Il componente interagisce elettricamente con altri componenti solo per mezzo dei morsetti

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 1 N polo e bipolo Componente elettrico N - polo Terminali Poli Morsetti Il componente interagisce elettricamente con altri componenti solo per mezzo dei morsetti Le grandezze elettriche di interesse sono solo le tensioni e le correnti relative ai morsetti

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 1 N polo e bipolo a 1 2 Terminali Bipolo Componente Poli Nel caso del bipolo elettrico interessano: Morsetti una tensione fra N -i polo morsetti (funzione del tempo) v a (t) una corrente entrante (funzione del tempo) Versi di riferimento (obbligatori): Il componente interagisce elettricamente con altri componenti solo per mezzo dei morsetti per la tensione: segno v a Le grandezze o elettriche di interesse sono solo le tensioni e le correnti trelative ai morsetti o i a (t) la tensione del morsetto 1 è maggiore di quella del morsetto 2 la tensione del morsetto 1 è minore di quella del morsetto 2

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 1 N polo e bipolo a 1 2 Terminali Bipolo Componente Poli Nel caso del bipolo elettrico interessano: Morsetti una tensione fra N -i polo morsetti (funzione del tempo) v a (t) una corrente entrante (funzione del tempo) Versi di riferimento (obbligatori): Il componente interagisce elettricamente con altri componenti solo per mezzo dei morsetti per la corrente: tensione: segno vi a Le grandezze o elettriche di interesse sono solo le tensioni e le correnti trelative ai morsetti o o la la corrente tensione entra del nel morsetto morsetto 1 è 1 maggiore ed esce di quella dal morsetto del morsetto 2 2 la la corrente tensione entra del morsetto nel morsetto 1 è 2 minore ed di esce quella dal morsetto del morsetto 1 2 i a (t)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 2 Bipolo: versi coordinati a Bipolo Caso Convenzione 1 : il segno della della potenza tensione entrante: si trova il segno sul morsetto della tensione da cui si trova sul entra morsetto la freccia da cui della entra corrente la freccia della corrente La potenza p a (t) = v a (t) i a (t) è potenza entrante p a o o t la potenza elettrica entra nel bipolo la potenza elettrica esce dal bipolo

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 2 Bipolo: versi coordinati a Bipolo Caso Convenzione 12 : il segno della della potenza tensione entrante: uscente: si trova il il segno sul morsetto della tensione da cui si trova sul entra esce morsetto la freccia da cui della entra esce corrente la la freccia della della corrente La potenza p a (t) = v a (t) i a (t) è potenza entrante uscente p a o t o la potenza elettrica entra esce dal nel bipolo la potenza elettrica entra esce nel dal bipolo tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); potenza in Watt (W)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 3 Resistore ideale v(t) = R i(t) equazione di definizione del componente Convenzione della potenza entrante R resistenza L equazione di definizione è legata alla scelta dei versi coordinati di tensione e corrente Le forme d onda di tensione e di corrente seguono lo stesso andamento v, i Convenzione potenza uscente v(t) = - R i(t) t tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); resistenza in Ohm (Ω)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 4 Resistore ideale: proprietà R v(t) = R i(t) Potenza entrante: p(t) = v(t) i(t) = R i 2 (t) > 0, per R > 0 Se R > 0, la potenza entrante non è mai negativa: : p(t) > 0 ) è un componente dissipativo Il resistore (positivo) è un (vi è un trasferimento irreversibile di energia elettrica verso il componente) Se R < 0 il resistore è detto negativo. Allora risulta p(t) < 0 Il resistore negativo fornisce energia al circuito

