Captolo Cnematca ed altre nozon ntrodttve. Rcham e relazon d calcolo vettorale Notazon: A A = vettore e A = modlo d A e A = versore A Valgono le segent propretà: Somma A B C Sottrazone AB D Prodotto scalare AB A B cos Prodotto vettorale AB A B sen e G B cos A B A A cos C B A D A B C B Sstem d coordnate ortogonal Un sstema d coordnate o d vettor a è ortogonale se a a con dverso da j e a a j Il sstema d vettor ortogonal è anche normalzzato se: 55
a aj j coè se: a a, a a ecc.. j rappresenta l delta d Kronecer. S dce Base n sstema d vettor completo ortonormale n no spazo vettorale se è n grado d rappresentare qalnqe vettore dello spazo. Sstem cartesan ortogonal Se ndchamo con e, e, e versor degl ass cartesan ortogonal, l vettore poszone d n pnto sarà: r e e e... Sstem clndrc z rcos r rsen arctg z z r Sstem Polar r sen cos r r sen sen arcos r r cos arcos r 56
. Camp scalar e vettoral.. Propretà Ove non specfcato s tlzzano le component cartesane ortogonal, ndcate con, e s fa so della notazone d Newton per c gl ndc rpett corrspondono alla sommatora y y Camp scalar p = p(, y, z, t) = p(, t) = (, t) T = T(, t) Camp vettoral Sono qanttà vettoral date come fnzon d e t, che per component: = (j,t) Prodotto scalare tra camp vettoral Sano dat de camp vettoral: A (j,t) B (j,t) l prodotto scalare sarà: AB AB A B A B Prodotto vettorale... Il prodotto vettorale tra camp vettoral, sarà: e e e A B A A A e( AB BA) e( AB AB) e( AB AB) B B B Prodotto dadco 57
R v R j v j Operatore nabla L operatore vettorale Nabla è defnto come sege: e e e e Gradente d no scalare Il gradente corrsponde all'operatore nabla applcato ad n campo scalare. Ad esempo, per la pressone p(, t) s ha: p p e p e p e p e grad p Il so modlo è l massmo cambamento d p per ntà d lnghezza dello spazo coordnato nel pnto consderato. sobare p n p n- lnee d gradente La sa drezone è qella nella qale s realzza l massmo cambamento d p nel pnto. Lnea d gradente è qella che ha l gradente tangente n ogn pnto: coè è la lnea d massma varazone. Nel caso della pressone, le lnee sobare sono le lnee che nscono pnt ad gale pressone. Nel campo delle qote, le lnee sopse sono le lnee d lvello o d gale qota. La lnea d gradente corrsponde qnd alla lnea a massma pendenza. Le lnee d gradente sono localmente ortogonal alle lnee d lvello. sopse (lnee d gal qota) lnee d gradente o d massma pendenza 58
Dvergenza d n campo vettorale Sa dato n campo vettorale (e.g. veloctà) per component cartesane: = (j,t) S dce dvergenza d l'operatore nabla applcato scalarmente ad : dv Rotore d n campo vettorale Sa dato n campo vettorale (e.g. veloctà) per component cartesane. = (j ) S dce rotore del campo vettorale l prodotto vettore tra l'operatore nabla ed l campo stesso: e e e B rot se è la veloctà, rot e s chama vortctà: rot e e e Laplacano Il Laplacano d n campo scalare o vettorale, è defnto come sege : Non vale la propretà commtatva del prodotto scalare. Ad esempo, per la dvergenza dv... che rsltano essere dverse S not che grad dv rot rot 59
p dv grad p p p p p per p,, Dvergenza d n tensore del II ordne Sa Tj n tensore del II o ordne (coè na matrce, nfatt l tensore del I ordne è n vettore e l tensore d ordne è no scalare): T j T T T T T T T T T la dv T s esprme n coordnate cartesane T j T j T j... per j,, Gradente d n vettore Il gradente d n vettore corrsponde al prodotto dadco tra e con =.. ed =..... Gl ntegral ed alcn teorem notevol Integrale d lnea Dato n campo vettorale (e.g. veloctà) (, t) s dce ntegrale d lnea aperta b a dl a dl b e d lnea chsa dl a dl 6
Integrale d sperfce S S S pds vettore ds s calare ds vettore per na sperfce chsa pds vettore ds S n nds ds ed analoghe. Integrale d volme V V pdv scalare dv vettore Teorema d Stoes Per camp semplcemente conness, vale la relazone: dl ( ) ds ( ) n ds c S S c n ds Teorema della dvergenza o d Green Gass dl S ds dv Teorema del gradente S p n ds V V p dv.. Solenodaltà e rrotazonaltà Condzon d solenodaltà La condzone d solenodaltà ndca che ovnqe nel campo le veloctà d espansone 6
Δ Se l campo è solenodale, s pò ntrodrre na fnzone vettorale d campo,t vettorale) detto potenzale vettore ψ (campo Il campo d così ottento soddsfa dentcamente le condzon d solenodaltà. In n caso D, l potenzale vettore ha solo na componente che vene defnta fnzone d corrente. In termn delle component d veloctà (;) v la fnzone d corrente rspetta qnd le segent propretà: v e (.) y In n campo D, le lnee d corrente sono tangent pnto per pnto al vettore veloctà. D consegenza, l'eqazone d na lnea d corrente pò essere determnata dalla condzone d tangenza: y cost v (.) La fnzone (, y) che soddsfa la (.) è la fnzone d corrente. Infatt, dfferenzando e tenendo conto della (.) s ha: d d dy v d dy y e se s consdera la lnea d corrente cost d v d dy e qnd la condzone (.) vene atomatcamente soddsfatta. Le lnee d corrente del campo d veloctà D sono qnd defnte dalle eqazon =cost dove al varare della costante s vara la lnea d corrente consderata. Condzone d rrotazonaltà La condzone d rrotazonaltà rchede che ovnqe nel campo la vortctà Se l campo è rrotazonale, s pò ntrodrre na fnzone scalare d campo (campo scalare) detta potenzale scalare (, ) t, tale che: 6
Il campo d cos ottento soddsfa dentcamente le condzon d rrotazonaltà. 6
