Funzioni Tema C. Introduzione alle funzioni STRUMENTI DIGITALI APPRFNDIMENTI RISRSE IN GEGEBRA FIGURE ANIMATE VIDELEZINI ESERCIZI INTERATTIVI Che cos è una funzione? Dati due insiemi X e Y, si definisce relazione un procedimento che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi dell insieme X (insieme di partenza) uno o più elementi dell insieme Y (insieme di arrivo). Consideriamo ora un problema e la relazione che da esso scaturisce. PRBLEMA Sia P un punto variabile sul lato AC di un triangolo rettangolo ABC, isoscele sulla base BC, avente i lati obliqui di misura uguale a. L area del triangolo APB varia in funzione della posizione di P (fig..). Tramite quale relazione possiamo esprimere il legame tra la posizione di P e l area del triangolo APB? GLSSARI MULTIMEDIALE C C MATEMATICA IN LABRATRI SCHEDA PER IL RECUPER P A P Area = B A Figura. Figura. B Figure dinamiche Esplorazione della funzione che lega l area del triangolo APB alla distanza di P da A Possiamo anzitutto osservare che la posizione di P sul lato AC è univocamente individuata una volta che si conosce la distanza di P, per esempio, dal punto A. Tale distanza varia tra 0 (quando P coincide con AÞ e (quando P coincide con CÞ: pertanto, come insieme di partenza X della relazione che vogliamo definire consideriamo l intervallo [0, ] (che rappresenta tutte le possibili distanze di P da AÞ; come insieme di arrivo Y della relazione possiamo assumere per esempio l insieme dei numeri reali non negativi (dal momento che un area è sempre espressa da un numero non negativo). La relazione cercata è quella che associa a ogni ½0; Š (ovverosia a ogni possibile distanza di P da AÞ il numero (ovverosia l area del corrispondente triangolo APB, fig..). Questa relazione ha una particolare caratteristica: associa a ogni elemento dell insieme di partenza uno e un solo elemento dell insieme di arrivo. Le relazioni che godono di questa proprietà sono di fondamentale importanza, perché sono i modelli adatti a descrivere come varia una grandezza (nel problema un area) in funzione di un altra (nel problema la distanza di P da AÞ. Proprio per questo motivo si è dato a tali relazioni l appellativo di funzioni. 57 Sinonimi Sono di uso corrente vari sinonimi di «funzione». Tra i più importanti vi è applicazione. FUNZINE Siano X e Y due insiemi; si dice funzione da X a Y una relazione che associa a ogni elemento di X un solo elemento di Y. L insieme di partenza X si chiama dominio e l insieme di arrivo Y si chiama codominio. Le funzioni vengono indicate con lettere dell alfabeto, generalmente minuscole, come f, g ecc.
Unità Funzioni Esempio Controesempi X a b c d f z Y X a b c g z Y X a b c h z Y e w d w d w La relazione f è una funzione da X a Y perché a ogni elemento di X è associato un solo elemento di Y. La relazione g non è una funzione da X a Y, perché all elemento b di X non è associato alcun elemento di Y. La relazione h non è una funzione da X a Y perché all elemento d di X sono associati due elementi di Y. Per indicare che f è una funzione, di dominio X e codominio Y, si scrive: f : X! Y, che si legge: «f è una funzione da X a Y» Quando è data una funzione f, l immagine di un elemento appartenente al dominio della funzione (cioè l elemento che corrisponde a nel codominio) si indica con il simbolo: f ðþ, che si legge «f di». Per esempio, in riferimento alla funzione f della tabella precedente, scriveremo che: f ðaþ ¼, f ðbþ ¼, f ðcþ ¼f ðdþ ¼z, f ðeþ ¼w Se è l immagine di tramite una certa funzione f, si può anche dire, simmetricamente, che è la controimmagine di. In particolare, l insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio è chiamato insieme immagine (oppure semplicemente immagine) della funzione. Per esempio, la funzione f : N! N che associa a ogni numero naturale il suo doppio ha come insieme immagine l insieme dei numeri pari. L insieme immagine può essere un sottoinsieme proprio del codominio (come in quest ultimo esempio) oppure coincidere con il codominio. FUNZINE BIUNIVCA Una funzione in cui ogni elemento del codominio ha un unica controimmagine si dice biunivoca. Esempio Controesempi X a b c f z Y X a b c g z Y X a b c d h z Y d w w e w La funzione f : X! Y è biunivoca. La funzione g : X! Y non è biunivoca perché c è un elemento del codominio, w, che non ha alcuna controimmagine. La funzione h : X! Y non è biunivoca perché c è un elemento del codominio, z, che ha due controimmagini. 57
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Attenzione! Nella pratica, per brevità spesso si identifica una funzione con la sua equazione o con la sua espressione analitica. Si trovano perciò espressioni del tipo: «la funzione ¼» oppure «la funzione f ðþ ¼», sebbene queste espressioni andrebbero sostituite più correttamente con «la funzione di equazione ¼» e «la funzione di espressione analitica f ðþ ¼». Funzioni reali di variabile reale Fra i vari tipi di funzioni giocano un ruolo di primo piano le funzioni che hanno come dominio e codominio sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali, chiamate funzioni reali di variabile reale. La legge che definisce una funzione reale di variabile reale viene quasi sempre assegnata in forma algebrica, solitamente tramite una delle seguenti due scritture: f ðþ ¼::::::::::, dove al posto dei puntini compare un espressione nella variabile, detta espressione analitica della funzione; ¼ f ðþ, che viene detta equazione della funzione, dove f ðþ è l espressione analitica della funzione. Per esempio, la funzione che associa a ogni numero reale il suo doppio può venire assegnata in una delle seguenti due forme: f ðþ ¼ da leggere: «f di uguale a» ¼ da leggere: «uguale a» ESEMPI Espressione analitica di una funzione da R a R Data la funzione f ðþ ¼ þ, calcoliamo l immagine di. Per determinare l immagine di, che si indica con il simbolo f ð Þ, basta sostituire al posto di nell espressione analitica della funzione: f ð Þ ¼ð Þ ð Þþ ¼ þ þ ¼ 5 f ðþ ¼ þ L immagine di è5. Quando, come in quest ultimo esempio, viene assegnata l espressione analitica (o l equazione) di una funzione reale di variabile reale senza specificare il dominio e il codominio, si assume, per convenzione: come dominio, l insieme costituito da tutti i numeri reali per cui le operazioni che compaiono nella sua espressione analitica (nella sua equazione) si possono eseguire; come codominio, l insieme R. Il dominio di una funzione reale di variabile reale viene anche chiamato insieme di definizione o insieme di esistenza della funzione. ESEMPI Dominio di una funzione da R a R Sono date le funzioni definite da: a. ¼ þ b. ¼ Quali sono i rispettivi domini? 57 a. L equazione che definisce la funzione dice che, per ottenere l immagine dell elemento, bisogna raddoppiare e aggiungere : comunque scelto un numero reale, si possono eseguire queste operazioni e si ottiene come immagine di un altro numero reale. Il dominio della funzione è quindi R. b. L equazione che definisce la funzione dice che, per ottenere l immagine dell elemento, bisogna sottrarre da il numero e poi calcolare il reciproco di : la sottrazione è sempre possibile in R, mentre il calcolo del reciproco è possibile purché sia 6¼ 0, cioè per 6¼ (il reciproco di 0, infatti, non è definito). Concludiamo allora che il dominio della funzione è R fg.
