Recupero 1 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 3 4 6 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y = 4e x cos x. [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi]. 1
. Risolvere il problema di Cauchy { y + y x log x = 3x y e = e precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri l arco di curva piana γ di equazione polare [ ρ = 1 + cos θ, per θ, π ]. Calcolare l integrale di linea γ yds.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y = arcsin log x + y x + y 3 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No. Si consideri la funzione: { x y log1+x +y 4 f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. 3
6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x y 1 + x + y. 4
Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 3 4 6 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco 1. Dimostrare che l equazione f x, y = log 1 + x 3 y + sin πy definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1, e calcolare h 1.
. Calcolare l integrale doppio T xe y dxdy dove T è il trapezio di vertici,, 1, 3, 4, 3, 7,. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e scrivere la rappresentazione analitica di T come dominio x-semplice. 3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: } z Ω = {x, y, z : z h, x + y R 1 h con R, h > parametri fissati. Prestare cura nell impostazione dell esercizio: visualizzare l insieme, per osservare e sfruttarne le simmetrie, e riportare l impostazione del calcolo del centroide a partire dalla definizione. 6
4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale x F = x + y, y x + y, z x + y lungo l arco di curva γ di equazioni parametriche: x = t cos t y = t sin t t [, π]. z = t. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σgenerata dalla rotazione attorno all asse zdella curva γdel piano xz { x = R cos 3 φ [ z = R sin 3 φ φ π, π ] e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta. Quindi determinarne l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo si tratti di una superficie materiale omogenea di massa m. Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. 7
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { sin x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. 8
Recupero 1 compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Equazioni differenziali 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y = 4e x cos x. Es. 1 3 4 6 Tot. Punti [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi]. a. b. Poiché α + 3α + = α + 1 α + =, α = 1, α = y x = c 1 e x + c e x. 4e x cos x = Re 4e x 1+i, cerco prima una soluzione particolare dell equazione nel campo complesso Cerco w + 3w + w = 4e x 1+i. w x = Ae x 1+i w x = A 1 + i e x 1+i w x = A 1 + i e x 1+i, quindi { } Ae x 1+i 1 + i + 3 1 + i + = 4e x 1+i A { 3 4i 3 + 6i + } = 4 4 4 4 i A = = = 4 + i 4 + i 16 + 4 w x = 4 + i e x cos x + i sin x 9
perciò una soluzione particolare dell equazione completa di partenza è y x = Re 4 + i e x cos x + i sin x = e x 4 cos x + sin x e l integrale generale dell equazione completa è y x = c 1 e x + c e x + e x cos x + sin x.. Risolvere il problema di Cauchy { y + y x log x = 3x y e = e precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione del prim ordine lineare, a x = 1 x log x ; A x = dx = log log x x log x } y x = e {c log log x + e log log x 3xdx = 1 { } c + 3 x log x dx. log x Poiché la condizione di Cauchy è assegnata in x = e e log e = 1 >, possiamo supporre log x > in un intorno del punto in cui si assegna la condizione, per cui porremo log x = log x. x log xdx = x x log x 1 x x dx = log x x 4 perciò l integrale generale è per x > 1 y x = 1 { } x x c + 3 log x log x 4 Imponiamo la condizione iniziale e e = y e = c + 3 e = c + 3 4 4 e c = e 4 1
e la soluzione è y x = 1 { } e x log x 4 + 3 x log x, 4 definita sull intervallo massimale 1, +. Curve e integrali di linea 3. Si consideri l arco di curva piana γ di equazione polare [ ρ = 1 + cos θ, per θ, π ]. Calcolare l integrale di linea γ yds. Si ha: ds = ρ + ρ dθ = = + 4 cos θdθ 1 + cos θ + sin θ dθ mentre perciò 1 γ yds = y = ρ sin θ = 1 + cos θ sin θ 1 + cos θ sin θ + 4 cos θdθ cos θ = u; sin θdθ = du; u [1, ] = 1 1 + u + 4udu + 4u = t; + 4u = t ; 4du = tdt; du = 1 tdt; t [, 3 ] ; u = t 1 + u 3 + 4udu = 1 + t t 1 tdt = 1 3 t t 3 dt 4 = 1 [ ] t 3 4 t3 = 1 3 [3 3 4 1 ] 1 = 1 [ 7 4 ] = 7 4. 11
