MODULO 3/2 - MISURE DI LUNGHEZZE E SUPERFICI PIANE - (Supporto didattico) 1. La misura delle grandezze è un argomento che va affrontato con molte cautele. Qui facciamo un cenno alla misura delle lunghezze ed a quella delle superfici piane, premettendo che la prima cosa da fare è ovviamente quella di introdurre un unità di misura per tali grandezze, vale a dire una lunghezza unitaria ed una superficie unitaria. Riguardo alle lunghezze, non è opportuno partire subito dal metro. È preferibile invece proporre agli alunni di misurare una certa lunghezza utilizzandone un altra da assumere come riferimento, insomma come lunghezza unitaria. Per esempio: Calcola quante volte la tua penna (o matita o altro oggetto) è contenuta nella lunghezza del bordo del tavolo (o di una parete o di una carta geografica o altro). Quasi certamente il campione di riferimento non entrerà un numero esatto di volte. Allora il maestro potrà chiedere di trovare due numeri consecutivi entro i quali. Se si assume la lunghezza della penna come unità di misura delle lunghezze, si può allora dire che la lunghezza del tavolo è, tanto per dire, compresa fra 5 unità e 6 unità. Essa è perciò 5 unità e qualcosa. Si cambia campione di riferimento e si effettua una nuova misurazione. Si trova un altro valore. Domanda spontanea: ci sono inconvenienti se alcuni fissano come unità di misura delle lunghezze una data lunghezza, altri una lunghezza diversa, altri ancora un altra lunghezza e così via? Certo che ci sono. Si crea una vera e propria Babele. E purtroppo una volta era così. [Per inciso, gli alunni potrebbero essere invitati a fare una ricerca sulle antiche misure di lunghezza e superficie in alcuni luoghi ben definiti, comparandole col metro e col metro quadrato, ovviamente una volta che questo è stato introdotto] Proprio per evitare quegli inconvenienti, la Conferenza Generale di Pesi e Misure, riunita a Parigi nel 1983, ha deciso che l unità ufficiale per la misura delle lunghezze fosse il metro (m). [Detto a solo ed esclusivo beneficio del docente un metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299792458 secondi.] Agli alunni sarà sufficiente far vedere un metro (ma probabilmente ne hanno già visto qualche esemplare), con le sue graduazioni in centimetri ed in millimetri. S intende che saranno prese in esame anche i multipli (decametro-dam = 10 m, ettometro-hm = 100 m, chilometro-km = 1000 m) e sottomultipli (decimetro-dm = 0,1 m, centimetro-cm = 0,01 m, millimetro-mm = 0,001 m) del metro con i relativi simboli e le formule di equivalenza. Gli alunni saranno anche chiamati a fornire delle stime di determinate lunghezze (altezza dell aula, lunghezza della lavagna, lunghezza della carta geografica, altezza di un compagno, eccetera). Poi saranno effettuate le misure delle lunghezze prese in esame, per stabilire quali stime si sono avvicinate di più ad esse. 1 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
2. Per quanto concerne le superfici, anche qui una volta ce n erano di vario tipo, finché la Conferenza suddetta non ha stabilito che l unità di misura ufficiale fosse il metro quadrato (simbolo m 2 e non mq come ancora qualcuno si ostina a scrivere). Di nuovo saranno introdotti multipli e sottomultipli con relative equivalenze. Detto che misura di una superficie è il numero che esprime quante volte la superficie unitaria è contenuta in quella superficie, si possono proporre ai bambini alcune attività preliminari. Per esempio: Disegnare un rettangolo di lati 3 cm e 4 cm e calcolare quante volte è contenuto in esso il quadratino di lato 1 cm 2. Basta quadrettare opportunamente il rettangolo (fig. 1) fig. 1 fig. 2 Oppure: Disegnare un triangolo rettangolo e isoscele i cui cateti misurano 3 cm. Calcolare quante volte il quadratino di lato 1 cm 2 è contenuto in esso. Di nuovo basta quadrettare opportunamente il triangolo (fig. 2), anche se adesso c è una ovvia complicazione in più rispetto al caso precedente. Ad un certo punto bisogna fornire le formule per le aree dei principali poligoni e darne possibilmente una qualche spiegazione convincente, benché non una vera e propria dimostrazione. La prima formula che conviene introdurre è quella dell area del rettangolo. Basta rifarsi alla figura 1 (e magari a qualche altra in cui il rettangolo è suddiviso in 4 5 quadratini, oppure in 3 6 quadratini, eccetera) per constatare che il numero di quadratini unitari che entrano nel rettangolo (e vi entrano esattamente) è uguale al numero che esprime la misura di un lato per il numero che esprime