La ecca elle fzo ola. 2.. Irozoe. La ecca elle fzo ola è a ecca efcazoe che peree efcare processo.c. a parre a a sra sffceeee lga egl gress e elle sce, seza ecessare elle loro ervae. Iolre s raa a ecca efcazoe che opera reaee epo coo. Qesa ecca peree efcare sse epo-vara sa lear che o lear; rsla parcolaree apprezzabl s hao el caso sse po Haerse, caraerzza a a o learà saca sega a a pare leare. Verrà, sego, llsraa breveee la eora elle fzo ola e la sa applcazoe all efcazo sse lear co o seza raro e o lear po Haerse veere ache [5]. - 3 -
2.2. Le fzo ola. Qesa ecca, che rsale agl a 5, s basa sll lzzo parcolar fzo per olare le eqazo fferezal che caraerzzao l ssea, oeeo e cosse vaagg al po vsa ell efcazoe e paraer. S escrve l coporaeo el ssea esae eae a fzoe rasfereo el oo ella varable coplessa s el po: a + a s +... + a s Gs, b + b s +... + b s 2. che, el oo el epo, corrspoe al segee ssea eqazo fferezal lear c y è l sca el ssea, ere è l gresso: a b y. 2.2 S efsce fzoe olae a fzoe che goe elle sege propreà è a oppora cosae ea fesra efcazoe:. [, ] 2.3 2., 2.4 3.,, 2.5 Essoo verse fagle fzo che sosfao qese cozo, ra le qal le cosee fzo sple ve paragrafo 2.3. - 4 -
Iegrao el epo, s a fesra, l ssea eqazo fferezal che caraerzza l coporaeo el ssea fsco opo aver olplcao erab ebr per, s oee: y b a 2.6 I parcolare, egrao rpeaee per par e sfrao la propreà 2.5 ella fzoe, s pò re che la relazoe 2.6 eqvale a: y b a 2.7 I qesa espressoe o copaoo pù le ervae ell gresso e ell sca, a qelle ella. Defeo coeffce: y ˆ ˆ β α 2.8 che s possoo calcolare a parre all aaeo ell gresso e ell sca el ssea e alle ervae elle che soo oe, esseo oe le, s oee eqazoe leare algebrca le c coge soo paraer el ssea, che s vogloo efcare: b a α β. 2.9-5 -
Le coge qese eqazoe, ovvero paraer a e b, soo ++2. Seza pera geeralà possao porre l valore o qes paraer, rceo a à le coge; sppoao qe che a. I og caso soo ecessare aleo ++ eqazo learee pee per eerare vocaee paraer. Per oeere l ero eqazo ecessaro c soo e possblà: la pra cosse ell sare verse fzo ola sllo sesso ervallo a srao; co la secoa s sa la sessa fzoe olae raslao l ervallo egrazoe lgo l veore e a è ache possble sare ervall egrazoe parzalee sovrappos, a pao che l ssea sa sffceeee eccao a eerare eqazo pee. Nel secoo caso s oee ssea algebrco le c eqazo soo oogeee, a è ecessaro veore a olo lgo se s vol prorre ero eqazo pee sffcee. E charo che, ella praca, sarà opporo avere ssea sovraeerao, per ovvare alla preseza srb e ror che scraee alererao le srazo. I qeso caso s pò rsolvere l ssea rovaoe la solzoe glore el seso e qara, a esepo per ezzo ella pseoversa; ao l ssea: A x b, 2. la sa solzoe co l eoo e qara è: x A A A b. 2. Alc vaagg el eoo elle fzo ola soo eve. Azo o è ecessaro, coe per alre ecche, cooscere le ervae e segal gresso e sca el ssea. I effe qese, ora, o soo spobl reaee e l loro calcolo araverso la ervazoe e rspev segal aplfca l rore a c soo affe, fcao spesso l eso ell efcazoe. U alro charo vaaggo è - 6 -