Unità Funzioni Variabile dipendente e variabile indipendente Nell equazione di una funzione: ¼ f ðþ la lettera rappresenta un generico elemento del dominio, mentre la lettera rappresenta l elemento che la funzione fa corrispondere a. Poiché le lettere e rappresentano elementi che possono variare, esse sono delle variabili; i ruoli di e sono però diversi: alla variabile può essere assegnato un valore arbitrariamente scelto nel dominio; alla variabile invece non può essere assegnato un valore arbitrario, perché il valore assunto da dipende da quello assegnato alla. Per questo motivo la variabile è chiamata variabile indipendente mentre è chiamata variabile dipendente. Per esempio, consideriamo la funzione f di equazione ¼ ; allora: f ðþ ¼ variabile dipendente variabile indipendente Se alla assegniamo il valore, la assume di conseguenza il valore ; se alla assegniamo il valore 0, la assume di conseguenza il valore 6, e così via. Funzioni polinomiali Le funzioni definite da un equazione del tipo: ¼ PðÞ dove PðÞ è un polinomio, vengono dette funzioni polinomiali. Per esempio, la funzione definita da ¼ þ èuna funzione polinomiale. Il dominio di una funzione polinomiale è R. Un polinomio PðÞ, a coefficienti in R, può quindi essere guardato da due punti di vista: uno puramente algebrico, come espressione che, ridotta a forma normale, è del tipo: PðÞ ¼a n n þ a n n þ ::::: þ a 0 dove a 0, a, :::::, a n sono numeri reali; uno funzionale, considerando come elemento variabile in R e PðÞ come l espressione analitica della funzione che associa a ogni R il corrispondente valore assunto dal polinomio in. Se due polinomi PðÞ e QðÞ sono uguali dal punto di vista algebrico (cioè se ridotti a forma normale hanno lo stesso grado e i coefficienti ordinatamente uguali), è ovvio che individuano la stessa funzione polinomiale. Non è ovvio invece il viceversa, ossia: se due polinomi PðÞ e QðÞ individuano la stessa funzione, ossia assumono lo stesso valore per ogni R, devono essere uguali dal punto di vista algebrico? La risposta è affermativa, in forza del seguente teorema, che ci limitiamo a enunciare. Principio di identità dei polinomi Due polinomi PðÞ e QðÞ a coefficienti in R sono uguali se e solo se assumono lo stesso valore per ogni R. 575
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Funzioni algebriche razionali Le funzioni definite da un equazione del tipo: ¼ PðÞ QðÞ dove PðÞ e QðÞ sono due polinomi, sono dette funzioni algebriche razionali. In altre parole, le funzioni razionali sono le funzioni la cui espressione analitica è una frazione algebrica. Le funzioni polinomiali sono particolari funzioni razionali, in cui QðÞ è un polinomio di grado zero, ossia una costante, non nulla. Le funzioni razionali che non sono polinomiali vengono dette funzioni razionali frazionarie (o razionali fratte). Le funzioni razionali frazionarie sono definite per ogni R per cui il denominatore è diverso da zero. Approfondimento Classificazione delle funzioni Esercizi p. 598 ESEMPI La funzione definita da ¼ þ è una funzione razionale frazionaria. Essa è definita per ogni R per cui þ 6¼ 0, cioè per 6¼. Il suo dominio è perciò R. 576 asse origine Figura. ordinata u u P P(, ) ascissa Figura. P asse. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione Il metodo più utilizzato per rappresentare una funzione reale di variabile reale è il diagramma cartesiano, che si dice anche grafico della funzione. Prima di tracciare insieme il grafico di qualche funzione è bene, però, rivedere il concetto di piano cartesiano (che già conosci dai tuoi studi precedenti). Il piano cartesiano Consideriamo, in un piano, due rette perpendicolari; chiamiamo il loro punto di intersezione e orientiamo la retta che appare orizzontale verso destra e quella che appare verticale verso l alto (fig..). La retta orizzontale si chiama asse o asse delle ascisse, quella verticale asse o asse delle ordinate e il punto si chiama origine. Fissiamo poi, sull asse e sull asse, un unità di misura. Un piano dove sono stati fissati un asse, un asse e due unità di misura sugli assi si dice anche piano cartesiano o piano dove è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Se sull asse e sull asse si sceglie la stessa unità di misura, si dice che il sistema di riferimento è monometrico; altrimenti il sistema di riferimento si dice dimetrico. pffiffiffi gni coppia ordinata di numeri reali, come per esempio ð, Þ, 9,, ð5, Þ, può essere rappresentata in un piano cartesiano. Per rappresentare nel piano cartesiano una coppia ordinata ð, Þ di numeri reali basta rappresentare il punto P che corrisponde a sull asse delle ascisse, il punto P che corrisponde a sull asse delle ordinate, quindi tracciare da P la parallela all asse edap la parallela all asse : faremo corrispondere a ð, Þ il punto di intersezione P di tali parallele (fig..). I numeri reali e della coppia ordinata ð, Þ vengono detti ascissa e ordinata del punto corrispondente P. L ascissa e l ordinata di P vengono dette coordinate di P; per indicare che il punto P ha coordinate ð, Þ scriveremo Pð, Þ.