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 5 Resistore ideale: proprietà R v(t) = R i(t) Da v(t) = R i(t) si ottiene i(t) = (1/R) v(t), ovvero i(t) = G v(t), ove G = 1/R è detta conduttanza del resistore Potenza: p(t) = v(t) i(t) = v 2 (t) / R = G v 2 (t) tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); conduttanza in Mho (Ω 1 ) Da v(t) = R i(t) e i(t) = G v(t) si ha che, istante per istante, la forma d onda di tensione su un resistore segue quella di corrente,, e viceversa. Si dice allora che il resistore è un componente istantaneo (o senza memoria)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 6 Resistore reale Resistori reali sono presenti nei circuiti elettrici: a) come effettivi componenti circuitali R > 0; la potenza p(t) è dissipata nel resistore come potenza termica b) come elementi di schemi equivalenti: in dispositivi elettronici, R > < 0 ; in apparati nei quali la potenza elettrica p(t) è trasformata in modo irreversibile in altra forma di energia: esempi: ai morsetti di elementi di illuminazione (energia luminosa) ai morsetti di apparati di antenna (energia elettromagnetica) ai morsetti di alcuni tipi di motori elettrici (energia meccanica) Valori di R : da qualche mω (10-3 Ω ) a varie centinaia di MΩ (10 6 Ω ) in apparati audio: qualche kω (10 3 Ω ) in apparati video: intorno ai 100 Ω

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 7 Resistore reale: alcune cause di non idealità v corrente massima i max i max potenza massima pmax (da pochi mw a qualche MW) v max tensione massima v max i Il resistore è sempre fornito con l indicazione della potenza massima (Sistema di raffreddamento) (Tempo massimo di funzionamento) Caso IDEALE v(t) = R i(t) per i = 0 si ha v(t) = 0 Caso REALE per i = 0 si ha v r (t) = / 0 v r (t) Tensione di rumore La tensione di rumore è funzione di R e della temperatura (assoluta) t

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 8 Induttore ideale v(t) = L di(t) dt equazione di definizione del componente Convenzione potenza entrante L induttanza Dalla equazione di definizione si ottiene: ove t 0 è un istante precedente a t t i (t ) = 1 v(τ)dτ i (t 0 ) L t 0 Le forme d onda di tensione e di corrente su un induttore sono differenti e non c è legame istantaneo. Si dice allora che l induttore è un memoria è un componente con memoria tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (H)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 9 Induttore ideale: potenza assorbita L v(t) = L d i(t) / d t entrante: p(t) = v(t) i(t) = L i (t) [d i(t) / d t ] > < 0 Potenza entrante: Il segno della potenza dipende dal valore e dall andamento di i(t) Esempi i p > 0 t i p < 0 t i p < 0 A seconda del segno e dell andamento della corrente, l induttore assorbe o cede potenza al circuito. Pertanto l induttore è un componente reattivo è un componente reattivo t i p > 0 t

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 10 Induttore ideale: energia L v(t) = L d i(t) / d t Energia immagazzinata (per L > 0) : E = p(t) d t = L i (t) [d i(t) / d t ] d t = L i d i = _1_ L i 2 > 0 2 L energia immagazzinata in un induttore dipende dalla corrente e non è mai negativa (per L > 0) Lo stato energetico di un induttore è funzione della corrente Nell induttore,, i(t) è una stato una variabile di stato corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (Η); energia in Joule (J)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 11 Induttore ideale: proprietà L v(t) = L d i(t) / d t i o t1 t 1 o t 2 Energia immagazzinata E 1 = 0 Energia immagazzinata E o 2 > 0 t 3 t Energia immagazzinata E 3 = 0 Nell intervallo [t 1, t 2 ] l induttore assorbe dal circuito l energia E 2 Nell intervallo [t 2, t 3 ] l induttore restituisce al circuito l energia E 2 Nell induttore vi è un trasferimento reversibile di energia L induttore ideale è un Componente senza perdite energetiche In questo circuito ideale la corrente è costante Risulta costante anche l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 12 Induttore ideale: proprietà In un induttore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione v(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione i(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio i v L v(t) = L d i(t) / d t i 0 t t i 0

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 12 Induttore ideale: proprietà In un induttore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione v(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione i(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio i v L v(t) = L d i(t) / d t i 0 t 0 t t 0 t i 0 All istante t 0 la corrente passa istantaneamente da i 0 a zero L andamento di i(t) () è incompatibile con l equazione dell induttore Allo stesso istante l induttore cede al circuito tutta l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 12 Induttore ideale: proprietà In un induttore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione v(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione i(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio i v L v(t) = L d i(t) / d t i 0 t 0 t t 0 t i 0 Se si suppone All istante che t 0 la la corrente vada passa a zero istantaneamente in un intervallo da piccolissimo, i 0 a zero ma non L andamento nullo nell intorno di i(t) () dell istante è incompatibile t 0, si con ottiene l equazione un picco dell induttore di tensione negativa Allo molto stesso elevata istante (detta l induttore extra-tensione cede al circuito di apertura) tutta l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 13 Induttore reale La principale causa di non idealità degli induttori reali è la presenza di un componente resistivo indesiderato posto in serie (resistore parassita) L R per R = 0 induttore ideale L induttore reale non è un componente senza perdite Se l energia immagazzinata E > 0, allora i = / 0 Se la corrente i = / 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita L energia immagazzinata nell induttore diminuisce con il tempo Valori di L : da qualche µh (10-6 H ) a qualche H