la misura dell altro lato. Per cui si può concludere che: Area del rettangolo = base per altezza. Il quadrato è concepito come un particolare rettangolo (base=altezza). Per cui: Area del quadrato = lato per lato. [Se lo ritiene opportuno, il maestro può anche spiegare che lato lato si può scrivere anche lato 2 che si legge lato al quadrato, come per esempio 3 3 si può scrivere 3 2 e si legge 3 al quadrato ] Per quanto riguarda il triangolo, le cose sono piuttosto semplici se si tratta di un triangolo rettangolo. È infatti abbastanza evidente che esso è la metà di un rettangolo (fig. 3). Se però si tratta di un triangolo acutangolo (fig. 4) o di un triangolo ottusangolo (fig. 5), si possono presentare delle complicanazioni, almeno per bambini della classe IV. Infatti, è vero che il triangolo si può considerare come somma (fig. 4) o differenza (fig. 5) di due triangoli rettangoli, 2 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
ma non disponendo del calcolo letterale, può risultare difficile far comprendere ai bambini la formula generale. Comunque è opportuno tentare. In ogni caso: Area triangolo = base per altezza diviso per 2. fig. 3 fig. 4 fig. 5 Riguardo al parallelogramma, assunto come base un suo lato e come altezza la distanza di questo lato dal lato parallelo ad esso, si può far vedere che il parallelogramma si può concepire come la somma di due triangoli che hanno uguale base e uguale altezza (fig. 6). Pertanto: Area di un parallelogramma = base per altezza. fig. 6 Di formule per l area del rombo ce ne sono due. Esso infatti può essere concepito come un parallelogramma particolare (fig. 7a) oppure come la somma di due triangoli uguali, aventi base uguale ad una diagonale ed altezze uguali a metà dell altra diagonale (fig. 7b). Nel primo caso: Nel secondo caso: Area rombo = base per altezza diviso per 2. Area rombo = diagonale per diagonale diviso per 2. fig. 7 fig. 8 Il trapezio, infine, può essere concepito come la somma di due triangoli aventi la stessa altezza e per basi uno la base maggiore del trapezio e l altro la base minore (fig. 8). Pertanto: 3 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
Area trapezio = somma delle basi per altezza diviso per 2. 3. Prima di andare alle aree di altre figure piane, occupiamoci di qualche problema che può essere proposto ai bambini. Si tratta di problemi che presentano un discreto coefficiente di difficoltà, ovviamente per i bambini ai quali sono rivolti. Certo, se ci trovassimo in una prima superiore i problemi proposti apparirebbero del tutto banali perché potrebbero essere risolti rapidamente ricorrendo alle equazioni. Nella scuola primaria questo non si può. Bisogna perciò trovare strade alternative. Problema 1. Il perimetro di un rettangolo è 28 cm, mentre la sua base è uguale a 3/4 dell altezza. Trovare l area del rettangolo. Un possibile procedimento risolutivo potrebbe essere quello appresso descritto. Per calcolare l area del rettangolo bisogna conoscere le misure della base e dell altezza. Ora, la somma della base e dell altezza del rettangolo (cioè il suo semiperimetro) misura la metà di 28 cm, cioè 14 cm. Se l altezza fosse lunga 4 segmentini (fig. 9a), la base sarebbe lunga 3/4 di 4 segmentini, cioè 3 segmentini (fig. 9b). Quindi la loro somma sarebbe lunga 4+3=7 segmentini (fig. 9c). Ma questa somma sappiamo già che misura 14 cm. Quindi ogni segmentino deve misurare 14 cm : 7=2 cm. Ne consegue che la base del rettangolo misura 2 cm 4 = 8 cm e l altezza misura 2 cm 3 = 6 cm. Pertanto l area del rettangolo è: 8 cm 6 cm = 48 cm 2. Problema 2. La somma della base e dell altezza di un triangolo misura 14 cm, mentre la base supera di 4 cm l altezza, Calcolare l area del triangolo. Bisogna conoscere le misure della base e dell altezza del triangolo. Disponiamo uno sopra l altro in modo conveniente due segmenti disuguali (fig. 10) in modo che il maggiore rappresenti la base del triangolo ed il minore l altezza. fig. 10 Si capisce che il segmentino di cui la base sopravanza l altezza non è altro che la differenza fra la base e l altezza. Se ora si suppone di togliere questo segmentino dalla somma della base con l altezza si ottiene evidentemente il doppio dell altezza. D altro canto questa differenza, vale a dire la differenza fra la somma della base con l altezza (14 cm) e la differenza fra la base e l altezza (4 cm), misura 14 cm 4 cm = 10 cm. Dunque l altezza del triangolo, che è la metà di questo valore, misura 10 cm : 2 = 5 cm. Di conseguenza la base del triangolo, che supera l altezza di 4 cm, misura 5 cm + 4 cm = 9 cm. Pertanto l area del triangolo è: 9 cm 4 cm : 2 = 18 cm 2. 4 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