Unità Funzioni Viceversa, a ogni punto P può essere associata una coppia ordinata ð, Þ di numeri reali (fig..): si tracciano per P le parallele agli assi e poi, indicati con P e P i punti in cui tali parallele incontrano, rispettivamente, l asse e l asse, si assegna al punto P: come ascissa, il numero reale che corrisponde a P sull asse ; come ordinata, il numero reale che corrisponde a P sull asse. Si instaura così una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali: infatti, a ogni coppia ordinata corrisponde un unico punto del piano e, viceversa, a ogni punto del piano corrisponde un unica coppia ordinata. Nella fig..5 abbiamo rappresentato, per esempio, i punti: Að, Þ; Bð, Þ; C, ; Dð, Þ B A II quadrante < 0, > 0 I quadrante > 0, > 0 C D III quadrante < 0, < 0 IV quadrante > 0, < 0 Figura.5 Figura.6 Il piano resta diviso dagli assi in quattro angoli; ciascuno di questi angoli, esclusi i punti appartenenti agli assi cartesiani, viene detto quadrante. I quadranti sono convenzionalmente numerati dal primo in alto a destra procedendo in senso antiorario (fig..6). Il grafico di una funzione reale di variabile reale Tracciamo ora insieme il grafico di una funzione. ESEMPI Tracciare il grafico di una funzione per punti Tracciamo per punti il grafico della funzione ¼. o passo: costruiamo una tabella di valori per e o passo: rappresentiamo i punti corrispondenti sul piano cartesiano o passo: congiungiamo i punti con una linea continua ð Þ ¼ 8 ð Þ ¼ 9 ð Þ ¼ ð Þ ¼ = 0 ð0þ ¼ 0 ðþ ¼ ðþ ¼ ðþ ¼ 9 ðþ ¼ 8 577
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Ciò che contraddistingue, nel piano cartesiano, il grafico di una funzione (reale di variabile reale) è il fatto che ogni retta verticale (parallela all asse Þ lo interseca al massimo in un punto (tale proprietà segue dalla definizione stessa di funzione). Per esempio, la curva della figura a sinistra nella seguente tabella è il grafico di una funzione; invece la curva della figura a destra non lo è perché, come è mostrato nel disegno, ci sono rette verticali che intersecano la curva in due punti distinti. Esempio Controesempio La curva in rosso è tagliata da ogni retta verticale (come le due tratteggiate in azzurro) in un solo punto: quindi si tratta del grafico di una funzione. La curva in rosso è tagliata dalla retta verticale tratteggiata in azzurro in due punti: quindi non si tratta del grafico di una funzione. È importante sapere interpretare correttamente il grafico di una funzione, individuando in particolare gli intervalli dove la funzione cresce e quelli dove decresce. Consideriamo per esempio il grafico della funzione in fig..7. D E B Figura.7 A 7 C 5 0 Esercizi p. 600 sserviamo che: negli intervalli [ 7, ] e [,5], al crescere dei valori di crescono anche i corrispondenti valori di : la funzione si dice perciò crescente in ciascuno di questi due intervalli; nell intervallo [, ], invece, al crescere dei valori di i corrispondenti valori di decrescono: la funzione si dice in questo caso decrescente; nell intervallo [5, 0], infine, la funzione è costante.. Le funzioni di proporzionalità diretta einversa Il grafico della funzione di proporzionalità diretta Consideriamo il seguente problema. PRBLEMA Sia la misura del perimetro di un quadrato il cui lato misura. Quale proprietà lega le due variabili e? 578
Abbiamo che: se ¼, allora ¼ ¼ 8 se ¼, allora ¼ ¼ e così via... La seguente tabella esprime alcuni valori di in funzione di quelli di : Unità Funzioni 5 6 8 6 0 Come puoi notare, il rapporto tra i valori di e i corrispondenti valori di è costante e uguale : ¼ 8 ¼ ¼ 6 ¼ 0 5 ¼ 6 ¼ Le due variabili e del problema iniziale sono dunque legate dalla seguente proprietà: il loro quoziente è costante. PRPRZINALITÀ DIRETTA Due variabili e, tali che il rapporto tra e si mantiene costante (diverso da zero), si dicono direttamente proporzionali. Se 6¼ 0, la relazione ¼ si può scrivere nella forma equivalente ¼. Più in generale, se e sono due variabili direttamente proporzionali, la funzione che espri- me in funzione di ha equazione: ¼ k dove k è la costante di proporzionalità. Ciò motiva la seguente definizione. FUNZINE DI PRPRZINALITÀ DIRETTA La funzione di equazione ¼ k, dove k è una costante reale (diversa da zero), è detta funzione di proporzionalità diretta. Figure dinamiche Grafico di una funzione di proporzionalità diretta Qual è il grafico delle funzioni di proporzionalità diretta? Tracciamo, per esempio, il grafico della funzione ¼ (presciendendo dalla situazione geometrica da cui la funzione è scaturita, che imporrebbe la condizione > 0). Costruiamo la tabella qui sotto a sinistra e rappresentiamo i punti corrispondenti: otteniamo il grafico in fig..8. = 0 0 Figura.8 Come puoi notare, abbiamo ottenuto il grafico di una retta passante per l origine. Questo risultato vale in generale: si potrebbe dimostrare che il grafico di ogni funzione di proporzionalità diretta è una retta passante per l origine. Il dominio e l immagine di una funzione di proporzionalità diretta coincidono sempre con R. 579
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Il grafico della funzione di proporzionalità inversa PRBLEMA Consideriamo l insieme dei rettangoli che hanno area uguale a. Indichiamo con e, rispettivamente, la misura della base e dell altezza di un generico rettangolo di questo insieme. Quale proprietà lega le due variabili e? Disegniamo in un piano cartesiano, nel primo quadrante, alcuni rettangoli (con due lati sugli assi cartesiani) che soddisfano questa condizione (fig..9): abbiamo disegnato i rettangoli le cui basi misurano,,,, 6 e ; le rispettive altezze misurano, 6,,, e. Per ogni rettangolo di questo insieme, risulta ¼. Le due variabili e del problema iniziale sono dunque legate dalla seguente proprietà: il loro prodotto si mantiene costante. A 6 B C D E F Figura.9 6 PRPRZINALITÀ INVERSA Due variabili e, tali che il loro prodotto si mantiene costante (diverso da zero), si dicono inversamente proporzionali. Se 6¼ 0, la relazione ¼ si può scrivere nella forma equivalente ¼. Più in generale, se e sono due variabili inversamente proporzionali, la funzione che esprime in funzione di è definita dall equazione ¼ k dove k è la costante di proporzionalità. Ciò motiva la seguente definizione. Figure dinamiche Grafico di una funzione di proporzionalità inversa FUNZINE DI PRPRZINALITÀ INVERSA La funzione di equazione ¼ k, dove k è una costante diversa da zero, è detta funzione di proporzionalità inversa. 580 Qual è il grafico di una funzione di proporzionalità inversa? Un idea intuitiva emerge dall osservazione della curva (disegnata in fig..0) su cui si dispongono i vertici (non appartenenti agli assi) dei rettangoli che abbiamo disegnato nella fig..9.