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y = arcsin log x + y x + y 3 Dopo aver determinato analiticamente l insieme E e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No x + y > 1 log x + y 1, e 1 x + y e x + y 3 >, y > x /3 Quindi E = {x, y : e 1 x + y e, y > x /3} E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No. Si consideri la funzione: { x y log1+x +y 4 f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. perciò a. Per x, y in un intorno dell origine è: log 1 + x + y 4 log 1 + x + y f x, y x y log 1 + x + y x + y. Poiché log1+x +y x +y è una funzione radiale e log1+ρ ρ 1 per ρ, per x, y, si ha log 1 + x + y x + y 1, x y 1
e f x, y, perciò f è continua in,. b. f x, = x log 1 + x x = log 1 + x x per x, perciò f, =. x f, y = y log 1 + y 4 y y 3 perciò f, =, y in particolare f è derivabile in,. c. La differenziabilità di f in, equivale alla condizione Ma: g x, x = g x, y x x log 1 + x + x 4 x 3/ f x, y per x, y,. x + y x x x 3/ 3 = sgn 1 x 3/ per x 3/ ±. In particolare g x, y non tende a zero per x, y,, e f non è differenziabile in,. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x y 1 + x + y. f x = 1+x +y xx y 1+x +y f y = 1+x +y yx y 1+x +y { 1 x + y + xy = 1 x + y xy = = 1 x +y +xy 1+x +y = = 1 x +y xy 1+x +y = sottraendo membro a membro { + 4xy = 1 x + y + xy = { y = 1 x x + 1 4x = { x 4 = 1 4, x = ± 1 y = 1 13
e i punti stazionari sono: 1, 1, 1 1,. Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = x + y 1 + x + y 1 + x + y x 1 x + y + xy 1 + x + y 4 = y x 1 + x + y 4x 1 x + y + xy 1 + x + y 3 f xy = y + x 1 + x + y 4y 1 x + y + xy 1 + x + y 3 f yy = y x 1 + x + y 4y 1 x + y xy 1 + x + y 3 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: sfruttando le relazioni x + y = e xy = 1 che valgono in entrambi i punti stazionari, e semplificano le scritture. 1 f xx, 1 = 3 = 1 1 f yy, 1 = 3 = 1 1 f xy, 1 = Hf 1, 1 [ ] 1 = 1 definita negativa, 1, 1 è punto di massimo relativo. Poiché le funzioni f xx, f yy, f xy sono tutte funzioni dispari come si osserva dall espressione analitica, senza rifare i calcoli possiamo concludere che Hf 1 [ ] 1 1, = definita positiva, 1 1 1, è punto di minimo relativo. 14
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Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 1. Dimostrare che l equazione f x, y = log 1 + x 3 y + sin πy Es. 1 3 4 6 Tot. Punti definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1, e calcolare h 1. Si ha: f x, 1 = log x 3 1 = x 3 1 = 1 x = 3. f x x, y = 3x 1 + x 3 y f 3, 1 = 3 3 4, x e per il teorema di Dini, essendo f C 1, f 3, 1 =, f 3 x, 1, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1; risulta h 1 = 3 e f 3 h y, 1 1 = 3., 1 Calcoliamo perciò f y f x f 4y x, y = y 3, 1 = 4 π f 3 h y, 1 1 = 1 + x 3 + π cos πy y f x 3, 1 = 4 π 3 3 4 = 4 + π 3 3 4.. Calcolare l integrale doppio T xe y dxdy 16
dove T è il trapezio di vertici,, 1, 3, 4, 3, 7,. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e scrivere la rappresentazione analitica di T come dominio x-semplice. e I lati obliqui del trapezio stanno sulle rette y = x, y = x + 7. Quindi T xe y dxdy = = T = {x, y : y 3, y 7 x y} 3 y y 7 3 e y 3 xe y dx dy = 3 e y [ x [ y y 7 ] dy = 3 ] y dy y 7 3 e y = ye y dy 4 e y dy { [ ye y = ] 3 } 3 + e y dy 4 3 e y dy = 1e 3 + 4 [ e y ] 3 = 1e 3 + = 4 1 + 4 [1y 4] dy 4 1 e 3 e 3 = 3 + e 3 = e 3 7. 3. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: } z Ω = {x, y, z : z h, x + y R 1 h con R, h > parametri fissati. Prestare cura nell impostazione dell esercizio: visualizzare l insieme, per osservare e sfruttarne le simmetrie, e riportare l impostazione del calcolo del centroide a partire dalla definizione. Si tratta di un solido di rotazione: 17