. Descrzone Elerana e Lagrangana del moto Spponamo d voler stdare l evolzone d na certa propretà scalare o vettorale d na partcella d fldo. Per esempo assmamo qale scalare la temperatra T(, t). Per conoscere l'evolzone d T sono possbl de dverse descrzon o pnt d vsta: ) Elerana o spazale (o talvolta locale), s pone n osservatore n n pnto fsso P dello spazo P( ) e s ottene pertanto l'evolzone delle propretà T n P(,t) coè n na poszone fssa. ) Lagrangana o sostanzale o molecolare, s pone l'osservatore slla partcella d fldo e s stda qnd l'evolzone delle propretà T[ (t)] d na partcella d fldo che mantene la sa ndvdaltà drante l moto. Consderamo come esempo fsco l problema della Temperatra del fldo n prossmtà delle emsson d fm da na cmnera. Nella descrzone EULERIANA s pone n osservatore della propretà temperatra (ad esempo n termometro) all'apertra della cmnera e s msra la T(, t). L'so d molt termometr (teorcamente na matrce D) consente d ottenere le T(, t) n ttto l campo d nteresse. Per conoscere la temperatra nel tempo d na certa partcella TA(t) è necessaro conoscere la poszone spazale occpata dalla partcella (A) ne dvers stant temporal. Nella descrzone LAGRANGIANA s assoca na sonda n temperatra (ad esempo n crstallo lqdo termosensble n sospensone nelle partcelle flde) ad na partcella A e s msrano le temperatre d qesta nel so moto. S ottene n tal modo TA(t) per conoscere l campo d temperatre nel tempo è necessaro assocare molte sonde a dverse partcelle e poter rconoscere le loro poszon ne dvers stant d tempo. 64
Per l rlevo spermentale d grandezze fldodnamche la descrzone EULERIANA è assa pù pratca n qanto consente d mantenere sensor fss. Inoltre anche da n pnto d vsta nmerco e teorco tale descrzone è pù convenente n qanto nelle applcazon fsche ed ngegnerstche l fldo entrante nteragsce con corp sold e qnd flsce verso l'esterno (s pens ad esempo ad na trbna, ad n compressore, oppre ad n vecolo o n velvolo posto n gallera aereodnamca)..4 Dervata sostanzale Se n osservatore EULERIANO conosce l campo d T (, t) all'nterno d n certo volme d fldo V pò calcolare l dfferenzale totale dt: dt T d T t dt (.) T (t+dt) d V T(t) Se n partcolare calcolamo l dfferenzale totale n modo che d= dt se coè sceglamo lo spostamento n modo da segre la partcella nel so moto, l'espressone precedente dventa: dt T dt T t dt (.4) ed è qnd possble calcolare la dervata totale rspetto al tempo che ha la partcolartà d segre la partcella nel so moto. Tale dervata vene detta dervata sostanzale e s ndca D convenzonalmente con Dt. La (.4) dventa allora: DT Dt T T + t 65
DT T T n c rappresenta la dervata sostanzale, è la dervata convettva, è la Dt t dervata locale rspetto al tempo. DT S not che da n pnto d vsta EULERIANO per conoscere la, coè la dervata totale Dt n senso LAGRANGIANO è necessaro conoscere n n pnto le dervate local rspetto al tempo delle qanttà d nteresse (e.g. la temperatra T), e coè T pù T ed l vettore t veloctà. Se sosttamo lo scalare T con n vettore ad esempo la sostanza rmane nvarata. Ad esempo l'accelerazone a n na descrzone LAGRANGIANA è: a= d dt mentre n na descrzone EULERIANA sarà: a= D Dt + t o per component cartesane a= D Dt + t,, Bsogna osservare che: l moto s dce stazonaro o permanente se: t ( ) ovvero, se la veloctà non camba nel tempo n n pnto generco del campo, cò non eqvale ad na accelerazone nlla delle partcelle; l moto s dce nforme se: ( t) 66
.5 Lnee d corrente, traettore, lnee d fmo.5. Defnzon. Lnee d corrente Sono qelle che hanno come tangente n ogn pnto l vettore veloctà. S not che data la tangenza della, attraverso le lnee d corrente non s ha passaggo d fldo. Pertanto, l flsso tra de lnee d corrente s comporta come se scorresse tra le paret d n tbo a sezone varable.. Traettore E' l percorso segto dalle partcelle osservate al varare del tempo. La drezone che assme la traettora è legata alla drezone del vettore veloctà stante per stante. A A t t +t A t. Lnee d fmo Sono qelle lnee che n n dato stante t=t occpano le partcelle emesse ne temp precedent dallo stesso pnto. S pens al fmo d na sgaretta o a lnee d traccant n lqd. 67
A B t emessa ad n C t emessa a t t D emessa a t t stante d E bene notare che solo n condzon stazonare le lnee d corrente, d fmo e le traettore concdono. In condzon non stazonare sono dverse..5. Relazone tra lnee d corrente e lnee eqpotenzal (leggere) Per n campo d veloctà (, y), bdmensonale, rrotazonale e solenodale, possamo defnre sa l potenzale scalare che la fnzone d corrente. Come detto sopra, le lnee d corrente sono defnte come: (, y) cost mentre le lnee eqpotenzal, sono: (, y) cost Chamamo con s l versore tangente ad na lnea eqpotenzale, essendo s la coordnata crvlnea lngo d essa. Dalla defnzone d potenzale s ha: Per c, tenendo conto che lngo na lnea eqpotenzale d, s ha: s s = Pochè l prodotto scalare s è nllo, sgnfca che de vettor sono ortogonal tra loro, e qnd la lnea cost è perpendcolare a. Per defnzone d fnzone d corrente (relazone.), la lnea d corrente è nvece tangente alla veloctà. D consegenza le lnee d corrente possono solo essere perpendcolar alle lnee eqpotenzal. Qesto rsltato pò essere determnato n manera analtca tenendo conto della defnzone., e rcordando, dalla defnzone d che: 68
d d dy =d v dy y da c, possamo rcavare l'analoga della (.) per l potenzale: dy d cost v (.5) Confrontando (.) con (.5), s vede come tal relazon rappresentno l coeffcente angolare d de rette (rspettvamente tangent alle lnee =cost e =cost) perpendcolar tra loro..5. Sgnfcato fsco della fnzone d corrente (leggere) Dalla descrzone delle lnee d corrente La varazone d della fnzone d corrente, corrspondente, come detto, al passaggo da na lnea d corrente d eqazone,yad n'altra d eqazone,y =+ d, rappresenta la portata d fldo per ntà d massa (portata volmetrca), che scorre attraverso le de lnee d corrente e. Consderamo qnd n n campo d veloctà D, ncompressble e stazonaro, le de lnee d corrente ( y, ) e ( y, ) d : C dl dy A d B dq Consderamo n lnea dl che nsce de pnt generc rspettvamente s e. Costramo l trangolo ABC dalla proezone d dl lngo gl ass e y essendo l lato AB par a d mentre l lato BC è par a dy. Consderamo anche la lnea d corrente passante per l pnto B e le portate che entrano o escono dal trangolo ABC. Attraverso l lato AC la portata è entrante ed è defnta come dq. Per lat AB e BC, tenendo conto che le component tangenzal a lat non danno contrbto alla portata, s ha: Portata entrante attraverso AB = v d 69
