (x + ɛ(t), y + η(t)) d(y + η(t)) = F y (x + ɛ(t), y + η(t)) dɛ(t) = F x (x + ɛ(t), y + η(t)) dη(t) = F y (x + ɛ(t), y + η(t))
Approssimando F x ed F y tramite la serie di Taylor troncata al termine lineare, abbiamo F x (x + ɛ, y + η) = F x (x, y ) + ɛ F x F y (x + ɛ, y + η) = F y (x, y ) + ɛ F y + η F x + η F y,, Ricordando che F x (x, y ) = F y (x, y ) = 0, sostituendo le approssimazioni nel modello si ottiene il seguente sistema linearizzato: dɛ(t) dη(t) = ɛ F x = ɛ F y + η F x + η F y,,
Nel nostro caso: dɛ(t) = (a αy )ɛ αx η Ponendo dη(t) = βy ɛ + (βx b)η x = b β, y = a α otteniamo il sistema dɛ(t) dη(t) = αb β η(t) = βa α ɛ(t)
Risolviamo il sistema lineare dɛ(t) dη(t) = αb β η(t) = βa α ɛ(t) Derivando la prima equazione e sostituendo dη(t) otteniamo nella seconda d 2 ɛ(t) 2 β αb = αb β d 2 ɛ(t) 2 dη(t) = βa α ɛ(t) Consideriamo la seconda equazione nella forma d 2 ɛ(t) 2 + abɛ(t) = 0
L equazione numerica associata e z 2 + ab = 0 z = ±i ab e pertanto si ha la soluzione generale η(t) = β αb ɛ(t) = ρ 1 cos(ωt) + ρ 2 sen(ωt), dɛ(t) dove ω = ab, ρ 1, ρ 2 R. = βω αb [ρ 1sen(ωt) ρ 2 cos(ωt)], Osserviamo che le funzioni ɛ(t) e η(t) non ammettono limite per t + e pertanto non si puo concludere che la soluzione (x, y) = (x, y ) e asintoticamente stabile.
Analizziamo le soluzioni particolari ottenute ponendo ρ 1 = 0 oppure ρ 2 = 0. Consideriamo, in particolare, il caso in cui ρ 2 = 0, (l altro caso e analogo). Otteniamo le soluzioni ɛ(t) = ρ 1 cos( abt) η(t) = β a α ρ 1 b sen( abt), Al variare del valore dato a ρ 1 abbiamo diverse soluzioni ma comunque di tipo oscillatorio. La simulazione conferma che le soluzioni del modello sono anche esse di tipo oscillatorio attorno alla soluzione di equilibrio.
Andamento oscillatorio Prede-Predatori 600 200,000 450 150,000 300 100,000 150 50,000 0 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 Time (Week) Predatori Equilibrio Predatori Prede Equilibrio Prede
Andamento oscillatorio Prede-Predatori 600 400 200 0 0 50000 100000 150000 200000 250000 Prede Predatori
Introduciamo la pesca ν : percentuale di pesci pescati nell unità di tempo dx(t) dy(t) = x(t)[a αy(t) ν] = y(t)[ b + βx(t) ν] Nuovi punti di equilibrio: x = b + ν β y = a ν α La pesca ha l effetto di innalzare il punto di equilibrio delle prede e di diminuire corrispondentemente quello dei predatori.
Stabilita delle soluzioni di equilibrio Come precedentemente osservato, l analisi della stabilita di una soluzione di equilibrio (x, y ),ossia tale che: F x (x, y ) = F y (x, y ) = 0, puo essere ricondotta allo studio della stabilita della soluzione (ɛ, η) (0, 0) per il sistema linearizzato: dɛ(t) = ɛ F x + η F x, dη(t) = ɛ F y + η F y, E possibile dimostrare che (x, y ) e asintoticamente stabile per il sistema dato se la soluzione (ɛ, η) (0, 0) e asintoticamente stabile per il sistema linearizzato.