che s rce l problea ell efcazoe e paraer el ssea alla rsolzoe ssea leare eqazo algebrche. Iolre l efcazoe avvee oalee epo coo: l so ecche epo screo copora spesso alc proble, coe la scela epo capoaeo correo, la ffcolà el passaggo a oello epo coo eqvalee o la ffcolà el are a coeffce el oello sgfcao fsco. Esse ache alro vaaggo qesa ecca, coè la sa rseca robsezza al rore. Dfa l operazoe egrazoe vsa sopra è, sosaza, a covolzoe ra segal gresso o sca e la fzoe olae o a sa ervaa: ~ y τ y τ τ τ y τ τ 2.2 per le propreà elle fzo ola: τ, par τ τ, spar 2.3 e q: ~ y τ y τ τ 2.4 I freqeza qeso eqvale a flraggo qes segal araverso flro avee coe rsposa plsva : - 7 -
Fgra 2.. Propreà flraggo elle fzo ola Qeso flro è po passa-basso e la sa freqeza aglo pee sa a qale fzoe olae s è scela sa all apezza ella fesra egrazoe. - 8 -
2.3. Le fzo sple. Nel corso egl a soo sa propos vers p fzo ola, c rporao alc esep: Shbro 954: π s 2.5 Loeb e Cahe 963: F, F C 2.6 Pchov e Chayev 973: 6 λ 4 3 e λ 2.7 I qeso lavoro s è lzzao parcolare geere fzo ola: le fzo sple, rooe a Malesky el 978. S coser l segee grppo + fzo ola: { },,,..., 2.8 ove - 9 -
. 2.9 Nel caso elle sple s efsce: δ ˆ 2.2 o δ ca la fzoe ela Drac, è l ore ella fagla fzo sple, ere ˆ è eo epo caraersco ella fzoe sple. A parre alla 2.2 le alre fzo el grppo s oegoo per egrazo sccessve: ˆ k 647 48 ˆ k..., k,,..., [, ˆ] 2.2 Dalla 2.2 s pò rcavare l espressoe aalca elle fzo sple, coè: g ˆ ˆ ˆ g δ ˆ, ˆ! ˆ,,,...,, [ ˆ, ˆ], alrove. 2.22-2 -
Fgra 2.2. I pr 6 grpp fzo ola po sple. S o che, fssa l ore e l epo caraersco, s eera copleaee a fagla fzo elle qal, per coe soo efe, s cooscoo le ervae sccessve fora chsa. Le fzo sple gooo e pora propreà:. og sooervallo [- ˆ, ˆ ], per,,2,,-, le fzo soo polo grao - ve 2.22. - 2 -
2. s coporao coe flr passa-basso. La secoa propreà s pò rlevare osservao agra Boe elle fzo ola. I Fgra 2.3 è rporao l agraa relavo all apezza. Fgra 2.3. Dagraa Boe ell apezza elle fzo sple - 22 -
2.4. Scela e paraer. 2.4.. Scela el segale gresso. Nella procera efcazoe è olo porae l segale che vee foro gresso al ssea. Ifa qeso eve essere ale a eccare sffceeee l ssea sesso, allo scopo evezare e le caraersche; perao è ecessaro lzzare segale che, a lao abba a esesoe sperale par aleo alla baa caraersca el ssea, all alro eve spazare s o l rage possbl valor gresso qeso soprao el caso sse o lear. pcaee l gresso che vee scelo per effeare l efcazoe è a seqeza gra apezza casale. La raa casc grao eve essere all crca gale al epo ecessaro al ssea per aare a rege, oo a avere forazo sa rgaro al so coporaeo rasoro che sl so coporaeo a rege. Il ero gra eve essere ale a garare ero eqazo pee sffcee ve paragrafo 2.2. 2.4.2. Scela ell ore elle fzo sple. Se l ssea a efcare è ore, l ore elle fzo ola o pò essere ferore a. Ifa qeso oo s ha la cerezza che sa ervable aleo vole e che q sao be ef coeffce el ssea leare 2.9. Occorre eere ache presee che, oveo po pleeare l eoo co calcolaore, la fzoe egraa o pò essere scoa. S coser per esepo a fzoe che passa a A a A corrspoeza el epo ; charaee l egrale ella fzoe pee a. ava se l egrale vee calcolao ercaee co la forla e rapez, per ervallo egrazoe a cavallo, l rslao è sepre llo, peeeee alla poszoe all ero ell ervallo: fa coa solo l valore ella fzoe agl esre ell ervallo egrazoe. Da qeso esepo s capsce che fzo ola - 23 -
