FIICA GENEALE II prova scritta del 9/5/4 Problema Una densità di carica lineare uniforme λ, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme σ, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo. Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo? Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo: E filo d = E filo πrh = λh E filo (r) = Per il cilindro cavo invece si ha: E sup d = E sup πrh = ommando si ottiene: σ π h E(r) = E " sup (r)+ E " filo (r) = r σ + λ $ # & ˆr. " π % λ π r ˆr, E sup (r) = σ r ˆr. Imponendo E filo (r)+ E sup (r) = E filo (r) si ha: r σ + λ $ # & = λ " π % πr, da cui σ = λ π Problema Un protone, massa m e carica q, si muove in un campo d'induzione magnetica costante di modulo. I) e la velocità iniziale è perpendicolare al campo e vale v, descrivere la legge oraria del moto della particella? II) Il protone è inserito in un condensatore a piatti piani e paralleli, distanti d, e ha velocità v parallela ai piatti. Nel condensatore c'è lo stesso campo di induzione magnetica, ortogonale a v e al campo elettrico. Che d.d.p bisogna applicare ai capi del condensatore affinché la velocità resti costante? ul protone agisce la forza di Lorentz
F = q v, che è costantemente perpendicolare alla traiettoria. Pertanto il protone descrive una traiettoria circolare: Essendo poi la forza di Lorentz a lavoro nullo il modulo della velocità è costante. La legge oraria è data da: θ ( t) = ω t, dove ω è la velocità angolare corrispondente a: con raggio della circonferenza. i ha inoltre che: ω = v = costante, Dalla (*) si ha con v F = qv = ma = m r q = mv. (*) v / = q / m, e quindi: q θ ( t) = t, m ω q m = e m. ii) Posta ΔV la d.d.p. tra le armature del condensatore. ul protone agiscono la forza elettrica di Coulomb e la forza di Lorentz (sia k è il versore relativo al campo elettrico=: F = F E + F = qe + qv = qe ( kˆ ) + qv kˆ = q( v E)kˆ Affinché la velocità resti costante si deve avere che F F + F =, ossia = ΔV E = v = v d ΔV = d v. Problema 3 Due correnti i e i scorrono con versi opposti su due cilindrici co-assiali di raggi rispettivamente e e lunghezza indefinita. Determinare il modulo del campo magnetico a distanza r < e r > dall asse dei cilindri. Per il teorema della circuitazione di Ampere applicato ad una circonferenza di raggio r e centro sull asse dei due gusci, si trova ( r ) ds = ( r )πr = µ iconc = ( r ) =, essendo nulla la corrente concatenata alla circonferenza di raggio r.
Per il calcolo del modulo di ( r ) si ha invece: (r ) d s = (r )πr = µ i conc = µ i i ( ) (r ) = µ i i πr.
FIICA GENEALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATICOLA Esercizio Nei punti P (a,) e P (,a) del piano Oxy sono disposte due cariche puntiformi uguali con carica Q. Determinare i) la differenza di potenziale tra i punti O(,) e D(a,a) e tra i punti D e (a /,a / ) ; ii) il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica puntiforme q che si muove da D ad O. i) Ponendo il potenziale all infinito uguale a zero si ha: V(A) = V (D)+V (D) = Q + x D con x D = y D = DP = DP = a ; V(O) = V (O)+V (O) = Q + x O con x O = y O = OP = OP = a. Q = Q y D a, Q = Q y O a, La differenza di potenziale tra O e D è nulla: ΔV = V(O) V(D) =. i ha poi: V(C) = V (C)+V (C) = Q + Q = Q x c y c a, poiché x C = y C = CP = CP = a / Q ΔV = V(C) V(A) = ( ). a ii) Il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalle due cariche per spostare q da A a O è nullo: L AO = q ΔV =, Esercizio (Vedi Mencuccini ilvestrini es II.) Tre condensatori di capacità CA = C, C = C e CC = 3C rispettivamente, sono disposti come in figura. L'elettrodo (A) del condensatore di capacità CA è tenuto a potenziale V = V, mentre l'elettrodo () del condensatore di capacità C è tenuto a potenziale V = 8 V.
Qual è il potenziale V3 dell'elettrodo (C) del condensatore di capacità CC? V V A V3 C Esercizio 3 Un filo conduttore rettilineo di lunghezza indefinita è percorso da corrente I. Un cilindro conduttore cavo, con asse coincidente con il filo, di raggio interno e raggio esterno è percorso da una densità di corrente J uniforme con direzione opposta a I. Determinare se e a che distanza dall asse del sistema il campo d'induzione magnetica è nullo. Il campo di induzione magnetica in un generico punto dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei campi dovuti alle correnti che percorrono il filo e il cilindro: ( r) = ( r) + ( r). filo cilindro E' evidente che il campo non può essere nullo all'interno cilindro cavo essendo µ i dovuto solo dalla corrente che percorre il filo indefinito filo ( r) =. π r All esterno del cilindro, r >, per la legge di Ampere si trova: ( ) (r) = filo (r)+ " cilindro (r) = µ i πr µ Jπ % $ ', # $ πr &'ˆt
e filo (r) > cilindro (r) per r > non c'è alcun punto nello spazio in cui il campo si annulla. e filo (r) = cilindro (r) per r > il problema è banale. Per < r < si ha: ( r) = filo ( r) + cilindro µ i µ Jπ ( r) = πr πr ( r ) t ˆ. Il valore del campo di induzione magnetica è zero per ( r ) = i Jπ r = i π J +.
