ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 20/202. Esercizi: lezione 2 dicembre 20 Studio di funzioni. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata seconda, con tracciamento di grafico ed indicazione degli eventuali punti di minimo e massimo, indicando se sono locali o assoluti, e dei punti di flesso. f() = ln( 2 + ) Risoluzione. Classificazione. È una funzione logaritmica intera. Dominio. Per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che l argomento del logaritmo sia maggiore di zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D = R. Segno e Intersezioni con gli assi. 2 + > 0 per ogni R. f() > 0 ln( 2 + ) > 0 2 + > 2 > 0 0. Dunque f() > 0 per ogni 0 e si annulla per = 0. La funzione interseca gli assi solo nell origine O(0; 0). Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, +. In particolare, poiché il dominio è R non esistono asintoti verticali. : ± ln(2 + ) = + Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora
2 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA vediamo se esiste l asintoto obliquo. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = m + q se esistono finiti i seguenti iti: f() m = ± ( 0) e q = (f() m). ± f() ± = ln( 2 + ) = + ± ± forma indeterminata che si risolve con la regola di De l Hospital: ln( 2 + ) ± = ± 2 + 2 = ± Possiamo concludere che non esiste neanche l asintoto obliquo. 2 2 + = 0. Studio della derivata prima. : f () = 2 2 +. Studiamo il segno della derivata prima: ponendo f () > 0, otteniamo che 2 2 + > 0 > 0. Possiamo concludere che la funzione f è strettamente crescente per ] ; 0[, mentre f è strettamente decrescente per ]0; + [. Inoltre = 0 è un punto di minimo assoluto. Il minimo della funzione vale f(0) = 0. Studio della derivata seconda. : f () = 22 + 2 ( 2 + ) 2. Studiamo il segno della derivata seconda: ponendo f () > 0, otteniamo che 2 2 + 2 ( 2 > 0 < <. + ) 2 Possiamo concludere che la funzione f è convessa per ] ; [, mentre f è concava per ] ; [ ]; + [. Poiché f( ) = f() = ln2, abbiamo che F ( ; ln2) e F 2 (; ln2) sono punti di flesso.
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 3 Grafico: y O Osserviamo che il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse y, quindi la funzione è pari. Infatti: f( ) = ln(( ) 2 + ) = ln( 2 + ) = f(). 2. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata seconda, con tracciamento di grafico ed indicazione degli eventuali punti di minimo e massimo, indicando se sono locali o assoluti, e dei punti di flesso. f() = ln(2 ) Risoluzione. Classificazione. È una funzione mista, logaritmica e fratta. Dominio. Poiché nella funzione compaiono una frazione e un logaritmo, per determinarne il dominio bisogna porre le seguenti condizioni: { { 0 frazione 0 2 > 0 logaritmo 0 Tali condizioni sono tutte contemporaneamente soddisfatte solo se 0, dunque il dominio della funzione è D =] ; 0[ ]0; + [. Intersezioni con gli assi. Poiché la funzione non è definita per = 0, non esistono intersezioni con l asse y. Con l asse abbiamo che: ln( 2 ) y = ln(2 ) = 0
4 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA { ln( 2 ) = 0 { 2 = { = ± La funzione interseca l asse nei punti di coordinate ( ; 0) e (; 0). Segno. f() > 0 ln(2 ) > 0 Num. > 0 ln( 2 ) > 0 2 > < ; >. Den. > 0 > 0. f() > 0 ] ; 0[ ]; + [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono 0,, +. : ln( 2 ) = ln((0 ) 2 ) 0 0 = ln(0+ ) 0 = 0 = + e ln( 2 ) = ln((0+ ) 2 ) 0 + 0 + = ln(0+ ) 0 + = 0 + = quindi possiamo concludere che la retta = 0 è un asintoto verticale. : ln( 2 ) = + + +, forma indeterminata. Per le proprietà dei logaritmi, abbiamo che per +, si ha ln( 2 ) = 2 ln = 2 ln quindi ln( 2 ) + 2 ln = = 2 0 = 0, + grazie al ite notevole (ln) γ + β = 0 per ogni γ, β > 0. Inoltre: ln( 2 ) = +, forma indeterminata. Per le proprietà dei logaritmi, abbiamo che per, si ha ln( 2 ) = 2 ln = 2 ln( ) quindi ln( 2 ) = 2 ln( ).
Ponendo y =, otteniamo che ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 5 2 ln( ) 2 ln(y) 2 ln(y) = = = 2 0 = 0, y + y y + y sempre grazie al ite notevole (ln) γ + β = 0 per ogni γ, β > 0. Possiamo concludere che la retta è un asintoto orizzontale. Studio della derivata prima. : f () = 2 2 ln(2 ) 2 = 2 ln(2 ) 2. Studiamo il segno della derivata prima, ponendo f () > 0, ossia 2 ln( 2 ) 2 > 0. Num. > 0 2 ln( 2 ) > 0 ln( 2 ) 2 < 0 ln( 2 ) < 2 2 < e 2 e < < e; Den. > 0 2 > 0 per ogni 0; dunque 2 ln(2 ) 2 > 0 per e < < 0 o 0 < < e. Possiamo concludere che f è strettamente crescente per ] e; 0[ ]0;e[, mentre f è strettamente decrescente per ] ; e[ ]e; + [. Inoltre = e è un punto di massimo locale e = e è un punto di minimo locale. Il massimo locale è f(e) = ln(e2 ) = 2 e e, mentre il minimo locale è f( e) = 2 e. Studio della derivata seconda. : f () = 2 2 2 (2 ln( 2 )) 2 4 = 2 (2 ln(2 )) 2 4 = = 2 ( 2 + ln(2 )) 4 = 2 ( 3 + ln(2 )) 3. Studiamo il segno della derivata seconda, ponendo f () > 0, ossia 2 ( 3 + ln( 2 )) 3 > 0.
6 ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA Num. > 0 2 ( 3 + ln( 2 )) > 0 3 + ln( 2 ) > 0 ln( 2 ) > 3 2 > e 3 < e 3, > e 3 ; Den. > 0 3 > 0 > 0; dunque 2 ( 3 + ln(2 )) 3 > 0 per e 3 < < 0 o > e 3. Possiamo concludere che f è convessa per ] e 3 ; 0[ ] e 3 ; + [, mentre f è concava per ] ; e 3 [ ]0; e 3 [. e, analogamente, f( e 3 ) = ln(( e 3 ) 2 ) e 3 = ln(e3 ) e 3 = 3 e 3 f( e 3 ) = 3 e 3 ; ( dunque i punti di coordinate F e 3 ; 3 ) ( e F 2 e 3 3 ) ; sono punti di flesso. e 3 e 3 Grafico: y O
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA 7 Osserviamo che il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine, quindi la funzione è dispari. Infatti: f( ) = ln(( )2 ) = ln(2 ) = ) ln(2 = f( ).