Nota 1. I procedimenti risolutivi dei due problemi forniscono evidentemente dei modelli per la risoluzione di problemi analoghi. Di problemi, cioè, in cui si conosce: a) la somma di due quantità (o la loro differenza) ed il loro rapporto; b) la somma di due quantità e la loro differenza. E le quantità non è detto che debbano essere necessariamente grandezze geometriche. Possono essere qualunque cosa. Nota 2. I problemi in cui i dati sono un elemento lineare e l area del poligono richiedono che, a questo livello scolare, si faccia ricorso alle cosiddette formule inverse. Per esempio: base di un rettangolo = area diviso per l altezza; altezza di un triangolo = doppia area diviso per la base. In qualcche caso estremamente semplice si può tuttavia tentare una strada diversa. Per esempio, se si chiede di calcolare l altezza di un rettangolo la cui base misura 6 cm e la cui area è 48 cm 2, si può ragionare nel seguente modo. Quale valore bisogna mettere nel segnaposto affinché risulti: 6 cm = 48 cm 2? Nota 3. Un discorso a parte merita il caso in cui si conosce l area di un quadrato e se ne vuole trovare il lato. Sappiamo che il lato è uguale alla radice quadrata dell area. Ma questo se si sa cos è una radice quadrata ed a livello di scuola primaria questo concetto non è contemplato. Bisogna allora arrangiarsi. Proponendo, per esempio, questioni in cui l area del quadrato è un quadrato perfetto (sono quadrati perfetti i numeri quadrati di altri numeri, come per esempio: 4=2 2, 9=3 2, ecc.) e facendo osservare che si tratta di trovare un numero che, moltiplicato per se stesso, dà quel numero. Per esempio: l area di un quadrato è 25 m 2. Quanto misura il suo lato? La risposta è la seguente: si tratta di trovare una misura, che moltiplicata per se stessa, dà 25 m 2 e questa è 5 m. Naturalmente, se il maestro lo reputa opportuno, può anche far presente che, dato il numero 25, il numero 5, che moltiplicato per se stesso dà proprio 25, si chiama radice quadrata di 25. E si indica con 25. Farà pure notare che ci sono strumenti di calcolo automatico che calcolano la radice quadrata di ogni numero. In questo modo, con l uso di una calcolatrice, possono essere proposti anche esercizi in cui l area del quadrato è un valore qualsiasi. La misura del lato sarà trovata appunto con la calcolatrice. Nota 4. Nei problemi in cui si opera con misure di grandezze bisogna stare molto attenti alle misure stesse. Tanto per fare degli esempi: - Nella scrittura 14 cm :7 il dividendo (14 cm) è la misura di un segmento mentre il divisore (7) è un numero puro (cioè privo di marca o, come si dice più propriamente, privo di dimensione). Il risultato ha la stessa marca del dividendo, appunto esso è 2 cm. - Nella scrittura 9 cm 4 cm i due fattori del prodotto (9 cm e 4 cm) sono misure di lunghezze, quindi il loro prodotto esprime la misura del quadrato di una lunghezza, appunto 36 cm 2. 4. Triangoli e quadrilateri particolari non sono evidentemente le sole figure geometriche di cui si può calcolare l area. I quadrilateri generici e i poligoni di almeno 5 lati sono fra queste figure. 5 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
Ora, se del poligono non si conoscono particolari che facilitino il calcolo della sua area, di volta in volta bisogna arrangiarsi. Di solito lo si fa scomponendolo convenientemente in figure più semplici (triangoli, quadrilateri particolari, ). Ma a volte può essere più comodo operare un completamento della figura, anche se quest ultima circostanza difficilmente può essere affrontata in una scuola primaria. Ci sono tuttavia poligoni speciali per i quali il calcolo dell area è semplificato da una loro peculiarità: sono i poligoni circoscrivibili ad un cerchio (fig. 11). Questi poligoni infatti possono essere concepiti come somma di triangoli aventi per basi i lati del poligono e altezze uguali al raggio del cerchio inscritto (raggio che si chiama apotema del poligono). Ne consegue che: Area poligono = perimetro per apotema diviso per 2. fig. 11 Naturalmente, per poter calcolare l area del poligono bisogna conoscere sia il suo perimetro sia il suo apotema. Se il poligono è un poligono regolare, e perciò circoscrivibile ad un cerchio, il suo apotema è legato al lato del poligono da una relazione standard: apotema = lato per numero fisso. Ovviamente ad ogni poligono corrisponde un numero fisso. La seguente tabella fornisce i numeri fissi di alcuni poligoni: Numero n dei lati del poligono 3 4 5 6 8 10 Numero fisso 0,289 0,5 0,688 0,866 1,207 1,539 Un procedimento idoneo a stabilire come si determinino questi numeri sarà oggetto di studio del corso di Fondamenti della matematica. 