FIICA GENEALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATICOLA Problema Una densità di carica volumetrica ρ costante è distribuita su sfera di raggio. Una seconda sfera vuota di raggio, contenente la prima e con essa concentrica, ha una densità superficiale di carica costante σ. Il campo elettrico per r > è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera ( r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere r < ). a) Utilizzando il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria sferica, imponendo la condizione che E = per r >, si ha: E d Q = tot = # ρ 4 3 π 3 & % +σ 4π ( = ρ = 3σ $ ', 3 essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie è tratteggiata in figura. b) Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con r : E d = E 4πr = ρ 4 3 πr3 E(r) = σ r 3 Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con r < : E d = E 4πr = ρ 4 3 π 3 E(r) = σ r Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere. Il segno meno indica direzione entrante. Problema Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e? b) e si cortocircuitano A e, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila? E A E
Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a E e una resistenza equivalente pari a 8, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = E /8 = E/4 La resistenza equivalente tra i punti A e è pari a 4 quindi V A = 4i = E Quando si cortocircuitano A e la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4 e i = E /4 = E/, pertanto W = E i = E / Problema 3 Un campo magnetico (t) uniforme, variabile nel tempo secondo la legge (t)= o exp(-t/τ), è presente in una regione di spazio in cui è posta una spira circolare di raggio r. La spira giace in un piano perpendicolare a ed è caratterizzata da una resistenza interna. Quale sarà il valore di e se al tempo t* l intensità di corrente indotta vale I? In che verso circola la corrente indotta? Il flusso del campo magnetico nella spira è: Φ ( ) = ˆnd = = πr o e t/τ. Pertanto si che la corrente indotta è data da: i(t) = = d dt [ Φ() ] = πr o τ e t/τ. e al tempo t* i(t*) = I si ricava che : = πr o τ I e t*/τ. Assumendo che il campo magnetico sia diretto lungo l'asse z positivo, e quindi che la spira giace sul piano xy, la corrente circola in verso antiorario.
FIICA GENEALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATICOLA Problema Una carica elettrica, caratterizzata da una densità di carica dipendente dal raggio secondo la legge ρ(r)= a(r 3/4), è distribuita su una sfera di raggio. Determinare: i) il campo elettrico E generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all infinito. O i) Il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è radiale per la simmetria sferica del problema. i)applicando il teorema di Gauss a) per r si ha: E(r)d = Q int () E(r)4πr = E(r)4πr = πar3 (r ), da cui si ha E(r ) = a 4 (r ) r ; τ ρ(r)dτ = r a(r 3 / 4)4πr dr, b) per r > : Qtot E( r) d = E( r)4πr = τ ρ( r) dτ = 3 ( ar a)4πr dr 4 =, E ( r > ) =. ii)la differenza di potenziale fra il centro della sfera è data daç ΔV V() V( ) = E(r)dr = E(r )dr + E(r > )dr = a 4 quindi r(r )dr +
ΔV = a 4 6 Problema a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti A. Dati: k = = 8 Ω (k =,, 3, 4, 5, 6). b) Determinare il valore della resistenza in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti A, valga Problema 3 Un campo magnetico disposto lungo l'asse z positivo ha modulo dato dalla legge (x)= kx. Una spira rettangolare posta sul piano xy ha lati a, noto, e b incognito. Questa si muove lungo x con velocità costante v. Quale sarà il valore di b affinché la forza elettromotrice indotta nella spira valga f quando il primo estremo della spira si trova in x e il secondo in x'+b?. Il flusso di su un elemento infinitesimo di superficie d = adx è dato da (x)d = kx adx quindi
Φ( " ) = " ˆnd = x+b x $ ' kx a dx = ka& x3 ) % 3 ( x+b x = ka 3 (3x b + 3b x + b 3 ). La forza elettromotrice è pertanto: = dφ dt d = ka 3 ( x b + b x + b dt / 3) = kav(xb + b ). Imponendo che sia uguale a f per x=x': = kav( x'b + b ) = f si può ricavare b.