Portata scente attraverso BC = dy Pochè la massa s conserva nel trangolo chso ABC, la portata entrante deve essere gale a qella scente, e coè: dq v d dy dq dy v d e, rcordando la (.), s ha dq d.6 Volme d controllo e sstema Le eqazon della fsca che governano l'evolzone e l moto de fld (n partcolare: la conservazone della massa, le legg della dnamca e della termodnamca) possono essere applcate n n'ottca LAGRANGIANA dando logo al concetto d sstema od EULERIANA dando logo al concetto d volme d controllo. S defnsce sstema n nseme d matera composto sempre dalle stesse partcelle, l qale s pò movere ed nteragre con l'ambente crcostante; se l sstema è fldo, potrà varare d forma, poszone e dmenson. Il volme d controllo è n volme dello spazo (enttà geometrca ndpendente dalle masse) attraverso l qale pò scorrere l fldo. 7
.7 Teorema del trasporto d Reynolds Le legg d conservazone alla base della fldodnamca possono essere scrtte n manera semplce per sstem (ad esempo la massa d n certo sstema s conserva); tttava, per le applcazon d ngegnera, è necessaro descrvere le eqazon d governo all'nterno d n certo volme d controllo, ad esempo per defnre l'nterazone tra fldo e soldo. Il teorema del trasporto d Reynolds c consente d trasformare le legg d governo espresse n n sstema, nelle stesse espresse n n volme d controllo. In sostanza l teorema consente d esprmere le legg d governo nella vsone Elerana a partre da qella Lagrangana. Le legg d governo della fldodnamca, possono essere formlate n termn d vare qanttà fsche (e.g. veloctà, qanttà d moto m, temperatra T, denstà, ecc.) ed è nttvo che non ttte qeste qanttà presentano le stesse caratterstche: alcne dpendono dalla massa del sstema consderato (come la qanttà d moto, l'energa cnetca, la massa stessa, ecc.) altre non dpendono dalla massa (come la veloctà, la temperatre, la pressone, ecc.). Le propretà che dpendono dalla massa sono dette estensve, le corrspondent non dpendent dalla massa sono dette ntensve. Indchamo con B na generca grandezza estensva caratterzzante n campo fldodnamco e con b l so valore per ntà d massa, coè ntensvo (o valore specfco) Ad esempo: - B m - B m m massa b (sarebbe massa per ntà d massa) m energa cnetca b energa cnetca per ntà d massa - B m qanttà d moto b veloctà qanttà d moto per ntà d massa ovvero S not che alcne propretà ntensve non hanno valore estensvo (ad esempo la temperatra) coè non amentano all'amentare della massa consderata. Propretà ntensve che presentano n corrspondente estensvo s dcono anche specfche. Le propretà estensve Bs del sstema all'stante t sono defnte matematcamente come: B b dv s (.6) V s essendo s l sstema consderato e Vs l volme da esso occpato all'stante t. Pochè le legg d conservazone valgono per n sstema, lo scopo del teorema del trasporto d Reynolds, è d calcolare la dervata totale rspetto al tempo d Bs coè del sstema che deve essere segto nel so moto. Per defnzone DB Dt Bs ( t t) Bs ( t t s ) lm t (.7) 7
dove Vs camba con l moto, coè dpende dal tempo. S vole dmostrare che: DB Dt s V b b t dv bn ds S V t b dv (.8) essendo V l volme d'ntegrazone al tempo t fsso, coè l volme d controllo. Per calcolare la varazone nel tempo della grandezza estensva B (per comodtà d notazone, nella dmostrazone non s rporta l pedce s), consderamo n volme d controllo V fsso che al tempo t vene preso concdente con l volme materale V(t); dopo n tempo Δt l volme materale s sarà mosso come dsegnato nella fgra.9. Per la varazone nel tempo d B possamo scrvere: (.9) Fgra.9: Moto relatvo dopo n tempo Δt tra n volme d controllo fsso ed n volme materale nzalmente concdent. In base alla fgra.9 possamo scrvere V(t) = V + V e V(t+ Δt) = V + V da c: (.) S not la formla d dervata sotto l segno d ntegrale, vsta nell'anals: d dt h ( t ) g ( t ) h ( t ) f (, t) d g ( t ) f t d dh dt f ( h( t), t) dg dt 7 f ( g ( t), t) essa costtsce la forma monodmensonale del teorema del trasporto d Reynolds che s ntende dmostrare nel segto.
n c ttte le fnzon ntegrande sono calcolate al tempo relatvo al volme d appartenenza. Notamo ora che l prmo e terzo ntegrale dell'eqazone (.) sono valtat sllo stesso domno V ma gl ntegrand sono calcolat n temp dfferent per c s ha: (.) avendo notato che per t, V(t) V. Per gl altr de ntegral osservamo dalla fgra.9 che, detto ds n elemento d sperfce del volme V, n la sa normale ed la veloctà d traslazone rslterà dv = nδtds per l volme V e dv= - nδtds per l volme V. Il secondo e qarto ntegrale della (.) dventeranno allora: (.) dove s è ndcata con S la parte d sperfce d V n comne con l volme V e s è tlzzato l fatto che per t, S + S S. Se ora mettamo nseme rsltat delle (.) e (.) possamo scrvere (.) Con la qale abbamo messo n relazone la grandezza B calcolata s n volme materale con qanttà calcolate s n volme d controllo e qnd d pù facle valtazone. La relazone (.) c dce che le varazon d B hanno de case, na nterna al sstema stesso e qnd dovta a varazon d b all'nterno del volme V. L'altra possbltà è casata da scamb del sstema attraverso la sa sperfce, ossa l flsso d b attraverso S. Se la fnzone ρb è contna e dfferenzable allora l secondo ntegrale della (.) s pò trasformare tlzzando l teorema della dvergenza e scrvere: 7 (.4) Un'ltma precsazone è necessara crca l sgnfcato fsco d a seconda che V sa fsso o n movmento. Nel prmo caso, rsltando nlla la veloctà d S (e d ds) non nascono dbb e è la veloctà con c s move l fldo nel pnto consderato. Se, al contraro, V è n movmento, dovendo valtare l flsso d ρb attraverso ds non saremo pù nteressat alla veloctà assolta del fldo ma pttosto alla veloctà relatva tra l fldo e la sperfce S.
