1 Sulla diffusion dlla radiazion da part dgli atomi H. A. Kramrs W. Hisnbrg a Copnaghn Quando un atomo è sposto a radiazion strna di frunza sso non invia soltanto ond sfrich monocromatich scondari dlla stssa frunza, cornti con la radiazion incidnt, ma in * *, dov h indica la gnral saranno mss anch ond sfrich di altr frunz. Qust frunz sono tutt dlla forma la diffrnza di nrgia dll atomo nllo stato considrato d in un ualch altro stato. La radiazion diffusa incornt corrispond in part a crti procssi ch rcntmnt sono stati considrati da Smal in rapporto ad una trattazion ch implica l ida di uanti. Nlla dissrtazion si mostrrà com un analisi scondo la toria dll ond dll azion diffusiva dgli atomi mdiant il principio di corrispondnza si può condurr in modo natural apparntmnt univoco. La ralizzazion di ciò si costruisc sull ida dl lgam dl radiazion ondulatoria dgli atomi con gli stati stazionari, ch è trattata in un nuovo lavoro di Bohr, Kramrs Slatr, l consgunz, ualora dovssro ssr confrmat, potrbbro costituir un supporto intrssant pr usta ida. 1. Introduzion I fnomni ottici dlla disprsion dll assorbimnto, ch si manifstano al passaggio di luc monocromatica in un gas, si possono notoriamnt intrprtar in bas ad un ida atomistica, ch ogni atomo irraggiato invii ond sfrich scondari la cui frunza sia la stssa dlla luc incidnt, ch siano cornti con usta luc. La consgunza, ch scondo ust ida una dbol luc diffusa sarbb inviata in tutt l dirzioni, è stata confrmata brillantmnt nlla toria di Rayligh dll azzurro dl cilo d anch in sprimnti di laboratorio dirtti. Un sostgno straordinariamnt fort all ida torica consist innanzitutto nl fatto ch l ossrvazioni rlativ consntono una 1 Zitschr. f. Phys. 31, 681 (1925). 1
dtrminazion dl numro di Avogadro. Con la toria dgli lttroni costruita sull lttrodinamica classica si dv riuscir a dar una dscrizion torica più prcisa dll azion diffusiva dgli atomi. Così l ida ch nll atomo lttroni lgati in modo uasi lastico possano sguir oscillazioni armonich attorno ad uno stato di uilibrio, ch usti lttroni possano ssr posti in oscillazion dalla forza lttrica in un campo di radiazion, porta ad una toria dlla disprsion ch rnd i tratti ssnziali dlla disprsion ossrvata, non solo nll ambito dlla disprsion normal, ma anch nll ambito dlla disprsion anomala in prossimità dll righ di assorbimnto, l cui frunz sono post uguali all frunz propri dgli lttroni. La toria prvd, in accordo con l ossrvazioni, massimi pronunciati nll intnsità dlla radiazion diffusa proprio pr ust frunz (radiazion di risonanza). Nondimno il tntativo di dar un intrprtazion prcisa di fnomni di disprsion in bas alla toria classica si scontra notoriamnt con difficoltà, ch sono strttamnt connss all difficoltà ch si contrappongono all intrprtazion con usta toria dgli spttri dgli lmnti, la cui soluzion è tuttavia mostrata dalla toria uantistica dll righ spttrali. Prtanto ci si prsnta il compito di dscrivr l azioni diffusiv disprsiv dgli atomi in connssion con l ida scondo la toria di uanti dlla struttura dll atomo. In usta ida la comparsa di una riga spttral non è associata alla prsnza di lttroni oscillanti in modo lastico, ma a transizioni da uno stato stazionario ad un altro. Il principio di corrispondnza di Bohr dà tuttavia un indicazion significativa sulla possibilità di dscrivr la razion dll atomo al campo di radiazion mdiant id classich. In un lavoro rcntmnt apparso di Bohr, Kramrs 2 Slatr si mostra a grandi lin com una tal dscrizion si possa sviluppar in modo rlativamnt smplic. Carattristica di usta toria è soprattutto l ipotsi ch la razion dll atomo al campo di radiazion si dbba considrar in primo luogo com 2 Zitschr. f. Phys. 24, 69 (1924); Phil. Mag. 47, 785 (1924). 2
