Compito di matematica Classe III ASA 8 maggio 015 1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni esponenziali: 4 x x 1 = 16 x + x 1 x+ = 5 x x+ x 1 + 4 = 0 (4 x 1) 49 ( ) x 1 x + 10 x 81 x 1 x 4 + 1 x + 4 16 4 x 16 x + x 1 9 5 x+1 1 81 4 x x 1 = 16 x x 1 = 4 = 4 1x + x = 8 x = 11 15 x + x 1 x+ = 5 x + x x 4 = 5 x x ( 5 ) = 5 x = x = 1 x x+ x 1 + 4 = 0 x 8 x x + 4 = 0 Ponendo t = x l equazione diventa: da cui infine (1 + 1 ) 4 = 5 t 8t t + 4 = 0 t 17t + 8 = 0 t = 1 t = 8 x = 1 x = 1 x = 8 x = (4 x 1) 49 4 x 1 7 4 x 1 7 Dalla prima disequazione si ottiene 4 x 6 che non ha evidentemente soluzioni; dalla seconda si ottiene 4 x 8 x x x x + ( ) x 1 10 Ponendo t = x, la disequazione diventa: t + 1 t 10 t 10t + 0 1 1 x + 1 x 10 t da cui 1 x 1
[Si noti che è possibile eliminare il denominatore senza studiarne il segno in quanto strettamente positivo] x 81 x x+4 x x + 4 x x x 1 1 x 4 + 1 x + 4 16 4 x 16 x +4 + x 4 16 4 x 16 0 x 8 4 x 16 0 N 0 x 8 x D > 0 4 x > 16 x > da cui si ricava infine che la frazione è minore o uguale a 0 per < x. 9 5 x+1 1 9 5 x+1 9 5 x + 1 81 x + 1 7 7 x + 1 7 8 x 6. Date le funzioni f(x) = a x + b e g(x) = x + : a) determinare a e b in modo che il grafico della funzione f intersechi il grafico della funzione g nei suoi punti di ascissa 0 e 1 b) in corrispondenza dei valori di a e b trovati, risolvere graficamente la disequazione f(x) g(x) c) determinare se esistono valori di x per cui si abbia f[g(x)] = g[f(x)]. a) Poiché g(0) = 0 + = e g(1) = 1 + =, per la condizione richiesta dovrà risultare f(0) = g(0) = e f(1) = g(1) =, ovvero: a 0 + b = a + b = a = 1 a 1 + b = a + b = b = 1 b) In corrispondenza dei valori trovati, il grafico della funzione f(x) si ottiene traslando di un unità verso l alto il grafico della funzione y = x. Il risultato che si ottiene è il seguente:
da cui si vede immediatamente che la disequazione proposta è verificata per x 0 x 1. c) Occorre innanzitutto ricavare l espressione di f[g(x)] e di g[f(x)]. Si ha: f[g(x)] = x+ + 1 g[f(x)] = x + e pertanto l equazione proposta equivale a: x+ + 1 = x + 4 x = x + x = che ha evidentemente una ed una sola soluzione, data (come si vedrà prossimamente), dal valore x = log.. Determinare per quali valori di k la funzione f(x) = (9 k ) (k k 6)x è definita x R ed è strettamente crescente. Riscrivendo l equazione nella forma f(x) = [ ] x (9 k ) k k 6 si ricava immediatamente che l andamento di f(x) risulterà strettamente crescente se e solo se l espressione compresa tra le parentesi quadre risulta strettamente maggiore di 1, e ciò a sua volta equivale alle due condizioni: 9 k > 1 0 < 9 k < 1 k k 6 > 0 k k 6 < 0 Risolvendo il primo sistema si ottiene: k < 8 k < k > < k < k < k > < k < Risolvendo il secondo sistema si ottiene: 8 < k < 9 < k < < k < < k < < k < < k < Infine la soluzione cercata è quindi data da < k < < k <. 4. Risolvere graficamente la seguente disequazione: 16 + 6x x > x + x (si consiglia di indicare con x 1, x,... gli eventuali valori di x significativi per determinare la soluzione; è lasciato come facoltativo ricavare l espressione esatta di tali valori, in quanto
per alcuni di essi i calcoli possono risultare non particolarmente agevoli, pur non richiedendo strumenti o conoscenze al di là dell ordinario) L equazione y = 16 + 6x x rappresenta una semicirconferenza di centro P (; 0) e raggio 5, posta nel semipiano delle ordinate positive. A questo risultato si può giungere con facilità in vari modi, ad esempio riscrivendo l equazione nella forma y = (x 8)(x + ) ed osservando che la semicirconferenza si estende da x = a x = 8, oppure elevando al quadrato, spostando tutti i termini al primo membro e operando con il consueto metodo del completamento del quadrato per ottenere l equazione della circonferenza completa x + y 6x = 16 (x ) + y = 5 L equazione y = x + rappresenta un iperbole equilatera (funzione omografica) con centro x Q(; 1) ed asintoti x = e y = 1, che attraversa l asse delle ascisse nel punto A( ; 0). La successiva operazione di modulo determina un ribaltamento rispetto all asse x della parte ad esso sottostante. La figura seguente evidenzia che i due grafici hanno in comune il punto A( ; 0) e si intersecano inoltre in tre punti distinti B, C e D con 0 < x B < e < x C < x D < 8. Ponendo, come suggerito dal testo, x 1 = x B, x = x C e x = x D, la disequazione risulta verificata negli intervalli < x < x 1 x < x < x. Volendo determinare esattamente i valori di x 1, x e x si può procedere nel modo seguente (in cui, per semplicità, ci si riferisce all equazione di cui x 1, x e x rappresentano le radici incognite). Innanzitutto si osserva dal grafico che sembra essere x = x C = : sostituendo tale valore nell equazione si verifica che effettivamente ne è una radice. Elevando al quadrato i due membri ed eliminando il denominatore, si ottiene l equazione (x 8)(x + )(x ) = (x + ) Si noti che è possibile operare con una certa disinvoltura, tralasciando cioè le condizioni di esistenza del denominatore e del radicando, in quanto la soluzione grafica della disequazione ha già fornito tutti i dettagli sull esistenza e la localizzazione delle quattro soluzioni reali. Nell equazione così ottenuta si può innanzitutto semplificare il fattore x + (che fornirebbe 4
la soluzione x = già nota dall inizio in quanto corrispondente al punto A. Svolgendo i calcoli e riordinando, si ottiene: (8 x)(x 4x + 4) = x + x 1x + 7x 0 = 0 Dal momento che, per quanto osservato in precedenza, anche x = è radice di questa equazione, si può operare un ulteriore fattorizzazione del polinomio (ad esempio mediante la regola di Ruffini) ottenendo infine (x )(x 9x + 10) = 0 x 1, = 9 ± 41 5. Sull altezza AH di un triangolo equilatero ABC di lato si determini un punto P in modo che sia k la somma dei quadrati delle distanze di P dai tre lati del triangolo. Individuare poi la posizione di P che rende minima tale somma. Dalle proprietà geometriche elementari del triangolo equilatero si ricava immediatamente BH = HC = 1 e AH =. Ponendo poi AP = x (con 0 x ), si ha: e pertanto la relazione richiesta equivale a P H = x P K = P L = x ( ( x ) x) + = k x x + = k L interpretazione analitica del problema conduce al sistema y = x x + y = k 0 x ; k 0 5
La prima equazione rappresenta una parabola ( con la concavità rivolta verso l alto, asse di simmetria x = ) e vertice nel punto V ; 1. La seconda equazione rappresenta un fascio (improprio) di rette parallele all asse delle ascisse. Il grafico evidenzia le seguenti situazioni limite: 1) retta r 1 passante per P 1 (0; ): k = [in questo caso si ha x = 0 da cui P A e quindi P H = e P K = P L = 0] ( ) ; ) retta r passante perp : k = [in questo caso si ha x = da cui P H e quindi P H = 0 e P K = P L = ] ) retta r tangente alla parabola nel suo vertice: k = 1 [in questo caso si ha x = da cui P H = P K = P L = ] In conclusione il problema ammette: soluzioni coincidenti per k = 1 soluzioni distinte per 1 < k 1 soluzione per < k 0 soluzioni per k < 1 k > Come si è visto, la somma è minima (e vale 1) quando x = ; in tale situazione si ha P H = P K = P L = ovvero il punto P è equidistante dai tre lati e coincide pertanto con l incentro del triangolo (che è anche baricentro, ortocentro e circocentro trattandosi di un triangolo equilatero). Postilla... olimpica Dato un triangolo qualsiasi, esiste un punto interno al triangolo per il quale risulti minima la somma dei quadrati delle distanze dai tre lati? La risposta è affermativa: si tratta del cosiddetto punto di Lemoine, ovvero il punto d incontro delle tre simmediane del triangolo (rette simmetriche alle mediane rispetto alle bisettrici uscenti dallo stesso vertice). 6