Unità Funzioni A 6 B C D E F Figura.0 6 Per approfondire meglio l analisi del grafico di una funzione di proporzionalità inversa tracciamo per punti, per esempio, il grafico della funzione ¼. Costruiamo una tabella e tracciamo il grafico che se ne ricava (fig..). = Figura. In generale, il grafico di una funzione di proporzionalità inversa di equazione ¼ k, con k > 0, è simile a quello in fig..; se invece è k < 0, il grafico di ¼ k è simile a quello in fig... =, k k > 0 =, k k < 0 Figura. Figura. Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è una curva costituita da due rami separati, detta iperbole equilatera. Gli assi cartesiani hanno una proprietà particolare rispetto al grafico di un iperbole equilatera: sono infatti rette cui il grafico dell iperbole si avvicina indefinitamente, senza però che tali rette abbiano mai punti in comune con l iperbole. Per esprimere questo fatto si dice che essi sono asintoti per l iperbole. La funzione ¼ k è definita purché sia 6¼ 0, quindi una funzione di proporzionalità inversa ha come dominio l insieme R f0g.inoltre,alvariaredi, la variabile assume tutti i possibili valori reali, positivi o negativi, eccetto il valore 0 (ricorda che l asse è un asintoto!): pertanto l immagine di una funzione di proporzionalità inversa è R f0g. 58
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Problemi di proporzionalità diretta e inversa PRBLEMA SVLT Sulla Luna Il peso di un corpo sulla Luna è direttamente proporzionale al peso dello stesso corpo sulla Terra. Un astronauta di 90 kg peserebbe sulla Luna 5 kg. Quanto peserebbe sulla Luna un astronauta di 8 kg? FAMILIARIZZIAM CN IL PRBLEMA Lasciamo a te individuare i dati e l obiettivo del problema. CSTRUIAM IL MDELL DEL PRBLEMA Indichiamo con il peso (in kilogrammi), sulla Luna, di un astronauta il cui peso sulla Terra è uguale a (in kilogrammi). Dal momento che è direttamente proporzionale a, la formula che lega e è del tipo ¼ k. Possiamo determinare la costante di proporzionalità k in base al fatto che quando ¼ 90 è ¼ 5. ¼ k 5 ¼ k 90 ) k ¼ 5 90 ¼ 6 Legame tra e Sostituendo 5 a e90a e ricavando k Pertanto il modello algebrico del nostro problema è la funzione ¼ 6. ESEGUIAM I CALCLI Per determinare il peso sulla Luna di un astronauta di 8 kg, basta determinare il valore di quando è uguale a 8: ¼ 8 ¼ 6 RISPNDIAM Un astronauta di 8 kg peserebbe sulla Luna kg. PRBLEMA SVLT Raggi ultravioletti L indice UV dei raggi ultravioletti indica l intensità dei raggi solari. Per una pelle piuttosto sensibile, un indice UV uguale a 7 causa una scottatura in 0 minuti. Il tempo di esposizione ai raggi solari che determina una scottatura è inversamente proporzionale all indice UV dei raggi ultravioletti. Quanto tempo impiegherà una pelle piuttosto sensibile a scottarsi in una giornata in cui l indice dei raggi UV è? FAMILIARIZZIAM CN IL PRBLEMA Lasciamo a te individuare i dati e l obiettivo del problema. CSTRUIAM IL MDELL DEL PRBLEMA Indichiamo con il tempo (in minuti) necessario a scottarsi quando l indice UV è uguale a. Dal momento che è inversamente proporzionale a, la formula che lega e è del tipo ¼ k, dove k è la costante di proporzionalità. Possiamo determinare la costante di proporzionalità k in base al fatto che quando ¼ 7 è ¼ 0. ¼ k Legame tra e 0 ¼ k ) k ¼ 0 7 ¼ 70 Sostituendo 0 a e7a e ricavando k 7 Pertanto i il modello algebrico del nostro problema è la funzione ¼ 70. ESEGUIAM I CALCLI Per determinare il tempo necessario a scottarsi quando l indice UV è, basta determinare il valore di quando è uguale a : ¼ 70 ¼ 5 RISPNDIAM Se l indice UV è, il tempo necessario a scottarsi è di 5 minuti. Esercizi p. 607 58
. Le funzioni lineari Abbiamo visto che il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta. Introduciamo ora una classe più ampia di funzioni che hanno come grafico una retta, comprendente le funzioni di proporzionalità diretta come caso particolare. Unità Funzioni FUNZINE LINEARE Una funzione di equazione ¼ m þ q, dove m e q possono essere due numeri reali qualsiasi, è detta funzione lineare. Il grafico della funzione ¼ m þ q, come abbiamo anticipato, è sempre una retta; l equazione ¼ m þ q si dice equazione di questa retta e il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta. ESEMPI Tracciamo i grafici delle due funzioni lineari: ¼ e ¼ Costruendo delle tabelle di valori per e si ottengono i grafici delle funzioni in figura. sserviamo che il grafico di ¼ si può ottenere diminuendo di l ordinata di ciascun punto della retta di equazione ¼ ; si intuisce perciò che le due rette ¼ e ¼ non possono avere punti in comune, quindi sono parallele (ciò si può dedurre anche dalle considerazioni geometriche svolte nella didascalia della figura). = A C B = IlatiA e BC del quadrilatero ABC sono paralleli all asse, quindi paralleli tra loro, inoltre A e BC misurano entrambi, quindi sono congruenti. Ne segue che ABC è un parallelogramma, quindi le due rette AB e C sono parallele. Figure dinamiche Grafico di una funzione lineare Attenzione! Anche se il grafico della funzione ¼ èuna retta, due variabili e legate dalla relazione ¼ non sono direttamente proporzionali perché la retta che rappresenta la funzione ¼ non passa per l origine. Sono invece direttamente proporzionali due variabili e legate dalla relazione ¼. Le considerazioni svolte nell esempio precedente possono ripetersi similmente per due funzioni di equazioni ¼ m þ q e ¼ m, qualsiasi sia m R. Possiamo concludere perciò che il grafico della funzione ¼ m þ q è una retta parallela alla retta di equazione ¼ m. Di conseguenza: RETTE PARALLELE Due rette aventi lo stesso coefficiente angolare sono parallele. Approfondiremo lo studio delle funzioni lineari nel prossimo volume del corso. Per ora ci soffermiamo ancora soltanto sull analisi di alcuni casi particolari: se q ¼ 0, l equazione che definisce una funzione lineare, ¼ m þ q, diventa ¼ m, che è l equazione di una funzione di proporzionalità diretta; 58
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni = = Figura. Esercizi p. 60 se m ¼ 0, l equazione che definisce una funzione lineare, ¼ m þ q, diventa ¼ q. Le funzioni di questo tipo sono dette funzioni costanti e hanno come grafici rette orizzontali. Per esempio: la funzione ¼ ha come grafico la retta orizzontale tracciata in blu in fig.., i cui punti hanno ordinata ; la funzione ¼ ha come grafico la retta orizzontale tracciata in rosso in fig.., i cui punti hanno ordinata. 5. Le funzioni di proporzionalità al quadrato e al cubo Il grafico della funzione di proporzionalità quadratica Consideriamo il seguente problema. PRBLEMA Sia A l area di un cerchio di raggio r. Quale proprietà lega le due variabili A ed r? Sappiamo che A ¼ r, quindi A r ¼ ovvero il rapporto tra l area di un cerchio e il quadrato del suo raggio si mantiene costante, uguale a. In altre parole, l area di un cerchio è direttamente proporzionale al quadrato del raggio. In generale si dà la seguente definizione. PRPRZINALITÀ QUADRATICA Una variabile si dice proporzionale al quadrato della variabile quando, per ogni 6¼ 0, si mantiene costante il rapporto: Il valore costante di questo rapporto è la costante di proporzionalità. Due variabili e ; con proporzionale al quadrato di e costante di proporzionalità a, sono legate dalla relazione: ¼ a che, per 6¼ 0, equivale a ¼ a. Figure dinamiche Grafico di una funzione di proporzionalità quadratica FUNZINE DI PRPRZINALITÀ QUADRATICA La funzione definita da ¼ a, essendo a una costante reale diversa da zero, è detta funzione di proporzionalità quadratica. Il grafico della funzione ¼ a, con a 6¼ 0, è una curva, detta parabola. Qual è il grafico di una parabola? Cominciamo con il tracciare, per esempio per punti, 58 i grafici delle funzioni corrispondenti ai valori a ¼ (fig..5) e a ¼ (fig..6).