una razion dll atomo in un dtrminato stato stazionario; l transizioni tra du stati stazionari dvono durar assai poco, la natura prcisa di ust transizioni non dv giocar alcun ruolo nlla dscrizion di fnomni ottici. Il primo passo pr dscrivr ciò ch succd uando un atomo in un crto stato stazionario è irraggiato con luc monocromatica avvrrbb scondo tal ipotsi nl caso più smplic nl modo sgunt. Si immagini ch incidano sull atomo ond pian monocromatich polarizzat; il vttor lttrico (t) di ust ond sia rapprsntato alla posizion dll atomo dalla part ral di un vttor: (t)=r( xp[2 i t]), (1) dov l componnti dl vttor indipndnt dal tmpo sono in gnral uantità complss, dov ui in gnral nl sguito in usto lavoro è una uantità positiva. Sotto l influnza di ust ond l atomo invia ond sfrich nllo spazio circostant. Il momnto (t) dl dipolo oscillant, mdiant il ual ust ond sfrich si possono rapprsntar, è smpr dato dalla part ral dll sprssion: (t)=r( xp[2 i t]), (2) dov in gnral è un vttor complsso, ch pr un dato stato stazionario dipnd da da ; la sua dirzion dipnd dalla dirzion di, mntr il suo valor assoluto, almno nl caso limit di dbol irraggiamnto, è proporzional al valor assoluto di, cioè è una funzion vttorial linar di. L sprssion (2) ha valor finchè l atomo prman nllo stato stazionario considrato. L ipotsi ui fatta consnt in misura notvol di dar conto di fnomni dlla disprsion, dll assorbimnto dlla diffusion dlla luc da part di un vapor, com appar chiaro dall circostanz ricordat all inizio di usto lavoro. Pr uanto riguarda in particolar l intnsità complssiva dlla luc diffusa, si tndrbb a porr smplicmnt ch l nrgia S diffusa nll unità di tmpo sia smplicmnt ugual a 4 3 - S=[(2 ) /3c ]( ), (3) 3
- dov rapprsnta il vttor complsso coniugato di. In ui casi in cui l atomo puà far uno o più salti spontani a stati stazionari di contnuto d nrgia più basso, bisogna tuttavia ssr prparati a ch usta sprssion non risulti ulla giusta. Scondo il punto di vista dlla dissrtazion summnzionata di Bohr, Kramrs Slatr infatti l atomo in un tal stato anch in assnza di radiazion strna agisc com una sorgnt di ond sfrich, l cui frunz sono associat ad ogni salto mdiant la condizion dll frunz di Bohr (radiazion spontana). L ipotsi più smplic pr la dscrizion di usta radiazion è l ipotsi ch l atomo agisca com un dipolo classico, il cui momnto è rapprsntato dalla part ral dll sprssion xp[2 i t], (4) dov i vttori ampizza sono collgati ai cofficinti di probabilità a di Einstin dalla rlazion 4 3 - a h =[(2 ) /3c ]( ). (5) Nl caso di irraggiamnto con luc monocromatica la radiazion (4) in gnral può dar luogo a intrfrnz con la radiazion (2), ch a motivo dl tmpo di vita finito dll atomo causano la comparsa di ultriori trmini nll sprssion pr l nrgia dlla radiazion diffusa, ch in crt circostanz non sono trascurabili risptto al trmin (3) (vdi pagina 705). Snza considrar la ustion di limiti di validità dll ipotsi (2) uno di noi ha affrontato da ualch tmpo il problma di com si possa 3 rapprsntar la dipndnza dlla uantità dalla frunza. I du pnsiri conduttori in usta ricrca sono stati da un lato l applicabilità all sprinza dll formul ch si danno pr scondo l toria dlla disprsion classica, uando si pnsino introdotti nll atomo dgli oscillatori classici, l cui frunz propri coincidano con l frunz dll righ di assorbimnto, dall altro lato il principio di corrispondnza. Scondo usto principio sist una strtta connssion tra il comportamnto 3 H.A. Kramrs, Natur 113, 673 (1924); 114, 310 (1924). 4
