Soluzione del Secondo Esonero A.A. 01-013, del 8/05/013 Primo esercizio a) Sia v la velocità del secondo punto materiale subito dopo l urto, all inizio del tratto orizzontale con attrito. Tra il punto iniziale e il punto finale del tratto con attrito possiamo utilizzare il teorema dell energia cinetica: la variazione di energia cinetica tra la posizione iniziale e la posizione finale è uguale al lavoro svolto dalla forza di attrito dinamico (che è l unica forza che compie lavoro) lungo questo tratto: 1 m v = µd m g D e quindi otteniamo v = µ d gd =1,7 ms 1 Essendo l urto tra i due punti materiali elastico, dato che il secondo punto materiale è fermo prima dell urto, e dato che i due punti materiali hanno uguale massa, subito dopo l urto il primo punto materiale si ferma e il secondo prosegue con velocità uguale alla velocità v che aveva il primo punto materiale prima dell urto. Dunque risulta v = µ d gd. b) Dato che il primo punto materiale scende lungo una guida liscia, durante tutta la discesa l energia meccanica totale si conserva, per cui (dato che il corpo parte da fermo) risulta: m g h 1 = 1 m v, e quindi otteniamo (essendo v = µ d gd): h 1 = µ d D = 0,15 m =15 cm c) Se l urto tra i due corpi è totalmente anelastico, dopo l urto i due corpi rimangono attaccati, e costituiscono un unico punto materiale di massa m. a velocità di questo corpo subito dopo l urto, tuttavia, è uguale a quella calcolata al punto a), come è immediato verificare usando il teorema dell energia cinetica. Per calcolare la velocità del primo corpo subito prima dell urto occorre utilizzare la conservazione della quantità di moto nell urto totalmente anelastico: m v * = m v e quindi otteniamo v * = v = µ d gd = 3,43 ms 1 Utilizzando la conservazione dell energia meccanica totale durante la discesa lungo il pendio liscio (con partenza da fermo), possiamo scrivere: m g h = 1 m v*, da cui otteniamo h = g = 4 µ d D = 0,60 m = 60 cm v *
Secondo esercizio a) Una delle condizioni affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che il momento totale delle forze esterne applicate al corpo (tenuto conto dei punti in cui ciascuna delle forze esterne è applicata!) sia nullo. Nel caso in questione le forze esterne sono la tensione T della fune (diretta orizzontalmente e applicata nell estremo libero dell asta), la forza peso M g dell asta (diretta verticalmente verso il basso e applicata nel centro di massa dell asta, coincidente con il centro geometrico dell asta stessa) e la reazione R del perno. Se calcoliamo il momento delle forze esterne rispetto al punto P, solamente le prime due forze sopra menzionate hanno momento non nullo; la componente del momento delle forze (calcolato rispetto al punto P) perpendicolare al piano su cui giacciono queste due forze è (usando il criterio della mano destra per i segni): τ z = T senθ + M g cosθ Per l equilibrio statico dell asta deve risultare τ z = 0 Nm, da cui otteniamo T = 1 M gctgθ =14,16 N b) altra condizione da imporre per l equilibrio statico dell asta è che la risultante delle forze esterne sia nulla. Introducendo un sistema di assi cartesiani ortogonali con asse x orizzontale (verso positivo verso destra nella figura) e asse y verticale (verso positivo verso l alto nella figura), e indicando rispettivamente con R x e R y la componente x e la componente y della reazione R del perno, possiamo scrivere le seguenti due equazioni: R x + T = 0 N R y M g = 0 N da cui otteniamo R x = T e R y = M g, e infine R = R x + R y = M g 1+ 1 ( 4 ctgθ) = 51,05 N c) Rimossa la fune, l unica forza che compie lavoro sull asta è la forza peso (la reazione del perno è applicata a un punto fisso!). Poiché la forza peso è conservativa, l energia meccanica totale si conserva. Prendendo come livello zero per l energia potenziale della forza peso dell asta la quota del perno, possiamo scrivere: 1 ω = M g senθ essendo senθ la quota iniziale del centro di massa dell asta. Dato che = 1 3 M (momento d inerzia dell asta rispetto all asse di rotazione passante per un estremo dell asta), otteniamo alla fine
