Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio. (Onda quadra. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione x [, f(x = x [, prolungata a una funzione -periodica su R (d ora in poi denoteremo con lo stesso simbolo f l estensione periodica a tutto R di una funzione f definita su un intervallo limitato. Si ha a = Invece si ha da cui b n = f(x dx = e a n = f(x sin(nx dx = Quindi la serie di Fourier associata a f è b n = + f(x cos(nx dx = cos(nx dx = per n. ( cos(n sin(nx dx = + = n n n n= se n è dispari se n è pari. sin((n + x. n + ( n n Esercizio. (Onda quadra II.. Sia A >. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione A x [, g(x = x [, prolungata per periodicità (di periodo a R.. Sia A >. Sviluppare in serie di Fourier h(x = prolungata per periodicità (di periodo a R. 3. Sia A >. Sviluppare in serie di Fourier j(x = prolungata per periodicità (di periodo a R. x [, A x [, A x [, A x [,
Parte. Notiamo che che g(x = Af(x, dove f è l onda quadra dell Esercizio. Per la linearità dei coefficienti di Fourier, la serie associata a g è ( A + sin((n + x = A n + + A sin((n + x. n + n= Parte. Notiamo che h(x = g(x A, dove g è l onda della parte precendente dell esercizio. Per linearità, la serie di Fourier di h è Fourier(h = Fourier(g Fourier(c n= con c funzione costante c(x A. Poiché c è un particolare polinomio trigonometrico (di ordine, la sua serie di Fourier coincide con c stessa: dunque tutti i coefficienti sono nulli tranne Concludiamo che la serie associata a h è A + A n= a = A c(x = a = A x R. n + sin((n + x A = A + A n= sin((n + x. n + Parte 3. La funzione j si ottiene sommando le funzioni g e h dei punti precedenti. Quindi la serie di Fourier associata a j è la somma delle serie di Fourier di g e h, cioè A n= sin((n + x. n + Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier f(x = + sin x + 3 cos(x. ottengo Notare che f è un polinomio trigonometrico. Quindi confrontando + sin x + 3 cos(x = a + + a n cos(nx + b n sin(nx se n =, a n = 3 se n =, altrimenti, n= b n = se n =, altrimenti. Esercizio. Sviluppare in serie di Fourier f(x = 3 se x [, ] se x (,, estesa periodicamente a R. Discutere inoltre convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [, ] e [/, /3]. Scrivere la serie numerica associata alla convergenza puntuale in x = /.
Notiamo che f(x = + g(x dove g è un onda quadra di coefficiente A =, cioè se x [, ] g(x = se x (,. Dunque la serie di Fourier associata è f + + k= sin((k + x. k +. La serie converge puntualmente per ogni x [, a 3 per x (, per x (, se x =,,. in effetti = f(+ + f( = 3 + e idem in x =,. La convergenza non può essere uniforme perché il limite è discontinuo. Sull intervallo [/, /3] la convergenza è uniforme essendo f di classe C su tale intervallo.. Per x =, la serie converge a f(/ = 3: dunque si ha + sin((k + =. k + k= Ma da cui si ha cioè ( (k + sin = + k= se k è pari se k è dispari = ( k ( k k + = 3 + 5 7 + =. Esercizio 5. Sviluppare in serie di Fourier prolungata a una funzione -periodica su R. f(x = x, x [,, 3
Si noti che f è pari quindi b n = per ogni n N. Poiché il periodo non è ma T =, uso le formule a n = T ( n f(x cos T T x dx = x cos(nx dx. Quindi: e a n = Dunque a = x dx = 3 [ x cos(nx dx = x sin(nx ] n n = [ x cos(nx ] n n n x sin(nx dx f + 3 + ( n n cos(nx. n= cos(nx dx = cos(n n = ( n n Esercizio 6. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( x f(x = cos x [, [ prolungata per periodicità (di periodo ad R. Dedurre la somma della serie numerica n= n (n. b n = Poiché la funzione è dispari, si ha a n = per ogni n. Invece si ha f(x sin(nx dx = Quindi la serie di Fourier associata è = = = = [ Applicando l identità di Parseval otteniamo ( x cos sin(nx dx [ ( sin nx + x ( + sin nx x ] dx [ ( ( ] (n + x (n x sin + sin dx [ ( (n + x n + cos n + + ] = n n= 8n (n sin(nx. ( cos x dx = 6 n= n cos 8n (n n (n. ( ] (n x