ral di un sistma atomico il modo di agir dl sistma, com lo si aspttrbb in bas alla sua struttura scondo la toria classica dgli lttroni. In particolar il principio richid ch nlla rgion dgli alti numri uantici l proprità ffttiv dll atomo si possano dscrivr asintoticamnt mdiant l lggi dll lttrodinamica classica. Partndo da usta prscrizion è stato possibil, mdiant il confronto dll formul di disprsion classich con il comportamnto classico di un sistma multiplamnt priodico risptto a radiazion incidnt, stabilir una formula di disprsion adatta alla toria di uanti. Nl caso ch l atomo si trovi nllo stato fondamntal, usta formula coincid con una proposta molto prima da Ladnburg sulla bas di 4 considrazioni d altro tipo. Lo scopo di usto lavoro è di mostrar com sgundo rigorosamnt ust ida di corrispondnza si arrivi ad un risultato sorprndnt, ch l ipotsi (2) pr la razion dll atomo alla radiazion incidnt è rstrittiva, ch in gnral va stsa nl modo sgunt mdiant una sri di trmini: (t)=r xp[2 i t]+ xp[2 i( + )t]+ xp[2 i( - )t] (6) l l dov h d h indicano la diffrnza di nrgia dll atomo in l du stati stazionari, di uali uno è smpr idntico allo stato dll atomo in ull istant, mntr i vttori dipndono l inoltr da da, inoltr dalla prima uantità nlla forma di una funzion vttorial linar. Esprsso in parol usto risultato suona: sotto l fftto di un irraggiamnto con luc monocromatica un atomo non mtt soltanto ond sfrich cornti dlla stssa frunza dlla luc incidnt, ma anch sistmi di ond sfrich non cornti, l frunz dll uali si possono rapprsntar com combinazioni di ulla frunza con altr frunz, ch corrispondono a transizioni pnsabili ad altri stati stazionari. Qusto sistma aggiuntivo di ond sfrich dv vidntmnt comparir com luc diffusa; sso non può tuttavia 4 R. Ladnburg, Zitschr. f. Phys. 4, 451 (1921). Vdi anch R. Ladnburg F Rich, Naturwissnschaftn 11, 584 (1923). l 5
contribuir alla disprsion d all assorbimnto dlla luc incidnt. 5 Smal è da ualch tmpo giunto mdiant una trattazion associata all ida di uanti proprio allo stsso risultato, cioè ch da part di un atomo possa vnir una radiazion diffusa di frunza + oppur -. Possiamo riprodurr il pnsiro l inizial di Smal all incirca nl modo sgunt. L assorbimnto ovvro l mission di luc da un atomo si può dscrivr com un procsso nl ual un uanto di luc di frunza vin assorbito o msso da un atomo; l atomo passa con ciò ad uno stato stazionario più alto o più basso varia la sua nrgia di una uantità h, il suo impulso di una uantità h /c. La diffusion solita dlla luc da un atomo si può d altra part dscrivr com il contmporano assorbimnto di un uanto di luc di frunza l mission di un uanto di luc di frunza. L atomo non passa ad un altro stato stazionario, ma subisc in gnral una variazion di vlocità. In un sistma di rifrimnto sclto a piacr l frunz sono in gnral divrs. Ciò val in particolar in un sistma di rifrimnto nl ual l atomo inizialmnt è a riposo (fftto Compton). Più in gnral Smal sprim la supposizion ch nll atomo possano darsi anch procssi ni uali simultanamnt un uanto di luc è assorbito d msso, ma ni uali, a diffrnza ch ni salti diffusivi su ricordati, non solo cambi lo stato di moto dll atomo, ma anch l atomo passi ad un altro stato stazionario. Tralasciamo la piccola variazion di vlocità dll atomo nl salto, indichiamo la variazion di nrgia nl salto con h o con h ; a sconda l ch usta variazion sia in snso ngativo o positivo, la frunza dl uanto di luc msso nl procsso è data vidntmnt da + o da -, dov indica la frunza dl l uanto di luc incidnt. Qusto risultato va intrprtato nl snso ch, pr irraggiamnto con luc dlla frunza, sarà mssa dall atomo luc dll frunz + o -, mntr l contmporanamnt l atomo acuista una probabilità di diminuir la sua nrgia di h o di accrscrla di h. l 5 A. Smal, Naturwissnschaftn, 11, 873 (1923). 6
