PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 8/9 Prova scritta del 4//9 Si studi, al variare di x >, la serie + n= log nx + A n x, ove A é il numero delle lettere del proprio nome. Data la funzione: f(x) = x3 + x 4 x 3 +, se ne studi il campo di esistenza, il segno, gli asintoti. Si trovino poi gli eventuali punti estremanti, i punti di flesso, e si tracci il grafico. Si calcoli il seguente integrale definito B 3 B 3 3 x e 3 x dx, ove B é il numero delle lettere del proprio cognome. Soluzioni compito 4//9 La serie assegnata é a termini positivi, dunque non puo essere indeterminata. Il termine generale a n si puo scrivere cosi : a n = log(+ A n x ), e da qui si vede facilmente che a n é infinitesimo, per n, di ordine x. Pertanto, dal confronto asintotico, si deduce che la serie data é convergente se x > e divergente se x. La funzione é definita in tutto IR \ { }, ma in tale punto essa presenta una singolarita eliminabile, essendo x 3 lim f(x) = lim x x x x + = 3. Facilmente poi si vede che non esistono asintoti verticali od orizzontali, ma esiste un asintoto obliquo, y = x +, sia a + che a. Per quanto riguarda il segno, essendo x x + sempre positivo, si ha f(x) > se e solo se x >. Calcolando la derivata prima, si ha f (x) = x (x x + 3) (x x + ),
da cui si vede subito che f é sempre crescente, ma é un punto critico. Pertanto non esistono punti estremanti, e é punto di flesso. Calcolando poi la derivata seconda, si ha f x x (x) = 6 (x x + ), 3 da cui si vede che oltre a, esiste un punto di flesso anche per x =. L integrale assegnato si puo calcolare cosi : B 3 B 3 B 3 3 x e 3 x dx = 3 xe 3 x dx B 3 3 xe 3 x dx. Mediante la sostituzione x = t 3 si ottiene B 3 3 x e 3 x dx B 3 3 xe 3 x dx = B Pertanto, l integrale richiesto si ottiene dalla formula B 3 3t 3 e t dt B 3 3 x e 3 x dx = F (B) + F ( B) F (), B 3 3t 3 e t dt. ove F é una qualunque primitiva della funzione t 3t 3 e t. Procedendo per parti, si ottiene facilmente 3t 3 e t dt = 3e t (t 3 3t + 6t 6) + C,
e quindi xe 3 x dx = 36 + 3e B (B 3 3B + 6B 6) 3e B (B 3 + 3B + 6B + 6) = = 36 + 6 sinh(b)(b 3 + 6B) 6 cosh(b)(3b + 6). Prova scritta del 6//9 funzione a) Utilizzando il teorema di Lagrange, si trovi l ordine di infinitesimo della f(x) = (arctan (x + ) arctan x ), per x. b) Si studi il comportamento della serie al variare di α IR +. + n= n α f(n), Sia B il numero di lettere del cognome. a) Tra tutti i parallelepipedi, aventi volume B e altezza fissata h, si trovino (se esistono) quelli di superficie totale massima e minima. b) Tra tutti i parallelepipedi aventi volume B, si trovino (se esistono) quelli di superficie totale massima e minima. a) Data la funzione h(x) = x 3 e/x, per x [, e], si trovi la sua funzione integrale F, nello stesso intervallo. b) Si determini la funzione integrale G della funzione integrale F. (Sugg. per il punto (b): si proceda per parti nell integrare e /x...). Soluzioni compito 6//9 3
fissato y > si ha a) Conviene applicare il teorema di Lagrange alla funzione arctan: per ogni arctan (y + ) arctan y = + (y + θ), dove θ é un numero opportuno compreso fra e. Ne consegue che, per ogni valore di x >, si ha f(x) = + (x + θ), dove θ ha lo stesso ruolo di prima. Da cio facilmente si deduce che f presenta un infinitesimo di ordine 4 per x. b) Applicando il risultato precedente, si deduce direttamente che la serie assegnata (a termini positivi) ha termine generale infinitesimo solo se α < 4, e, se cio accade, l ordine di infinitesimo é 4 α; quindi, per il criterio del confronto asintotico, ne segue che essa é convergente per α < 3, e divergente per 3 α. a) Dette x, y, h le dimensioni del parallelepipedo, si ha xyh = B, da cui y = B hx. La superficie totale S si ottiene facilmente: S = B