Statistica Corso Base Serale Dott.ssa Cristina Mollica cristina.mollica@uniroma1.it Campionamento Esercizio 1. Da una ricerca si è osservato che il peso del prodotto A varia tra i e i 530 grammi. 1 Ipotizzando che la distribuzione del peso sia uniforme, calcolare f x, EX e SDX. 2 Inoltre, dato che il peso minimo richiesto è 0 grammi, si vuole sapere quanti prodotti soddisfano tale requisito minimo. Dal vincolo unitario sull integrale di una generica funzione di densità si ricava pertanto c dx = 1 c 1 dx = 1 c [x] 530 = 1 c = 1 1/ x 530 f X x = 0 altrimenti. Per la media e la varianza si ha rispettivamente: EX = EX 2 = dunque x 1 dx = 1 x 2 1 dx = 1 x dx = 1 [x2 ] 530 2 x 2 dx = 1 [x3 ] 530 3 = 5302 2 100 = 5303 3 1 SDX = 5233.3 5 2 = 208.3 = 1.3. Dal momento che x 1 F X x = du = 1 x 1 du = 1 [u]x = x, la funzione di ripartizione è data da 0 x < F X x = x x < 530 1 x 530, pertanto = 5, = 5233.3, PX > 0 = 1 F X 0 = 1 0 / = 1 20/ = 1 0. = 0.6. Esercizio 2. La distribuzione dell incasso settimanale di due supermercati è di tipo normale, con media 1000 migliaia di euro e scarto quadratico medio 1 per il primo e media 800 e scarto quadratico medio 100 per il secondo. Sapendo che 1
2 non intercorre nessun legame tra i due incassi, calcolare la probabilità che in una settimana l incasso totale dei due supermercati sia superiore a 2000 euro. Definiamo X 1 = {incasso settimanale del primo supermercato} e X 2 = {incasso settimanale del secondo supermercato}. L incasso totale Y = X 1 + X 2 si distribuisce secondo una Normale con media pari a µ = 1000 + 800 = 1800 e varianza pari a σ 2 = 1 2 + 100 2 = 320. La probabilità cercata è pari a 2000 1800 PY > 2000 = 1 PY 2000 = 1 PZ = 1 Φ1.11 = 1 0.8665 = 0.1335. 180.28 Esercizio 3. Calcolare la covarianza per la seguente coppia di caratteri: Y X 0 1 0 0.20 0.30 1 0.0 0.10 Le variabili X e Y sono chiaramente bernoulliane di parametri rispettivamente π X = 0.5 e π Y = 0., da cui segue che EX = 0.5 e EY = 0.. Il prodotto X Y costituisce anch esso una v.a. bernoulliana la cui probabilità di successo corrisponde a PXY = 1 = PX = 1, Y = 1 = 0.1, pertanto EXY = 0.1. La covarianza è dunque data da CovXY = 0.1 0.5 0. = 0.1 0.2 = 0.1. Esercizio. Su una popolazione di N = aziende si è rilevato il carattere X = {numero dei dipendenti}, ottenendo X = {3, 7, 10, 1}. 1 Calcolare i valori di µ e σ 2 per la popolazione. 2 Costruire lo spazio campionario corrispondente ai campioni casuali di dimensione n = 2 estratti con ripetizione. 3 Costruire la funzione di probabilità della v.c. media campionaria e calcolare il suo valore atteso e la sua varianza. Calcolare la probabilità che un campione casuale estratto dalla popolazione presenti media superiore a 3 e non superiore a 7. 1 Considerando che i valori {3, 7, 10, 1} costituiscono il supporto di X e sono equiprobabili, si ricava agevolmente µ = 3+7+10+1 = 8.5 e σ 2 = 3 2 +7 2 +10 2 +1 2 8.5 2 = 16.. 2 Data l estrazione con ripetizione e le quattro possibili modalità della v.a. X, lo spazio campionario in questione è composto dalle seguenti 16 coppie prima colonna con relative realizzazioni della media campionaria seconda colonna
x1, x2 x 3,3 3 3,7 5 3,10 6,5 3,1 8,5 7,3 5 7,7 7 7,10 8,5 7,1 10,5 10,3 6,5 10,7 8,5 10,10 10 10,1 12 1,3 8,5 1,7 10,5 1,10 12 1,1 1 3 I campioni sono equiprobabili e la probabilità di estrazione di ciascun campione è 1/16. Pertanto la distribuzione campionaria della v.c. media campionaria è pari a x P X = x 3 1/16 5 2/16 6,5 2/16 7 1/16 8,5 /16 10 1/16 10,5 2/16 12 2/16 1 1/16 la cui media e varianza risultano E X = 3 1 + + 1 1 = 8.5 = EX Var X = 1286 16 16 8.52 = 8.1 = VarX/n, come è ovvio per la v.a. media campionaria relativa a campioni casuali i.i.d. da popolazioni X con media e varianza finite. Facendo attenzione alla presenza o meno del simbolo = nelle disuguaglianze X infatti è discreta essendo la media di v.a. discrete!, si ha P3 < X 7 = P X = 5 + P X = 6.5 + P X = 7 = 2 + 2 + 1/1 = 5/16. 3 Esercizio 5. La distribuzione del peso corporeo in una popolazione è di tipo normale con media 70 Kg e deviazione standard 2 Kg. 1 Calcolare la probabilità che un campione di numerosità n = abbia una media compresa nell intervallo [70,72].