Il ragionar con il uanto di luc ha soprattutto il significato ch sso ci mtt in condizion di porr in connssion in modo smplic d istruttivo l lggi di consrvazion macroscopich dll nrgia dll impulso con l id dlla toria di uanti. La natura dlla ustion non prmtt tuttavia di trarr da ust considrazioni alcuna conclusion su un vntual struttura corpuscolar dlla luc, prchè dobbiamo smpr richidr ch i risultati così ottnuti si possano mttr d accordo in modo snt da contraddizioni con la dscrizion ondulatoria di fnomni ottici. Si vd snz altro ch usto ruisito è soddisfatto nl nostro caso, ch l ipotsi dlla toria ondulatoria (6) corrispond proprio al risultato di Smal. Si dv tuttavia ricordar a usto punto ch l nostr considrazioni succssiv mostrranno ch i procssi introdotti da Smal non sono gli unici ch si possano associar all azion diffusiva dgli atomi. Pr raggiungr la compltzza, dobbiamo introdurr procssi ni uali, pr rimanr nl linguaggio di uanti di luc, l atomo pr fftto dll irraggiamnto è indotto a mttr du uanti di luc; l uno ha la frunza dlla luc incidnt, l altro una frunza, ch corrispond alla transizion dll atomo ad uno stato di nrgia più bassa con prdita d nrgia h( + ). A usto riguardo è d intrss notar ch anch uando non trascuriamo l variazioni d impulso dll atomo ni salti, il ruisito in ustion dlla dscrivibilità dl fnomno scondo la toria ondulatoria è soddisfatto. Introduciamo infatti un sistma di rifrimnto nl ual la uantità d impulso dll atomo nl suo stato stazionario sia ugual ad h /c, mntr la sua dirzion sia opposta a ulla dlla luc incidnt (anch ni procssi non discussi da Smal dv avr la stssa dirzion); allora scondo il calcolo con il uanto di luc la frunza dlla luc diffusa ch corrispond ad un salto dtrminato risulta la stssa in tutt l dirzioni dllo spazio, in accordo con l ida scondo la toria ondulatoria di un trno d ond monocromatich ch hanno la loro sorgnt in una rgion spazial molto piccola. Riguardo alla circostanza singolar, ch il cntro di ust ond sfrich è in moto risptto all atomo ccitato, non vogliamo ui addntrarci. Si ossrvrà solo ch ssa porta un fort argomnto 7
prchè lggi dl tipo (2), (4) (6) non possano avr validità rigorosa, ch s n dv ottnr una modificazion appropriata. Tali modifich tuttavia hanno solo un fftto inssnzial sull considrazioni sgunti. L ida di porr in connssion scondo il principio di corrispondnza l azion diffusiva dll atomo introdotta da Smal con l azion diffusiva di un sistma atomico ch ci si dv aspttar nlla toria classica è vnuta in mnt pr la prima volta a Kramrs in connssion con il suo lavoro sulla toria dlla disprsion. L laborazion di usti pnsiri, ch è sposta in usto lavoro, è la consgunza di una discussion comun dgli autori. 2. L influnza dlla radiazion strna su un sistma priodico scondo la toria classica Considriamo un sistma priodico non dgnr, il cui moto si possa dscrivr mdiant l variabili canonich uniformi J...J, w...w. Il momnto lttrico dl sistma in funzion di ust variabili sia rapprsntato mdiant la sgunt sri di (t)= (1/2) xp[2 i( w + w )]. (7) Fourir multipla:... 1 s... La somma va stsa su tutti i valori positivi ngativi di numri intri.... I cofficinti sono vttori complssi, la cui componnti dipndono solo da J...J. Indichiamo inoltr l uantità complss coniugat mdiant una sopralinatura, si ha uindi - =. (8)... -...- L nrgia dl sistma dipnd in ogni caso solo da J. L frunz fondamntali siano indicat con = H/ I (=1...s). (9) Introduciamo la sgunt abbrviazion pr un oprator diffrnzial ch compar spsso: 8