quindi sarà per simmetria x c = y c =. h Ω = dxdydz = Ω x +y R z 1 h dxdy dz h z h = πr 1 dz = πr 1 + z z h h dz h [ ] z = πr {h h + [ ] } h h h 3 z3/ = πr {h + h 43 } h = 1 6 πr h. z c = 1 zdxdydz = 1 h z Ω Ω Ω = 6 h z πr zπr 1 dz = 6 h h h [ z = 6 h [ 1 = 6 + 1 3 4 + z3 3h 4 h x +y R 1 z ] h h z/ = 6 [ h h + h 3 4 h ] [ ] 1 + 1 4 h = 6 h = 1 h. 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale x F = x + y, y x + y, z x + y lungo l arco di curva γ di equazioni parametriche: x = t cos t y = t sin t t [, π]. z = t 3 z h dxdy 1 + z z h dz h ] dz r t = cos t t sin t, sin t + t cos t, t F r t = cos t, sin t, t L = = = = F r t r t dt cos t t sin t, sin t + t cos t, t cos t, sin t, t dt cos t t sin t cos t + sin t + t sin t cos t + t dt 1 + t dt = π + 3 π3 = π + 16 3 π3 18
. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ del piano xz { x = R cos 3 φ [ z = R sin 3 φ φ π, π ] e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta. Quindi determinarne l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo si tratti di una superficie materiale omogenea di massa m. Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. x = R cos 3 φ cos θ Σ : y = R cos 3 φ sin θ z = R sin 3 φ ds = a φ φ a φ + b φ dφdθ con a φ = R cos 3 φ, b φ = R sin 3 φ a φ = 3R cos φ sin φ; b φ = 3R sin φ cos φ; a φ + b φ = 9R cos φ sin φ [ π, π ], θ [, π]. ds = R cos 3 φ3r cos φ sin φ dφdθ = 3R cos 4 φ sin φ dφdθ Σ = ds = π 3R cos 4 φ sin φ dφ Σ = 6πR π cos 4 φ sin φdφ = 1πR [ cos φ ] π/ = 1 πr. I = m x + y ds = m Σ Σ 1πR π R cos 6 φ 3R cos 4 φ sin φ dφ π = mr cos 1 φ sin φdφ = mr [ cos11 φ 11 ] π/ = 11 mr. 19
6. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { sin x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier tendono a zero come o 1/k. b. La funzione non è né pari né dispari, occorre calcolare tutti i coeffi cienti. Utilizzando le identità sin α cos β = 1 {sin α + β + sin α β} sin α sin β = 1 {cos α β cos α + β}
si ha, per k = 1,, 3... a k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π mentre mentre = 1 π = 1 π = 1 π π f x cos kx dx = 1 π [ [sin k + 1 x + sin 1 k x] dx cos k + 1 x k + 1 [ cos k + 1 π k + 1 [ 1 k + + sin x cos kx dx ] π cos k 1 x k 1 cos k 1 π + 1 k 1 ] k + 1 1k k 1 + 1 k + 1 1 k 1 1 k + 1 a 1 = 1 π a = 1 π k 1 b k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π e la serie di Fourier di f è sin x cos xdx = 1 π sin xdx = π. π f x sin kx dx = 1 π k + 1 1 ] k 1 = 1 π sin xdx = sin x sin kx dx [cos k 1 x cos k + 1 x] dx [ ] π sin k 1 x sin k + 1 x = k 1 k + 1 b 1 = 1 π f x = 1 π + 1 sin x 1 π = 1 π + 1 sin x π sin xdx = 1. k= k=1 1 k + 1 k 1 cos kx 1 4k cos kx 1 1 k + 1 k 1 1
Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 6:
Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 1 3 4 6 7 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y = 4e x cos x. Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi.. Si consideri la funzione: { x y log1+x +y 4 f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = 4. Calcolare l integrale doppio T x y 1 + x + y. xe y dxdy dove T è il trapezio di vertici,, 1, 3, 4, 3, 7,. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e scrivere la rappresentazione analitica di T come dominio x-semplice. 3
. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: } z Ω = {x, y, z : z h, x + y R 1 h con R, h > parametri fissati. Prestare cura nell impostazione dell esercizio: visualizzare l insieme, per osservare e sfruttarne le simmetrie, e riportare l impostazione del calcolo del centroide a partire dalla definizione. 6. Calcolare il lavoro del campo vettoriale x F = x + y, y x + y, z x + y lungo l arco di curva γ di equazioni parametriche: x = t cos t y = t sin t t [, π]. z = t 7. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { sin x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. 4
Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti 1 Tema n 3 4 6 7 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco 1. Risolvere il problema di Cauchy { y + y x log x = 3x y e = e precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita.. Si consideri l arco di curva piana γ di equazione polare [ ρ = 1 + cos θ, per θ, π ]. Calcolare l integrale di linea γ yds. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x x + y 1. 4. Dimostrare che l equazione f x, y = log 1 + x 3 y + sin πy definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1, e calcolare h 1.