ω = 3gsenθ = 3,57 rads 1 d) a velocità del centro di massa dell asta nell istante in cui il centro di massa si trova alla stessa quota del perno P è, semplicemente: v CM = ω, dato che il centro di massa percorre una traiettoria circolare centrata nel punto P e di raggio, essendo ω la velocità angolare in tale istante, quantità che abbiamo calcolato nel punto precedente di questo problema. Dato che, sempre in tale istante, l unica forza avente una componente non nulla lungo l asse x (che è proprio la direzione radiale in tale istante!) è la reazione del perno, possiamo scrivere (per la seconda legge della dinamica applicata all accelerazione radiale del centro di massa dell asta): R x = M v CM = M ω = M 3gsenθ = 3 M gsenθ = 63,7 N Per calcolare l accelerazione angolare dell asta nell istante considerato, applichiamo l equazione dei momenti rispetto al punto P all asta in tale istante (solo la forza peso dell asta ha momento diverso da zero rispetto al polo P): α = M g, da cui otteniamo α = M g = M g 1 3 M = 3 A questo punto, possiamo applicare la seconda legge della dinamica alla componente tangenziale del moto del centro di massa: M a CM,y = R y M g, da cui otteniamo (essendo a CM,y = α componenti lungo gli assi e del senso di rotazione dell asta): R y = M g M α = M g M g 3 g = 1 4 M g =1,6 N, tenuto conto dei segni delle Terzo esercizio a) e forze agenti sull asta durante il suo moto sono la forza peso (applicata nel centro di massa dell asta) e la reazione del perno. Poiché il punto di applicazione della reazione del perno è fisso, l unica forza che compie lavoro è la forza peso. Essendo la forza peso conservativa, l energia meccanica totale dell asta si conserva durante il moto. Fissiamo come quota di riferimento per l energia potenziale della forza peso la quota del perno (tanto per fissare le idee qualunque altra scelta sarebbe stata ugualmente lecita). Allora, imponendo che l energia meccanica totale iniziale sia uguale all energia meccanica totale nell istante in cui l asta è disposta lungo la direzione verticale (subito prima dell urto), otteniamo: M g cosθ = M g + 1, essendo = 1 3 M il momento d inerzia dell asta rispetto all asse di rotazione, ed essendo la velocità angolare dell asta nell istante in cui raggiunge la posizione verticale. Da questa equazione otteniamo
3g( 1 cosθ) = stesso istante è, per cui il modulo della velocità del centro di massa dell asta in questo v CM = = 1 3g( 1 cosθ) =,9 ms 1 b) Rispetto al perno, nell istante in cui avviene l urto il momento totale delle forze esterne è nullo. Allora, il momento angolare totale calcolato rispetto al perno si conserva durante l urto: il momento angolare totale subito prima dell urto è quindi uguale al momento angolare totale subito dopo l urto. Possiamo quindi scrivere (usando le grandezze indicate nel testo del problema): da cui otteniamo = ( + m )ω ω = + m = 1 1 + 3m M 3g( 1 cosθ) =,16 rads 1 Per completezza, è utile osservare che in questo urto si conserva anche la componente orizzontale della quantità di moto totale. Infatti, nell istante dell urto, l accelerazione tangenziale del centro di massa dell asta è nulla (come si vede abbastanza facilmente utilizzando l equazione dei momenti rispetto al perno: l accelerazione angolare è nulla, e quindi è nulla anche l accelerazione tangenziale del centro di massa), quindi in tale istante non ci sono forze esterne con componente diversa da zero lungo l asse orizzontale. Imponendo la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto totale dell asta nell urto si ottiene lo stesso risultato, ovviamente. c) Per calcolare il modulo della velocità del centro di massa del sistema asta + punto materiale subito dopo l urto basta applicare la definizione della velocità del centro di massa per il sistema considerato, tenuto conto che l asta si può considerare un punto materiale con la massa concentrata nel centro di massa dell asta stessa: v CM * = M ω + m ω = 1 1 + m M M +m 1+ m 1+ 3m M 3g( 1 cosθ) =,0 ms 1 d) Anzitutto occorre calcolare l angolo massimo raggiunto dal sistema asta + punto materiale successivamente all urto considerato. Come nel punto a) del problema, basta applicare la conservazione dell energia meccanica totale. Se indichiamo con θ * questo angolo, risulta: M g m g + 1 ( + m )ω = M g cosθ * m gcosθ *
1 ( da cui otteniamo cosθ * =1 I + m z )ω M g 1+ m accelerazione angolare nella posizione considerata si calcola per mezzo dell equazione dei momenti rispetto al perno: ( + m )α = M gsenθ * + m gsenθ * Mettendo insieme tutte le espressioni calcolate in precedenza, otteniamo infine: α = 3 1+ m M 1+ 3m M g 1 1 1 cosθ 1+ m 1+ 3m M = 5,3 rads