/ J= / I + / J, (10) 1 s d inoltr introduciamo pr l frunz dll componnti armonich ch compaiono nl moto l abbrviazion = + = H/ J. (11) 1 s Il nostro compito consist nl trovar il momnto lttrico dl sistma in funzion dl tmpo, uando l atomo è posto in un trno monocromatico di ond pian, la cui lunghzza d onda sia grand risptto all dimnsioni dl sistma. Il vttor di luc dlla luc monocromatica incidnt sia * * * * ancora dato dall sprssion (1). Sia J...J, w...w un nuovo sistma di variabili uniformi, ch risulta dall vcchi variabili mdiant una trasformazion di contatto infinitsima * * * * J -J = K/ w, w -w =- K/ J (=1...s). (12) * * * * E allora possibil scglir la funzion K(J...J, w...w,t) in * modo tal ch in prima approssimazion i J siano indipndnti dal tmpo, mntr i w * * crscano linarmnt col tmpo in modo tal ch sia dw /dt=. Si trova ch la funzion K si può scrivr nl modo sgunt com la part ral di un sprssion complssa: ( )... * * 1 s K=R (-1/2) xp[2 i( w + w + t)] (13)... 2 i( + ) * dov d rapprsntano ui l stss funzioni di J, ch prima di J. Introduciamo nlla (7) l nuov variabili uniformi dfinit * dall (12) (13), sostituiamo inoltr w mdiant l sprssion t; arriviamo infin all sprssion dl momnto lttrico dll atomo in funzion dl tmpo: (t)= (t)+ (t), 0 1 dov (t)= (1/2) xp[2 i t]. 0...... (14) Qui nl sguito tralascrmo gli astrischi nll nuov variabili uniformi; corrispond al moto dll atomo 0 imprturbato. si può scrivr nl modo sgunt com la part 1 9
2 i t ( ) 2 i( + )t (t)=r (1/4) ( / J ) 1 +...... (15) 2 i t ( ) 2 i( + )t - / J( ). + ral di una somma doppia: La somma va stsa su tutt l coppi di combinazioni di valori intri di...,... ; sono scritt com abbrviazion di... di... ; / J in analogia con il simbolo (10) com abbrviazion di / I + / J, d com abbrviazion 1 s di +. Trasformiamo l sprssion (15), raccoglindo 1 s ui trmini pr i uali l somm 0 0 + =! + = (16) 1 1 s s hanno lo stsso valor. Poniamo l abbrviazion ottniamo in usto modo 0 0 0 + =, (17) 1 s s ( ) (t)=r (1/4) ( / J ) 1 0 0 +...... 0 ( ) 2 i( + )t - " / J( ). +# (18) Nlla sommatoria su... si dv sostituir al posto di... smpr il sistma di valori dato dalla (16). Facciamo rilvar ch 0 possono assumr valori sia positivi ch ngativi, poichè l sommatori vanno sts a tutti i valori positivi ngativi di 0 di. E condizion pr la validità di usta formula ch la frunza dlla luc non coincida con nssuna dll frunz nl moto imprturbato. La formula (18) dic ch il sistma sotto l influnza di una radiazion incidnt mttrà una radiazion diffusa, la cui intnsità è proporzional all intnsità dlla luc incidnt; scomposta in componnti armonich, ssa contin oltr alla frunza dlla luc incidnt anch l frunz ch si possono 10
rapprsntar com la somma o la diffrnza di di una 0 0 frunza dalla forma data dalla (17). La frunza stssa può non comparir nl moto dl sistma imprturbato. Inoltr si 0 vd dalla (15) ch è smpr dlla forma, dov sono du frunz ch intrvngono ralmnt nl moto imprturbato. 3. La toria di uanti la diffusion cornt Poniamoci nll ambito dlla toria uantistica di sistmi priodici; abbiamo allora a ch far con una moltplicità discrta di stati stazionari, ch sono dati mdiant l condizioni uantich J =n h. (19) La radiazion, ch il sistma imprturbato in un dato stato stazionario invia, corrispond a possibili transizioni tra stati stazionari. Scondo il principio di corrispondnza usta si dv malgrado ciò considrar com ualcosa di ragionvolmnt analogo alla radiazion ch ci si asptta scondo la toria classica. Mntr usta si può ricavar dall sprssion (14) pr il momnto lttrico oscillant dll atomo imprturbato, la radiazion 0 scondo la toria di uanti va rapprsntata com originant da un momnto oscillant dato all incirca da un sprssion dlla forma (4). Ogni frunza in usta sprssion corrispond ad una frunza classica +..., prcisamnt in modo tal 1 s ch (1) (2) (1) (2) =n -n, (20) dov n n rapprsntano i valori di numri uantici nllo stato inizial nllo stato final. La frunza classica =( / I + / J )H= H/ J (21) 1 s non coincid con la corrispondnt frunza dlla toria di uanti, poichè usta è data da (1) (2) =(H -H )/h. (22) Tuttavia nl limit di alti numri uantici usta sprssion si 11
