Laboratorio di Costruzione dell Arcitettura, a.a. 6-7 Introduzione al comportamento delle strutture in campo elasto-plastico Strutture reticolari elastoplastice Giorgio oati Dipartimento di Ingegneria Strutturale, olitecnico di Milano strutt. reticolari elasto-plast. 1
lasticità Strutturale Alcuni riferimenti bibliografici In italiano: R. Baldacci, G. Ceradini,. Giangreco, lasticita, CISIA, 1974. V. Franciosi, Calcolo a Rottura, Liguori ditore, 1979. C. Massonet, M. Sae, Calcolo lastico a Rottura delle Costruzioni, Clup, 198. L. Corradi Dell Acqua, Meccanica delle Strutture, ol.3, Valutazione della capacità portante, McGraw-Hill, 1994. In inglese: J. Baker, J. Heyman, lastic Design of Frames, ol.1, Cambridge Uni. ress, 1969. B.G. eal, Te lastic Metods of Structural Analysis, 3 rd d.,capman and Hall, 1977. S. Moy, lastic Metods for Steel and Concrete Structures, Macmillan, 1981. J. Lubliner, lasticity Teory, Macmillan, 199. J. Heyman, lements of te Teory of Structures, Cambridge Uni. ress, 1996. M. Jirasek, Z.. Bazant, Inelastic Analysis of Structures, Wiley,. strutt. reticolari elasto-plast.
Diagramma σ ε per materiale duttile (acciaio dolce) da proa monoassiale, con σ = / A e ε = Δ / ( = base di misura; A = area sez. indeformata) σ u σ = 1 /mm = 1 Ga σ = 35-355 Ma σ u = 36-51 Ma ε =.1. % σ Ε t ε 1 = % = 1-1 ε Ε ε u = % = 1 ε t = / 1 ε ε1 diagramma qualitatio (non in scala) εu ε strutt. reticolari elasto-plast. 3
Legame σ σ σ - ε elastico - perfettamente plastico σ σ si assume un comportamento simmetrico a traz. e compress. σ σ + ( σ = σ =σ ) 1 ε p ε e ε ε ε ε = p ε = e deformazione plastica deformazione elastica ε=ε e +ε p = deformazione totale comportamento del materiale indipendente dalla elocita di deformazione duttilità illimitata σ σ ad un alore di ε corrispondono infiniti alori di σ ε legame non descriibile in termini di σ =σ( ε) ; data una ε la corrispondente σ dipende dalla storia di carico legame definibile solo in termini incrementali: noto lo sforzo corrente σ e l incremento di deformazione dε, è definito l incremento di sforzo dσ, cioe dσ = f( σ,d ε) ; per esempio (campo elast. + modo plast. a traz.): legame nonlineare ance a liello di incrementi infinitesimi per σ<σ dσ= dε per dσ = s e dε = d d se d σ=σ σ = ε ε < strutt. reticolari elasto-plast. 4
λ Asta di struttura reticolare: legge elastica perfettamente plastica + -, : + +, λ : 1 k A k = e e + + azioni assiali limite, a trazione e compressione; = σ = σ + Φ, Φ : funzioni di sneramento per i due modi plastici ; + A, A (moltiplicatori plastici) misurano le elongazioni plast. totali a trazione e compress. e p e p = elongazione plastica e e = elongazione elastica e = e + e = elongazione totale e p A = area sez. tras. = lungezza asta k = rigidezza assiale elastica Descrizione analitica della legge incrementale: dλ i + + = λ dt e = e + e e = k e e p e p + = λ λ + + Φ = Φ = + i + λ i λ i Φ λ = i + + Φ λ = i + + λ = λ dt relazioni di complementarietà + + λ + λ nergia dissipata: D(t) = (t) (t) strutt. reticolari elasto-plast. 5
Analisi eolutia elasto-plastica di semplice struttura reticolare 1 3 Relazioni spost. nodale elongazioni: e1 = e = e3 = A Legge elastica barre: 1 e1 quilibrio in termini di spost. nodale : Azioni assiali: 1 = = ( + ) 1 3 A + 1 = 3 A = ( + ) 1 3 = = e 3 = e3 quilibrio nodale erticale: (1+ )( ) + 3 = Carico al limite elastico : ( + ) A 3 = = = 1.71 = A + = modulo elasticità A= area sez. tras., A = cost. er la simmetria del sistema: 1 = e1 = e Mat. elastico-perfettamente plastico σ σ tan 1 ε = σ A = azione assiale limite Spost. lim. elast. : σ = tensione limite strutt. reticolari elasto-plast. 6 σ =