DB Dt s b t dv V S bn ds (.6) Altre forme del teorema del trasporto d Reynolds 4 sono le segent: DBs Dt b dv bdv t V b t V b dv V V D b b dv Dt (.7) S not che, se per na qalsas eqazone d conservazone della generca propretà fsca BS per n sstema n moto, vale la relazone: db s (.8) dt consege mmedatamente che V b t b dv (.9) e data l'arbtraretà del sstema d matera scelto Vs(t) all'stante t, e qnd del corrspondente volme d controllo V, deve valere anche la corrspondente eqazone n termn dfferenzal: 4 Per l teorema d Green S S nds dv V L nds L dv V con L generca qanttà scalare (o anche vettorale). S ha anche G V b dv 74
b t b (.) Se l volme d controllo non vara nel tempo. S pò scrvere: DBs Dt bdv bn ds t V S (.) dove la dervata assme la forma d D Dt coè d dervata sostanzale. Come detto è possble con tal relazon passare dall'approcco n termn d volme d controllo all'approcco n termn d sstema, e vceversa. In partcolare l termne a prmo membro della. esprme la varazone nel tempo d na propretà estensva del sstema. La. rappresenta le varazon nel tempo delle propretà nel volme d controllo. La. rappresenta l flsso totale della propretà attraverso la sperfce d controllo S. Il flsso è postvo per fldo scente ( n e concord) e negatvo per flsso entrante. 75
.8 Anals del moto d na partcella Consderamo na partcella d fldo con barcentro n G(,,) all'stante t=t e consderamo n elemento d fldo generco A che s trova nel pnto P d coordnate coè dstante da G. Qnd all stante t=t s ha G=(,,) P() In n ntervallo d tempo t (pccolo) la partcella s sposterà e s deformerà e l'elemento d fldo A, che era poszonato n P, andrà ad occpare l pnto P : P G P G G P PP' t In generale la veloctà d n generco elemento d fldo A sarà: ( G ) ( ) ( ) ( ξ ) G G G e potrà essere espressa nell'ottca d no svlppo n sere d Taylor troncata al prmo ordne ntorno a G, che ora genercamente sarà poszonato n G, come: G Per component cartesane: G 76
77 ] [ ] [ G La matrce d veloctà d deformazone (tensore del II ordne), pò essere scomposta n na matrce emsmmetrca pù na smmetrca : G (.8) G R d G (.9) Come vedremo R è la veloctà dovta alla rotazone e d è qella dovta alla deformazone..8. Traslazone La veloctà d traslazone è qella assocata al barcentro e qnd è gale a G.8. Rotazone La veloctà dovta alla rotazone ntorno al barcentro è espressa dal termne : P P
78 ξ ξ ξ ξ ξ Ω (.) Rcordando che, è possble scrvere la precedente nel modo segente: e e e R (.) ma allora s ha che: ξ ξ ω R nfatt = = e e e e e e (.) e l'ltmo termne della (.) è gale all'ltmo termne della (.). Ad esempo: R = che rappresenta la componente s e della (.), ed analogamente per le tre component. Possamo ntrodrre l vettore che dà la veloctà angolare meda delle partcelle, ed è defnto come:
e e e (.) per c ad esempo, la componente lngo e d, coè la rotazone ntorno all'asse, sarà: = L'eq. (.8) pò qnd essere scrtta come: G o, per component G essendo = In conclsone, la parte emsmmetrca dà l'effetto delle rotazon delle partcelle e la parte smmetrca tene conto dell'effetto della deformazone. La (.8) pò qnd essere scrtta come: G R d coè come la veloctà del barcentro pù na veloctà dovta alla rotazone ntorno al barcentro pù na veloctà dovta alla deformazone: G = veloctà d traslazone del barcentro R ( ζ ξ ) = = veloctà dovta alla rotazone d = veloctà dovta alla deformazone pra 79
Esempo d rotazone pra Moto pano rot = t poszone al tempo t essendo d dt =r cos = r cos ( t) =r sen = r sen ( t) = - r sen ( t) = r cos ( t) = - r sen ( t) = - = r cos ( t) = ζ, ζ ( ) ε.8. Deformazone P r P Vedamo ora l'effetto della deformazone d come sovrapposzone d na dlatazone pra e d no scorrmento. Dlatazone pra Ipotzzamo che e termn per e j sano nll. B C A t A 8
La dfferenza d veloctà prodce nell'ntervallo t na deformazone (allngamento) dell'elemento par a t La varazone del volme V è: ΔV δ δ δ Δt La varazone nel tempo per ntà d volme del volme V (varazone relatva d volme) per effetto del gradente d veloctà, è: V V t t lm t t Se estendamo qeste consderazon a e, tenendo conto che ora e ottenamo: B t t A Qnd la varazone relatva d volme per ntà d tempo (veloctà d dlatazone ) è, trascrando termn d ordne sperore: Δ δv ΔV Δt Coè la dvergenza d è la veloctà d dlatazone volmetrca. Se l flsso è ncomprmble coè la partcella d fldo non camba d volme nel moto. S rcorda che la corrsponde matematcamente alla condzone d solenodaltà del campo d veloctà. 8
Scorrmento Sa per potes: t e le altre component sano nlle. A B A t Defnamo l'angolo : t t essendo (per convenzone) postvo se l'angolo s rdce. La deformazone per taglo, sarà: lm veloctà d deformazone d taglo o d scorrmento essendo: t t tg t tg t lm Δt Δγ Δt lm Δt Δt Δt ε Qnd è evdente che termn nella dagonale sono responsabl delle deformazon assal (dlatazone volmetrca del sstema) mentre qell for dagonale delle deformazon per taglo. La s pò scomporre n 9 matrc del tpo:... La veloctà angolare è per defnzone: lm t t t ed analoghe, come gà dmostrato. Nel presente caso = perché 8
Oppre, accorpando termn slla dagonale, pò essere decomposto n D+W essendo D dagonale e W avendo solo termn for della dagonale. O ancora, pò essere scomposta n + matrc corrspondent cascna ad na deformazone elementare. La matrce ε è smmetrca ed esstono pertanto tre ass prncpal rspetto a qal pò essere dagonalzzata : ' ' ' La qadrca della deformazone: Ponamoc nel rfermento prncpale. Sappamo che per deformazon pre d coè l campo d deformazone pra è rrotazonale ed ammette pertanto n potenzale scalare. Infatt: b b ovvero per component con l potenzale b b b b che ha la forma d na qadrca. Qnd, pochè: b, b, b s ha che: b b ed anche. Al contraro: b ed anche b e b. Se ponamo φ b φ P valore nel pnto P s ottene l'eqazone d na qadrca a centro (ellsode o perbolode) passante per P: 8
