sercizi 3 Potenziale, energia potenziale, condensatori. na goccia sferica di acqua su cui e presente una carica di 3 pc ha, alla superficie, un potenziale di 5. a. ual e il raggio della goccia? b. Se due gocce identiche (stessa carica e stesso raggio) coalescono a formare un unica goccia, quale sara il potenziale della goccia formata? elazione fra carica e potenziale: C C Capacita di una sfera conduttrice di raggio : uindi: C C.54 mm Dopo coalescenza: olume olume Poiche' : olume r 3.6 uindi:.59 795.6 3. na carica elettrica di -9. nc e uniformemente distribuita su un anello di raggio pari a.48 m, che giace nel piano yz e ha centro nell origine. na carica puntiforme q di -5.93 pc e posizionata sull asse x nel punto x3.7 m. Calcolare il lavoro compiuto da un agente esterno per spostare la carica nell origine.
Il lavoro fatto dall agente esterno e uguale e opposto al lavoro fatto dal campo elettrostatico; essendo quest ultimo conservativo, il suo lavoro e uguale alla variazione di en. potenziale cambiata di segno: uindi: esterno campo L L ( finale inziale) q q Il potenziale sull asse si trova con il principio di sovrapposizione; assumendo uguale a il potenziale all infinito (ossia, costante arbitraria), il contributo di ogni elemento di anello (che e coulombiano) e dato da: d d + x Tutti gli elementi dell anello sono a uguale distanza dai punti sull asse, per cui: d d + x + x anello anello uindi: finale inziale ( finale inziale) q + x Lezterno q + x 83 pj 3. Calcolare l energia elettrostatica di una schiera -dimensionale infinita di cariche equispaziate, uguali in valore assoluto e alternate in segno a L en. potenziale dello ione posto a coordinata x e la somma di infiniti contributi, la cui espressione generica e :
j j ( ) ( ) q q r + + j j j j q + +... a 3 4 ja La quantita [ ] si chiama costante di Madelung del cristallo -dimensionale. Per calcolare la somma della serie (che e la serie armonica a segno alterno) si puo procedere come segue: si consideri lo sviluppo in serie di Taylor Prendiamo Allora: f( f + f ( x+ f ( x + f ( x +! 3! 3 ' '' '''... x x x f x ln + x f f '( f ' + x f '' x f '' ( + ( + 4 3 ( + ( + 6( + 6 ( + f ''' x f ''' f '''' x f '''' 6... 3 4 x x x ln( + x + +... 3 4 ln( + ) + +... 3 4 q ln a
4. Calcolare la capacita equivalente di 3 condensatori collegati come in figura C C C 3 La capacita equivalente di C e C, che sono in parallelo, e : C C+ C La capacita C3 e in serie alle, quindi: + C C C 3 3 CC3 C3 C + C C 3 ( + ) C C C 3 3 C + C + C3 5. Trovare la forza di attrazione fra le armature di un condensatore piano Le cariche sull armatura negativa sono sottoposte al campo generato da quelle dell armatura positiva. sso e dato da: + σ + ε uindi: σ+ F( ) σ A+ σ A ε σ A F( ) ε Sull armatura positiva si esercita una forza uguale e opposta.
6. n conduttore cilindrico di raggio.5 cm e altezza h m si trova all interno di uno strato conduttore cilindrico di raggi interno cm ed esterno 3 3 cm,di uguale altezza h. Il conduttore A ha una carica totale A 4-9 C ed il conduttore B carica totale B. Trovare: a) La differenza di potenziale fra i conduttori b) L en. elettrostatica immagazzinata nello spazio fra i conduttori c) La carica e sulla superficie esterna del conduttore B, sapendo che il lavoro necessario ad allontanare di un tratto δ -3 cm una carica q 3 - C posta a distanza d cm dall asse dei cilindri vale W 6-4 J d) La carica totale B sul conduttore B Carica indotta sulla sup. interna di B: Cap. cilindrica: πε h C ln A A C πε h ln n. immagazzinata nella capacita': A 7 J C Carica su sup. esterna di B: C. elettrico esterno: e e πε hr e r ( r ) ( r ) ln πε h r r d + δ d + ext r d d 8 e W. C 8 B e A.5 C e Lavoro della forza esterna che sposta q : qe d + δ qe δ δ W F dr q dr q dr ln, πε h d πε h d d πε hd qδ δ A
7. Fra le armature di un condensatore piano poste a una distanza d viene inserita una lastra metallica della stessa area e di spessore δ in posizione centrale. Come varia la capacita? S C ε d Dopo l'inserimento della lastra si ha l'equivalente di due capacita' uguali in serie Per ognuna: S S C ' ε ε d δ d δ d δ d δ ε S ε ε δ + Ctot Ctot C ' C ' S S d 8. In una sfera di raggio cm e distribuita uniformemente una carica totale -8 C. na particella puntiforme di carica q 3-9 C e massa m. g viene lanciata da una distanza L dal bordo della sfera, lungo un asse che passa per il centro della sfera. Calcolare il valore minimo della velocita iniziale della particella che garantisce l attraversamento di tutta la sfera. L
Cons. energia totale per la carica q: + cost C. elettrico generato da :, r > r, ρ 4 3 ρr, r < π 3ε 3 v : Corrisponde a al centro della sfera; da quel punto in poi min il c. elettrico spinge q fuori dalla sfera k mvmin W + W, lavoro del c. elettrico su q fuori e dentro la sfera q W ( + L) + L W r ρr ρr ( r) dr 3ε 6ε ρ ρ W 6ε 6ε q ρ mvmin + + L 6ε v min.6 ms k