può scrivr in approssimazion nlla forma: =$ H/h=(1/h) $ J / J + + $ J / J H, (23) 1 s dalla ual scondo l (19) (20) sgu immdiatamnt ch in usto limit l frunz dlla toria di uanti tndono asintoticamnt a coincidr con l frunz classich. Nlla rgion di piccoli numri uantici rapprsnta un smplic valor mdio di corrispondnti. Inoltr nl limit di grandi numri uantici l ampizz dll componnti armonich dlla radiazion dvono coincidr con l ampizz dll oscillazioni classich, mntr nlla rgion di uanti piccoli si può considrar com una sorta di valor mdio di. Si potrbb indicar il vttor complsso com l ampizza carattristica dlla transizion in sam. Il suo valor è dtrminato, tnndo conto dll arbitrarità nlla fas, a mno di un fattor complsso di valor assoluto 1, contin uindi cinu costanti. E vidntmnt in rapporto con i cofficinti di Einstin a pr la probabilità di una transizion spontana mdiant la rlazion (5): 4 3 - a h =[(2 ) /3c ]( ). (24) 6 Com Bohr ha di rcnt notato, nl caso di un sistma dgnr lo stato di polarizzazion dlla radiazion mssa non è fissato univocamnt dallo stato inizial dlla transizion in sam, di modo ch in usto caso non si può dfinir un ampizza carattristica univocamnt dtrminata. Tuttavia in usta dissrtazion ci siamo limitati sclusivamnt alla considrazion di sistmi non dgnri, ni uali si suppon ch il carattr dlla radiazion spontana sia smpr univocamnt fissato dallo stato dll atomo. Il nostro compito è ora di proporr un sprssion dlla toria di uanti analoga alla formula classica (18) pr l azion diffusiva dl sistma sottoposto a radiazion strna, inoltr in modo tal ch usta diffusion tnda asintoticamnt a coincidr con la diffusion classica nl limit di grandi numri 6 N. Bohr, Naturwissnschaftn, 12, 1115 (1924). 12
uantici. Mostrrmo ch s n può ottnr una siffatta, ch in modo analogo a com è stato fatto da Bohr pr l frunz, l drivat ch compaiono nlla (18) si intrprtano com diffrnz di du uantità, inoltr in modo tal, ch si ottngano formul smplici, nll uali intrvngono solo l frunz l ampizz carattristich dlla transizion, mntr tutti i simboli rlativi alla toria matmatica di sistmi priodici svaniscono. Comincrmo con ulla part dlla luc diffusa ch possid la stssa frunza dlla luc incidnt. Ciò corrispond nl caso 0 0 classico a ui trmini nlla (18) pr i uali = =0, =-, ch uindi danno luogo ad un momnto diffondnt - - ( ) ( ) 2 i t (t)=r (1/4) ( / J) + " / J( ). (25) l - -% L sprssion nll parntsi uadr si può scrivr vidntmnt nlla forma di una smplic drivata. Prndiamo inoltr ogni volta insim du trmini, pr i uali l uantità siano numricamnt uguali ma abbiano valori opposti, così la (25) assum la forma sgunt: - - ( ) ( ) 2 i t ( )=R (1/4) / J +, (26) l - + # dov il simbolo di sommatoria primato dv significar ch si dv sommar solo su ull combinazioni di pr l uali risulta positivo. Si ottin un sprssion scondo la toria di uanti pr il momnto diffondnt con la frunza attivo in un dato stato stazionario, ch nl limit di grandi numri uantici tnd a coincidr asintoticamnt con la (26), ch contmporanamnt si adatta all sprinza, s si scriv - - ( ) ( ) a a a a ( )=R (1/4h) + a a a u - + - - ( ) ( ) 2 i t - (1/4h) +, - + (27) dov la prima sommatoria va stsa su tutt l frunz pr l a uali il sistma prsnta assorbimnto slttivo, mntr la sconda sommatoria si stnd a tutt l frunz ch 13
