SVOLGIMENTO DEL COMPITO DI APRILE 2017 CLASSE 3B Testo: Scrivi l equazione dell iperbole riferita al centro e agli assi con i fuori sull asse x, sapendo che passa per i punti " ; % e '( ; &. Determina inoltre le tangenti passanti per il punto & % % (2; 3). Svolgimento: L equazione canonica dell iperbole riferita al centro e agli assi con i fuori sull asse x è: a y Sostituisco le coordinate del primo punto nell equazione canonica dell iperbole: 5 2 a 3 4 Svolgo i quadrati: 25 4 a 9 16 Moltiplico ambo i membri per 16a b 100b 9a = 16a b Sostituisco le coordinate del secondo punto nell equazione canonica dell iperbole: 10 3 a 4 3 Svolgo i quadrati: 100 9 a 16 9 Moltiplico ambo i membri per 9a b 100b 16a = 9a b Per trovare i valori di a e b devo quindi risolvere il sistema: in cui le incognite sono a e b. Ricavo b dalla prima equazione: 100b 9a = 16a b 100b 16a = 9a b
Sostituisco nella seconda equazione: Moltiplico per 100 16a : Sostituisco nell espressione di b : 100b 16a b = 9a (100 16a ) b = 9a b 9a = 100 16a 9a 100 100 16a 16a = 9a 9a 100 16a 900a 16a 100 16a = 81a & 900a 1600a + 256a & 81a & = 0 b = L equazione dell iperbole è quindi: 175a & 700a = 0 a = 700 175 = 4 9a 100 16a = 9 4 100 16 4 = 36 36 = 1 4 y 1 = 1 Per trovare le rette tangenti all iperbole passanti per il punto 2,3 faccio sistema fra l equazione dell iperbole e il fascio di rette passanti per il punto assegnato: 4 y = 1 y 3 = m (x 2) Scrivo l equazione dell iperbole in forma intera (moltiplico tutto per 4) e ricavo y dalla seconda equazione: Sostituisco la y ricavata nella prima equazione: 4y 4 = 0 y = mx 2m + 3 4 mx 2m + 3 4 = 0
Svolgo il quadrato di trinomio: 4 m + 4m + 9 4m x 12m + 6mx 4 = 0 4m 16m 36 + 16m x + 48m 24mx 4 = 0 Raggruppo i termini in, in x e i termini noti: 1 4m + 16m 24m x 16m + 48m 40 = 0 Ho ottenuto una equazione di secondo grado i cui coefficienti sono: a = 1 4m b = 16m 24 c = 16m + 48m 40 Per trovare le rette tangenti, devo imporre che il Δ di questa equazione sia zero. Posso calcolare A dato che b è divisibile per due: & Δ 4 = 8m 12m 1 4m ( 16m + 48m 40) Prima di svolgere il quadrato e il prodotto conviene mettere in evidenza i fattori comuni: 16m 2m 3 1 4m 8 2m + 6m 5 = 0 Posso dividere tutto per 8: 2m 2m 3 1 4m 2m + 6m 5 = 0 Svolgo il quadrato e il prodotto: 2m 4m 12m + 9 + 2m 6m + 5 8m & + 24m % 20m = 0 8m & 24m % + 18m + 2m 6m + 5 8m & + 24m % 20m = 0 6m + 5 = 0 m = 5 6 Si trova quindi una sola tangente, di equazione: y 3 = 5 (x 2) 6
La seconda tangente non è stata trovata perché è la retta mancante del fascio di rette considerato: è la retta verticale passante per il punto assegnato. La sua equazione è quindi: x = 2
SVOLGIMENTO DEL COMPITO DI APRILE 2017 CLASSE 3B Testo: Un iperbole è riferita al centro e agli assi, ha i fuochi sull asse x e passa per i punti B = ( '% ; " ) e C = (5; 4). Scrivi l equazione dell iperbole. Determina le coordinate del punto A tale & & che le tangenti condotte da A all iperbole passino per i punti B e C. Svolgimento: L equazione canonica dell iperbole riferita al centro e agli assi con i fuori sull asse x è: a y Sostituisco le coordinate del primo punto nell equazione canonica dell iperbole: 13 4 a 5 4 Svolgo i quadrati: Moltiplico ambo i membri per 16a b : 169 16 a 25 16 169 b 25 a = 16 a b Sostituisco le coordinate del secondo punto nell equazione canonica dell iperbole: Moltiplico ambo i membri per a b : 5 a 4 25 a 16 25b 16a = a b Per trovare i valori di a e b devo quindi risolvere il sistema: in cui le incognite sono a e b. Ricavo b dalla seconda equazione: 169b 25a = 16a b 25b 16a = a b
25b a 6a b 25 a = 16a b = 16a 25 a Sostituisco nella prima equazione: Moltiplico per il denominatore: Sostituisco nell espressione di b : L equazione dell iperbole è pertanto: 169 16a 25 a 25a = 16a 16a 25 a 169 16a 25a 25 a = 16a 16a 2704a 625a + 25a & 256a & 231a & = 2079a a = 2079 231 = 9 6 9 25 9 = 144 16 = 9 ovvero: 9 y 9 = 1 y = 9 Per trovare le coordinate del punto A tale che le tangenti all iperbole uscenti da questo punto passino per i punti B e C posso ragionare cosi: - Scrivo con la formula dello sdoppiamento la tangente all iperbole nel punto B - Scrivo con la formula dello sdoppiamento la tangente all iperbole nel punto C - Il punto A sarà l intersezione di queste due tangenti. L equazione della tangente in B si trova eseguendo le seguenti sostituzioni nell equazione dell iperbole: 13 4 x
y 5 4 y e quindi: 13 4 x 5 4 y = 9 L equazione della tangente in C si trova eseguendo le seguenti sostituzioni: e quindi: 5x y 4y 5x 4y = 9 Per trovare il punto A scrivo il sistema fra le equazioni delle due tangenti: Moltiplico la prima equazione per 4: 13 4 x 5 4 y = 9 5x 4y = 9 13x 5y = 36 5x 4y = 9 Per risolvere il sistema moltiplico la prima equazione per 4, la seconda per 5 e sottraggo: 52x 20y = 144 25x 20y = 45 77x = 99 x = 9 7 Sostituisco in una delle equazioni per trovare la y: Le coordinate di A sono quindi: 4y = 5x 9 y = 45 7 9 4 = 45 63 28 = 108 28 = 27 7 A 9 7 ; 27 7