Unità Funzioni ¼ 9 0 0 = 9 Figura.5 9 ¼ 9 0 0 = 9 Figura.6 9 I grafici delle funzioni definite da un equazione del tipo ¼ a, con a > 0, sono simili a quello di ¼ ; ciò che cambia è soltanto «l apertura» della parabola che, come puoi notare dalla fig..7, dipende dal coefficiente a: al crescere di a si ottengono parabole sempre meno «aperte». Analogamente, i grafici delle funzioni definite da un equazione del tipo ¼ a, con a < 0, sono simili a quello di ¼ ; via via che a assume valori negativi più grandi in valore assoluto si ottengono parabole sempre meno «aperte» (fig..8). a = a = a = = a a < 0 a = a = = a a > 0 a = a = a = Figura.7 Figura.8 Le parabole grafico della funzione ¼ a hanno come asse di simmetria l asse e come vertice l origine: se a > 0 il vertice è il punto della parabola di ordinata minima, se a < 0 il vertice è il punto della parabola di ordinata massima. 585
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Se a > 0, la parabola che rappresenta il grafico della funzione ¼ a è tutta contenuta nel semipiano delle ordinate non negative (fig..7): si dice in questo caso che la parabola ha la concavità rivolta verso l alto. Se invece a < 0, il grafico della parabola è tutto contenuto nel semipiano delle ordinate non positive (fig..8): in tal caso, si dice che la parabola ha la concavità rivolta verso il basso. Il grafico della funzione di proporzionalità cubica Consideriamo il seguente problema. PRBLEMA Sia V il volume di una sfera di raggio r. Quale proprietà lega le due variabili V ed r? Sappiamo che V ¼ r, quindi: V r ¼ ovvero il rapporto tra il volume di una sfera e il cubo del suo raggio si mantiene costante, uguale a. In altre parole, il volume di una sfera è direttamente proporzionale al cubo del raggio. PRPRZINALITÀ CUBICA Una variabile si dice proporzionale al cubo della variabile quando, per ogni 6¼ 0, si mantiene costante il rapporto: Il valore costante di questo rapporto è la costante di proporzionalità. Due variabili e, con proporzionale al cubo di e costante di proporzionalità a, sono legate dalla relazione: ¼ a che, per 6¼ 0, equivale a ¼ a. Figure dinamiche Grafico di una funzione di proporzionalità cubica FUNZINE DI PRPRZINALITÀ CUBICA La funzione definita da ¼ a, essendo a una costante reale diversa da zero, è detta funzione di proporzionalità cubica. Per capire qual è il grafico della funzione di proporzionalità cubica, tracciamo per punti i grafici delle due funzioni corrispondenti alle costanti a ¼ (fig..9) e a ¼ (fig..0). ¼ = ¼ 0 0 0 0 = 586 Figura.9 Figura.0
Unità Funzioni I grafici delle funzioni di equazione ¼ a con a > 0(fig..) sono simili al grafico di ¼, mentre i grafici delle funzioni di equazione ¼ a, con a < 0, sono simili al grafico di ¼ (fig..). Puoi osservare che i grafici delle funzioni di proporzionalità cubica sono simmetrici rispetto all origine. = a a > 0 = a a < 0 Figura. Figura. Problemi di proporzionalità al quadrato e al cubo Risolviamo insieme un problema che ha come modello algebrico una funzione di proporzionalità quadratica. PRBLEMA SVLT Area di un triangolo Sia ABCD un quadrato e siano M ed N, rispettivamente, i punti medi di CD ediad. Determinare la funzione che rappresenta l area del triangolo BMN, espressa in funzione della misura del lato del quadrato ABCD. Tracciare il grafico della funzione ottenuta, indipendentemente dalle limitazioni geometriche, mettendo in evidenza il tratto del grafico relativo al problema geometrico. Quale tipo di proporzionalità lega l area del triangolo BMN alla misura del lato del quadrato ABCD? FAMILIARIZZIAM CN IL PRBLEMA Dati ABCD è un quadrato Mèil punto medio di CD ed N è il punto medio di AD biettivo Area del triangolo BMN espressa in funzione di AB D N M C A B CSTRUIAM IL MDELL ALGEBRIC DEL PRBLEMA Dal momento che il problema richiede di determinare l area di BMN espressa in funzione di AB, indichiamo con (variabile indipendente) la misura di AB e con (variabile dipendente) l area del triangolo BMN. Poiché rappresenta la misura di un lato di un quadrato, dovrà essere > 0. Abbiamo che: ¼ Area (ABCD) Area (ABN) Area (BCM) Area (MDN) quindi: ¼ = 8 ¼ 8 Il modello algebrico del nostro problema è quindi la funzione: ¼ 8 con > 0 587
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni TRACCIAM IL GRAFIC DELLA FUNZINE Tracciamo per punti il grafico di ¼ 8, tralasciando inizialmente la limitazione > 0 imposta dalla situazione geometrica, come indicato nel testo del problema. Si ottiene la parabola in figura; la parte che rappresenta il problema, cioè l arco per > 0, è stato messo in evidenza utilizzando la linea continua. = 8 RISPNDIAM L area del triangolo BMN è proporzionale al quadrato della misura di AB, con costante di proporzionalità uguale a 8. Esercizi p. 6 6. Funzioni ed equazioni CLLEGHIAM I CNCETTI Funzioni ed equazioni Matematica in laboratorio Interpretazione grafica di un equazione In questo paragrafo gettiamo un ponte tra due degli argomenti che abbiamo trattato in questo tema: le equazioni elefunzioni. u Supponiamo che una funzione f abbia il grafico tracciato nella figura qui sotto. In corrispondenza delle ascisse dei tre punti di intersezione del grafico con l asse, ossia: A( 6, 0), B(, 0) e C(, 0), sarà: = f() f ð 6Þ ¼0, f ðþ ¼0, f ðþ ¼0 In generale, le ascisse dei punti di intersezione del grafico di una funzione ¼ f ðþ con l asse sono i valori di per cui f ðþ ¼0, cioè le soluzioni dell equazione: f ðþ ¼0 A B C 6 Tali valori di si dicono zeri della funzione. Ecco quindi che abbiamo scoperto un legame tra funzioni ed equazioni: il problema della ricerca degli zeri di una funzione si traduce nella risoluzione di un equazione. u Viceversa, data l equazione f ðþ ¼0, le osservazioni precedenti ci consentono di interpretarla graficamente. Possiamo infatti tracciare il grafico della funzione ¼ f ðþ e interpretare le soluzioni dell equazione come zeri di tale funzione. Poiché finora sappiamo risolvere soltanto equazioni di primo grado, esemplifichiamo questi concetti in riferimento alle equazioni e alle funzioni lineari. Dalle funzioni alle equazioni Nei paragrafi precedenti abbiamo tracciato per punti i grafici di alcune funzioni lineari e abbiamo osservato che si ottengono, come grafici, delle rette. In base a quanto abbiamo detto poc anzi, siamo ora in grado di affrontare il problema della ricerca degli zeri di una funzione lineare. ESEMPI Ricerca dello zero di una funzione lineare 588 Tracciamo il grafico della funzione ¼ þ, individuando lo zero della funzione e il punto di intersezione con l asse.