intrvngono nll irraggiamnto spontano. L uantità d a sono l ampizz carattristich pr i procssi di assorbimnto di mission. La formula (27) si ottin dalla (26) uando si provi ad intrprtar l drivat ch compaiono in ogni trmin nlla (26) com la diffrnza di du uantità ch si rifriscono a du stati di moto, pr i uali i valori dll uantità J...J diffriscano di h... h. Non ha alcun snso considrar in particolar du stati stazionari, da un lato prchè in usto modo non si ottrrbb nssuna uantità ch corrisponda in modo natural alla razion dll atomo in un dato stato stazionario, dall altro prchè ai valori dll ampizz ngli stati stazionari non va annsso un particolar significato. Piuttosto è a un valor mdio simbolico di, stso all intrvallo tra du stati stazionari, ch si dv attribuir un significato, cioè, com sopra ossrvato, il significato di ampizza carattristica dlla transizion corrispondnt. Si giung così ad intrprtar l drivat ch compaiono nlla (26) com la diffrnza divisa pr h tra du uantità, ch si rifriscono a du transizioni carattrizzat da..., nll uali lo stato stazionario considrato costituisc lo stato final di una transizion lo stato inizial dll altra. La Fig. rv da illustrazion di usto procsso. Il sistma ha du gradi di librtà, gli stati di moto sono rapprsntati mdiant punti in un piano J, J, il piano dl 1 2 disgno dlla figura. Gli stati stazionari costituiscono un rticolo di punti, P sia lo stato stazionario, la cui razion vogliamo trovar, mntr Q R rapprsntano du stati stazionari, i valori di J di uali h h siano rispttivamnt più grandi 1 2 più piccoli di ulli di P. La drivata ch appar nlla (26) si intrprta allora com la diffrnza tra una uantità ch si rifrisc alla transizion a d una ch si rifrisc alla transizion. Pr il caso smplic, nl ual il vttor tutti i - vttori siano rali a mutuamnt parallli, cioè nl ual a la luc incidnt è polarizzata rttilinamnt, il vttor lttrico in tutt l radiazioni corrispondnti all transizioni a d è paralllo al vttor dlla luc, scrivrmo l sprssion (27) in un modo un po divrso. Introduciamo il tmpo di 14
smorzamnto di un lttron classico ch oscilla con la frunza : 3 2 2 2 =3c m/(8 ) (28) dfiniamo la "forza" di una transizion mdiant il numro dato da f=a dov a indica il cofficint di probabilità di Einstin ch compar nlla (24). Possiamo ora scrivr pr la (27): 2 f f a (t)= - cos2 t. (29) u 2 2 2 2 2 4 m a - - a Qusta formula, ch fa trasparir chiaramnt l analogia con 7 la formula classica, è stata data da Kramrs nlla sua prima nota sulla toria uantistica dlla disprsion, mntr in una sconda 8 nota è brvmnt dlinata la formula data ui. I trmini ch si rifriscono all righ di assorbimnto corrispondono alla formula data prcdntmnt da Ladnburg. Nl caso gnral, in cui i vttori d non siano rali non siano mutuamnt parallli, la dirzion di non coincid più con ulla di, la possibilità di una scrittura così smplic com la (29) non sist più in gnral. Quando la frunza dlla radiazion incidnt si approssima alla frunza di una riga di assorbimnto o alla frunza a di una riga di mission, il momnto crsc fortmnt, ma nll immdiata vicinanza di usta frunza la formula (27), uand anch pr il rsto potss ssr giusta, dv prdr vidntmnt la sua validità, così com la formula classica cssa di ssr valida uando si avvicina ad. Nl caso di una uasi coincidnza con una riga di assorbimnto troviamo tuttavia in ogni caso il risultato, ch luc dlla frunza di usta riga vrrà diffusa in modo strmamnt intnso. Una part dlla radiazion 7 Natur 113, 673 (1924). 8 Natur 114, 310 (1924). Vdi anch J.H. van Vlc, Phys. Rv. 24, 344 (1924). 15