. Si consideri la regione piana Σ descritta in coordinate polari da Σ = { ρ, θ : θ [, π], ρ Re θ} con R > parametro fissato. Calcolare, mediante opportuni integrali doppi, l area di Σ e la coordinata x del centroide. 6. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ del piano xz { x = R cos 3 φ [ z = R sin 3 φ φ π, π ] e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta. Quindi determinarne l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo si tratti di una superficie materiale omogenea di massa m. Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. 7. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { cos x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. 6
Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Es. 1 3 4 6 7 Tot. Punti 1. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + 3y + y = 4e x cos x. Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi. a. b. Poiché α + 3α + = α + 1 α + =, α = 1, α = y x = c 1 e x + c e x. 4e x cos x = Re 4e x 1+i, cerco prima una soluzione particolare dell equazione nel campo complesso Cerco w + 3w + w = 4e x 1+i. w x = Ae x 1+i w x = A 1 + i e x 1+i w x = A 1 + i e x 1+i, quindi { } Ae x 1+i 1 + i + 3 1 + i + = 4e x 1+i A { 3 4i 3 + 6i + } = 4 4 4 4 i A = = = 4 + i 4 + i 16 + 4 w x = 4 + i e x cos x + i sin x 7
perciò una soluzione particolare dell equazione completa di partenza è y x = Re 4 + i e x cos x + i sin x = e x 4 cos x + sin x e l integrale generale dell equazione completa è y x = c 1 e x + c e x + e x cos x + sin x.. Si consideri la funzione: { x y log1+x +y 4 f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. perciò a. Per x, y in un intorno dell origine è: log 1 + x + y 4 log 1 + x + y f x, y x y log 1 + x + y x + y. Poiché log1+x +y x +y è una funzione radiale e log1+ρ ρ 1 per ρ, per x, y, si ha log 1 + x + y x + y 1, x y e f x, y, perciò f è continua in,. b. f x, = x log 1 + x x = log 1 + x x per x, perciò f, =. x f, y = y log 1 + y 4 y y 3 perciò in particolare f è derivabile in,. f, =, y 8
Ma: c. La differenziabilità di f in, equivale alla condizione g x, x = g x, y x x log 1 + x + x 4 x 3/ f x, y per x, y,. x + y x x x 3/ 3 = sgn 1 x 3/ per x 3/ ±. In particolare g x, y non tende a zero per x, y,, e f non è differenziabile in,. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x y 1 + x + y. f x = 1+x +y xx y 1+x +y f y = 1+x +y yx y 1+x +y { 1 x + y + xy = 1 x + y xy = = 1 x +y +xy 1+x +y = = 1 x +y xy 1+x +y = sottraendo membro a membro { + 4xy = 1 x + y + xy = { y = 1 x x + 1 4x = { x 4 = 1 4, x = ± 1 y = 1 e i punti stazionari sono: 1, 1, 1 1,. Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = x + y 1 + x + y 1 + x + y x 1 x + y + xy 1 + x + y 4 = y x 1 + x + y 4x 1 x + y + xy 1 + x + y 3 f xy = y + x 1 + x + y 4y 1 x + y + xy 1 + x + y 3 f yy = y x 1 + x + y 4y 1 x + y xy 1 + x + y 3 9
Studiamo ora la natura dei punti stazionari: sfruttando le relazioni x + y = e xy = 1 che valgono in entrambi i punti stazionari, e semplificano le scritture. 1 f xx, 1 = 3 = 1 1 f yy, 1 = 3 = 1 1 f xy, 1 = Hf 1, 1 [ ] 1 = 1 definita negativa, 1, 1 è punto di massimo relativo. Poiché le funzioni f xx, f yy, f xy sono tutte funzioni dispari come si osserva dall espressione analitica, senza rifare i calcoli possiamo concludere che Hf 1 [ ] 1 1, = definita positiva, 1 1 1, è punto di minimo relativo. 3
