SIMULAZIONE DEL 25/5/2017 - Seconda prova Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 La lampada da tavolo in figura, dove il sistema di riferimento cartesiano ha per unità di misura il decimetro, è così costituita: un cilindro di base altro 1 cm con raggio di base lungo 10 cm; uno stelo uscente dall origine del sistema di riferimento scelto a formare un arco di circonferenza di raggio 20 cm e che sottende un angolo pari a 60 ; un paralume la cui sezione con il piano yz segue la forma di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse y avente vertice nel punto finale dello stelo e il punto più alto di tale sezione ha coordinate P( 3 2, 1 4 + 3). 1. Determina l equazione della sezione del paralume nel piano yz. Il costo di produzione della base è di 0,5 al dm 3 ; il costo dello stelo è di 1 al decimetro lineare e il costo del paralume è di 3. L azienda che produce la lampada ha dei costi fissi di produzione settimanali pari a 1000 per la mano d opera e per la gestione degli impianti di produzione, un costo variabile pari all 1% del costo unitario moltiplicato per il cubo del numero di oggetti prodotti. 2. Se ogni lampada viene venduta a 100, determina la quantità di lampade da produrre settimanalmente per avere il massimo guadagno. Quest anno, a causa della prolungata assenza per malattia di due operai, l azienda chiede di fare delle ore di straordinario agli operai ed ha per questo un aumento del costo fisso settimanale pari al 10%. 1 di 11
3. Puoi dedurre se la quantità di oggetti da produrre per avere il massimo utile rimane la stessa? Motiva la risposta. In aggiunta alla precedente situazione, a causa dell aumento dei costi delle materie prime, quello per la produzione di ogni lampada aumenta del 3% 4. Puoi dedurre se la quantità di oggetti da produrre per avere il massimo utile rimane la stessa? Motiva la risposta. 2 di 11
PROBLEMA 2 Sia f la funzione definita da f(x) = (4x 2)e 2x. 1. Dimostra che la funzione possiede un unico punto di minimo e un unico punto di flesso. Calcola le coordinate del minimo e del flesso e traccia il grafico G f della funzione; 2. Dimostra che la funzione g(x) = ( 4x 2)e 2x è simmetrica a f rispetto all asse y e tracciane il grafico G g ; 3. Detti P e Q i punti di intersezione rispettivamente del grafico G f e del grafico G g con l asse x, determina l area A della porzione di piano delimitata dal segmento PQ e dai grafici G f e G g ; 4. Sia f a la famiglia di funzioni definite da f a (x) = (2ax 2)e ax, con a {0}. Per ogni funzione f a la tangente al grafico nel punto di flesso interseca l asse x e l asse y delimitando un triangolo rettangolo. Determina i valori di a per i quali tale triangolo è anche isoscele, spiegando il procedimento seguito. Vedi allegato QUESTIONARIO 1. La probabilità che un tiratore scelto non colpisca il bersaglio è di 0,08. Calcolare la probabilità che su 10 tiri ne fallisca: a) 3 ; b) al massimo 3; c) almeno 3. 3 di 11
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2. Si consideri la funzione: f(x) = { x3 + 1 x 2 + 13 per 0 x 2 per 2 < x 3 E applicabile ad essa, nell intervallo chiuso [0; 3], il teorema di Lagrange? 3. Si risolva l equazione 6 [( x 2 ) + (x )] = x(x + 11) 3 (mi manca il pezzetto prima con lo studio del C.E.) 5 di 11
4. Nello spazio sono dati due piani α e β rispettivamente di equazione: α) x 3y + z 5 = 0 β) x + 2y z + 3 = 0 Dopo aver determinato l equazione parametrica della retta r da essi individuata verificare che essa appartiene al piano g di equazione 3x + y z + 1 = 0 1 5. Risolvere l integrale improprio: ln(x) dx 0 6 di 11
6. In un semicerchio di raggio r = 10 è inscritto un triangolo in modo che i due vertici si trovino sulla semicirconferenza e il terzo vertice si trovi nel centro del cerchio. Qual è l area massima che può assumere tale triangolo? 7 di 11
7. Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi: x(t) = 3 2 cos t ; y(t) = 2 + 3 sin t Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da 0 a 2π secondi e determinare la velocità di variazione di θ, l angolo formato dalla tangente alla traiettoria con l asse x, per t = 3 π secondi. 2 8 di 11
8. Un solido ha per base la regione R di piano delimitata dalla curva di equazione y = 1 1 x e dagli assi cartesiani. Sezionando il solido con piani perpendicolari 2 all asse x si ottengono dei quadrati. Qual è il volume del solido? 9 di 11
3 9. Si consideri la curva di equazione f(x) = x 3 x. La curva ha asintoti? In caso affermativo, se ne determinino le equazioni. 10 di 11
10. Si calcoli il valore medio della funzione f(x) = ex (x 1) x 2, nell intervallo 1 x 2. 11 di 11