Unità Funzioni Grafico Costruiamo una tabella di valori per e e tracciamo il grafico corrispondente. Scegliamo ð, Þ 5 ð, 5Þ 0 ð0, Þ ð, Þ Determiniamo ð, Þ Disegniamo il grafico Calcoliamo (, 5) (0, ) Determinare l ascissa di P equivale a determinare lo zero della funzione P (, ) = + Rifletti Generalizzando il risultato che abbiamo trovato nell esempio a fianco, la funzione lineare ¼ m þ q, con m 6¼ 0, ha come unico zero la soluzione dell equazione m þ q ¼ 0, ossia ¼ q m. Il grafico della funzione ¼ m þ q, con m 6¼ 0, interseca dunque l asse nel punto di coordinate q m,0. Zero e punto di intersezione con l asse Per determinare lo zero della funzione, cioè l ascissa del suo punto di intersezione P con l asse, risolviamo l equazione: þ ¼ 0 ) þ ¼ 0 ) ¼ Ne deduciamo che è lo zero della funzione e che P,0. Dalle equazioni alle funzioni Invertiamo ora il punto di vista e, tracciando i grafici di opportune funzioni, interpretiamo graficamente alcune equazioni lineari. Figure dinamiche Interpretazione grafica di una equazione lineare Equazione þ ¼ 0 þ ¼ þ ¼ Interpretazione grafica La soluzione dell equazione è l ascissa del punto di intersezione P tra la retta di equazione La soluzione dell equazione è l ascissa del punto di intersezione P tra le rette di equazioni La soluzione dell equazione è l ascissa del punto di intersezione P tra le due rette di equazioni ¼ þ e l asse. ¼ þ e ¼. ¼ þ e ¼. = + P = P = + = + P P = Deduzioni dall analisi del grafico Dall analisi del grafico è immediato riconoscere che l ascissa di P è 6, quindi la soluzione dell equazione considerata è ¼ 6. Dall analisi del grafico è immediato riconoscere che l ascissa di P è, quindi la soluzione dell equazione considerata è ¼. In questo caso l ascissa di P non è individuabile esattamente dal grafico perché non è un numero intero. Dall analisi del grafico possiamo solo dedurre che deve essere compresa tra e. sservazioni Puoi verificare, risolvendo l equazione algebricamente, il risultato cui siamo giunti. Puoi verificare, risolvendo l equazione algebricamente, il risultato cui siamo giunti. Risolvendo l equazione algebricamente si trova la soluzione, (che, coerentemente ¼ 7 con quanto previsto, appartiene all intervallo (, )). Esercizi p. 6 589
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni 7. Funzioni e disequazioni CLLEGHIAM I CNCETTI Matematica in laboratorio Interpretazione grafica di una disequazione Funzioni e disequazioni Similmente a quanto fatto nel paragrafo precedente, in questo paragrafo vogliamo gettare un ponte tra disequazioni e funzioni. Riconsideriamo la funzione f avente il grafico riprodotto in figura. = f() A B C 6 u Una funzione ¼ f ðþ si dice positiva (negativa) in corrispondenza dei valori di per cui il grafico della funzione appartiene al semipiano delle ordinate positive (negative); per esempio, la funzione f in figura è positiva per: 6 < < _ > ed è negativa per: < 6 _ < < Le ascisse dei punti in cui il grafico della funzione è positiva (negativa) sono i valori di che sono soluzioni della disequazione: f ðþ > 0 (o la disequazione f ðþ < 0Þ Ecco quindi che abbiamo scoperto un legame tra funzioni e disequazioni: il problema di stabilire quando una funzione è positiva o negativa, ossia di studiare il segno di una funzione, si traduce nella risoluzione di una disequazione. u Viceversa, data la disequazione: f ðþ > 0 (o la disequazione f ðþ < 0Þ le osservazioni precedenti ci consentono di interpretarla graficamente. Possiamo infatti tracciare il grafico della funzione ¼ f ðþ e interpretare le soluzioni della disequazione come le ascisse dei punti del grafico che hanno ordinate positive (negative). Poiché finora sappiamo risolvere soltanto disequazioni di primo grado, esemplifichiamo questi concetti in riferimento alle disequazioni e alle funzioni lineari. 590 Dalle funzioni alle disequazioni In base a quanto abbiamo detto poc anzi, siamo ora in grado di stabilire per quali valori di una funzione lineare è positiva o negativa.
Unità Funzioni ESEMPI Studio del segno di una funzione lineare Per quali valori di la funzione ¼ þ èpositiva? In questo caso è f ðþ ¼ þ. La funzione è positiva quando è soddisfatta la disequazione f ðþ > 0, che risolviamo: = + f ðþ > 0 ) þ > 0 ) þ 9 > 0 ) < 9 9 ) > 9 ) < 9 Il grafico della funzione conferma il risultato ottenuto. Dalle disequazioni alle funzioni Invertiamo ora il punto di vista e, tracciando i grafici di opportune funzioni, interpretiamo graficamente alcune disequazioni lineari. Figure dinamiche Interpretazione grafica di una disequazione lineare Disequazione 0 þ þ > Interpretazione grafica Le soluzioni della disequazione corrispondono ai valori di per cui il grafico della funzione ¼ è al di sopra dell asse (che ha equazione ¼ 0) olo interseca. Dalla figura qui sotto deduciamo allora che la disequazione è soddisfatta per P, essendo P l ascissa del punto P in cui il grafico interseca l asse. Le soluzioni della disequazione corrispondono ai valori di per cui il grafico della funzione ¼ þ (in blu in figura) è al di sotto del grafico di ¼ (in rosso in figura) o lo interseca. Dalla figura qui sotto deduciamo allora che la disequazione è soddisfatta per P, essendo P l ascissa del punto di intersezione P dei due grafici. Le soluzioni della disequazione corrispondono ai valori di per cui il grafico della funzione ¼ þ (in rosso) è al di sopra di quello della funzione ¼ (in blu). Dalla figura qui sotto deduciamo allora che la disequazione è soddisfatta per > P, essendo P l ascissa del punto di intersezione P dei due grafici. = P P = + P P = P P = + = P P > P Determinazione dell ascissa di P L ascissa di P si può ricavare risolvendo l equazione ¼ 0. Si ottiene: L ascissa di P (essendo un numero intero) si può dedurre in questo caso direttamente dalla figura: L ascissa di P si può ottenere risolvendo l equazione þ ¼. Si ottiene: P ¼ P ¼ P ¼ Conclusione La disequazione è soddisfatta per: La disequazione è soddisfatta per: La disequazione è soddisfatta per: > Esercizi p. 66 59
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni 8. Funzione inversa e funzione composta Funzione inversa Consideriamo la funzione f, rappresentata nella fig.., e costruiamo la relazione g, definita fra l insieme immagine I di f e l insieme A, che si ottiene invertendo il verso delle frecce (fig..). A a b c d e f i l g h B A a b c d e g B i l g I h Figura. Figura. La relazione g associa a ciascun elemento di I le sue controimmagini nella f. La relazione g non è una funzione, perché ci sono elementi di I da cui parte più di una freccia. Come deve essere f affinché g sia una funzione? In base a come abbiamo definito la relazione g, occorre che da ogni elemento di I esca una e una sola freccia, ovvero ogni elemento di I deve avere un unica controimmagine nella f. In tal caso, la relazione g definisce una nuova funzione, che si chiama funzione inversa di f. Attenzione!. In questo contesto il simbolo f indica solo la funzione inversa di f, non ha il significato di «f elevato a», cioè di f.. La condizione di invertibilità equivale alla richiesta che ci sia una corrispondenza biunivoca tra il dominio della funzione e il suo insieme immagine. FUNZINE INVERTIBILE E FUNZINE INVERSA Una funzione f si dice invertibile se e solo se ogni elemento del suo insieme immagine ha una unica controimmagine; in tal caso si chiama funzione inversa di f, e si indica con il simbolo f, la funzione che associa, a ciascun elemento dell insieme immagine la sua (unica) controimmagine. Il dominio di f è dunque l insieme immagine di f, mentre l insieme immagine di f è il dominio di f. Per le funzioni reali di variabile reale, la condizione di invertibilità (ossia di unicità della controimmagine) equivale alla richiesta che ogni retta orizzontale (ossia parallela all asse ) intersechi il grafico della funzione al massimo in un punto (figg..5 e.6). = = Figura.5 La funzione ¼ è invertibile, perché soddisfa il «test» delle rette orizzontali. Figura.6 La funzione ¼ non è invertibile, perché esistono rette orizzontali che intersecano il suo grafico in due punti. 59 Supponiamo che ¼ f ðþ sia una funzione invertibile, reale di variabile reale. C è qualche relazione che lega il grafico di una funzione f e quello della sua inversa f?