4. Calcolare l integrale doppio T xe y dxdy dove T è il trapezio di vertici,, 1, 3, 4, 3, 7,. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e scrivere la rappresentazione analitica di T come dominio x-semplice. e I lati obliqui del trapezio stanno sulle rette y = x, y = x + 7. Quindi T xe y dxdy = = T = {x, y : y 3, y 7 x y} 3 y y 7 3 e y 3 xe y dx dy = 3 e y [ x [ y y 7 ] dy = 3 ] y dy y 7 3 e y = ye y dy 4 e y dy { [ ye y = ] 3 } 3 + e y dy 4 3 e y dy = 1e 3 + 4 [ e y ] 3 = 1e 3 + = 4 1 + 4 [1y 4] dy 4 1 e 3 e 3 = 3 + e 3 = e 3 7.. Calcolare il volume e il centroide di un solido omogeneo rappresentato da: } z Ω = {x, y, z : z h, x + y R 1 h con R, h > parametri fissati. Prestare cura nell impostazione dell esercizio: visualizzare l insieme, per osservare e sfruttarne le simmetrie, e riportare l impostazione del calcolo del centroide a partire dalla definizione. 31
Si tratta di un solido di rotazione: quindi sarà per simmetria x c = y c =. h Ω = dxdydz = Ω x +y R z 1 h dxdy dz h z h = πr 1 dz = πr 1 + z z h h dz h [ ] z = πr {h h + [ ] } h h h 3 z3/ = πr {h + h 43 } h = 1 6 πr h. z c = 1 zdxdydz = 1 h z Ω Ω Ω = 6 h z πr zπr 1 dz = 6 h h h [ z = 6 h [ 1 = 6 + 1 3 4 + z3 3h 4 h x +y R 1 z ] h h z/ = 6 [ h h + h 3 4 h ] [ ] 1 + 1 4 h = 6 h = 1 h. 6. Calcolare il lavoro del campo vettoriale x F = x + y, y x + y, z x + y lungo l arco di curva γ di equazioni parametriche: x = t cos t y = t sin t t [, π]. z = t 3 z h dxdy 1 + z z h dz h ] dz 3
r t = cos t t sin t, sin t + t cos t, t F r t = cos t, sin t, t L = = = = F r t r t dt cos t t sin t, sin t + t cos t, t cos t, sin t, t dt cos t t sin t cos t + sin t + t sin t cos t + t dt 1 + t dt = π + 3 π3 = π + 16 3 π3 7. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { sin x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier tendono a zero come o 1/k. b. La funzione non è né pari né dispari, occorre calcolare tutti i coeffi cienti. Utilizzando le identità sin α cos β = 1 {sin α + β + sin α β} sin α sin β = 1 {cos α β cos α + β} 33
si ha, per k = 1,, 3... a k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π mentre mentre = 1 π = 1 π = 1 π π f x cos kx dx = 1 π [ [sin k + 1 x + sin 1 k x] dx cos k + 1 x k + 1 [ cos k + 1 π k + 1 [ 1 k + + sin x cos kx dx ] π cos k 1 x k 1 cos k 1 π + 1 k 1 ] k + 1 1k k 1 + 1 k + 1 1 k 1 1 k + 1 a 1 = 1 π a = 1 π k 1 b k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π e la serie di Fourier di f è sin x cos xdx = 1 π sin xdx = π. π f x sin kx dx = 1 π k + 1 1 ] k 1 = 1 π sin xdx = sin x sin kx dx [cos k 1 x cos k + 1 x] dx [ ] π sin k 1 x sin k + 1 x = k 1 k + 1 b 1 = 1 π f x = 1 π + 1 sin x 1 π = 1 π + 1 sin x π sin xdx = 1. k= k=1 1 k + 1 k 1 cos kx 1 4k cos kx 1 1 k + 1 k 1 34
Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 6: 3
Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 16/17. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 1 3 4 6 7 Tot. Punti 1. Risolvere il problema di Cauchy { y + y x log x = 3x y e = e precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione del prim ordine lineare, a x = 1 x log x ; A x = dx = log log x x log x } y x = e {c log log x + e log log x 3xdx = 1 { } c + 3 x log x dx. log x Poiché la condizione di Cauchy è assegnata in x = e e log e = 1 >, possiamo supporre log x > in un intorno del punto in cui si assegna la condizione, per cui porremo log x = log x. x log xdx = x x log x 1 x x dx = log x x 4 perciò l integrale generale è per x > 1 y x = 1 { } x x c + 3 log x log x 4 Imponiamo la condizione iniziale e e = y e = c + 3 e = c + 3 4 4 e c = e 4 36