Essendo si ha ( cos x + cos x dx = dx = n= n (n = 6. Esercizio 7. Sviluppare in serie di Fourier f(x = x per x, estesa per periodicità a tutto R. Se n da cui Poichéf è pari, b n = per ogni n. Invece a n = a = Dunque la serie di Fourier di f è ( x dx = ( x cos(nx dx = k= a n = = = (x dx = [ (x (x cos(nx dx [ (x sin(nx n [ cos(nx n se n è pari, n ] se n è dispari. k= ] ] = sin(nx n = (cos(n n + + a k+ cos((k + x = + cos((k + x (k + Abbiamo che la serie di Fourier converge uniformemente a f su R perchéf èc a tratti su R. Ma si può vedere che. la serie converge totalmente essendo (k + cos((k + x (k +, e (k + < + ;. la serie converge uniformemente ad una funzione g, ed in particolare vi converge in media quadratica; 3. ma la serie di Fourier converge in media quadratica a f: dunque f = g, e la serie converge uniformemente a f. k= dx Esercizio 8. Sviluppare in serie di Fourier la funzione f(x = e x, x [,, estesa con periodicità a tutto R. 5
Si ha e per n si ha a n = da cui e a = e x dx = e e e x cos(nx dx. Abbiamo che = sinh. e x cos(nx dx = [e x cos(nx] + n e x sin(nx dx = [e x cos(nx] + n [ex sin(nx] n e x cos(nx dx Similmente (n + e x cos(nx dx = [e x cos(nx] = e cos(n e cos( n = ( n sinh a n = e x cos(nx dx = b n = ( n n sinh (n. + ( n (n sinh. + Esercizio 9. Sviluppare in serie di Fourier f(x = (cos x +, prolungata a una funzione -periodica su R. x [,, Siccome f è pari, si ha b n = per ogni n N. D altra parte, si ha e per n a n = a = a = (cos(x + dx = (cos(x + cos(x dx = (cos(x + cos(nx dx = / / / / / / cos (x dx = cos(x dx =, / / + cos(x dx = cos(x cos(nx dx = / [cos((n + x + cos((n x] dx / = [ ] / sin((n + x sin((n x + = [ n + sin n + ( n + Quindi: se n è dispari, si ha a n = ; se n = k è pari, si ha ( ( n + n sin = ( k e sin = ( k per cui Dunque la serie di Fourier associata è a n = a k = [ k + ( k ] k ( k = ( k k. + cos x k= ( k k cos(kx. n + n sin / ( n ] 6
Esercizio. Sia f la funzione -periodica definita da f(x = sin(5x, x [, ]. dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge in media quadratica in [, ];. la sua serie di Fourier converge uniformemente in R; 3. i coefficienti b n sono tutti nulli.. Vero: f è continua su R ed f è di classe C a tratti su R.. Vero: la funzione è infatti pari. 3. Vero: poiché f è a quadrato sommabile. Esercizio. Data f(x = cos x se x < se x si consideri la sua estensione -periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge puntualmente a f(x su [, ];. la sua serie di Fourier converge uniformemente su R; 3. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su [ 39. si ha b 3 = ;, ]; 5. si ha a = ; 6. si ha 3 lim n + f n(x dx = 3 f (x dx;. Falso. La serie converge alla funzione -periodica cos x se x < g(x = se < x se x = ± + k. Infatti, f è continua a tratti: continua su (, ( (, continua su, e su,, e e sono punti di salto. In x = si ha e idem in x = (f è pari. f ( + + f ( = + lim x cos(x =. Falso. Il limite puntuale g è discontinuo mentre i polinomi trigonometrici approssimanti sono funzioni continue, dunque non si può avere convergenza puntuale. 7
3. Vero. Per periodicità, l intervallo [ 39, ] è equivalente all intervallo [, ] che cade nella zona dove f è C. Dunque si ha convergenza uniforme a f.. Falso: f è pari, allora b n = n N. 5. Vero. Si ha a = f(x cos(x dx = f(x cos(x dx = = / / cos (x dx + + cos(x / cos(x dx dx + [sin x] / = 6. Vero perché si ha convergenza in media quadratica su tutto [, ]. Anche senza convergenza uniforme su [, 3 ], passo al limite sotto il segno di integrale. Esercizio. Data f(x = x x x < x < si consideri la sua estensione -periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su R. la sua serie di Fourier converge a per x = 3 3. il coefficiente a vale 5 6.. Vero: f è continua su R ed è C a tratti.. Falso: per periodicità si ha f(3 = f( =. 3. Vero: si ha a = f(x dx = ( x dx + [ x x dx = ] + [ x 3 3 ] = + 3 = 5 6. 8