P' P Per valtare le component d PP ' (PP ) l= PP l l t (spostamento) secondo l l cos l e e Se e è tangente alla sperfce e essendo P cos t., lo spostamento vettorale del pnto P è sempre normale alla gactra locale della qadrca ed l modlo della veloctà è calcolable come: 84
.9 Tensore delle tenson E possble dstngere de tp d forze agent sl corpo fldo: le forze d corpo e le forze d contatto. Le forze d corpo sono n grado d penetrare n ttte le part del corpo fldo e d agre s d esse: è pertanto natrale pensarle come dstrbte sl volme occpato dal corpo fldo. La forza d gravtà è l pù mportante esempo del prmo tpo d forze, ma vanno rcordate anche le forze d natra elettromagnetca, che agscono s fld che trasportano carche elettrche, e le forze apparent, che agscono s fld n movmento n sstem d rfermento non nerzale. Per comprendere l rolo e la modaltà d azone delle forze d contatto, s consder n corpo fldo d volme V, n eqlbro sotto l azone d na dstrbzone d forze d corpo. S dvda l corpo fldo n de porzon, lmtate da na sperfce A: affnché cascna delle de porzon rslt n eqlbro è necessaro eserctare s d esse, attraverso A, n sstema d forze costtent l azone recproca che s scambano le de porzon F F Tale sstema d forze, costtto da de forze F gal n modlo e drezone e d verso opposto, pò essere pensato come dervante da na dstrbzone contna d forza d contatto slla sperfce A. In altre parole s pò potzzare na partzone della sperfce d separazone n aree elementar da slle qal agscano forze d contatto elementar df. Il rapporto df/da, è defnto, per da che tende a zero, sforzo agente slla sperfce da. Lo sforzo, soltamente ndcato con smbol T o, è qnd n vettore, avente le dmenson d na forza per ntà d sperfce: [Nm - ], fnzone del tempo, della poszone attorno c s fa tendere a zero da e della gactra d qest ltma. La forza d contatto agente sll area elementare da s calcola mmedatamente come: df = da e d consegenza, la forza d contatto rsltante s A, s calcola ntegrando la precedente. 85
S vole dmostrare che gl sforz ntern ad n fldo, che caratterzzano totalmente lo stato tensonale n n pnto, sono 9. Qest, raccolt n na matrce, costtscono l tensore delle tenson. Consderamo na sperfce δs ndvdata dalla normale n. - + - + Slla sperfce δs sarà applcata na forza δf n δfn T n (.5) δs Per fld ferm T n p n con n che caratterzza le gactre della S. S dmostrerà che per n fldo n moto, la T relatva ad na gactra n è combnazone degl sforz T, T, T relatv a drezon prncpal della terna d rfermento prescelte. Se sceglamo n pano normale a T TK. ek T T T (.6) T Moltplcando scalarmente le (.6) per e, s ha: T T e T e T e T e T e analogamente per le altre drezon. T T T T 86
.9. Tetraedro d Cachy Cerchamo ora d generalzzare qest concett: prendamo n tetraedro d fldo che è n eqlbro sotto l'effetto delle forze d volme e d sperfce. La rsltante delle forze d sperfce F s, è F s T S T (.7) S ma F s n e e qnd, rferendos ad e T S T S Per la legge d conservazone della qanttà d moto ( prncpo della dnamca) F tot ma F s mg ma La massa è data da: h m ρ S con h altezza del tetraedro. S ha qnd: T S T S h ρ S a g da c, dvdendo per S e passando al lmte per h, s ottene: 87
S lmt T h S S T T S n n h ρ a g S cos n ne cn dove cn ndcano cosen drettor d n s e. S ottene ^ ma S n qnd: T (.8) In c T sono gl sforz relatv alla generca facca d normale n, mentre T rappresenta lo sforzo relatvo alla e coè alla facca d normale n. Se consderamo la facca d normale n, lo sforzo T pò essere scomposto nelle component per proezone s e (=,, ) e s ottengono, come gà detto, le component del tensore delle tenson T cn T, T, T n et n et e T ee n e coè T T e (.9) In generale qnd: T T e con =,, e =,,. (.) Medante la (.8), s dmostra che lo stato tensonale rspetto ad na generca gactra, è defnto dalle tenson agent slle tre gactre n, n e n. Inoltre, dalla.9 la tensone s na gactra è esprmble attraverso le component T e le component cartesane slla gactra generca n sono date da: T T e cn T e c n T n e T T T n (.) c T e T n Pertanto le 9 qanttà T defnscono completamente le tenson ntorno ad n pnto n qanto come dmostrato da (.) la tensone n qalnqe altra gactra generca n pò essere valtata medante la (.), not cosen drettor d n rspetto a e. 88
La forma delle component del tensore delle tenson al varare della terna d rfermento, vene fornta coma nota 6..9. Smmetra del tensore delle tenson Tra le vare propretà del tensore delle tenson s pò far vedere che T = T coè che l tensore T è smmetrco con consderazon sll'eqlbro alla rotazone d n elemento d fldo. Infatt, consderamo l caso semplce dell'eqlbro alla rotazone d n elemento d fldo d base rettangolare e profondtà : S T Q T T T G O T T R T P T 6 Trasformazone delle component del tensore al varare della terna d rfermento: Sa ortogonale e da: * n'altra terna dello stesso tpo, e s vogla rappresentare l tensore delle tenson n * na terna d rfermento cartesana *. Sa la matrce d trasformazone per c * * e Π l e l e * e e * con Πl che per la sola rotazone s rdce a cosen drettor cl d c solo ndpendent. l Rcordando le.8 s ottene: T cn T * T e T * cn cn Π l T T Π l e e l l cn Π l T l 89