Unità Funzioni Proviamo a riflettere: se f ðaþ ¼b, allora in base alla definizione di funzione inversa, f ðbþ ¼a. Dunque se Pða, bþ appartiene al grafico di f, allora P 0 ðb, aþ appartiene al grafico di f. P'(b, a) = P(a, b) Figura.7 Poiché P e P 0 hanno ascissa e ordinata scambiate, i due triangoli colorati in giallo sono congruenti. Ne segue che il triangolo PP 0 è isoscele sulla base PP 0.Poichéla bisettrice dell angolo al vertice di un triangolo isoscele è anche mediana e altezza relativa alla base, si deduce che P e P 0 sono simmetrici rispetto alla bisettrice. Poiché scambiare l ascissa con l ordinata nelle coordinate di un punto equivale a effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (vedi la fig..7), deduciamo quanto segue: RELAZINE TRA IL GRAFIC DI UNA FUNZINE E QUELL DELLA SUA INVERSA Il grafico della funzione f, inversa della funzione f, èil simmetrico del grafico di f rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Questo legame tra il grafico di una funzione invertibile e quello della sua inversa suggerisce anche come ricavare l equazione che definisce la funzione inversa: basta effettuare una simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, cioè scambiare nell equazione della funzione con. In altre parole, se f è definita dall equazione ¼ f ðþ allora la funzione inversa f è definita dall equazione: ¼ f ðþ Quest ultima equazione non è però espressa nella forma esplicita ¼ f ðþ: risolvendola rispetto a, otterremo l equazione esplicita di f. ESEMPI Determinare l espressione analitica dell inversa di una funzione La funzione f ðþ ¼ èinvertibile (fig..5). Determiniamo l espressione analitica dell inversa. o passo Consideriamo l equazione ¼ f ðþ: ¼ e sostituiamo in essa al posto di e al posto di : ¼ o passo Risolviamo l equazione ottenuta rispetto a : ¼ ) ¼ þ ) ¼ þ L espressione analitica dell inversa di f è dunque: f ðþ ¼ þ. 59
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni SINTESI Procedimento per ricavare l equazione della funzione inversa di una funzione invertibile. Nell equazione ¼ f ðþ, si sostituisce al posto di e al posto di, ottenendo così l equazione: ¼ f ðþ. Se possibile, si risolve l equazione ¼ f ðþ rispetto a, in modo da ottenere l equazione esplicita di f. Funzione composta Un importante operazione tra funzioni è quella di composizione, che permette di definire una nuova funzione a partire da due funzioni f e g assegnate. FUNZINE CMPSTA Date due funzioni f e g si dice funzione composta di f e g, e viene indicata con il simbolo g f (che si legge: «g composto f»), la funzione definita da: ðg f ÞðÞ ¼gðf ðþþ Una rappresentazione grafica del modo di operare della funzione composta è il seguente. f f() g g(f()) g f Affinché sia possibile calcolare gðf ðþþ, f ðþ deve appartenere al dominio di g. Perciò il dominio di g f è costituito da tutti gli elementi appartenenti al dominio di f tali che f ðþ appartiene al dominio di g. ESEMPI Composizione di due funzioni Date le due funzioni: f ðþ ¼ e gðþ ¼ determiniamo l espressione analitica delle due funzioni composte g f e f g: Abbiamo che: ðg f ÞðÞ ¼ gðf ðþþ ¼ gð Þ ¼ Definizione di funzione composta f ðþ ¼ gðþ ¼ Analogamente: ðf gþðþ ¼f ðgðþþ ¼ f ð Þ ¼ð Þ Come puoi osservare, in generale f g 6¼ g f. Esercizi p. 67 59
Unità Funzioni MATEMATICA NELLA REALTÀ La crittografia Nell introduzione al Tema A abbiamo detto che i numeri primi sono alla base di alcuni moderni sistemi per criptare le informazioni riservate. Ma che ruolo giocano, esattamente, i numeri primi in questi metodi crittografici? ra che abbiamo introdotto il concetto di funzione, abbiamo in mano gli strumenti per capirlo più da vicino... Un modello matematico per un sistema di crittografia Partiamo da un semplice esempio. Supponiamo di voler criptare un messaggio sostituendo ogni lettera dell alfabeto con la lettera che si trova due posti dopo: sostituiremo cioè la lettera A con la lettera C, la lettera B con la lettera D, la lettera C con la lettera E e così via... La parola CIA viene così criptata in «EMCQ». Come si può formalizzare, dal punto di vista matematico, questo metodo di criptare i messaggi? Indichiamo con f la funzione, definita nell insieme delle lettere dell alfabeto, che associa a ogni lettera la lettera che si trova due posti dopo (alle ultime due, V e Z, saranno associate rispettivamente le prime due, A e B). Allora, criptare una parola significa applicare alle lettere che la formano la funzione f. Chi riceve il messaggio, per decifrarlo, non deve fare altro che ritornare alle lettere originarie: si tratta in pratica di applicare, alle lettere che formano il messaggio ricevuto, la funzione f, inversa di f. Questo semplice esempio suggerisce che, in generale, il modello matematico di un sistema di crittografia è costituito dalla funzione f che permette di criptare i messaggi e dalla funzione f, inversa di f, che permette invece di decifrarli. La crittografia a chiave pubblica In genere si pensa che, se è noto il modo di criptare un messaggio, si riesce anche a trovare il modo di decifrarlo. Nel caso dell esempio precedente è effettivamente così. In realtà non sempre, anche se è noto il criterio di criptazione, si riesce facilmente a risalire all originale; ovvero, rifacendoci al modello matematico che abbiamo introdotto, non sempre, nota una certa funzione f,èfacile determinare la sua inversa. Le funzioni di cui è difficile determinare l inversa vengono chiamate unidirezionali. Consideriamo due funzioni: C I A C I A f f E M C Q E M C Q la funzione f, che manda ogni numero naturale nel suo cubo; l espressione analitica di f è f ðþ ¼, dove N; la funzione g, che manda ogni numero naturale nel resto che si ottiene eseguendo la divisione intera tra il suo cubo e il numero 