5. Quando di una superficie non si riesce a calcolare l area esatta, può far comodo trovarne un approssimazione più o meno buona. Uno dei metodi di approssimazione è la quadrettatura della superficie in esame. Tale metodo consiste nel ricoprire di quadratini uguali di area nota la superficie e di contare il numero N 1 dei quadratini che sono contenuti in essa ed il numero N 2 di quelli che formano una figura che contiene la superficie (fig. 12). L area della superficie è data da un numero di quadratini compreso fra N 1 ed N 2. Nel caso specifico di figura 12, l area della superficie ivi rimarcata è compresa fra 12 e 28 quadratini. Si tratta evidentemente di un approssimazione assai grossolana, che però può essere migliorata se si affina la quadrettatura. Se poi si sa che un quadratino ha 6 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
un area, tanto per dire, di 1 cm 2, allora si può risalire ad un valore approssimato dell area della superficie in esame. fig. 12 fig. 13 Un altro metodo di approssimazione è il metodo delle rette di compensazione. Si tratta di tracciare un conveniente rettangolo (a volte anche più d uno) in modo che parte della superficie da valutare sia contenuta in esso e parte cada all esterno con l accorgimento che la parte interna al rettangolo ma esterna alla superficie da valutare e quella esterna al rettangolo ma interna alla superficie siano pressoché equivalenti (fig. 13). L area del rettangolo così costruito è un approssimazione dell area della superficie data. Attività in cui si richiedono agli alunni di calcolare misure approssimate di figure geometriche irregolari sono da incentivare, almeno nella stessa misura in cui si propongono esercizi strutturati, tipo la base e l altezza di un rettangolo sono questo e questo; quant è l area? 6. Grandezze che meritano una particolare attenzione sono la circonferenza e il cerchio. Il maestro sa che la lunghezza C di una circonferenza di raggio r e l area A del cerchio relativo sono date dalle seguenti formule: C=2πr, A=πr 2. Ma nessuno è così ingenuo da pensare che queste formule possano essere proposte ai bambini della scuola primaria. Sulla spiegazione di tali formule si ritornerà nel corso di Fondamenti di matematica, ma a solo beneficio del docente. Qui invece bisogna trovare qualche strategia che aiuti i bambini a capire, senza imporre loro formule che sarebbero incomprensibili. È di qualcuna di queste strategie che ci vogliamo occupare. Ogni bambino ha la possibilità di procurarsi a casa un oggetto circolare (ruota, disco, piatto, bottiglia, barattolo, eccetera). L insegnante può proporre ai bambini la seguente attività: Bambini, andando a casa, procuratevi un qualunque oggetto circolare e provate a misurarne il diametro e la lunghezza della circonferenza. Poi riportate i valori che avete trovato su un foglio e calcolate il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e il diametro, fermandolo alla terza cifra decimale. Riportate anche questo numero sul foglio e la prossima lezione metteremo a confronto i valori che avete trovato. Se lo ritiene opportuno l insegnante, onde facilitare il compito degli alunni, può anche suggerire di misurare la lunghezza della circonferenza, avvolgendo attorno ad essa un filo in modo che aderisca perfettamente e misurando poi la lunghezza del filo (gli esperti parlano di 7 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
circonferenza rettificata ) e di compilare quindi una tabella come quella sottostante, dove i valori numerici, che abbiamo indicato per esempio, si riferiscono ad un caso particolare scelto da noi. lunghezza della circonferenza lunghezza del diametro lunghezza della circonferenza lunghezza del diametro 20,12 cm 6,4 cm 3,143 Detto che ovviamente i bambini troveranno valori diversi fra loro per il rapporto suddetto, questi valori tuttavia non dovrebbero discostarsi molto dal valore 3,141. Ad ogni modo, posto che l argomento sia stato già affrontato, una volta tornati in classe, dopo aver registrato tutti i valori su una tabella che amplia la precedente estendendola a tutti gli alunni, il maestro suggerisce di calcolare la media aritmetica dei valori dei rapporti trovati da loro, ovviamente utilizzando uno strumento di calcolo automatico. Il valore di questa media