IL MODELLO ESPONENZIALE La crescita esponenziale è caratterizzata dal fatto che,a ogni istante, l accrescimento direttamente proporzionale al valore istantaneo della variabile è ovvero Suddivisa la durata del fenomeno in intervalli uguali,in ciascun intervallo di tempo l incremento della variabile Y è direttamente proporzionale al valore assunto all inizio dell intervallo Se l accrescimento avviene a intervalli fissi,t, la funzione assume la forma dove è il valore iniziale è il tasso di crescita è il numero di intervalli pari a T, che sono trascorsi dall inizio del fenomeno Costruiamo il seguente algoritmo iterativo:. Se vogliamo esprimere la variabile Y in funzione della variabile continua t (tempo), espressa nella stessa uunità di misura di T, dovremo porre La base della funzione esponenziale è quindi il binomio (1+i) L esponente è la frazione T è il tempo dopo il quale Y ha assunto un valore pari a Y 0 (1+i) ESEMPIO 1 Si dispone del capitale di 25 e lo si deposita per otto mesi presso una banca che pratica un tasso d interesse annuo del 3%. Di quanto si disporrà alla fine dell operazione? Cominciamo a costruire il modello discreto
dove n è il numero di anni trascorsi I valori della successione possono essere interpolati con una variabile continua t, che è il tempo misurato in anni Poiché 8 mesi sono di anno, il valore richiesto è Se il tempo è misurato in mesi, dobbiamo porre ottenendo lo stesso risultato La scelta della base La funzione che rappresenta il fenomeno dipende dunque dalla scelta di i e T. Se, per esempio, Se Esempio 2 Una popolazione di batteri raddoppia di numero ogni ora. Dopo quanto tempo sarà triplicata?
Indicando con (t) il numero di batteri al tempo e con il numero iniziale, e supponendo che la crescita avvenga in modo continuo, imponiamo Questo significa che il fenomeno può essere rappresentato anche dalla funzione Le due espressioni sono pertanto equivalenti, come si può verificare utilizzando le proprietà dei logaritmi = = La figura seguente mostra come, con l ausilio del software Geogebra, si possono esprimere i valori della stessa funzione come potenze di 2 o come potenze di 3, a seconda che i valori siano calcolati a intervalli pari al tempo di raddoppio o al tempo di triplicazione,
E lecito chiedersi allora se esiste un numero privilegiato da assumere come base per ogni modello esponenziale e un intervallo di tempo che caratterizzi il fenomeno. Con riferimento all Esempio2, poiché la crescita della popolazione avviene nel tempo in modo continuo, possiamo pensare a una costante che esprima la variazione percentuale del numero dei batteri, istante per istante. La proprietà degli incrementi in una crescita esponenziale può essere espressa anche come proporzionalità tra il rapporto incrementale e il valore della funzione. Il numero è il tasso di variazione relativo (medio) e dipende dalla scelta dell intervallo. Al tendere a 0 di il rapporto incrementale assume un valore limite che è la velocità di crescita istantanea. Il rapporto tra la velocità di crescita e il valore della funzione, cioè tra è il tasso di variazione relativo istantaneo e caratterizza il fenomeno considerato. Interpretazione geometrica La sottotangente La velocità di crescita in un punto P del grafico corrisponde alla pendenza della retta tangente in P (x;f(x)) ed è uguale al rapporto, come si può osservare nella figura seguenteil segmento AB rappresentato in figura è la sottotangente che, nel caso della funzione esponenziale è indipendente da P, come si può dimostrare e, comunque, osservare nella tabella del foglio di calcolo Il rapporto = è uguale al reciproco della misura del segmento AB e, pertanto, non dipende dal valore di x
