Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 6 Interazioni nucleone-nucleone
Interazioni nucleone-nucleone (cap. 4 del Krane) Finora abbiamo descritto delle proprietà dei nuclei, a partire da osservazioni empiriche, che ci hanno portato alla formula di Bethe-Weizsäcker: B.E. ( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z 2 3 + a3 Descrive parte della fenomenologia osservata interazione a breve range densità uniforme bilanciamento dei livelli tra neutroni e protoni energia di pairing dei nucleoni Non descrive spin ed altri numeri quantici A 1 3 ( N Z ) 2 + a 4 A l esistenza di strutture nelle energie di legame ± a 5 A 3 4 a 1 = 15.753 MeV a 2 = 17.804 MeV a 3 = 0.7103 MeV a 4 = 23.69 MeV a 5 = 33.6 MeV Ora vogliamo studiare direttamente l interazione nucleare. Il sistema da cui partire è l interazione tra due nucleoni. 2
Il deutone Il più semplice stato legato: N=1, Z=1 Indicato sia come 2 H o d m( 2 H) =2.014 101 778 120 ± 0.000 000 000 122 u Energia di legame ( ) = m( 2 H ) m( 1 H ) m n B.E. 2 H 2u +13.1357217MeV 1u 7.2889706 MeV 1u 8.0713171MeV = 2.224566MeV Stato molto debolmente legato: B A = 1.112283MeV Non esistono stati eccitati. ( ) c2 Dimensione charge radius R d = 2.1424 ± 0.0021fm Si noti che R p = 0.8775 ± 0.0051fm Spin-Parità: 1 + Momento magnetico µ d = 0.857438229 ± 0.000000007 µ N 3
Il deutone: funzione d onda Assumiamo il classico potenziale della buca sferica: V ( r ) = V 0 r < R 0 r > R e la separazione di variabili!2 d 2 u 2m dr + V(r) + h2 l(l +1) 2 2mr 2 Lo stato di energia minima ha l=0, Y 0,0 (θ,ϕ) = 1 4π Per E<0 le soluzioni hanno la forma: u( r ) = Massa ridotta con le condizioni: continuità a r=0: limitatezza per r : E u = 0 ψ ( r ) = u(r) r Y l,m(θ,ϕ) Asink 1 r + Bcosk 1 r k 1 = 2m(E + V 0 ) /! r < R Ce k 2r + De k 2r u 0 lim r u r k 2 = 2mE /! r > R ( ) = 0 B = 0 ( ) = 0 D = 0 4
Il deutone: funzione d onda Le condizioni di continuità al bordo della buca: Asin k 1 R = Ce k 2R Ak 1 cosk 1 R = Ck 2 e k 2R Si traducono nell equazione per gli autovalori: k 1 cot k 1 R = k 2 Per R=2.1 fm, E=-2.22 MeV si può determinare la profondità V 0 della barriera di potenziale: V 0 35 MeV La probabilità di trovare un nucleone fuori dalla barriera decresce esponenzialmente con una scala di lunghezze: 1 2k 2 =! 2 2mE = 200 MeV fm 2 938 MeV 2.2 MeV = 2.2 fm 5
Il deutone: spin e parità J P =1 + Gli spin dei due nucleoni possono accoppiarsi per dare uno spin totale S=0 o S=1. Il momento angolare totale J=1 si può ottenere dalle seguenti combinazioni: stati s: S=1, L=0 stati p: S=0, L=1 o S=1, L=1 stati d: S=1, L=2 La parità è P(d)=η n =η p (-1) L 6 Con la convenzione usuale degli autovalori di parità η n =η p =+1 Solo gli stati L=0 o 2 sono permessi S=1 Non esiste uno stato legato 0+ possiamo dedurre che il potenziale deve dipendere fortemente dallo spin. molto diverso dal caso del positronio, dove gli stati L=0,S=0 e L=0,S=1 differivano di 8 10-4 ev. Possiamo introdurre termini proporzionali S 2 o s 1 s 2 rispettano T e P S 2 = (s 1 + s 2 ) 2 = s 1 2 + s 2 2 + 2s 1 s 2 s 1 s 2 = 1 2 S2 s 2 2 ( 1 s 2 ) = 1 ( 2 S(S +1) s 1 (s 1 +1) s 2 (s 2 +1) )! 2