2 Calcolare la probabilità che un campione di numerosità n = 8 abbia una media compresa nell intervallo [70,72]. Dal testo sappiamo che X Nµ = 70, σ = 2. Ciò implica che X Nµ X = µ, σ X = σ 2 /n. Pertanto: 1 se n =, X Nµ X = 70, σ X = 1 e P70 X 72 = PZ 2 PZ 0 = Φ2 Φ0 = 0.9772 0.5 = 0.772; 2 se n = 8, X Nµ X = 70, σ X = 1/2 e P70 X 72 = PZ 2 2 PZ 0 = Φ2.83 Φ0 = 0.9997 0.5 = 0.997. Si può notare che la numerosità campionaria influisce solo sulla varianza della media campionaria. Esercizio 6. Il fatturato annuo X in migliaia di euro delle piccole imprese di una regione si distribuisce secondo una legge incognita con deviazione standard σ pari a. 1 Supponendo di estrarre un campione casuale di n = 0 imprese, sapendo che P X > 100 = 0.15, calcolare µ. 2 Cambia il risultato se n = 60? Dal testo si ha P X > 100 = 0.15 P X 100 = 0.85. Data l entità della numerosità campionaria n possiamo applicare il teorema del limite centrale il quale ci consente di impiegare la distribuzione normale come approssimazione della distribuzione campionaria esatta della v.c. X, che risulta incognita dal problema. Dunque 1 se n = 0 risolviamo P X 100 = 0.85 PZ 100 µ n = 0.85 100 µ n = φ 1 0.85 100 µ 0 = 1.0 µ = 95.89; 2 se n = 60 si ottone invece 100 µ 60 = 1.0 µ = 96.6.
5 Esercizio 7. Una compagnia aerea sa che mediamente il 5% delle persone che ha prenotato il volo non si presenta al check-in. Se la compagnia ha venduto 20 biglietti per un volo che ha solo 233 posti a sedere, qual è la probabilità che tutti i passeggeri che si presentano abbiano un posto a sedere? Sia X ={numero di persone che si presentano al check-in}, sappiamo che X Binn = 20, π = 0.95, da cui segue EX = n π = 20 0.95 = 228 e VX = n π1 π = 20 0.95 0.05 = 11.. La probabilità cercata è 20 PX 233 = 233 x=0 20 x 0.95 x 0.05 20 x = 1 20 x=23 x 0.95 x 0.05 20 x. Data la numerosità elevata del campione possiamo approssimare la probabilità suddetta sfruttando la tendenza della distribuzione binomiale alla normale NEX, VX, ovvero 233 228 PX 233 P Z = Φ1.8 = 0.9306. 11. Esercizio 8. Al fine di ottenere una certificazione di qualità, un azienda deve eseguire un test di produzione con una percentuale di prodotti non conformi non superiore al 12%. L azienda sa che la percentuale di prodotti non conformi è pari al 10%. Con quale probabilità l azienda otterrà la certificazione di qualità sapendo che il test consiste nella produzione di prodotti? e nel caso di 200 prodotti? Definendo la v.a. X ={non conformità del prodotto}, possiamo assumere come popolazione la distribuzione Bernπ = 0.10 per cui EX = π = 0.10 e VX = π1 π = 0.10 0.90 = 0.09. Sotto la popolazione bernoulliana, la v.a. media campionaria X riflette la proporzione di unità campionarie con un certo attributo, in questo caso la non conformità. Se ne deduce che ci interessa valutare P X 0.12 ma, dal momento che non conosciamo la distribuzione campionaria esatta di X ed n è sufficientemente elevato, siamo legittimati ad utilizzare il TLC e dunque l approssimazione normale. Si ha: 1 se n =, PX 0.12 = P Z 0.12 0.10 = Φ0.7 = 0.6868; 0.09 2 se n = 200, PX 0.12 = P Z 0.12 0.10 200 = Φ0.9 = 0.826. 0.09