x(t) = R 0 + R(t) dx(t) dt v(t) = = dr(t) dt Moto circolare uniforme Principi della dinamica

Il moto con velocità scalare costante si dice moto. La traiettoria è una circonferenza, caratterizzata dunque da un punto centrale e da un raggio, e giacente su un piano. Si tratta quindi di un moto bidimensionale. x(t) = R 0 + R(t) v(t) = dx(t) = dr(t) 1 / 28

Sistema di riferimento cartesiano Un sistema di riferimento conveniente per un moto consiste in un piano cartesiano con il centro circonferenza posto sull origine. In questo sistema possiamo calcolare le componenti lungo gli assi dei vettori posizione e velocità a partire dall angolo θ(t) e dal raggio R. x(t) = îx(t) + ĵy(t) x(t) = R cos θ(t) y(t) = R sin θ(t) v(t) = îvx(t) + ĵvy(t) v x(t) = dx(t) = R sin θ(t) dθ(t) v y(t) = dy(t) = R cos θ(t) dθ(t) 2 / 28

Velocità angolare 3 / 28 La grandezza fisica ω(t) = dθ(t) è chiamata velocità angolare. Esprime l incremento o decremento dell angolo θ per unità di tempo e viene misurata in rad/s. Nel caso di moto e quindi velocità scalare costante è facile vedere che in intervalli di tempo uguali t 1 = t 2 verranno spazzati angoli uguali θ 1 = θ 2, per cui la velocità angolare ω(t) = θ 1 t 1 = θ 2 t 2 = ω risulta costante. Il periodo di rivoluzione T è il tempo impiegato dal corpo per percorrere tutta la circonferenza e tornare al punto di partenza. È legato alla velocità angolare dalla relazione T = 2π ω. Il numero di rivoluzioni ν che vengono compiute nell unità di tempo τ = 1 s è la grandezza fisica chiamata frequenza del moto : detto n il numero di rivoluzioni n = τ T si ha che ν = n τ = 1 T. Ovvero: la frequenza si calcola facendo il reciproco del periodo, e l unità di misura è 1/s = s 1 = Hz (Hertz)

Integrazione delle equazioni del moto 4 / 28 Visto che la velocità angolare ω è costante, possiamo esprimere l angolo in funzione del tempo e di ω: θ( t) = dθ = ω = (t t 0)ω + θ 0. Otteniamo quindi subito le espressioni per le componenti posizione, velocità e accelerazione nel moto 1. x(t t 0) = R cos(θ(t t 0)) = R cos(ω (t t 0) + φ) y(t t 0) = R sin(ω (t t 0) + φ) v x(t t 0) = dx(t) = ωr sin(ω (t t 0) + φ) v y(t t 0) = dy(t) = ωr cos(ω (t t 0) + φ) a x(t t 0) = dvx(t) = ω 2 R cos(ω (t t 0) + φ) a y(t t 0) = dvy(t) = ω 2 R sin(ω (t t 0) + φ) 1 L angolo θ 0 iniziale si esprime di solito con la lettera greca φ. φ viene chiamata anche fase

Coordinate polari La descrizione vettoriale del moto beneficia dall introduzione del sistema di coordinate curvilineo bidimensionale detto sistema di coordinate polari. Nel sistema di coordinate polari è definita un origine e una semiretta per il quale l angolo è nullo. Una posizione è individuata da una coppia di coordinate: la distanza dall origine, detta raggio, e l angolo che la semiretta deve spazzare per raggiungere la posizione. L angolo è orientato in modo che una grandezza positiva corrisponde ad una rotazione antioraria. L angolo è definito a meno di multipli di 2π. A differenza del sistema di coordinate cartesiano, la differenza di posizione non è calcolabile facendo la differenza tra coordinate. 5 / 28

Coordinate polari R(t 1)(3, π/3) 6 / 28

Coordinate polari R(t 1)(3, π/3) R(t 2)(2, 2π/3) 7 / 28

Coordinate polari R(t 1)(3, π/3) R(t 2)(2, 2π/3) R(t 2 t 1) (1, π/3) 8 / 28

Versori curvilinei Un sistema di coordinate curvilineo gli assi cartesiani sono sempre unitari e sempre perpendicolari tra di loro, ma differiscono in funzione posizione: ogni punto ha la sua terna di assi, eventualmente diversa da quella di altri punti! Nel caso delle coordinate polari si hanno, in ogni punto, gli assi r(x, y) e θ(x, y): il primo (versore radiale) ha direzione e verso del vettore posizione x(x, y), il secondo (versore tangente) è perpendicolare al primo in modo ordinato. Visto che gli assi r e θ sono in generale diversi per ogni punto vengono disegnati di solito in corrispondenza del punto in questione. La posizione di un punto si esprime in termini di questi versori come come R = r r 11 / 28

Derivata di vettori R(t 2 t 1) = R(t 2) R(t 1) dr = dr(t) r(t) dr d r circ = r = dr d r r + r 12 / 28

Derivata di versori d r dr = θ θ t = θω(t) = v(t) = dr r + r(t)ω(t) θ v circ = rω(t) θ v circunif = rω θ d θ = rω(t) dv unif = a = rω d θ = rω2 r a circcentr = rω 2 (t) r 15 / 28

velocità e accelerazione nel moto () v circ = rω(t) θ v circ unif = rω θ a circ unif = rω 2 r a circ centr = rω 2 (t) r a circ unif = rω 2 = v 2 r a circ centr = rω 2 (t) = v(t) 2 r 19 / 28