h + xh + B x. Pertanto, bastera massimizzare o minimizzare la funzione S(x) = hx + B x, per x >. Lo studio della derivata conduce facilmente alla conclusione che S é B decrescente per x ], [, e crescente in ] B, [. Pertanto esiste un minimo per h h x =, (e quindi y = x), il che significa che il parallelepipedo di superficie minima B h ha base quadrata, e in tal caso la superficie totale é ST (h) = B h + 4 hb, mentre non esiste il massimo, in quanto S tende a + sia per x, sia per x. b) In base a quanto ottenuto nella parte (a), possiamo dire che certamente non esiste un parallelepipedo con superficie massima. Quanto alla ricerca di quello con superficie minima, si puo osservare che, se esso esiste, la sua superficie dovra coincidere con il minimo della funzione (trovata al punto (a)), ST (h) = B h + 4 hb, al variare di h >. Di nuovo, derivando questa volta rispetto ad h otteniamo che il minimo si raggiunge in corrispondenza ad h h = B, ossia h = 3 B, e quindi in corrispondenza con il cubo di lato 3 B. a) Mediante la sostituzione = u, e quindi dx = du, si ottiene x u h(x)dx = ue u du = e u ue u + C = e /x x e/x + C. 4
Pertanto, la funzione integrale F é data da F (x) = e /x x e/x e + e = e /x x e/x. b) Procedendo per parti, si ottiene e /x dx = xe /x + x e/x dx, da cui si trae immediatamente (e /x x e/x )dx = xe /x + C. La funzione integrale di F é allora G(x) = x F (t)dt = xe /x e. Prova scritta del 7/6/9 a) Si determini l ordine di infinitesimo della funzione f(x) = cos x x, per x. b) Si studi il comportamento della serie al variare di α IR. + n= n α f( n ), Si studi, nel suo campo di definizione, la funzione g(x) = (x 4 x ) log(x 4 x ), determinando in particolare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti. Si calcoli l integrale indefinito della funzione h(x) = x 4 log(x 4 x ), per x >. 5
Soluzioni compito 7/6/9 a) Per un limite notevole studiato, la funzione x cos x é infinitesimo di ordine 4 in. Di conseguenza, la funzione assegnata f ha ordine di infinitesimo 4 = 7. b) La serie data é a termini positivi. In virtu di quanto visto al punto (a) precedente, il termine generale é infinitesimo solo se 7 > α. Se cio accade, l ordine di infinitesimo del termine generale é β := 7 α, e sappiamo, in virtu del confronto asintotico, che la serie data ha lo stesso comportamente della serie armonica,, e quindi sara n β convergente solo se β >, ossia per α < 5. Invece, se α 5, la serie é divergente. Si vede subito che la funzione g é pari, e quindi basta studiarla per x. Inoltre, poiché g dipende direttamente solo da x, converra spesso riferirsi alla funzione G(t) = (t t) log(t t), con t = x, salvo poi riportare i risultati in termini di x. Il campo di esistenza della funzione G é l insieme ], + [. Dunque, il campo di esistenza di g é l insieme Si deduce poi facilmente che ], [ ], + [. lim g(x) = lim g(x) =. x + x Non vi sono dunque asintoti verticali. Abbiamo poi per cui G(t) = t t = t = t := + 5, g(x) = x = ± + 5, risultando anche g(x) > se e solo se x > t oppure x < t. Inoltre, si ha lim g(x) = + x ± e anche lim g(x) x ± x = +, 6
per cui non esistono asintoti orizzontali, né obliqui. Esaminiamo ora gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione G. Si ha per cui, nel campo t >, otteniamo G (t) = (t )[log(t t) + ], G (t) > t > t := e + e + 4e e.86. Dunque, la funzione G decresce per < t < t e cresce per t > t, e quindi presenta minimo relativo (e assoluto) in t. In conseguenza, la funzione g presenta minimo assoluto per x = t.34 e x = t. Non esistono punti di massimo assoluti, ma il valore é un estremo superiore relativo, in prossimita dei punti e. Si puo procedere all integrazione per parti: h(x)dx = x5 x 5 log(x4 x 5 4x 3 x ) dx = 5 x 4 x x5 dx = 5 log(x4 x ) 5 = x5 5 log(x4 x ) x 6 x 4 5 x (x 4 +x ++ x ) dx = = x5 5 log(x4 x ) 4 5 x5 5 x3 5 x + 5 log x + x + C. Prova scritta del 8/7/9 Si studi, al variare di x IR, il comportamento della serie + n=8 nx n! n n n 7. (Sugg.: si adoperi il criterio del confronto asintotico e, ove occorra, la formula di Stirling: lim n n!e n n n πn =.) Si studi, nel suo campo di definizione, la funzione g(x) = log(4e x + 4e x ), determinando in particolare eventuali asintoti, punti di massimo e minimo relativi e assoluti, e (solo per x > ) punti di flesso. 7