Il contrbto delle tenson agent s 4 lat PQ, RS, RP, SQ, sarà: ' δ T δ δ contrbto d PQ '' δ T δ δ contrbto d RS '' δ - T δ contrbto d RP ' δ T δδ contrbto d SQ Ed l momento rspetto al barcentro, essendo v l volme =: M TO δ v ' '' ' '' T T T T La varazone del momento della qanttà d moto è data nvece da: M Ι δ δ δ δ Ι ζ mr ζ m ζ ρδv ζ essendo l raggo d nerza r: r δ δ Qnd per la conservazone del momento della qanttà d moto, coè per l'eqlbro alla rotazone rspetto al barcentro, s ha che: MTO = M e qnd δv ' '' ' '' δ δ T T T T ρδv ζ che al lmte, per l'elementno che tende a zero, dà: lm δ,δ δ δ 6 T T 9
. Relazone costttva per fld Newtonan Come vedremo sccessvamente pù n dettaglo, nello scrvere le eqazon d eqlbro che governano l moto d n fldo, avremo l'eqlbro tra forze d'nerza, forze d sperfce e forze d volme. Le forze d nerza saranno espresse n termn d accelerazon ovvero d varazon delle veloctà mentre le forze d sperfce, come vsto al paragrafo (.9), sono espresse n fnzone delle tenson sperfcal che na partcella applca ad na partcella contga. E pertanto opportno esprmere na forma d legame (d tpo lneare possblmente) tra le tenson e le veloctà d deformazone n modo che le eqazon rsltant sano n termn delle sole veloctà... Relazon costttve tenson - veloctà d deformazone Tal relazon sono d tpo assomatco e s basano sgl assom dett d Noll, che sono segent:.. Prncpo d determnsmo o non nflenza dal ftro. Prncpo d effetto locale. Prncpo d ndfferenza dal sstema d rfermento Inoltre s assme ragonevolmente che Tj dpenda esclsvamente da: () Veloctà () Tensore del gradente d veloctà () Stato termodnamco j coè: T j H, j, stato termodnamco Spponamo che sa valda la (.9): Ω ε Dall'assoma, Tj non pò dpendere da j n qanto j è emsmmetrco e Tj è smmetrco e non pò dpendere da n qanto è n vettore, qnd: Tj = H (j,, stato termodnamco) (.) Per n fldo a rposo, dall'anals spermentale e dalla fldostatca, s ha: 9
T pn Tjnj = -pjnj (Tj+pj)nj = qnd n fldostatca l tensore è sferco e la sa tracca è gale a p T = T = T = -p S consderano ora le potes d fldo Stoesano. Tj è na fnzone contna d je dello stato termodnamco. a rposo Tj + pj =. l fldo è sotropo 4. l fldo è omogeneo La relazone costttva s ottene qnd svlppando n sere d Taylor la (.) T j A A ε A ε ε (.) j jl l jlmn l mn A, A,...devono essere sotrop, ed noltre del qarto ordne, ecc.. A j è n tensore del secondo ordne, A jl è n tensore Il fldo s dce Newtonano, se s trascrano nello svlppo n sere termn del secondo ordne lmn. L'nco tensore sotropo del II ordne è: Aj = Aoj (.4) L'nco tensore sotropo del IV ordne pò essere espresso come: Ajl = Ajl + Alj + Ajl (.5) Qnd: Tj = Aj + Ajll + Ajll + Aljl= (.6) =(A + A)j + (A+A)j (.7) A = -p A = A4 = A + A = 9
Da c: Tj =(-p+)j+j (.8) La (.8) costtsce la relazone costttva per n fldo Newtonano. Spesso s ndca: Tj = -pj+j j = j+j dove (.9) S not che la tracca rslta: T = -p+ = -p + (+) (.4) e la meda rslta: T p λ με (.4) In condzon d rposo, T p coè la pressone termodnamca gagla l valore medo della tracca (rspetta pertanto la seconda potes d Stoes). In condzon d moto, s devono dstngere cas semplfcat:. ε campo solenodale ncompressble.. λ μ λ μ potes d Stoes verfcata per gas monoatomc a bassa denstà (ed anche per l ara). In generale s ha: T p λ με (.4) dove spesso s ndca con = +/ la vscostà volmetrca. S not che p è la pressone del fldo a rposo qnd rappresenta la pressone fldostatca. Nel caso d flsso n moto, la pressone P sarà gale ad n terzo d T, e talvolta vene qnd ndcata come: 9
T P che, come detto, rappresenta convenzonalmente la pressone del fldo n moto. Qesta è na qanttà meccanca che non concde necessaramente con la pressone termodnamca. Tornando al caso pù generale, s ha pertanto: T j T δj dj (.4) dove T/ è l tensore sferco e dj l tensore devatorco. T T j j ' pδj σ j e σ j λεδj μj λ εδj μεj εδj p λε δ μ (.44) j j Per gas monoatomc a bassa denstà ( = ) s ha: T j pδj μεj εδj (.45).. Relazon costttve per l flsso d calore Slla base degl assom d Noll s pò ntrodrre anche l legame costttvo tra flsso d calore e temperatra o gradente d temperatra T K A Aj (.46) j dove A è n vettore e A j è n tensore del secondo ordne. Ma A e A devono essere sotrop A j ' δ e qnd: j e A T T K ' δj ' (.47) j con coeffcente d condcbltà termca del fldo, e l segno meno tene conto del calore che s propaga da zone calde a zone fredde. 94
. Esercz relatv al Cap. Es... Applcazone de concett d cnematca al moto d Coette Consderamo n moto d Coette, ovvero l moto pano d n fldo fra de pan parallel d c no è fsso e l'altro s move con veloctà costante V. Consderamo l fldo ncompressble e vscoso (moto lamnare) e trascramo l'effetto della forza peso. Come vedremo n segto, qesto tpo d moto dà na rappresentazone semplfcata delle fenomenologe che s osservano ne problem d lbrfcazone ad esempo n cscnett concentrc rotant (spponendo che l meato tra albero e cscnetto sa molto pù pccolo del raggo dell'albero). Come s vedrà pù n dettaglo n segto, se spponamo la pressone sempre costante, la veloctà nel meato è na fnzone lneare della dstanza dal pano fsso: d t P(,y) P t+dt y V Con le notazon della fgra (dstanza tra pan d e veloctà del pano moble V) la veloctà d n pnto P(,) è data da: V v d v Spponendo l fldo Newtonano, lo sforzo d taglo che no strato d fldo trasmette allo strato adacente meno veloce, è dato da: v h avendo posto h=v/d. rappresenta l coeffcente d vscostà che spponamo essere costante (la temperatra del fldo è mantenta costante tramte e.g. no scambatore d calore). Lo sforzo è qnd costante n ttto l campo. Per qesto tpo d flsso, determnare lo spostamento e la deformazone n n tempo dt d n qadrato d fldo con lat parallel agl ass. 94b
