Correnti alternate. L di. dt 1 C. Equazione integro-differenziale a coefficienti costanti equivalente a. Idt + RI = dt = d I 1 R 1.

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1 Correnti alternate In condizioni quasi stazionarie (tempo impiegato dai segnali elettromagnetici per attraversare il circuito, piccolo rispetto alle variazioni di densita di carica e corrente) un circuito LC e descritto da: L di L I ~ I Lezioni disponibili su C C I L di + C L di C I + I = I = I Equazione integro-differenziale a coefficienti costanti equivalente a L d 2 I + 2 C I + di = d Nel caso di un circuito a piu maglie, si possono scrivere equazioni analoghe alla precedente per ogni maglia e le corrispondenti relazioni per le correnti confluenti nei nodi del circuito. Si hanno equazioni lineari dello stesso tipo anche nel caso di circuiti elettricamente separati ma accoppiati magneticamente. M ~ L L 2 2 di I = (t) L M di 2 di 2 I 2 = L 2 2 M di Di solito le fem agenti nei circuiti si possono considerare sinusoidali, in questo caso l equazione corrispondente e formalmente identica a quella di un oscillatore forzato di tipo meccanico. Ettore Focardi

2 Soluzione circuiti in alternata Nel caso di circuiti in corrente alternata si devono risolvere equazioni non omogeneee del tipo: B I(t) = d B operatore B = (L d 2 + d 2 + C ) La soluzione generale I gn della equazione non omogenea puo essere scritta come somma di una soluzione particolare I p della equzione non omogenea e della soluzione generale della omogenea associata ( se I,I 2 sono soluzioni di B I(t) =, una combinazione ai +bi 2 e soluzione) I gn =I p +ai +bi 2 Il valore di a,b, preche rappresenti il fenomeno fisico si trova assegnando le condizioni iniziali. Discutiamo la soluzione della omogenea associata L d 2 I 2 + di + I C = Poniamo I=e t (L C )et C = = Ma e t che da : equazione algebrica associata con soluzioni,2 = 2L ± 2 4L 2 CL quindi e t,e 2t sono soluzioni dell equazione cosi come lo e una loro combinazione lineare e t,e 2t I(t) = ae t + be 2 t sono linearmente indipendenti a meno che sia = 2 Ettore Focardi 2

3 Soluzione (2) e t,e 2 t In generale, 2 sono numeri complessi cosi come a,b complessi, ma I(t) deve essere reale, si puo scrivere:,2 = ± = = 2 2L 4L 2 CL a seconda del segno di si distinguono tre casi: > 2 >4L/C, 2 < reali (<) la combinazione ae t + be 2 t ha esponenti decrescenti la I = 2 =4L/C = 2 =/2L ; si dimostra che si ha I(t) = (c + kt)e 2L t < ( 2 <4L/C) ponendo: 2 = CL con andamento analogo al precedente 2 4L 2,2 =±j J 2 =-, quindi I(t)= a e -t e jt +b e -t e -jt e ±jt =cos t±j sent I(t)= e -t [(a+b)cos t+j (a-b)sent] ponendo a+b= I sen j(a-b)= I cos e I(t)= I e -t (cost sen+sent cos)= I e -t sen(t+) sinusoide smorzata Per i 3 casi I(t) dopo qualche tempo. Da allora la soluzione I gn si riduce a I p. Percio a parte un transiente, la corrente in un circuito alimentato da generatori fem variabili e descritta dalla soluzione particolare della non omogenea Ettore Focardi 3