funzione Si calcoli, nel modo piu elementare possibile, l integrale definito della h(x) = 9 + 6x x nell intervallo [, 6]. Soluzioni compito 8/7/9 La serie data é senz altro a termini positivi. Per ogni fissato valore di x, posto n > 7, si ha a n = nx n! n n n 7, b n = nx n! n n, a n n n lim = lim n b n n n n n =. 7 Pertanto la serie data ha lo stesso comportamento della serie b n. Per studiare la serie b n, si puo adoperare il criterio del rapporto: b n+ lim n b n = lim x n ( n n + )n = x e. Nel caso x <, cioé x < log e e, si ha convergenza, se invece x > log e la serie data diverge, e se x = log e la serie di confronto b n diviene n!e n n n : in base alla formula di Stirling, si vede facilmente che in tal caso il termine generale tende a +, quindi necessariamente la serie diverge. In conclusione, la serie data risulta convergente se e solo se x < log e. Poiché l argomento del logaritmo é sempre positivo, la funzione data é definita su tutto IR, ed ivi é continua, in quanto composizione di funzioni continue. Non vi sono dunque asintoti verticali. Si ha poi g() = ln(7).9459. Ora, la legge di g puo essere espressa come segue: { log(4e x + 4e x ), se x > ln 4 g(x) = log(e x ) = log( e x ), se x ln 4. Da qui si vede subito che lim g(x) =, x 8
e quindi l asse x é asintoto orizzontale a sinistra. Si ha poi, nel campo x > ln 4, 3 g(x) > log(4e x + 4e x ) > 4e x + 4e x > x >, mentre nel campo x ln 4 risulta sempre g(x) <, essendo anche g( ln 4) = ln 4. Per quanto riguarda il comportamento asintotico a +, si vede facilmente che + 4e x lim (g(x) x) = lim x x ln(4ex ) = ln 4, e x per cui si ha l asintoto obliquo y = x + ln 4, per x +. Passando al calcolo della derivata, si ha, nel campo x > ln 4: g (x) = 4e x 4e x + 4e x (ex + ), e quindi si vede subito che g é sempre crescente in tale semiretta. Nel campo x < ln 4, si ha invece g (x) = 4 e x : da cio si deduce immediatamente che g é decrescente nella semiretta considerata, e quindi il punto x = ln 4 é punto di minimo (sia relativo che assoluto), anche se in tale punto la derivata non esiste, in quanto la derivata destra é diversa da quella sinistra. Passiamo infine a ricercare eventuali punti di flesso per x > : per quanto visto prima, si ha g (x) = (6ex + 4e x )(4e x + 4e x ) (8e x + 4e x )(6e x + 4e x ) (4e x + 4e x ) = e x = 4e x 4ex 4e x (4e x + 4e x ). Nel campo t >, la disequazione 4t 4t > é soddisfatta se e solo se t > +, quindi si ha un punto di flesso per x = log +. Si ha, chiaramente h(x) = { 3 x, se x 9 + 6x x, se x 6. Dunque, nell intervallo [, ] l integrale assegnato si riduce all area di un trapezio rettangolo, avente basi di lunghezza 3 e 5, e altezza. Di conseguenza h(x) dx = 8. 9
Nell altro intervallo, invece, la curva data é un arco di circonferenza, di equazione (x 3) + y = 8. Il centro é nel punto (3, ), e il raggio é 3, dunque l area totale del cerchio é 8π. La regione sottostante l arco di circonferenza si compone di due triangoli rettangoli isosceli, aventi cateti di lunghezza 3, e di un settore circolare di ampiezza π della circonferenza suddetta. L area del settore circolare é quindi 9π, l area complessiva dei due triangoli é 9, e in conclusione 6 h(x)dx = 7 + 9 π. Prova scritta del /9/9 Il peso di un certo microrganismo cresce secondo la seguente regola: detto S n il peso al giorno n, e posto a n = S n+ S n, deve risultare a = S =, a =, a =, e, per n 3, Si calcoli il limite a n+ = n + 4 n. lim S n. n