Il deutone: potenziali di tripletto e singoletto Dalla relazione: s 1 s 2 = 1 ( 2 S(S +1) s 1 (s 1 +1) s 2 (s 2 +1) )! 2 Per S=1 Per S=0 s 1 s 2 = 1 ( 2 1(1+1) 1 2 (1 2 +1) 1 2 (1 2 +1) )! 2 = 1 4!2 s 1 s 2 = 1 ( 2 0(0 +1) 1 2 (1 2 +1) 1 2 (1 2 +1) )! 2 = 3 4!2 Possiamo definire il potenziale separatamente per gli stati di tripletto e singoletto: V(r) = s 1 s 2 1 V! 2 4 1 (r) + s 1 s 2 + 3! 2 4 V 3 (r) = 3 4 V 3(r) 1 4 V 1(r) + s 1 s 2! 2 V 1 (r) + V 3 (r) Si noti che nello stato con L=0 le coppie nn e pp non possono essere nello stato S=1: per fermioni identici la funzione d onda totale deve essere anti-simmetrica simmetria spaziale: (-1) l simmetria della componente di spin: (-1) S+1 Non esiste uno stato legato nn o pp ( ) 7
Il deutone: momento magnetico Il momento magnetico del sistema di spin S=1 è dato dalla relazione: Per calcolare il coefficiente giromagnetico, possiamo proiettare s p ed s n sul vettore dello spin totale: S 2 g s! = g s p S s 2 p + g n S s 2! 2 n! 2 = g p + s p s n s 2 p + g n + s p s n g p = +5.5857! 2 n! 2 g n = 3.8261 3 Sostituendo i valori: g s 2 = g p 4 + 1 3 + g 4 n 4 + 1 g 4 s = g p + g n 2 g s = +0.8798 Il momento magnetico risultante: è vicino, ma non uguale a: µ s = g s µ N S! = g pµ N s p! + g nµ N s n! µ s = g s µ N = 0.8798µ N µ d = g d µ N = 0.8574µ N Per giustificare il valore osservato bisogna assumere ci sia una componente di momento magnetico dovuto al momento angolare orbitale: Il deutone deve essere in uno stato misto L=0 + L=2 Il potenziale di interazione non può essere un potenziale puramente centrale 8
Il deutone: momento magnetico Una distribuzione di cariche in moto, produce un momento magnetico: Nel caso del deutone, q=e, m=2m N e µ l = e! 4m N L! = 1 2 µ N L! µ l = q 2m L Ripetendo lo stesso ragionamento, ma stavolta per la combinazione di L ed S: µ d = g d µ N J! = 1 2 µ N L! + g S sµ N! J = L + S ( ) = 1 2 L S = 1 2 J2 L 2 S 2 La proiezione lungo J dà quindi la relazione: J 2 g d! = 1 L (L + S) S (L + S) + g 2 2! 2 s g d = 1 L S + L 2 L S + S 2 + g! 2 2 J 2 s J 2 ( j( j +1) l(l +1) s(s +1) )! 2 Per uno stato con J=1, S=1, L=2 si ottiene: g d = 3 4 g s 1 2 = 0.3101 9
Il deutone: momento magnetico Se il mio stato è una sovrapposizione degli stati con 3 s 1 con L=0 e 3 d 1 con L=2: ψ d = a s 3 s 1 + a d 3 d 1 a s 2 + a d 2 = 1 Il valore di aspettazione del momento magnetico diventa: g d µ N = a 2 2 3 s g s µ N + a d 4 g s 2 µ N 0.8574 = a 2 s 0.8798 + a 2 d 0.3101 a s 2 = 0.96, a d 2 = 0.04 La presenza di una componente d permette anche di giustificare il valore piccolo, ma non nullo del momento di quadrupolo elettrico: Q = 0.00288 b 10