scoe possoo corre a error erc coserevol. Dalla Fgra 2.2 s oa che peeeee all ore le fzo sple e,- soo scoe, esseo l a a seqeza ela Drac, l alra a seqeza gra, e perao o possoo essere prese coserazoe. I coclsoe l ore ella fagla fzo sple scela eve essere aleo + 2. 2.4.3. Scela el epo caraersco. La scela el epo caraersco elle fzo sple ˆ, e cosegeza ella fesra egrazoe ˆ, fleza aera eerae le propreà flraggo elle fzo ola. Sceglere epo roppo pccolo plcherebbe avere flraggo a baa olo larga e q a sffcee soppressoe elle copoe rore. Al coraro, epo roppo grae copora l rscho flraggo alee selevo a elare pare elle copoe freqezal el segale. U bo coproesso è sceglere a fesra egrazoe ello sesso ore graezza ella cosae epo oae el ssea. - 24 -
2.5. Sse co raro. Se preao coserazoe ssea leare co raro τ, la sa eqazoe caraersca el oo el epo è: a + y A τ b 2.23 ove rappresea la fzoe a grao. Se s applcasse reaee la ecca elle fzo ola, a parre a qesa eqazoe, l ssea algebrco che s oerrebbe sarebbe o leare. Per ovvare a qeso coveee soo sa propos vers approcc: Pchov e Chayev 973: so ell approssazoe Paè Rao 976: approcco ral a error, cercao zzare l errore sll sca el ssea Balesro, La, Sa 2: l raro è vso coe cobazoe leare see rar o Veao pù el eaglo qes lo approcco. Ua qalqe fzoe g, soo oppore poes, pò essere scra coe cobazoe leare a base fzo {f }, coè: g h f. 2.24 I qesa sazoe è charo che la fzoe è corasa a paraer h, perao per efcare g è sffcee sare qes paraer. Coserao coe fzoe a sare l ere ella 2.23 coeee l raro: - 25 -
τ A g 2.25 Ua possble base per la rappreseazoe qesa fzoe è aa a see fzo a grao co rar o: f τ 2.26 Fgra 2.4. Base fzo per rappreseare raro La g pò cosegeza essere paraerzzaa coe: h A g τ τ 2.27 Il ssea escro alla 2.23 vea, lao la soaora 2.27 a q er: + q y b h a τ 2.28-26 -
Aesso l veore e paraer cog che chaao λ è coso, olre che a coeffce a e b, ache a paraer che caraerzzao l raro, h : λ { a, b, h }, λ + + 2 q 2.29 + Il veore λ pò essere sao applcao la sessa ecca vsa al paragrafo 2.2, coè olao l eqazoe 2.28 co a fzoe olae. Il ssea che s oee è ssea leare algebrco λ, coè ++q+2 coge; vece, se s fosse olaa reaee la 2.23, s sarebbe oeo ssea o leare ++3 coge, coè coeffce a e b e l raro τ. Ua vola sa coeffce h, è possble rsalre al raro cogo τ a parre alla 2.27, che el oo Laplace vea: A e τ s q h e τ + s 2.3 Da qesa s oegoo le relazo: A τ q q h h τ + q h 2.3 la pra relazoe è evee se s cosera l le per ovvero l le per s ella 2.3. ella 2.27, E possble osrare veere [5] che coeffce h soo capo a fzoe saplg ceraa el raro cogo τ: - 27 -