di risonanza da vapori mtallici ossrvata da Wood da altri dv corrispondr sicuramnt a ust intns ond diffus cornti, dlla prsnza dll uali dl rsto bn tstimonia il fatto dll assorbimnto dll stss, com anch dlla riflssion mtallica ad alta prssion. In part la radiazion di risonanza drivrà tuttavia anch dagli stati ccitati, ni uali alcuni atomi sono portati dall irraggiamnto. Riguardo alla radiazion di risonanza non ci addntrrmo ultriormnt; si ricordrà ui soltanto di notar com la forma dll sprssion (27) sia adatta a rapprsntar con una formula il carattr dll righ di assorbimnto com punti singolari pr la diffusion. Quando d altra part si trova uasi a coincidr con una frunza di mission, l sprssion (27) sarà molto grand, ma a causa dlla prsnza di un mission spontana alla frunza a causa dlla nostra ignoranza di com si comporta la fas dlla luc diffusa nl caso di uasi risonanza, non possiamo concludr snz altro ch sarà rinforzata dall irraggiamnto di ond sfrich di frunza : crti argomnti, ni uali non vogliamo addntrarci ui, suggriscono sattamnt il contrario. Ch la radiazion diffusa rapprsntata dalla (27) sia cornt con la radiazion incidnt, lo si vd immdiatamnt dalla circostanza ch in ogni trmin compar sia l ampizza sia - l ampizza coniugata, il ch sopprim l indtrminazion nlla fas di stssa. Qusta cornza è la causa dlla disprsion, si trova facilmnt ch il raggio incidnt si divid in gnral in du componnti polarizzat, all uali corrispondono du indici di rifrazion divrsi. I trmini sotto il scondo sgno di sommatoria nlla (27) ovvro nlla (29) corrispondono ad una disprsion ngativa, ch corrispond all"assorbimnto ngativo" di Einstin nll posizioni =, proprio com la disprsion consuta o positiva corrispond all consut righ di 9 assorbimnto nll posizioni =. a 9 Wntzl ha di rcnt crcato di dar in una intrssant dissrtazion (Zitschr. f. Phys. 29, 306 (1924)) una trattazion scondo la toria di uanti dlla disprsion, ch ha poco in comun con ulla ui trattata. Wntzl sostin un ipotsi, 16
4. La radiazion diffusa non cornt... scondo la ual la formula dlla disprsion dlla toria di uanti in gnral non può ssr rapprsntata nlla forma smplic di Hlmoltz-Kttlr, ma dv ssr considrata com una formula di disprsion classica distorta in un crto modo. Qusta possibilità mrita tutta l attnzion, prchè non si potrbb allora parlar di una drivazion rigorosa dlla formula dl momnto di dipolo indotto scondo la nostra trattazion fondata sul principio di corrispondnza. Tuttavia scondo noi non c è bas sprimntal sufficint pr mttr in dubbio la validità di una formula smplic dl tipo (27) o (29). Wntzl porta in particolar com smpio la disprsion nll lio, poichè in usto caso la frunza di assorbimnto "fficac" sta sul lato dll lunghzz d onda piccol risptto al limit dlla sri di assorbimnto (ssa è uasi dl 5% più grand dlla frunza limit). Una simil situazion non parla tuttavia in alcun modo a disfavor dlla formula classica, poichè alla disprsion non contribuiscono soltanto l righ di assorbimnto dll lio, ma anch l assorbimnto continuo, ch si stnd al di là dl limit dlla sri nlla dirzion dll ond cort. Un calcolo smplic, ch si fonda su considrazioni torich sulla grandzza dll assorbimnto continuo (vdi H.A. Kramrs, Phil. Mag. 46, 836 (1923)) o anch su un strapolazion al caso dll lio dll formul mpirich pr l assorbimnto di raggi Rontgn, mostra infatti ch utilizzando l formul classich l fftto di usto assorbimnto continuo sulla disprsion nlla rgion ottica è lo stsso di ullo di una riga di assorbimnto, la cui frunza sia circa 1,2 volt la frunza dl limit dlla sri, la cui "intnsità" può comportar parcchi unità, cioè può corrispondr ad un numro di parcchi lttroni di disprsion. Nl caso dll lio prtanto l sprinza non consnt di dcidr un rifiuto dlla formula di disprsion classica. (vdi anch K.F. Hrzfld K.L. Wolf, Ann. d. Phys. 76, 71 (1925)). 17