FIICA GENEALE II Prova scritta di gennaio Problema Una sfera di raggio = 5 cm è caratterizzata da una densità di carica volumetrica ρ costante. ulla superficie di una seconda sfera di raggio = 4 cm è disposta, invece, una carica elettrica caratterizzata da una densità superficiale di carica costante σ = -6 C/m. Le due sfere si trovano nel vuoto e sono concentriche; la prima è massiccia, la seconda è costituita da un guscio molto sottile internamente vuoto. apendo che il campo elettrico per r > è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera ( r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere r < ). σ O ρ a) Il problema può essere risolto utilizzando la legge di Gauss e la sua simmetria sferica. ommando le cariche contenute all interno della sfera piena di raggio e sulla superficie della sfera cava di raggio rispettivamente, e imponendo la condizione che E = per r >, segue che: " E d Q = tot = # " 4 o o 3 # 3 & % +$ 4# ( = ) " = *3$ $ ' + 3 *3,*6 C m 3, essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie è tratteggiata in figura. b) Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica interna a ( r ): " E d = E 4r = " 4 # o 3 r3 # E(r) = $$ r 3 # o Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica che racchiude solo la prima sfera si ottiene ( r < ): " E d = E 4r = " 4 # o 3 3 # E(r) = $$ # o r
Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere ed il segno meno indica direzione entrante. Nell ultimo passaggio abbiamo usato la relazione precedentemente trovata che lega ρ e σ. Problema Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e? b) e si cortocircuitano A e, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila? E A E Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a E e una resistenza equivalente pari a 8, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = E /8 = E/4 La resistenza equivalente tra i punti A e è pari a 4 quindi V A = 4i = E Quando si cortocircuitano A e la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4 e i = E /4 = E/, pertanto W = E i = E / Problema 3 In una regione dello spazio è presente un campo magnetico (t) uniforme, che varia nel tempo secondo la legge (t)= o exp(-t/τ), con o = T e τ= 3s. u un piano perpendicolare a è posta una spira circolare di raggio L = cm e resistenza. Determinare il verso della corrente indotta ed il valore della resistenza della spira sapendo che l intensità della corrente indotta al tempo t*=6s è di.6 A.
E(r) Il flusso del campo magnetico nella spira è: Φ t / τ ( ) = nd ˆ = = πl e o. In questo caso è il campo magnetico a variare e l espressione della corrente è: d πl t / τ ( ) [ ( )] o i t = = Φ = e. dt τ Imponendo la condizione data della corrente al tempo t*=6s si ricava il valore della resistenza: πl t*/ τ i ( t*) =.6A = o e =.47Ω. τi( t*) Allo studente resta da definire il verso della corrente, tenendo presente che l effetto si oppone alla causa che lo ha generato. La causa è la variazione temporale del campo magnetico che diminuisce nel tempo. Come risponde il sistema? Prova scritta di febbraio Problema In una sfera di raggio = cm è distribuita una carica elettrica con densità di carica dipendente dal raggio ρ(r)= ar 3/4a (dove a=6µc/m 4 ). Calcolare: i) il campo elettrico E generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all infinito. O i) La carica del sistema è distribuita radialmente per cui il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è anch esso radiale E = E(r). In questo
caso è semplice calcolare il modulo del campo elettrico E(r) con il teorema di Gauss. Per r si ha: Q ( ) int E( r) d = E( r)4πr r ρ( r) dτ ( ar 3 a)4πr dr τ 4 = =, E(r)4r = ar3 " (r ), cioè E(r ) = ar 4 (r " ) o anche E(r ) = a 4 (r " ) r. Per r > risulta: Qtot E( r) d = E ( r > ) =. E( r)4πr = τ ρ( r) dτ = 3 ( ar a)4πr dr 4 =, ii)la differenza di potenziale fra il centro della sfera e il punto all infinito si può, ora, calcolare agevolmente: V " V()#V($) = $ & E(r)d r = & E(r % )d r + $ & E(r > )d r = a 4 & r(r # )dr + ovvero V = " a 4 6 =.8 #4 V = 8.kV Problema a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti A. Dati: k = = 8 Ω (k =,, 3, 4, 5, 6).
b) Determinare il valore della resistenza in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti A, valga Problema 3 Una spira rettangolare di lati a = cm e b trasla in direzione x con velocità costante v= m/s in presenza di un campo magnetico perpendicolare ad essa e di modulo (x)= kx con k= 5 T/m. Determinare quale deve essere la lunghezza del lato b affinché la f.e.m. indotta nella spira valga f = V quando x = cm. Nel disegno, linee di campo di lunghezza diversa indicano qualitativamente variazioni del campo magnetico. G d a v x Ai fini del calcolo del flusso scegliamo un elemento infinitesimo di superficie d = adx, e fissiamo un verso di percorrenza antiorario per la spira:
x+ b 3 x ka 3 Φ( ) = nd ˆ = kx adx = ka = (3x b + 3b x + b ) x 3. 3 La forza elettromotrice è in generale: x+ b x = dφ dt d = ka 3 ( x b + b x + b dt / 3) = kav(xb + b ). Andando ad imporre la condizione iniziale (f = V quando x= cm), si ottiene: (cm) = kav(.b + b ) = V b =. 5cm