A h τ τ sc 2.32 Pù geerale s pò coserare ssea aco co rar lpl, coè ssea che soosà alla segee eqazoe: + p k k k y b A a τ 2.33 Il raro pò, ache qeso caso, essere rappreseao sfrao a base rar o: q p k k k h A g τ τ, 2.34 e, ache qesa sazoe, s pò osrare che: p k k k A h τ τ sc. 2.35 Per sare rar s lzza l segee algoro:. Vee fssao ervallo epo c s aga sao coe rar cog τ k, ovvero s efscoo, q e τ. 2. S esege l efcazoe eae l algoro elle fzo ola. 3. S aalzza la srbzoe egl h per vare l ero e rar cog prese e la loro poszoe ell ervallo. 4. S assegao ov valor a q e τ, oo che le fzo saplg o sao sovrappose - 28 -
5. S rpee l efcazoe, glorao la sa e paraer. - 29 -
2.6. Sse Haerse. Veao ora coe è possble eseere la ecca ella fzo ola al caso ell efcazoe sse Haerse ve Capolo, coè sse cos a blocco o leare saco sego a blocco leare aco, coe llsrao Fgra 2.5. Fgra 2.5. Ssea Haerse Sppoao azo che la o learà sa po poloale o approssable a poloo: f c. 2.36 Iolre, coe s è gà eo, la o learà eve essere saca, coè: f. 2.37 La Gs rappresea la fzoe rasfereo el blocco leare el oo ella rasforaa Laplace: Y s G s X s 2.38-3 -
Sppoao che l blocco leare sa caraerzzao a ero pol e a ero zer e che q obbesca alla segee relazoe: y b x a 2.39 L efcazoe el ssea cosse ello sare coeffce a e b ella pare leare e c ella o learà. Se coserao l pro ebro ella 2.7 preva soszoe co l ovo gresso ella pare leare x e applchao la 2.36, oeao: l l c a c a 2.4 Cosegeeee la 2.7 vea: l y b c a 2.4 Defeo coeffce: y ˆ ˆ β α 2.42 s oee l eqazoe leare algebrca: - 3 -
l a c α b β 2.43 I coeffce ell eqazoe soo o, peeo all gresso e all sca el ssea, alla fzoe olae e ella se ervae, e graezze oe. Per efre oo voco paraer el ssea, poao che la pare leare abba gaago saco aro poeo: a b 2.44 I qeso oo l eqazoe 2.43 è + +l coge gl b, gl l c e gl l proo a c. Per oeere pù eqazo agao raslare la fesra egrazoe lgo l asse e ep. I qeso caso la sra egl gress o porà rare eo epo + +l ; ava, coe evezao ache el paragrafo 2.2, è opporo avere elle sre gresso e sca raa sperore oo a oeere ssea sovraeerao; così, sfrao l aggor ero forazo, e rsolveo l ssea el seso e qara, è possble rrre l effeo el rore che sarà scraee presee. I coeffce possoo essere calcola co eqazo aaloghe alle 2.-2.. S o che così s possoo calcolare reaee b e c, ere gl a soo globa e proo a c. Q gl a evoo essere calcola esplcaee veo qes proo per gl oppor coeffce ella o learà. - 32 -
2.7. Sofware lzzao. I qeso lavoro, l efcazoe co la ecca elle fzo ola, sarà saa a lbrera fzo MALAB realzzaa a L.Sa e esesa al caso sse Haerse a D.Corsa. La fzoe prcpale è la segee: f_o_ha: Paraer gresso.. : apezza ella fesra efcazoe 2. p : ero pol ella Gs 3. z : ero zer ella Gs 4. g : grao ella o learà poloale 5. oefle : oe fle.a c sao prese re varabl, eoae, e y. Qese ovrao coeere, rspevaee, gl sa capoaeo e le relave sre ell gresso e ell sca el ssea. Paraer sca.. : veore coeee coeffce sa el eraore ella Gs. 2. e : veore coeee coeffce sa el eoaore ella Gs 3. lc : veore coeee coeffce poloal ella o learà. S o che coeffce soo eleca ore crescee per grao e aca qello relavo al grao zero percò o soo espress reaee forao MALAB, ovvero forao copable co la fzoe polyval. Fzoaeo. La fzoe f_o_ha cosrsce l ssea algebrco 2.43, lo rsolve co l eoo ella pseoversa, coe 2., e ressce paraer el ssea così rova. - 33 -