e la soluzione è y x = 1 { } e x log x 4 + 3 x log x, 4 definita sull intervallo massimale 1, +.. Si consideri l arco di curva piana γ di equazione polare [ ρ = 1 + cos θ, per θ, π ]. Calcolare l integrale di linea γ yds. Si ha: ds = ρ + ρ dθ = = + 4 cos θdθ 1 + cos θ + sin θ dθ mentre perciò 1 γ yds = y = ρ sin θ = 1 + cos θ sin θ 1 + cos θ sin θ + 4 cos θdθ cos θ = u; sin θdθ = du; u [1, ] = 1 1 + u + 4udu + 4u = t; + 4u = t ; 4du = tdt; du = 1 tdt; t [, 3 ] ; u = t 1 + u 3 + 4udu = 1 + t t 1 tdt = 1 3 t t 3 dt 4 = 1 [ ] t 3 4 t3 = 1 3 [3 3 4 1 ] 1 = 1 [ 7 4 ] = 7 4. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x x + y 1. 37
{ fx = x + y 1 + x x + y 1 x = x + y 1 x + y 1 = f y = 4xy x + y 1 = x + y 1 = è una circonferenza di punti critici. Se x + y 1, { x + y 1 = 4xy = x = = y 1 =, y = ±1 y = = x 1 =, x = ± 1 e i punti stazionari sono:, ±1, ± 1,, e la circonferenza x + y 1 =. In realtà i punti, ±1 sono già compresi sulla circonferenza. Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = x x + y 1 + 1x x + y 1 = x x + y 1 + x + y = x 1x + 6y 6 f xy = 4y x + y 1 + 8x y = 4y 9x + y 1 f yy = 4x x + y 1 + 8xy = 4x x + 3y 1 Hf x, y = [ x 1x + 6y 6 4y 9x + y 1 ] 4y 9x + y 1 4x x + 3y 1 [ ] Hf, ±1 = caso dubbio Hf ± 1 [ ] ± 6, = ± 4 1 1 definita negativa, positiva rispettivamente. 1, punto di massimo relativo 1, punto di minimo relativo Studiamo sia il caso dubbio che la circonferenza di punti stazionari mediante il metodo del segno. La funzione si annulla sulla circonferenza e sulla retta x =, fuori da questi insiemi è positiva se e solo se x >. Si ottiene quindi v. grafico: 38
-i punti sulla circonferenza x + y = 1 per cui x > sono punti di minimo; -i punti sulla circonferenza x + y = 1 per cui x < sono punti di massimo; -i punti, ±1 sono di sella. 4. Dimostrare che l equazione f x, y = log 1 + x 3 y + sin πy definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1, e calcolare h 1. Si ha: f x, 1 = log x 3 1 = x 3 1 = 1 x = 3. f x x, y = 3x 1 + x 3 y f 3, 1 = 3 3 4, x e per il teorema di Dini, essendo f C 1, f 3, 1 =, f 3 x, 1, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzione x = h y in un intorno di y = 1; risulta h 1 = 3 e f h y 1 = f x 3, 1 3, 1. 39
Calcoliamo perciò f y f 4y x, y = y 3, 1 = 4 π f 3 h y, 1 1 = 1 + x 3 + π cos πy y f x 3, 1 = 4 π 3 3 4 = 4 + π 3 3 4.. Si consideri la regione piana Σ descritta in coordinate polari da Σ = { ρ, θ : θ [, π], ρ Re θ} con R > parametro fissato. Calcolare, mediante opportuni integrali doppi, l area di Σ e la coordinata x del centroide. Ora: da cui e Σ = = R Σ dxdy = [ e θ ] π = R 4 Re θ x c = 1 4 xdxdy = Σ Σ R e 4π 1 = 4 R e 4π 1 I = e 3θ = e6π 1 3 = e6π 1 3 [ ρ 3 cos θ 3 ρdρ e 4π 1. ] Re θ Re θ dθ = [ e 3θ cos θ dθ = f g 3 cos θ [ ] e 3θ π + 9 sin θ 1 9 I, ] π dθ = ρ cos θρdρ 4R 3 e 4π 1 R e θ dθ dθ e 3θ + sin θdθ 3 e 3θ 9 I = 9 e 6π 1 = 3 e 6π 1 1 3 1 4R 3 x c = 3 e 4π 1 1 cos θdθ e 6π 1 = e 6π 1 e 4π 1 R. 4 e 3θ cos θdθ.
6. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ del piano xz { x = R cos 3 φ [ z = R sin 3 φ φ π, π ] e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta. Quindi determinarne l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo si tratti di una superficie materiale omogenea di massa m. Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. x = R cos 3 φ cos θ Σ : y = R cos 3 φ sin θ z = R sin 3 φ ds = a φ φ a φ + b φ dφdθ con a φ = R cos 3 φ, b φ = R sin 3 φ a φ = 3R cos φ sin φ; b φ = 3R sin φ cos φ; a φ + b φ = 9R cos φ sin φ [ π, π ], θ [, π]. ds = R cos 3 φ3r cos φ sin φ dφdθ = 3R cos 4 φ sin φ dφdθ Σ = ds = π 3R cos 4 φ sin φ dφ Σ = 6πR π cos 4 φ sin φdφ = 1πR [ cos φ ] π/ = 1 πr. I = m x + y ds = m Σ Σ 1πR π R cos 6 φ 3R cos 4 φ sin φ dφ π = mr cos 1 φ sin φdφ = mr [ cos11 φ 11 ] π/ = 11 mr. 41
7. Si consideri la funzione π-periodica definita in [ π, π] da { cos x se x π f x = se π x. a. Dopo aver tracciato il grafico di fsul periodo [ π, π]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Prestare attenzione alle eccezioni che nascono per k = 1. a. La funzione periodizzata è regolare a tratti ma discontinua. Perciò la serie di Fourier di f, in [ π, π], converge puntualmente a f ovunque tranne in ±π, dove converge a 1/, e in, dove converge a 1/. I coeffi cienti di Fourier saranno o 1 ma non o 1/k. b. La funzione non è né pari né dispari, occorre calcolare tutti i coeffi cienti. Utilizzando le identità cos α cos β = 1 {cos α + β + cos α β} sin α cos β = 1 {sin α + β + sin α β} 4
si ha, per k = 1,, 3... mentre a k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π π f x cos kx dx = 1 π cos x cos kx dx [cos k + 1 x + cos k 1 x] dx [ ] π sin k + 1 x sin k 1 x + = k + 1 k 1 b k = 1 π = 1 π per k 1 = 1 π mentre = 1 π = 1 π = k π a 1 = 1 π a = 1 π π f x sin kx dx = 1 π [ cos xdx = 1 cos xdx =. [sin k + 1 x + sin k 1 x] dx cos k + 1 x k + 1 [ cos k + 1 π k + 1 [ 1 k sin kx cos xdx ] π cos k 1 x k 1 cos k 1 π + 1 k 1 ] k + 1 + 1k k 1 + 1 k + 1 + 1 k 1 1 k + 1 b 1 = 1 π k 1 e la serie di Fourier di f è f x = 1 cos x + 1 π sin x cos xdx = 1 π = 1 cos x + 4 π k= k=1 1 k + 1 k k 1 k + 1 + 1 ] k 1 = 1 k π sin xdx = k 4k sin kx 1 sin kx 1 k + 1 k 1 43
Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 1: 44