Fase elasto-plastica: < < L quilibrio nodale erticale: 1 = = ( ) 1 longazioni aste 1, (ancora elast.): e = e = 1 ( ) A = 1 longaz. asta 3 (= spost. nodale ), ia congruenza: ( ) A = e3 = e1 = 1 3 1, 3 1 1 Analisi eolutia elasto-plastica di semplice struttura reticolare [continuaz.(1)], 3 = azione assiale limite 1, Carico limite L : iene raggiunto quando = L = (1+ ) 1, L risulta essere staticamente determinato (quindi indipendente da imperfezioni ed effetti inelastici) Spostam. a collasso incipiente: = ( ) = = A L L deformaz. elastica L def. plast. contenuta strutt. reticolari elasto-plast. 7
Analisi eolutia elasto-plastica di semplice struttura reticolare [continuaz.()] 1, 1, 3 1 3 a plasticiz. totale, un aumento ulteriore di (oltre L ) si potrebbe aere per effetto geometrico (diminuz. angoli tra le bielle); ma a prezzo di def. molto grandi! 1 3 1, Risorsa plastica: L = 1.41 L Diagramma carico-spostamento deformaz. elastica L def. plast. contenuta In fase elasto-plastica non risulta più applicabile il principio di sorapposizione degli effetti L = deform. elastica L deform. plastica contenuta strutt. reticolari elasto-plast. 8 deform. plastica libera
Analisi eolutia elasto-plast. di struttura a 5 aste (sistema simmetrico) 1 3 6 6 4 5 Carico al limite elastico : = modulo elasticità A = area sez. tras., A = cost. (per le 5 aste) la fase elastica termina con la plasticizzazione dell asta 3 ( per = ) Mat. elastico-perfettamente plastico σ σ tan 1 ε = σ A = azione assiale limite σ = tensione limite fase el-plast. 1 : 1 4 5 termina con la plasticizzazzione delle aste 1 e (per = ) (1) (1) (1) () < = L < fase el-plast. : termina con la plasticizzazzione () delle aste 4 e 5 (per = = ) 4 5 L Carico limite : L L strutt. reticolari elasto-plast. 9 = 3.41
Analisi eolutia elasto-plastica di struttura a 5 aste (sistema simm.) 1 3 6 6 4 5 1..5 3 1, 4,5,, 3 1,.5 4,5 1.95 fase elastica.91 (1) fasi elasto-plast. L 3.41 Risorsa plastica: L = 1.74 L/ (1) / / 1.95 / 3.41.91 = A (1) Diagramma carico-spostamento 1 4 / L/ / strutt. reticolari elasto-plast. 1
Altra struttura reticolare 1-olta iperstatica (sistema non simmetrico): possibili meccanismi di collasso I meccanismo di collasso II meccanismo di collasso 1 3 1 1 3 1 1 3 3 = modulo di elasticita' = cost. σ = tensione limite = cost. A area sez., k = (A ) (i = 1,,3) i = i i i = azioni assiali limite (i = 1,,3) L analisi eolutia elasto-plastica ci dice qual è il ero meccanismo di collasso; si noti ce, noto il meccanismo di collasso, L risulta essere staticamente determinato (basta imporre l equilibrio del nodo libero). 1 (I) L 1 3 3 1 III meccanismo di collasso (III) L 3 3 (II) L strutt. reticolari elasto-plast. 11
Struttura reticolare soggetta a due carici e Q ; analisi per carico proporzionale ( Q / = cost.) ma per rapporti Q / diersi.4 b 1.8 b 3. b 1 3 Q 1 = 3b =.4 b 3 = 4b = azione assiale limite cost. per le tre aste,q 3 meccanismi di collasso: Q/.5 Q Spazio dei carici, percorsi radiali e diagramma d interazione Q meccanismo 1 1.4 meccanismo 3 meccanismo 1 aste plasticizzate meccanismo meccanismo 3 / strutt. reticolari elasto-plast. 1
Strutture reticolari: esempi di meccanismi di collasso completi er struttura reticolare s-olte iperstatica, meccanismi di collasso completi: plasticizzazione di (s+1) barre; meccanismi di collasso parziali: plasticizzazione di un numero di barre < (s+1). struttura -olta iperstatica struttura 1-olta iperstatica a a a meccanismo completo (3 aste plasticizzate) meccanismo completo ( aste plasticizzate) strutt. reticolari elasto-plast. 13
Strutture reticolari: esempi di meccanismi di collasso parziali er struttura reticolare s-olte iperstatica, meccanismi di collasso completi: plasticizzazione di (s+1) barre; meccanismi di collasso parziali: plasticizzazione di un numero di barre < (s+1). struttura 1-olta iperstatica struttura 3-olte iperstatica a a a a a a a meccanismo parziale (1 asta plasticizzata) meccanismo parziale ( aste plasticizzate) strutt. reticolari elasto-plast. 14