E data, nel piano cartesiano Oxy, la parabola di equazione y = x. Fissato un generico punto P (, b) sull asse y, si trovino, a seconda del valore b IR, gli eventuali punti della parabola a distanza minima da P. Si calcoli l integrale definito della funzione h(x) = x 6 8x 4 + 6x nell intervallo [, ]. Soluzioni compito /9/9 Per le condizioni assegnate, si deve avere: a =, a =, a =, a 3 = 4 + 4 =, a 4 = 8 + 6,... e in generale, per n 3 : a n = + n 4. n Il limite richiesto non é altro che la somma della serie a + a + + n=3 ( + n 4 ) = 3 n + 4 ( + 4 3 ) = 7 3. data da Detto Q (x, x ) il generico punto della parabola, la distanza tra Q e P é d(p, Q) = x + (x b) = x 4 + ( b)x + b. Ovviamente, per trovare i punti a distanza minima, basta cercare i punti estremanti della funzione essendo f(x) = x 4 + ( b)x. f (x) = x(x + b), si vede facilmente che i punti critici sono x =, e x = ± b, purché si abbia b. Nel caso b, l unico punto critico é x =, e questo fornisce il punto a distanza minima (l origine). Nel caso b > b, i punti a distanza minima sono invece quelli per cui x = ±, ossia ( b, b ), ( b, b ).
Si ha, ovviamente: Si ha pertanto h(x) = x x 4 4x + 8 = x (x ) + 4. h(x)dx = (t ) + 4 dt, grazie alla sostituzione t = x. Ora, si ha (t ) + 4 dt = 4 + ( t ) d(t/ ) = Pertanto, si ottiene = (t/ ) + (t/ ) + arcsinh(t/ ) + C. h(x) dx = ( ) 5 + arcsinh() 4 arcsinh( ).775344775 Prova scritta del 6/9/9 a) Si determini l ordine di infinitesimo della funzione f(x) = x sin x + x, per x. b) Si studi il comportamento della serie al variare di α IR. + n= n α ( + n n sin n ), Si studi, nel suo campo di definizione, la funzione g(x) = log( + x ), + x determinando in particolare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi e assoluti, ed eventuali punti di flesso. Si calcoli il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando di un angolo giro completo il grafico della funzione g, di cui all esercizio precedente, relativamente all intervallo x.
Soluzioni compito 6/9/9 a) Considerato che la funzione x x sin x é infinitesimo di ordine 3, per il principio di sostituzione si puo dedurre che f é un infinitesimo di ordine. b) Il termine generale della serie é a n = n α f( n ), e quindi risulta infinitesimo per α <. In tal caso, l ordine di infinitesimo é α, e la serie sara convergente se e solo se α <. Il campo di esistenza di g é tutto IR, ed ivi la funzione é continua, dunque priva di asintoti verticali. Essa é poi una funzione pari, pertanto bastera studiarla per x. Facilmente si vede che g é sempre positiva per x e nulla solo in. Inoltre y = é asintoto orizzontale (bilatero), quindi non esistono asintoti obliqui. Quanto alla derivata prima, si ha, per x > : g (x) = ( log( + x)), ( + x) da cui si vede subito che g é crescente per < x < e, e decrescente per x > e, e dunque e é punto di massimo. Analogamente accade in x = e, per simmetria. Per x = la derivata non esiste, in quanto la derivata destra é e quella sinistra é, comunque in la g ammette minimo assoluto. Quanto alla derivata seconda, risulta, per x > : g (x) = ( log( + x) 3), ( + x) 3 dunque si ha punto di flesso per x = e 3/ e, per simmetria, per x = e 3/. Il volume richiesto V si calcola mediante la formula: V = π (g(x)) dx. Essendo, per x : (g(x)) dx = ( + x) log (+x) dx = + x log (+x)+ = + x log ( + x) log( + x) + + x ( + x) dx = log(+x) dx = ( + x) 3
= + x ( + log( + x) + log ( + x)), si deduce facilmente che e in definitiva (g(x)) dx = log() log (), V = π( log() log ()).937336. 4