Es.. Un campo d veloctà n de dmenson è dato da: y y y j m s Dre se l campo è solenodale Dre se l campo è rotazonale o rrotazonale Determnare l modlo della veloctà e la veloctà de pnt lngo l'asse e l'asse y Determnare l'angolo tra l vettore veloctà e l'asse ne pnt (,y) = (5;), (5;5) e (;5) Determnare l'eqazone delle lnee d corrente. Es.. Un campo d veloctà è dato da v l y j Con V ed l costant. In qale poszone del campo l modlo della veloctà è V? Dagrammare la veloctà nel I e II qadrante sando delle frecce per rappresentare la veloctà del fldo n alcne poszon, e ndvdare d che tpo d flsso s tratta. Inoltre: Verfcare che l campo è rrotazonale Verfcare che l campo è solenodale. Determnare la fnzone d corrente e dsegnare le lnee d corrente Determnare l potenzale scalare e dsegnare le lnee eqpotenzal Dmostrare che lnee eqpotenzal e lnee d corrente sono perpendcolar tra loro. Es..4 Il gas d scta da n motore a reazone d n aereo s trova a temperatra T fnzone della qota z e del tempo t. Fssata la qota, la temperatra dmnsce con legge T t c con c Al crescere della qota la temperatra amenta con legge T c con c z 95
Determnare la veloctà vertcale dell'aereo affnchè la temperatra s mantenga costante. Es..5 Il campo d veloctà d n flsso è dato da: v V y y V y con V costante. Dove, nel campo, la veloctà è par a V? Determnare anche l'eqazone delle lnee d corrente. Es..6 Dato l campo d veloctà = c ( -y ) v = -cy determnare l'eqazone delle lnee d corrente. Mostrare n qal pnt del campo l flsso è parallelo all'asse. Es..7 Le component ed y della veloctà per n flsso D sono: m 6y v s m s Determnare le eqazon delle lnee d corrente ed l logo d pnt ne qal la veloctà è parallela alla bsettrce del I qadrante. Es..8 Dato l campo d veloctà: c y v cy y 96
con c=cost. (sorgente). Calcolare: La varazone percentale d volme d n elemento d fldo nell'ntà d tempo. La vortctà Es..9 Dato l campo d veloctà: cy y v c y con c=cost. Calcolare: La varazone percentale d volme d n elemento d fldo nell'ntà d tempo. La vortctà Es.. Il moto descrtto dalle relazon: r = cr (con c=cost.) è rotazonale o rrotazonale? Es.. Consderamo l campo d veloctà: y y v y w ndcare d che tpo d flsso s tratta (compressble o ncompressble) e se l moto è rrotazonale. Es.. Defnre l segente campo d veloctà: 97
v = (z - 4 ; -5y ; -+z) Es.. In n moto alla Poselle n n tbo, le component d veloctà sono: = v = w = b(- - y + a ) che tpo d moto e flsso è? Es..4 Un flsso bdmensonale ha l campo d veloctà defnto come: 4y y E' rrotazonale? j Es..5 Per n flsso D, ncompressble, stazonaro, s hanno: y z v y yz z Determnare la forma della componente w, affnchè l flsso soddsf l'eqazone d contntà. Es..6 Il modlo della veloctà d n campo fldodnamco è dato da v y y mentre le fnzon d corrente è data da: y y cos t. Valtare le component della veloctà e v. Es..7 Un campo d veloctà n n flsso stazonaro, compressble e bdmensonale, è dato da: = y v = 4 Determnare la fnzone d corrente corrspondente Dsegnare le lnee d corrente e la drezone del flsso 98
Es..8 Scrvere n forma ndcale (secondo la notazone d Newton) l rsltato delle operazon ndcate:.... T. P. 4. T 4. 5. T n 5. 6. P I 6. T 7. l 7. DT 8. Dt 8. l 9. 9. lm lm.. 98 b
. Solzon d alcn esercz relatv al Cap. Es... Applcazone de concett d cnematca al moto d Coette Consderamo n moto d Coette, ovvero l moto pano d n fldo fra de pan parallel d c no è fsso e l'altro s move con veloctà costante V. Consderamo l fldo ncompressble e vscoso (moto lamnare) e trascramo l'effetto della forza peso. Come vedremo n segto, qesto tpo d moto dà na rappresentazone semplfcata delle fenomenologe che s osservano ne problem d lbrfcazone ad esempo n cscnett concentrc rotant (spponendo che l meato tra albero e cscnetto sa molto pù pccolo del raggo dell'albero). Come s vedrà pù n dettaglo n segto, se spponamo la pressone sempre costante, la veloctà nel meato è na fnzone lneare della dstanza dal pano fsso: d t P(,y) P t+dt y V Con le notazon della fgra (dstanza tra pan d e veloctà del pano moble V) la veloctà d n pnto P(,) è data da: V v d v Spponendo l fldo Newtonano, lo sforzo d taglo che no strato d fldo trasmette allo strato adacente meno veloce, è dato da: v h avendo posto h=v/d. rappresenta l coeffcente d vscostà che spponamo essere costante (la temperatra del fldo è mantenta costante tramte e.g. no scambatore d calore). Lo sforzo è qnd costante n ttto l campo. Per qesto tpo d flsso, determnare lo spostamento e la deformazone n n tempo dt d n qadrato d fldo con lat parallel agl ass. 99
Solzone Es.. Il tensore veloctà d deformazone sarà dato da: h v Come abbamo vsto, tale tensore pò essere scomposto nella parte smmetrca d e nella parte antsmmetrca R, e nel caso n esame s ottene: h h h h h v La prma matrce a secondo membro (rotazone rgda) fornsce de component d veloctà, h h che corrspondono alla rotazone d n pnto Q rspetto a P con veloctà angolare h. Infatt, se calcolamo l rotore della veloctà, s ottene (tenendo conto che l moto è pano): h v v e coè la parte antsmmetrca del tensore veloctà d deformazone, rappresenta na rotazone rgda con veloctà angolare: h La parte smmetrca del tensore veloctà d deformazone, rappresenta nvece na deformazone per solo scorrmento (solo termn for della dagonale sono dvers da ) con dlatazone nlla. La parte smmetrca del tensore veloctà d deformazone fornsce qnd de component d veloctà, h h che corrspondono alla deformazone per scorrmento. Consderamo allora l qadrato d fldo PACB con lat parallel agl ass e prendamo n rfermento cartesano locale, centrato nel pnto P.