0. In matematica, il resto della divisione euclidea tra un numero e un numero m si indica con la scrittura ðmod mþ, che si legge «modulo m»; quindi l espressione analitica di g è gðþ ¼ ðmod 0Þ, dove N. Per esempio, f ðþ ¼ ¼ 6 mentre gðþ ¼; infatti il cubo di è 6 e il resto della divisione euclidea tra 6 e 0 è. «Restringiamo» adesso il dominio della funzione g, dall insieme N all insieme f Nj < 0g. Questa «restrizione» del dominio è necessaria per ottenere una funzione invertibile: infatti i valori che la funzione g assume per 0 sono gli stessi che ha già assunto per 0 9. La funzione g è molto più difficile da invertire della funzione f. Per esempio, se sappiamo che f ðþ ¼5, è facile risalire alla controimmagine di 5: è la radice cubica di 5, cioè 5. Ma se sappiamo che gðþ ¼, qual è? L intuizione non ci aiuta: per determinare la controimmagine di, l unica possibilità è costruire una tabella che riporti tutti i valori di gðþ quando varia da 0 a 9 e individuare direttamente il numero che, elevato al cubo modulo 0, dà come risultato. 0 5 6 7 8 9 gðþ 0 8 7 5 6 9 Dalla tabella si ricava che la controimmagine di è 7. In questo caso, abbiamo potuto costruire la tabella e risalire alla controimmagine di perché nella formula che definisce g compaiono numeri piccoli. Ma, come puoi intuire da questo esempio, le funzioni del tipo f ðþ ¼ e ðmod NÞ, aventi come dominio l insieme f Nj < Ng e tali che e ed N sono numeri «grandi a sufficienza», sono funzioni unidirezionali (infatti, se N è sufficientemente grande, ripetere un procedimento come quello che abbiamo appena applicato per individuare la controimmagine di, può superare le capacità di calcolo anche dei più potenti computer). 595
Tema C Equazioni, disequazioni e funzioni Dalla storia Diffie ed Hellman, due matematici della Stanford Universit, in California, introdussero per la prima volta il concetto di crittografia a chiave pubblica nel 976 e raggiunsero, per la loro scoperta, fama planetaria. Un sistema di crittografia basato su una funzione unidirezionale viene chiamato a chiave pubblica, proprio perché la chiave di crittatura f può tranquillamente essere resa pubblica; mantenendo privata la chiave di decrittatura f : ciò non intacca la sicurezza delle informazioni perché, per decifrare un messaggio, occorre f, che non è facile da determinare se f è unidirezionale. Il metodo di crittografia RSA La migliore applicazione del metodo di crittografia a chiave pubblica è il cosiddetto sistema di crittografia RSA, che prende il nome da Rivest, Shamir e Adleman, tre ricercatori del MIT di Boston, che lo annunciarono ai non specialisti per la prima volta nell agosto 977. La funzione unidirezionale su cui si basa il metodo RSA è una funzione del tipo f ðþ ¼ e ðmod NÞ. Per spiegare, a grandi linee, come funziona il metodo RSA, supponiamo che Bruno voglia mandare ad Anna un messaggio cifrato, e vediamo come Anna e Bruno devono comportarsi. CHE CSA DEVE FARE ANNA Anna deve:. scegliere due numeri primi molto grandi, che indichiamo con p e q (perché valga tutto quello che diremo è essenziale che p e q siano primi);. moltiplicare p e q, ottenendo così il numero N ¼ pq;. scegliere un altro numero, che chiamiamo e, primo con ðp Þðq Þ (questo è un particolare tecnico);. comunicare a Bruno il numero e e il numero N, che sono le «chiavi pubbliche» (perché non è necessario siano tenute segrete). Rivest, Shamir e Adleman: gli inventori del sistema RSA. CHE CSA DEVE FARE BRUN Bruno deve:. trasformare il messaggio che vuole inviare in un numero, che indichiamo con M (per esempio, ogni lettera può essere espressa in cifre binarie mediante la codifica ASCII usata per i computer);. criptarlo applicando a esso la funzione f ðþ ¼ e (mod N). comunicare il numero f ðmþ ottenuto, che rappresenta il messaggio cifrato, ad Anna. Come può ora Anna risalire al messaggio originale? Si può dimostrare che è facile trovare l inversa della funzione f ðþ ¼ e ðmod NÞ, se si conoscono i due numeri p e q che danno come prodotto N, mentre è molto difficile in assenza di questa informazione. Anna può determinare la funzione inversa di f, perché è in possesso di due informazioni speciali: conosce p e q; quindi, utilizzando la funzione inversa, può decifrare il messaggio. Chiunque altro, invece, non conoscendo p e q, non riesce a trovare la funzione inversa di f e, quindi, non è in grado di decifrare il messaggio. Rivest, Shamir e Adleman hanno creato quindi una speciale funzione unidirezionale, invertibile solo da chi fosse in possesso di informazioni privilegiate: i numeri primi p e q. Un intruso che volesse decifrare il messaggio, dovrebbe procurarsi i due numeri p e q, ossia riuscire a scomporre il numero N. Tuttavia, se N è sufficientemente grande, i tempi di calcolo per scomporre N, con gli algoritmi di scomposizione attualmente noti, superano le capacità anche dei più potenti computer: di qui l attuale sicurezza del sistema di crittografia RSA. Abbiamo parlato di «attuale» sicurezza perché, anche se attualmente non si conoscono algoritmi efficienti per fattorizzare numeri molto grandi, non è detto che tali algoritmi non vengano scoperti in futuro. Inoltre, l aumentare della velocità dei computer rende questo sistema sempre più facilmente attaccabile, quindi si è reso via via necessario scegliere numeri primi con un numero di cifre sempre maggiore: già qualche anno fa, per garantire la sicurezza occorreva scegliere due numeri primi p e q di almeno 60 cifre (generare numeri primi così grandi non è difficile, perché ci sono algoritmi efficienti che consentono a un calcolatore di effettuare questa operazione in breve tempo). In libreria e in rete Simon Singh, Codici e Segreti, Rizzoli. Marcus Du Sauto, L enigma dei numeri primi, Rizzoli. 596