APPELLO STATICA 18 GENNAIO 2018 (1) 1) Baricentro (vincolo) Nella struttura della Figura il corpo (2) è un pannello di densita di area q formato da un quadrato e da un quarto di cerchio. Tutto il corpo (2) si trova nel piano z = b. Trovare il baricentro, rispetto a N, del sistema dei corpi (1) e (2) se la densità per unità di lunghezza di (1) è 2qb 2) Statica (15 punti) Si consideri la stessa struttura di Figura e si trascuri il peso. In A vi è un vincolo cerniera cilindrica che permette solo la rotazione attorno all asse x. La cerniera N e a terra. La cerniera L si trova a un quarto della lunghezza del corpo (2) e non spezza il corpo (2). Sul corpo (1) è esercitata la coppia esterna C = Qb (2ex - 2ey + ez); sulla cerniera D è esercitata la forza FD = Q (2ex + ey + ez). Calcolare le reazioni vincolari a terra, le azioni nelle bielle. 2) Cinematica e PPV (15 punti) Senza usare i risultati dell esercizio precedente, calcolare l azione esercitata da BL sulla cerniera B tramite il principio delle potenze virtuali.
APPELLO STATICA 18 GENNAIO 2018 (2) 1) Baricentro (vincolo) Nella struttura della Figura il corpo (2) è un pannello di densita di area q formato da un quadrato e da un quarto di cerchio. Tutto il corpo (2) si trova nel piano z = b. Trovare il baricentro, rispetto a N, del sistema dei corpi (1) e (2) se la densità per unità di lunghezza di (1) è qb 2) Statica (15 punti) Si consideri la stessa struttura di Figura e si trascuri il peso. In A vi è un vincolo cerniera cilindrica che permette solo la rotazione attorno all asse y. La cerniera N e a terra. La cerniera L si trova a un quarto della lunghezza del corpo (2) e non spezza il corpo (2). Sul corpo (1) è esercitata la coppia esterna C = Qb (ex+ 2ey - 2ez); sulla cerniera D è esercitata la forza FD = Q (ex + 3ey + 2ez). Calcolare le reazioni vincolari a terra, le azioni nelle bielle. 2) Cinematica e PPV (15 punti) Senza usare i risultati dell esercizio precedente, calcolare l azione esercitata da BL sulla cerniera B tramite il principio delle potenze virtuali.
TRACCIA DI SOLUZIONE (TDE 1) 1 Baricentro L'origine del sistema di riferimento è posizionato in N CORPO DENSITÁ MASSA x G y G z G ( ) π 4 NDH (2) q 4 qb2 3π 1 b 4 3π b 0 HDBE (2) q qb 2 3 2 b b 2 0 ALC (1) 2qb 2 5qb 2 2b b 2 0 La massa totale della struttura è: M T OT = (1 + 2 5 + π/4)qb 2 Mentre le coordinate del baricentro risultano: x G = 1 x j G M mj = T OT j qb3 M T OT ( 7 6 4 5 π ) 4 y G = 1 y j G M mj = T OT j qb3 M T OT ( 5 6 + ) 5 z G = 1 z j G M mj = 0 T OT (Nel TDE 2 si ottengono risultati analoghi invertendo le coordinate x e y) j 1
2 Statica Forze esterne: F D = Q(2e x + e y + e z ) C = Qb(2e x 2e y + e z ) in D su ALC Forze incognite: F A = (F Ax e x + F Ay e y + F Az e z ) C A = (C Ay e y + C Az e z ) in A F N = (F Nx e x + F Ny e y + F Nz e z ) T BL = α(3/4e y 1/2e z ) in B T BC = β(e z ) in B T DC = γ( e x + e z ) in D T EC = δ(e y + e z ) in E in A in N N.B. Le forze nelle bielle saranno di trazione se i parametri incogniti saranno positivi, di compressione altrimenti. (a) Sistema globale (b) Pannello + bielle (c) Pannello Considero il pannello + bielle M z (C) = 2F Ny b + Qb = 0 F Ny = Q 2 M x (C) = 3 4 αb + F Nyb + Qb = 0 α = 2 3 Q Considero il sistema globale M x (A) = F Nz b F Ny b Qb Qb + 2Qb = 0 F Nz = Q 2 2
Considero il pannello + bielle M y (C) = F Nx b 2F Nz b 2Qb Qb = 0 F Nx = 4Q Considero il sistema globale R x = F Ax + F Nx + 2Q = 0 F Ax = 2Q R y = F Ay + F Ny + Q = 0 F Ay = Q 2 R z = F Az + F Nz + Q = 0 F Az = 3 2 Q M y (N) = C Ay + 2F Az b F Ax b 2Qb + Qb = 0 M z (N) = C Az 2F Ay b F Ax b + Qb Qb = 0 C Ay = 6Qb C Az = Qb Considero il solo pannello R x = γ + F Nx + 2Q = 0 γ = 2Q R y = δ + F Ny + 3 4 α + Q = 0 δ = 0 R z = β + γ + δ + F Nz α 2 + Q = 0 β = 1 6 Q [Risultati TDE 2: F Ax = Q 2, F Ay = 7Q, F Az = 5 2 Q, C Ax = 13Qb, C Az = 9Qb, F Nx = Q 2, F Ny = 4Q, F Nz = 9 2 Q, α = 2 3 Q, β = 29Q, γ = 7Q, δ = 0 ] 6 3
3 Cinematica e PPV Per calcolare l'azione esercitata da BL sulla cerniera B occorre studiare gli atti di moto della struttura senza la biella BL. Atti di moto Per il corpo (1) si sceglie come polo il punto A dove c'è il manicotto, mentre il corpo (2) e le bielle BC, DC, EC le consideriamo come un unico corpo rigido con polo in N. Manicotto in A U (1) (M) = U A + ω (1) AM U (2) (M) = U N + ω (2) NM U = 0 e ω (1) y = ω (1) z = 0 U (1) (M) = ω (1) e x AM Cerniera in N U N = 0 U (2) (M) = ω (2) NM Cerniera in C U (1) (C) = U (2) (C) U (1) (C) = 2ω (1) be y ω (1) be z U (2) (C) = ω y (2) be x (ω x (2) b + 2ω z (2) b)e y + 2ω y (2) be z ω (1) = ω y (2) = 0 ω z (2) ω ω (2) = 2ω x Atti di moto U (1) (M) = 0 U (2) (M) = ω( 2e x + e z ) NM PPV P = α( 3 4 e y 1 2 e z) (U (2) (B) U (1) (C)) + C ω (1) + F D U (2) (D) = 0 P = 3 2 αωb Qωb = 0 α = 2 3 Q 4