Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 153 Per le funzione periodiche si può dimostrare una importante proprietà che prende il nome di sviluppo in serie di Fourier. ale proprietà consente di porre una qualsiasi funzione periodica a(t) come somma di infiniti termini del tipo A n sin(nωt) ed B n cos(nωt), con n intero ed ω = 2π/ = frequenza angolare, o spesso, per brevità, solo frequenza. In realtà si preferisce conservare al termine frequenza il significato di inverso del
154 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica periodo per cui f=1/=ω/2π; da cui il nome di frequenza angolare per ω. Se si pone infatti, per una generica funzione periodica a(t): si prova facilmente che: Il coefficiente A è, dunque, il valore medio della grandezza periodica. Analogamente si dimostra che: Nella dimostrazione basta far uso delle seguenti proprietà delle funzioni seno e coseno (con n m): sin nωt cos nωt dt = sin nωt cos mωt dt= In altri termini si fa uso del fatto che le funzioni sinusoidali hanno valor medio nullo, valore quadratico medio pari ad 1/2, e sono, come si dice, ortogonali tra di loro, intendendo con questo il fatto che il valor = sin nωt sin mωt dt = cos nωt cos mωt dt = ; 1 a t = A + A n sen nωt + B n cos nωt, 1 A = 1 A n = 2 B n = 2 sin nωt 2 dt = 1 a t sin nωt dt; a t cos nωt dt. a t dt. (V.86) cos nωt 2 dt = 2 1. (V.85) (V.87)
Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 155 medio del prodotto di due funzioni sinusoidali di frequenza, mω/2π ed nω/2π, con m n, è nullo. Nell'immagine a lato sono rappresentate le prime tre componenti - che prendono il nome di armoniche della funzione sviluppata - di una funzione ad andamento "rettangolare"; nella seconda immagine le tre armoniche sono sommate e confrontate con la funzione originaria. Come si vede, anche se lo sviluppo di Fourier prevede un numero di armoniche infinito, spesso, utilizzando solo poche armoniche si ottiene una approssimazione soddisfacente della funzione sviluppata. Le funzioni sinusoidali godono, dunque, della notevole proprietà di poter rappresentare un grandissimo numero di funzioni diverse; non sono le sole in realtà, ma certamente le più comunemente usate. Infatti se siamo in regime lineare, se cioè è valido il principio di sovrapposizione degli effetti, una volta noto il comportamento di un sistema quando in esso tutte le grandezze variano con legge sinusoidale, è possibile ricavare il comportamento del sistema, utilizzando appunto la sovrapposizione degli effetti, in condizioni di variabilità temporale diverse. È questo uno dei motivi che, come avevamo anticipato, ci spinge a focalizzare la nostra attenzione sui generatori ideali di tipo sinusoidale. Un altro motivo, altrettanto importante, è, potremmo dire, di carattere essenzialmente pratico. Infatti sarebbe facile far vedere, utilizzando la legge di Faraday-Neumann, che il modo più naturale, in linea di principio, per costruire un generatore di f.e.m. è quello di far ruotare una spira conduttrice in un campo magnetico. Se il campo è uniforme, e la velocità angolare di rotazione della spira è costante, la forza elettromotrice che ne scaturisce è di forma d'onda sinusoidale. Naturalmente, le cose sono molto più complesse di quanto una descrizione così sintetica possa far immaginare; ma, al fondo, è questo uno dei
156 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica principali motivi per cui la produzione, e poi la trasmissione e la distribuzione, della energia elettrica si realizza in regime sinusoidale. È ragionevole, quindi, anche per questo motivo, dedicare a tali regimi un'attenzione particolare. Limitiamoci, dunque, a queste considerazioni di principio e interessiamoci invece di come l introduzione dei generatori variabili nel tempo, modifica il modello delle reti elettriche. Ancora una volta, chi desiderasse un approfondimento dell'argomento può leggere l'appendice A3. Consideriamo, per esempio, il circuito RL serie che abbiamo già preso in considerazione, e supponiamo che esso sia alimentato da un generatore di tensione sinusoidale e(t)= E M sen (ωt + α) - si noti il simbolo per il generatore ideale di tensione sinusoidale. È necessario assumere una fase iniziale α in quanto l origine dei tempi è già stata fissata quando si è assunto che l'interruttore viene chiuso a t=. Scriviamo l equazione che esprime la LK all'unica maglia presente. Si ha: v L + v R = e t. (V.88) enendo conto delle caratteristiche dei bipoli presenti si ottiene: di dt + R L i = e t L = L 1 E Msen ωt + α. (V.89) La soluzione dell omogenea associata sarà ancora del tipo k 1 e -R t/l, ma non possiamo più supporre che la soluzione particolare sia costante, in quanto il forzamento non è costante. Possiamo, però, utilizzare lo stesso modo di ragionare che ci ha portato a trovare la soluzione particolare quando il generatore di tensione era costante. In fondo nel caso del forzamento costante abbiamo cercato una soluzione particolare che avesse le stesse caratteristiche del forzamento, e cioè
Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica 157 costante. Nel caso del forzamento sinusoidale possiamo cercare una soluzione particolare che sia dello stesso tipo, cioè sinusoidale. Posto dunque i(t)=i M sen(ωt - ϕ), si ha: di dt = ω I Msen ωt - ϕ + π 2, e quindi, sostituendo nella (V.89): Ricordando ora che se: si ha: e: si ottiene in definitiva: e: I M ω sen ωt - ϕ + π 2 + R sen ωt - ϕ = L = L 1 E (V.9) ωt + α. Msen A M sen ωt + α + B M sen ωt + β = C M sen ωt + γ, C M 2 = A M 2 + B M 2 + 2A M B M cos α - β, γ = arctg A Msenα + B M senβ A M cosα + B M cosβ I M = E M R 2 + ωl 2, ϕ = arctg ωl R. (V.92) Come si vede, anche per un caso così elementare, i calcoli possono essere laboriosi. Fortunatamente c'è come evitarli. Prima di esaminare questo aspetto concludiamo il discorso sulla soluzione completa dell'equazione (V.89). Essa è del tipo: i t =ke - Rt L + I M sen ωt - ϕ. (V.91) (V.93) A questo punto si determina il valore della costante di integrazione imponendo la condizione iniziale:,
158 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica i = k - I M sen ϕ = I. (V.94) La soluzione (V.93) è ancora una volta somma di un termine che tende a zero ed un termine che, invece, si ripete periodicamente senza mai scomparire: la soluzione a regime permanente. A questo punto ci appare logico interpretare anche il regime stazionario, da cui abbiamo preso le mosse, come un regime permanente in cui i generatori, stazionari appunto, abbiano preso il sopravvento, e si sia persa traccia di un termine transitorio ormai estintosi nel tempo. Resta il fatto che il calcolo della soluzione permanente in regime sinusoidale è più complicato sul piano operativo. Nel seguito mostreremo come sia possibile costruire una metodologia che ci consenta di trattare il regime sinusoidale alla stessa maniera in cui abbiamo trattato il regime continuo. Sarà cosí possibile estendere le proprietà ed i teoremi delle reti già studiati anche al nuovo regime. Esercizi Per il circuito nell'immagine a lato si scriva l'equazione risolvente nella corrente i L. Occorrerà scrivere le equazioni che esprimono la validità delle leggi di Kirchhoff alla rete e, quindi, con qualche elaborazione, giungere ad una unica equazione nella incognita i L.