Indipendenza della sottotangente alla funzione esponenziale dal punto di tangenza e del valore del tasso di variazione istantanea La dimostrazione può essere effettuata in tre modi diversi: A) Calcolare il valore della sottotangente utilizzando l equazione della tangente nel punto di coordinate, il cui coefficiente angolare è uguale Il segmento AB avrà per estremi Pertanto B) Calcolare il valore di utilizzando la derivata della funzione esponenziale C) Calcolare il limite Il tasso di variazione istantaneo è uguale a La lunghezza della sottotangente è uguale a = In particolare il tasso di variazione relativo istantaneo è uguale a 1 per la funzione dove è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali Poiché è sempre possibile effettuare un cambiamento di base tutti i fenomeni di crescita esponenziale a tasso continuo possono essere rappresentati in base, purchè all esponente compaia il termine dove è il tasso di variazione istantaneo I fenomeni di crescita sono caratterizzati da un tasso di variazione positivo, quelli di decrescita sono caratterizzati da un tasso di variazione negativo
Se la variabile x rappresenta il tempo, la costante λ deve avere le dimensioni dell inverso di un tempo, affinché l esponente λt risulti adimensionale. Il suo reciproco ha invece le dimensioni di un tempo e prende il nome di <<costante di tempo>> o << tempo caratteristico>>. Geometricamente è il valore della sottotangente La legge che descrive il generico modello di crescita o decadimento esponenziale è pertanto la seguente dove i è il tasso di variazione (relativo) medio in un intervallo di tempo T dove è la costante di tempo Tornando all esempio dei batteri : qual è il tempo caratteristico? Prima espressione di N(t) Seconda espressione di N(t) N= = = = Esempio 3 Una barca in un lago, si muove a velocità costante. In un certo istante si spengono i motori e la barca continua rallentando, soggetta alla forza di attrito con l acqua. La decelerazione è proporzionale alla velocità Dove k è un numero reale positivo Come varia la velocità in funzione del tempo? In quanto tempo si ferma la barca?
Poiché l accelerazione è la derivata della velocità, indicata quest ultima con assegnata può essere scritta nella forma, la relazione Il numero k, essendo un rapporto trai moduli dell accelerazione e della velocità, ha le dimensioni di ed è il tasso di variazione relativo istantaneo Prendendo come istante iniziale quello in cui la barca comincia a rallentare e indicando con la velocità iniziale, sarà Nella figura seguente è messo a confronto l andamento della velocità nei seguenti casi a) (costante di tempo) b) Nel caso b) la sottotangente è più corta e la decrescita è molto più rapida Teoricamente la velocità non sarà mai nulla, in realtà la barca si ferma dopo circa 5 costanti di tempo
Esempio 4 Le due funzioni rappresentate in figura descrivono il decadimento di un campione 235 U e di un campione di 40 K. ( si suppone che nell istante t=0 N= No per entrambi i campioni) Le due rette sono le rispettive tangenti nel punto di ascissa 0. Sapendo che il tempo dimezzamento (in anni) è 7 anni per 235 U 1 anni per 40 K spiega come puoi individuare il grafico che corrisponde al campione di 40 K. Scrivi anche un espressione analitica della funzione corrispondente Il grafico che corrisponde al decadimento del potassio è la curva in rosso, la cui pendenza è in ogni punto meno ripida dell altra. Infatti, il potassio decade più lentamente dell uranio, essendo più lungo il suo tempo di dimezzamento e anche la sua costante di tempo (ovvero la sottotangente ha lunghezza maggiore). Potassio 40 K : =1 anni Esempio 5 La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore carico è, quindi la sua carica è Q o = C, essendo C il valore della capacità. Se si lascia scaricare il condensatore dopo averlo collegato a una resistenza, il cui valore è R, qual è la funzione Q(t) che descrive l andamento della carica in funzione del tempo, durante il processo di scarica? La relazione tra corrente e differenza di potenziale fornisce le informazioni sulla funzione Q(t) = Essendo sappiamo, quindi, che La costante di tempo è data dalla quantità RC che ha le dimensioni di un tempo e dipende quindi dalle caratteristiche fisiche del circuito.