t t+dt P P Vedamo separatamente gl effett della traslazone, rotazone e scorrmento n n tempo dt: la traslazone rgda sposta rgdamente ttto l qadrato da P a P. Se l pnto P s trovava nella poszone (; ), dopo la traslazone s troverà nel pnto: V h v dt; PP v dt dt P nella rotazone rgda, PA e PB rotano rgdamente d /hdt n senso oraro essendo la veloctà angolare = -/h. nella deformazone per scorrmento, l pnto A rota d /hdt n senso antoraro, mentre l pnto B rota sempre d /hdt ma n senso oraro. Globalmente, sommando tre effett, s ha che nel pnto A, l'effetto della rotazone e dello scorrmento s compensano qnd esso sbsce solo la traslazone rgda. Nel pnto B de effett nvece s sommano, qnd, oltre alla traslazone rgda, esso s sposta d hdt. Il rsltato fnale per l qadrato completo qnd: E da notare che gl spostament nfntesm sono commtatv coè la poszone fnale d n pnto non dpende dall'ordne n c ess vengono applcat. Qesto c ha permesso d consderare separatamente la traslazone, rotazone e scorrmento, e d ottenere la deformazone fnale sovrapponendone gl effett.
Es.. Un campo d veloctà n de dmenson è dato da: y y y j m s Dre se l campo è solenodale Dre se l campo è rotazonale o rrotazonale Determnare l modlo della veloctà e la veloctà de pnt lngo l'asse e l'asse y Determnare l'angolo tra l vettore veloctà e l'asse ne pnt (,y) = (5;), (5;5) e (;5) Determnare l'eqazone delle lnee d corrente. Solzone Es.. Affnché l campo d veloctà sa solenodale, deve valere: v Chameremo A, y y qnd l espressone del campo dventa: A Poché y A j A s ha: A e A A y y A ya e v A ya Qnd, sommando le de dervate, s vede che l campo d veloctà è solenodale.
Determnamo ora se l campo è rotazonale o rrotazonale. v y y A A A A A A y A A A Qnd l campo è rotazonale. Calcolamo adesso l modlo della veloctà e la veloctà de pnt lngo gl ass e y. Il modlo è: y A y A A m / s Lngo l asse, coè per y =, s ha: j m / s Analogamente lngo l asse y, coè per =, s pò scrvere: y v m / s y y m/s - m/s
Determnamo ora l angolo che c è tra l vettore veloctà e l asse ne pnt (,y) = (5;), (5;5) e (;5). y v cos v sn v tg => v v tg => arctg Per l pnto d coordnate (5;) s ha: v Per l pnto d coordnate (5;5) s ha: 5 5 5 5 j v v => arctg => 4 4
Determnamo ora l eqazone delle lnee d corrente. v Le lnee d corrente sono tangent alle veloctà qnd: v dy d A ya y Allora: dy d y y dy d Integrando: y c Pertanto l eqazone delle fnzon d corrente è na crconferenza d eqazone: y c 5
Es.. Un campo d veloctà è dato da V l yj Con V ed l costant. In qale poszone del campo l modlo della veloctà è V? Dagrammare la veloctà nel I e II qadrante sando delle frecce per rappresentare la veloctà del fldo n alcne poszon, e ndvdare d che tpo d flsso s tratta. Inoltre: Verfcare che l campo è rrotazonale Verfcare che l campo è solenodale. Determnare la fnzone d corrente e dsegnare le lnee d corrente Determnare l potenzale scalare e dsegnare le lnee eqpotenzal Dmostrare che lnee eqpotenzal e lnee d corrente sono perpendcolar tra loro. Solzone Es.. Il modlo della veloctà è: V l y Esso è par a V qando y l Qnd l modlo della veloctà è V s na crconferenza d raggo l (ved fgra): y l Inoltre è faclmente verfcable che l campo è rrotazonale e solenodale, nfatt: campo rrotazonale campo solenodale Trovamo ora le lnee d corrente: dy d dy y v d y 6
log y log c log y log c log y c y e c c y c perbole y Lnee d corrente L Posso ntrodrre l potenzale scalare, nfatt: Esso sarà: d y vdy d y ydy y y y 7
Per dmostrare che le lnee eqpotenzal e le lnee d corrente sono ortogonal tra loro, s pò mporre: coè con y y y y Qnd: yj y j y y Pertanto sono ortogonal. Es..4 Il gas d scta da n motore a reazone d n aereo s trova a temperatra T fnzone della qota z e del tempo t. Fssata la qota, la temperatra amenta con legge: T t c con c Al crescere della qota la temperatra dmnsce con legge: T z c con c Determnare la veloctà vertcale dell'aereo affnchè la temperatra s mantenga costante. Solzone Es..4 Determno slla vertcale T zt DT Dt, t 8
T t T T t T z c c c c poché c Qnd dovrò salre con veloctà par a: c c Solzone Es..8... e T T. P ˆ. P e. ee 4. T T 4. 5. T T n n 5. ˆ ˆ ˆ PI P 6. 6. T T 7. 7. 8. DT Dt T T 8. l l t ˆ ˆ 9. ee 9. lm lm eˆ.. 9