Stabilita delle soluzioni di equilibrio Ricordiamo che la soluzione (x, y ) si dice asintoticamente stabile per un sistema dinamico se data una qualsiasi soluzione (x(t), y(t)) del sistema sono verificate le seguenti condizioni: (i) La coppia (x(t), y(t)) e stabile, ossia si mantiene vicino a (x, y ) se (x(0), y(0)) e sufficientemente vicino a (x, y ); (ii) lim (x(t), y(t)) = (x, y ). t In particolare, osserviamo che affinche la soluzione (ɛ, η ) (0, 0) sia asintoticamente stabile per il sistema linearizzato occorre e basta che una qualsiasi soluzione (ɛ(t), η(t)) del sistema linearizzato verifichi le seguenti condizioni: lim ɛ(t) = 0, lim t η(t) = 0 t
La stabilita della soluzione nulla del sistema linearizzato si puo determinare considerando gli autovalori della matrice ) A = ( Fx F y ove, per semplicita, Fx (x,y ) le altre componenti. F x F y = Fx (x ed analogamente per,y ) Teorema Siano λ 1 = γ 1 + iω e λ 2 = γ 2 iω gli autovalori di A. (i) Se γ 1 < 0 e γ 2 < 0, allora la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile. (ii) Se γ 1 > 0 oppure γ 2 > 0, allora la soluzione (x, y ) non e stabile. Osserviamo che, se gli autovalori sono reali allora ω = 0 e λ i = γ i, i = 1, 2, mentre se gli autovalori sono complessi allora ω 0 e γ 1 = γ 2.
Il modello di Samuelson x(t) : popolazione delle prede y(t) : popolazione dei predatori dx(t) = F x (x(t), y(t)) = x(t)[a γx(t) αy(t)] dy(t) = F y (x(t), y(t)) = y(t)[ b + βx(t)] ove i parametri a, b, α, γ e β si suppongono positivi.
Equilibrio I valori delle due popolazioni all equilibrio sono ottenuti risolvendo il sistema x[a γx αy] = 0 y[ b + βx] = 0 È facile verificare che l equilibrio si ottiene o per x = y = 0, oppure in corrispondenza ai valori x = a γ, y = 0 x = b β, y = aβ γb. αβ
Consideriamo la matrice A = ( Fx F y F x F y ) Abbiamo F x (x, y ) = a 2γx αy ; F x (x, y ) = αx F y (x, y ) = βy, F y (x, y ) = b + βx
Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = 0, y = 0. Abbiamo ( ) a 0 A = 0 b Essendo la matrice diagonale, e immediato verificare che gli autovalori sono λ 1 = a, λ 2 = b ed essendo a > 0 il punto (0, 0) non e stabile.
Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = a γ, y = 0. Abbiamo A = ( ) a αa γ 0 b + aβ γ Gli autovalori di A sono λ 1 = a, λ 2 = b + aβ γ. Essendo a > 0 il punto ( a γ, 0) e asintoticamente stabile se b + aβ γ < 0 ossia aβ < bγ.
Stabilita dei punti di equilibrio Consideriamo il punto x = b β, y = aβ γb. αβ Supponiamo y 0 da cui aβ bγ. Abbiamo ( ) A = L equazione caratteristica e : det(a λi ) = det γb β αb β aβ γb α 0 ( γb ) β λ αb β = 0 λ aβ γb α da cui λ 2 + λ γb β + ab γb2 β = 0. (1)
Se nell equazione (1) si ha 0 allora λ = γb β La parte reale delle soluzioni e : ± i 2 Re(λ) = γb 2β < 0 e la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile. Se nell equazione (1) si ha > 0 allora: se aβ γb > 0 le radici sono entrambe negative e la soluzione (x, y ) e asintoticamente stabile; se aβ γb = 0, una radice della (1) e negativa ed una e nulla, per cui non si puo determinare se (x, y ) e asintoticamente stabile.