Potenziale tensoriale La presenza di una mistura di stati s e d indica che il potenziale non può essere puramente centrale. deve comunque essere invariante per rotazioni, dato che il momento angolare totale viene conservato spezza il disaccoppiamento tra funzione d onda di spin e ed il momento angolare orbitale che si ha con un potenziale centrale. V(r) = s 1 s 2! 2 1 4 V 1 (r) + s 1 s 2 ( )( s 2 r )! 2 + 3 V 4 3 (r) + V T (r)s 1,2 ( ) S 1,2 = 3 s 1 r s r 2 1 s 2 11
Interazioni nucleone-nucleone: bassa energia Ulteriori informazioni sulle interazioni forti vengono dalla misura dello scattering nucleone-nucleone. A basse energie contribuiscono solo collisioni con momento angolare orbitale L=0. la sezione d urto è approssimativamente indipendente dall angolo solido. dσ a2 = dω 1 + (k / α )2 k= 2µ N E /! la lunghezza di scattering a dipende dallo stato di tripletto o singoletto dello spin. Una volta corretta per le interazioni coulombiane: app = -17.1±0.2 fm ann = -16.6±0.5 fm Le interazioni forti sono indipendenti dalla carica 12
Interazione Spin-Orbita Come risultato dello scattering si osserva una polarizzazione dei nucleoni uscenti: dσ N (θ ) N (θ ) P(θ ) = = dω N (θ ) + N (θ ) Si può descrivere tramite un potenziale del tipo: VSO (r) s (r p) s L = V (r) SO!2!2 Interazione spin-orbita Supponiamo che: VSO(r) sia attrattivo nucleoni 1 e 2 abbiano spin uscente dalla pagina: per nucleone 1, s L<0: la forza diventa repulsiva per nucleone 2, s L>0: la forza rimane attrattiva Entrambi i nucleoni saranno deviati verso l alto Al contrario nucleoni con spin entrante nella pagina verranno deviati verso il basso 13
Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio All aumentare dell energia ci si aspetterebbe che l effetto del potenziale nucleone-nucleone diminuisca sempre di più. Forza F=-dV/dr ~V0/R p -Δp p+δp Δp R -p -p-δp Per un tempo Δt~R/v L ordine di grandezza della deflessione θ= V0 Δp FΔt (V / R)(R / υ ) V0 = = = 0 = 2 ( 12 mυ 2 ) p p p pυ a 500 MeV ci aspettiammo θ~0.035 rad=2 Invece nello scattering p-n si nota un grosso picco di diffusione all indietro Interazione di scambio: 14 interazione mediata da una particella carica scambia la natura delle particelle uscenti, ma sempre a basso momento trasferito p+δp p -Δp -p-δp Δp -p
Scattering nucleone-nucleone: forza di scambio La particella in questione non può venire prodotta realmente: violerebbe conservazione di energia e momento Tuttavia è permessa dal principio di indeterminazione: ΔEΔt>ħ ci dice che per processi di durata Δt non possiamo verificare la conservazione dell energia a meno di ΔE>ħ/Δt Per scambiare interazioni nucleari il mediatore ha bisogno di coprire almeno una distanza r 0 corrispondente a Δt~r 0 /c Quindi è possibile avere masse: m X c 2 <ħ/δt=ħc/r 0 ~200 MeV Una forma usata del potenziale di interazione: Costante di accoppiamento ( ) 3 ( ) 2 s! 2 1 s 2 + S 1,2 1+ 3R r + 3R2 r 2 V(r) = g π 2 m X c 2 3 m N c 2 e r/r r / R Breve range delle forze ( S 1,2 = 3 s 1 r )( s 2 r ) r 2 ( s 1 s 2 ) R =! m X c 15