Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile V. c. multidimensionali e distribuzioni di funzioni di v.c. Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 1
Variabili casuali multidimensionali Esercizio 1. Sia data la seguente funzione: f (x, y) = ϑ ( x 2 + y 2) I [0,1] (x) I [0,2] (y). calcolare la costante ϑ in modo che essa risulti una funzione di densità di probabilità congiunta di X e Y. Determinare, inoltre, la funzione di densità di probabilità marginale di X; la funzione di densità di probabilità marginale di Y ; Cov [X, Y ]; la funzione di ripartizione condizionata di X, dato Y = 0, 2; E [X + Y ] e Var[X Y ]. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 2
Esercizio 2. Lanciamo tre volte una moneta e indichiamo con X la variabile casuale che denota il numero di volte in cui si ottiene testa e con Y la variabile casuale che denota il valore assoluto della differenza tra il numero di teste e il numero di croci ottenute. Determinare: 1. la funzione di densità di probabilità congiunta di X e Y ; 2. le funzioni di densità di probabilità marginali di X e di Y. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 3
Distribuzioni di funzioni di v.c. Esercizio 3. Un azienda stipula un contratto per vendere barattoli di conserva di 500 g. La quantità di conserva X messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente ed è normalmente distribuita con media µ e deviazione standard 25 g. 1. A quale valore minimo di µ deve essere tarata la macchina, affinchè non più del 2 per cento dei barattoli contenga meno di 500 g di conserva? 2. Supponiamo che i barattoli siano di metallo e che il loro peso Y da vuoti segua una distribuzione N (90, 64). Se un ispettore pesa i barattoli pieni e scarta quelli il cui peso è inferiore 590 g, quale percentuale di barattoli non passerà l ispezione? Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 4
Esercizio 4 (Esercizio tratto dal tema d esame del 22/12/2003). Sia X la variabile casuale avente funzione di densità f X (x) = { e (x 2) se x > 2 0 altrimenti Siano X 1, X 2,, X n variabili casuali indipendenti e ciascuna con densità di probabilità f X. Sia Y = min [X 1, X 2,, X n ]. Calcolare la funzione di ripartizione e la funzione di densità della variabile casuale Y. Esercizio 5. Sia X una variabile casuale esponenziale di parametro λ. Dati a, b R tali che a < b, definiamo Y 1 = max [a, X], Y 2 = min[b, X] e Y 3 = max [a, Y 2 ]. Calcolare la funzione di ripartizione delle variabili casuali Y 1, Y 2 e Y 3. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 5
Esercizio 6 (Tema d esame del 13/12/2005). Data la seguente funzione nel caso in cui a = 2, kx f X,Y (x, y) = y se 0 x a e 1 y e, 0 altrove, 1. determinare il valore della costante k affinché f X,Y (x, y) sia una funzione di densità di probabilità congiunta nella variabile aleatoria bidimensionale X, Y ; 2. verificare l indipendenza delle componenti marginali X e Y ; [ ] X 3. calcolare var a Y. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 6
Campionamento Esercizio 7. Durante un processo di produzione vengono estratti 300 campioni di un pezzo e ne viene misurato lo spessore in mm, fornendo una media campionaria di 2, 6 mm. Si sa inoltre che la varianza della variabile casuale che dà lo spessore è 0, 4 mm 2. Qual è la probabilità che il valore atteso dello spessore sia inferiore a 2, 5 mm? Esercizio 8. In un processo di produzione vengono prodotte sbarre con una lunghezza data da una distribuzione normale, di cui si conosce la deviazione standard, pari a 0, 2 m. Si esegue un campionamento per calcolare il valore atteso, misurando un numero n di sbarre e calcolando la media. Qual è la numerosità del campione che garantisce una probabilità superiore al 97 per cento che la media campionaria disti dal valore atteso per meno di 1 cm? Esercizio 9 (Tema d esame del 07/12/2004). Si supponga che una distribuzione con media incognita abba deviazione standard uguale a 1. Quanto deve essere grande un campione affinché si abbia una probabilità almeno del 90% che la media campionaria X n disti meno di 0.5 dalla media della popolazione? Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 2006/2007 V. c. multidimensionali e distribuzione di funzioni di v.c.- Ines Campa e Marco Longhi - p. 7