RELAZIONE DI LABORATORIO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 2017/2018 Esperienza di laboratorio n 3 20/11/17 Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice GRUPPO N 10 Componenti del gruppo: Torchia Laura Mancuso Michele Cirincione Salvatore Pio Maida Federica Migliore Antonino
PARTE 1 Introduzione e obiettivo La prima parte dell esperienza di laboratorio consiste nell effettuazione di 20 misurazioni per ogni componente (in totale perciò 100 misurazioni) del tempo corrispondente a 10 oscillazioni di un sistema massa-molla. Attraverso l analisi dati si ricava così il periodo di oscillazione del sistema con la relativa indeterminazione. Strumentazione La strumentazione messa a disposizione era composta da: Cronometro digitale con risoluzione r=0.01s Molla con costante elastica incognita Gancio di massa M g =20g e un pesetto di massa M=50g considerati privi di errore Sostegno verticale al quale era appeso il sistema massa-molla Analisi dati e grafici Per ogni set di dati di ogni singolo componente viene realizzato un istogramma con il programma Sci-Davis con indicati frequenza relativa, frequenza assoluta, densità di frequenza degli intervalli dell istogramma e media, deviazione standard e deviazione standard della media; inoltre a questi si aggiunge un istogramma totale con tutte e 100 le misurazioni e successivamente quest ultimo normalizzato. Gli istogrammi, tutti normalizzati, presentano sull asse delle ascisse i tempi delle misurazioni (per tutti da un valore inziale di 6.0 s a uno finale 6.6 s) e sull asse delle ordinate la densità di frequenza (calcolata come possibile e immediato il confronto fra i vari grafici. ); gli intervalli sono per tutti di larghezza 0.05 s, in modo da rendere In ognuno dei grafici vengono riportati i valori della deviazione standard e del valore medio calcolati graficamente e analiticamente e quello della deviazione standard della media calcolata tramite il metodo analitico. Dopo l effettuazione di n=20 misurazioni ciascuno, si è proceduto con il calcolo del valore medio del periodo di 10 oscillazioni, calcolato secondo la formula:
E della deviazione standard s : Al fine del calcolo dell errore assoluto, infine, si procede con la somma della deviazione standard della media ( con la risoluzione dello strumento (la quale rappresenta la minima variazione apprezzabile della grandezza in esame attraverso tutto il campo di misura: cioè il valore dell'ultima cifra significativa ottenibile). Perciò, sapendo che si ha: Bisogna ricordare tuttavia che i dati sono stati raccolti con un tempo pari a 10 oscillazioni perciò il periodo T della molla con una massa totale di 70 g sarà: E il suo errore assoluto: Insieme ai dati calcolati analiticamente si aggiungono la deviazione standard e il valore medio dell istogramma che si confrontano con i primi.
Mancuso Istogramma Intervalli Dt (s) Frequenza assoluta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 1 0.05 1 6.25-6.30 6 0.3 6 6.30-6.35 9 0.45 9 6.35-6.40 2 0.1 2 6.40-6.45 2 0.1 2 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,050 s 6,317 s grafico 0,049 s 6,320 s Deviazione standard della media: =0,011 s
Torchia Istogramma Intervalli Dt (s) Frequenza assolta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 3 0.15 3 6.25-6.30 9 0.45 9 6.30-6.35 7 0.35 7 6.35-6.40 1 0.05 1 6.40-6.45 0 0.0 0 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,039 s 6,286 s grafico 0,039 s 6,290 s Deviazione standard della media: =0,008 s
Migliore Istogramma Intervalli Dt (s) Frequenza assolta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 1 0.05 1 6.25-6.30 1 0.05 1 6.30-6.35 9 0.45 9 6.35-6.40 7 0.35 7 6.40-6.45 2 0.10 2 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,048 s 6,343 s grafico 0,046 s 6,345 s Deviazione standard della media: =0,011 s
Maida Istogramma Intervalli Dt (s) Frequenza assolta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 2 0.10 2 6.25-6.30 3 0.15 3 6.30-6.35 7 0.35 7 6.35-6.40 7 0.35 7 6.40-6.45 1 0.05 1 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,054 s 6,333 s grafico 0,052 s 6,330 s Deviazione standard della media: =0,012 s
Cirincione Istogramma Intervalli Dt (s) Frequenza assolta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 1 0.05 1 6.25-6.30 6 0.30 6 6.30-6.35 9 0.45 9 6.35-6.40 4 0.20 4 6.40-6.45 0 0.0 0 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,049 s 6,310 s grafico 0,041 s 6,315 s Deviazione standard della media: =0,011 s
TOTALE Intervalli Dt (s) Frequenza assolta n i Frequenza relativa F i =n i /n Densità di frequenza f i =F i /Dt 6.20-6.25 8 0.08 1.6 6.25-6.30 25 0.25 5 6.30-6.35 41 0.41 8.2 6.35-6.40 21 0.21 4.2 6.40-6.45 5 0.05 1 Deviazione standard s Valore medio analitico 0,051 s 6,318 s grafico 0,049 s 6,320 s Deviazione standard della media: =0,005 s L errore assoluto associato al periodo di 10 oscillazioni è perciò pari a: Quindi il periodo associato a 10 oscillazioni con relativo errore assoluto è: E poiché anche l errore assoluto sarà, quindi si avrà:
PARTE 2 Introduzione e obiettivo La seconda parte dell esperienza di laboratorio consiste nell effettuazione di 20 misurazioni ad operatore, ognuno con masse diverse (in totale perciò 100 misurazioni, 20 per ogni massa), del tempo corrispondente a 10 oscillazioni del sistema massa-molla. Attraverso l analisi dati si riporta su un grafico log-log i valori della frequenza angolare in funzione della massa determinandone la relazione funzionale e successivamente, tramite un processo linearizzazione della relazione della massa in funzione della frequenza, si determina la costante elastica della molla con la sua indeterminazione, con la corretta propagazione dell errore e l uso del metodo grafico delle rette di massima e minima pendenza confrontando il risultato con quello ottenuto dall analisi del grafico log-log precedente. Strumentazione La strumentazione messa a disposizione era composta da: Cronometro digitale con risoluzione r=0.01s Molla con costante elastica incognita Gancio di massa M g =20g e pesetti di masse diverse considerate prive di errore Sostegno verticale al quale era appeso il sistema massa-molla Analisi dati e grafici Effettuate le 20 misurazioni per massa si calcola per ognuna il periodo di una sola oscillazione e l errore assoluto ad esso associato (come nella parte 1), successivamente si calcola, per ciascun periodo, la frequenza angolare con il relativo errore secondo le formule: (secondo la regola generale della propagazione dell errore per una funzione a una variabile) I dati ottenuti sono riportati nella tabella sottostante insieme alla corrispondenza tra operatore che ha effettuato le misurazioni e la massa presa in considerazione.
Massa (kg) Periodo T (s) Errore assoluto (s) Frequenza angolare (rad/s) Errore assoluto (rad/s) 0,045 0,4514 0,0019 13,92 0,06 0,050 0,4890 0,0018 12,85 0,05 0,060 0,5621 0,0016 11,18 0,03 0,065 0,5980 0,0019 10,51 0,03 0,070 0,6318 0,0015 9,94 0,02 0,080 0,6966 0,0018 9,02 0,02 Operatore Massa (kg) Migliore 0,045 Maida 0,050 Torchia 0,060 Cirincione 0,065 Mancuso 0,080 Usando il programma di analisi e visualizzazione dati SciDAVis è stato realizzato il grafico ω-m in scala log-log, è stata tracciata la retta che passa per (1,10) e (100,1), ovvero la retta che ha larghezza di due decadi e altezza di una decade, e quindi che ha coefficiente angolare, ed è stata spostata sui punti sperimentali. Dal grafico è evidente che le misure sono allineate lungo una retta di coefficiente angolare ad eccezione dell ultima misura che è visibilmente fuori allineamento, probabilmente a causa di errori di misurazione, e che, per questo motivo, da qui in avanti non verrà tenuta in considerazione al fine del calcolo della costante elastica. Questo risultato conferma ciò che si può ricavare analiticamente dalla relazione funzionale, essendo infatti essa: (dove k rappresenta la costante elastica della molla), applicando i logaritmi (in base 10) e le relative proprietà, risulta: Che, su scala logaritmica, rappresenta una retta della forma y=q+mx con ed intercetta ad ascissa 1. Utilizzando il metodo delle rette di massima e minima intercetta su 100 si ha che corrisponde al valore della semisomma delle ordinate delle rette e la sua indeterminazione alla semidifferenza, per cui:
Da cui si ottiene ( ) 5540 g/s=5,54 N/m E secondo le regole della propagazione dell errore
Infine, usando un altro metodo per calcolare la costante elastica della molla, si applica la procedura di linearizzazione effettuando un cambio di variabile e seguendo le regole per la corretta propagazione dell errore; infatti, prendendo la relazione funzionale che lega frequenza, massa e costante elastica, si ha che: Ponendo si ha: Perciò l errore assoluto di z sarà: Nella seguente tabella si riportano i valori di ogni z con i relativi errori assoluti per ogni frequenza. Massa (kg) Frequenza (rad/s) (rad/s) (s 2 /rad 2 ) (s 2 /rad 2 ) 0,045 13,92 0,06 0,00516 0,00004 0,050 12,85 0,05 0,00606 0,00005 0,060 11,18 0,03 0,00802 0,00004 0,065 10,51 0,03 0,00907 0,00005 0,070 9,94 0,02 0,01012 0,00004 0,080 9,02 0,02 0,01229 0,00005 Nel successivo grafico viene quindi rappresentata la massa in funzione di z con le relative barre d errore e, tramite il metodo grafico della retta di minima e massima pendenza (anche in questo caso trascurando la misurazione con massa di 80g), viene calcolata la costante elastica della molla come: E il relativo errore assoluto come: Dove k max e k min sono rispettivamente i coefficienti della retta di massima e di minima pendenza che valgono: k max =5,44 N/m k min =5,05 N/m cosicchè risulta:
k best =5,25 N/m dk=0,19 N/m Confrontando risultati della costante elastica calcolata dal grafico log-log con quella del grafico linearizzato si nota una discrepanza fra le due misure che tuttavia non è significativa in quanto la combinazione delle incertezze delle due misure è uguale alla differenza tra i due valori best della costante.