aritmetica, fermato alla seconda cifra decimale, non dovrebbe essere molto diverso da 3,14. Che sia uguale a 3,14 o che sia diverso da tale valore, il maestro spiegherà ai bambini che i matematici, facendo dei calcoli più precisi, hanno trovato proprio quel valore. Pertanto si può concludere che: Circonferenza diametro 3,14. Perché abbiamo messo il segno di approsimazione e non quello di uguaglianza =? Perché in realtà moltiplicando il diametro per 3,14 non si trova esattamente la lunghezza della circonferenza, bensì il perimetro del poligono regolare di 57 lati inscritto in essa. Ad ogni modo anche se si mette il segno =, come fanno tutti, diciamo che va bene lo stesso. Per una spiegazione, ancorché intuitiva, della formula dell area del cerchio, le cose si complicano non poco. Suggeriamo due procedimenti, uno sperimentale ed uno dialettico, avvertendo in ogni caso che nessuno dei due è facile da digerire, vista l età dei bambini. Il procedimento sperimentale utilizza il metodo già descritto delle rette di compensazione. Ad ogni bambino il maestro propone dunque di disegnare un semicerchio (la lunghezza del raggio è lasciata alla libera scelta del bambino). Gli propone quindi di tracciare una retta di compensazione, parallela al diametro, e di costruire il rettangolo che un lato coincidente con il diametro stesso e l altro su tale retta (fig. 13). fig. 13 Ovviamente la retta di compensazione è stata tracciata ad occhio, perché ad occhio è stato valutato che la parte del semicherchio esterna al rettangolo ed interna al semicherchio (colorata 8 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
in verde) avesse area uguale alla somma delle due parti del rettangolo interne ad esso ed esterne al semicerchio (colorate in rosso). Ora, solo se tale retta è stata costruita bene, l area del rettangolo è uguale a quella del semicherchio. Ma questa è vera utopia. È invece assai probabile, potremmo dire certo, che l area del rettangolo è approssimativamente uguale a quella del semicerchio. A questo punto il bambino è invitato ad effettuare le misure dei lati del rettangolo ed a compilare una tabella come la seguente, nella quale i dati riportati da noi a titolo di esempio si riferiscono proprio alla figura 13. Diametro = base rettangolo Altezza rettangolo Area rettangolo area semicerchio Area cerchio = 2 area semicerchio Raggio cerchio = diametro : 2 area cerchio raggio raggio 6,2 cm 2,4 cm 14,88 cm 2 29,76 cm 2 3,1 cm 3,096 I valori ottenuti dai bambini dovrebbero addensarsi intorno al valore 3,141 ma non è garantito a causa dell inevitabile imprecisione nella scelta della retta di compensazione. Ad ogni modo, come nel caso della lunghezza della circonferenza, il maestro provvederà a registrarli su una tabella che estende quella precedente a tutti gli alunni e propone di calcolare la media aritmetica dei valori trovati per i diversi rapporti. Teoricamente dovrebbe ottenersi un valore non lontano da 3,14. Ma la cosa è improbabile per le ragioni già spiegate. In ogni caso, a questo punto il maestro potrà dire che i matematici, facendo calcoli più precisi, hanno trovato per quel rapporto il valore 3,14, lo stesso già trovato nel caso della circonferenza. Questo autorizza a concludere che: Area cerchio = raggio raggio 3,14. Il procedimento dialettico tende a far notare come, considerando i poligoni regolari inscritti nel cerchio, al crescere del numero dei loro lati il contorno del poligono tende a sovrapporsi alla circonferenza e, di conseguenza, il poligono stesso tende a identificarsi con il cerchio (fig. 14). fig. 14 Ne consegue che l area del cerchio si trova così come si trova l area di un poligono regolare. Solo che adesso al posto del perimetro del poligono figura la circonferenza ed al posto dell apotema il raggio del cerchio. Pertanto: Area cerchio = circonferenza raggio diviso per 2 = raggio raggio 3,14. Si ha così la medesima formula trovata sopra con il metodo sperimentale. 9 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane
Il maestro, se lo ritiene opportuno, può anche far notare che in realtà quella che si trova applicando la formula non è esattamente l area del cerchio, bensì quella del poligono regolare di 114 lati inscritto in esso. La spiegazione del fatto che, quando si usa 3,14 si trova il perimetro di un poligono regolare di 57 lati inscritto nel cerchio o l area di un poligono regolare di 114 lati inscritto nel cerchio, sarà proposta agli studenti nel corso di Fondamenti della matematica. 10 Modulo 3/2 Misure di lunghezze e superfici piane