4 Grandezze alternate Grandezza periodica f p (t)=f p (t+) con periodo =/ frequenza; se la relazione vale per ciascuna componente di un vettore allora si ha una grandezza vettoriale periodica f t Grandezza alternata e periodica e il valor medio e nullo. f a (t)=f a (t+) t + Se ad una grandezza periodica si toglie il valor medio f a (t) = t Si ottiene una grandezza alternata. Fem che si genera in una spira rotante in campo magnetico e alternata F(t)=F sent I Grandezza alternata e sinusoidale se del tipo I(t)=I sen(t+) = ampiezza, valore di picco, = pulsazione, =sfasamento t+= fase Per le grandezze elettriche alternate < cost. tempo strumenti di misura: tensione uso civile a 5 Hz =2 ms mentre per gli strumenti si hanno costanti di tempo del sec strumenti misurano media su molti periodi rimedio Oscilloscopio Ci sono strumenti che misurano il valore quadratico medio o efficace I I eff eff = t + I 2 (t) t ale valore e rilevante perche legato alla potenza che questa grandezza trasferisce al carico; se la grandezza e sinusoidale e I eff = [ t + 2 I sen 2 t] 2 = I 2 { t Ettore Focardi 4

5 Grandezze alternate (2) Per il teorema di Fourier ogni grandezza alternata si puo esperimere in termini di funzioni sinusoidali. iprendendo il circuito LC serie, da c si ha: di = I cos(t + ) = I sen(t ) I = I cos(t + ) = I sen(t + 2 ) LdI/ e d.d.p ai capi di L (/C) I d.d.p ai capi di C I(t)sinus V(t)sinus I(t) amp I(t) sfas V(t) amp V(t) sfas I I L I I L +/2 C I I /(C) /2 Ettore Focardi 5

6 Esempio circuito LC Per quali valori di I, la I(t)=I sen(t+) risolve Sostituendo i valori trovati e : LI cos(t + ) + I sen(t + ) I C cos(t + ) = F sent L di + C I + I = F sent cos(t+)=cost cos- sent sen sen(t+)= sent cos+ cost sen LI [cost cos sentsen] + I (sent cos + costsen) I C (cost cos sentsen) = F sent I [(L C )cos + sen]cost + I [( C L)sen + cos]sent = F sent uguaglianza deve essere valida t uguaglianza coefficienti di cost, sent nei 2 membri I [(L )cos + sen] = C I [( C L)sen + cos] = F Dalla seconda si ha I e quindi: I = tg = C L = arctg C L F 2 + ( C L)2 sen = cos = ( C L) 2 + ( C L)2 Ettore Focardi ( C L)2

7 Metodo simbolico Se il termine noto dell equazione integro-differenziale e esponenziale F e t con F, complessi e =j F e t = F e jt e alternata. Si puo verificare che: L di + C I + I = F e jt ammette soluzioni del tipo I e jt di = d (I e jt ) = ji e jt = ji I = I e jt = I e jt = j j I quindi: I [ jl + j jt ]e = F e jt I = F C Z Z = + j(l C ) base metodo simbolico Fourier Ogni funzione periodica e esprimibile come serie di funzioni sinus o esponenziali a esponente immaginario f (t) a 2 + ( a a n cosnt + b n sennt) f a (t) = n = 2 f (t)cosnt (a n cosnt + b n sennt) b n = 2 I termini di n costituiscono l armonica di ordine n di f p (t) f (t)sennt Metodo di analisi reti in corrente alternata sinusoidale formalmente r uguale alle reti in continua. A I(t)=I cos(t+) si associa la quantita complessa I c (t)= I (t) = I (cos(t+)+j sen(t+)]=i e j(t+) r I = I e j e jt = I r e jt = I (cos + jsen)e jt = (a + jb)e jt A A=a+jb=(cos+jsen) v =pulsazione I = I = a 2 + b 2 ampiezza b tg=b/a da la fase della grandezza a Ettore Focardi 7

8 Metodo simbolico (2) Il vantaggio di esprimere I in forma complessa e che le relazioni tra tensioni e correnti ai capi dei componenti di un circuito in alternata sono di proporzionalita come accadeva per in continua. V L (t) = L di = L d (I e jt ) = jl(i e jt ) = jli(t) V C (t) = C I = C I e jt = jc I e jt = j C I V (t)=i vale cosi la relazione V=Z I Z= impedenza [Z]= Z L =jl Z C = j C Z = Z S = Z i serie parallelo Z p = Z i r Z + jx X reattanza Ettore Focardi 8