Primo o Un corpo non sottoposto a forze permane nello stato di moto rettilineo Ovviamente falso: occorre tenere presente anche il caso in cui il corpo sia fermo - almeno nel nostro sistema di riferimento. Quindi: Un corpo non sottoposto a forze permane nello stato di moto rettilineo se in moto, e nello stato di quiete se in quiete Non sottoposto a forze non è possibile: ammettendo di sapere cosa sia la risultante delle forze, il primo principio deve essere riformulato così: Un corpo sottoposto a forze la cui risultante sia nulla permane nello stato di quiete se in quiete, e nello stato di moto rettilineo se in moto Banalmente falsificato su una giostra: occorre quindi riformularlo così: In un sistema inerziale (ammettendo di sapere cosa sia) un corpo sottoposto a forze la cui risultante sia nulla permane nello stato di quiete se in quiete, e nello stato di moto rettilineo se in moto 22 / 28

Secondo o Molto più facile, ma introduce una nuova grandezza fisica: la massa. L accelerazione di un corpo è proporzionale attraverso una grandezza fisica chiamata massa alla forza che agisce sul corpo Ovvero: se un corpo accelera, su di esso agisce una forza; e sullo stesso corpo la forza è tanto più intensa, quanto più intensa è l accelerazione del corpo stesso. Poiché la massa non dipende dalla direzione o verso dell accelerazione abbiamo che la forza F agente su un corpo quando il corpo è accelerato è a sua volta un vettore: possiede direzione, verso e intensità. L equazione che esprime matematicamente il secondo principio è: F = ma F i = m a i(i = x, y, z) 23 / 28

Secondo o Il secondo principio vale anche nei sistemi non inerziali, ammettendo di sapere cosa siano. Le forze che inducono un accelerazione in un corpo possono essere forze reali o apparenti. L unità di misura massa è il kg, unità di misura fondamentale. L unità di misura forza è il Newton, N, unità di misura derivata: N = kgm/s 2 Varie forze che agiscono sullo stesso corpo si sommano vettorialmente, e la somma delle forze è chiamata la risultante delle forze. Il secondo principio si riformula così: L accelerazione di un corpo è proporzionale attraverso una grandezza fisica chiamata massa alla risultante delle forze che agiscono sul corpo. In formule: F = ma 24 / 28

Terzo o Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. Azione è la parola che Newton usava per indicare una forza. Essendo presenti una azione e reazione occorre avere una interazione tra due corpi. Il terzo principio si riformula così: In una interazione tra due corpi alla forza che il primo esercita sul secondo corrisponde una forza di uguale intensità e direzione, ma verso opposto, applicata dal secondo sul primo In formule, detta F 12 la forza che il secondo corpo subisce per l interazione con il primo, e F 21 la forza che il primo corpo subisce per l interazione col secondo, abbiamo: F 12 = F 21 Il terzo principio si applica a coppie di corpi. Se abbiamo molti corpi il principio si applica individualmente a tutte le combinazioni: F ij = F ji, i j 25 / 28

Terzo o La distinzione tra forze vere e apparenti si fa in base al terzo principio: sono forze vere quelle a cui si applica il terzo principio. Sottoposto ad una forza apparente, come per esempio la forza centrifuga dentro un auto che affronta una curva, un corpo accelera; non esiste tuttavia un corpo che subisca la forza uguale e contraria a quella del corpo accelerato. Possiamo anche definire un sistema inerziale, come un sistema in cui appaiono solo forze reali. 26 / 28

Forza peso La forza peso è la forza dovuta all attrazione gravitazionale che la terra esercita su ogni massa posta in prossimità sua superficie. In prima approssimazione la forza peso è diretta lungo la verticale, verso il centro terra. La sua intensità standard alla superficie terrestre è proporzionale alla massa del corpo su cui agisce attraverso la costante g = 9.81 m/s 2. Dal secondo principio otteniamo per un corpo di massa m posto vicino alla superficie terrestre: F = mg ĵ = ma a y = g a x = 0 La forza peso applicata ad un corpo gli fornisce quindi una accelerazione costante diretta lungo la verticale: il corpo si trova in una situazione di moto mente accelerato. 27 / 28 Siamo in grado di predire la di ogni corpo posto vicino alla superficie terrestre.

Forza peso La forza peso dà un accelerazione costante e mente diretta verso il basso solo in prima approssimazione. 28 / 28 Un primo effetto correttivo è l altitudine. La forza peso è un caso particolare forza di gravitazione, la cui intensità che dipende dall inverso del quadrato distanza tra un corpo e il centro terra. Se ci troviamo sulla superficie terrestre ad una distanza r 1 = R T = 6.371 km dal centro terra, e successivamente ci spostiamo ad un altitudine r = 10 km, ci allontaniamo dal centro terra portandoci ad una distanza r 2 = r 1 + r. Tra l intensità delle corrispondenti forze peso F 1 e F 2 vale la relazione: F 1 = r 2 2 F 2 r1 2 r 2 2 r2 1 + 2r 1 r F 1 F 2 (1 + 2 r r 1 ) F 1 = F 2 (1 + 2 r r 1 ) F 2 F 1 (1 2 r r 1 ) Sostituendo i valori numerici vediamo che l effetto percentuale è di circa il