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 14 Condensatore ideale i(t) = C d v(t) dt equazione di definizione del componente Dalla equazione di definizione si ottiene: ove t 0 è un istante precedente a t Convenzione potenza entrante C capacità t v(t ) = 1 i(τ)dτ v (t 0 ) C t 0 Le forme d onda di tensione e di corrente su un condensatore sono differenti e non c è legame istantaneo. Si dice allora che il condensatore è un memoria è un componente con memoria tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); capacità in Farad (F)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 15 Dualità Confrontando le equazioni di definizione dell induttore e del condensatore si notano delle analogie. Si dice che i due componenti sono duali v (t) = L 1 2 di (t) dt E = L i 2 Tabella di dualità v i L C

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 15 Dualità Confrontando le equazioni di definizione dell induttore e del condensatore si notano delle analogie. Si dice che i due componenti sono duali v i (t) = CL 1 2 di v (t) dt E = CL vi 2 Tabella di dualità v i L C Il principio di dualità è molto esteso e deriva dalle equazioni generali dell elettromagnetismo. L uso della tabella delle grandezze duali è molto utile anche a fini mnemonici

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 16 Condensatore ideale: potenza assorbita C i(t) = C d v(t) / d t entrante: p(t) = v(t) i(t) = C v (t) [d v(t) / d t ] > < 0 Potenza entrante: Il segno della potenza dipende dal valore e dall andamento di v(t) Esempi v p > 0 t v p < 0 t v p < 0 A seconda del segno e dell andamento della tensione, il condensatore assorbe o cede potenza al circuito. Pertanto il condensatore è un componente reattivo è un componente reattivo t v p > 0 Tutte le considerazioni sulla potenza assorbita dal condensatore ideale si possono ricavare da quelle relative all induttore per mezzo del principio di dualità t

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 17 Condensatore ideale: energia C i(t) = C d v(t) / d t Energia immagazzinata (per C > 0) : E = p(t) d t = C v (t) [d v(t) / d t ] d t = C v d v = 1 C v 2 > 0 2 L energia immagazzinata in un condensatore dipende dalla tensione e non è mai negativa (per C > 0) Lo stato energetico di un condensatore è funzione della tensione. Nel condensatore,, v(t) è una una variabile di stato tensione in Volt (V); capacità in Farad (F); energia in Joule (J) Tutte le considerazioni sulla energia immagazzinata dal condensatore ideale si possono ricavare da quelle relative all induttore per mezzo del principio di dualità

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 18 Condensatore ideale: proprietà C i(t) = C d v(t) / d t v o t1 t 1 o t 2 Energia immagazzinata E 1 = 0 Energia immagazzinata E o 2 > 0 t 3 t Energia immagazzinata E 3 = 0 Nell intervallo [t 1, t 2 ] il condensatore assorbe dal circuito l energia E 2 Nell intervallo [t 2, t 3 ] il condensatore restituisce al circuito l energia E 2 Nel condensatore vi è un trasferimento reversibile di energia Il condensatore ideale è, come l induttore,, un Componente senza perdite energetiche In questo circuito ideale la tensione è costante Risulta costante anche l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 19 Condensatore ideale: proprietà C i(t) = C d v(t) / d t In un condensatore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione i(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione v(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio v v 0 t i t

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 19 Condensatore ideale: proprietà C i(t) = C d v(t) / d t In un condensatore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione i(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione v(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio v v 0 t 0 t i t 0 t All istante t 0 la tensione passa istantaneamente da v 0 a zero L andamento di v(t) è incompatibile con l equazione del condensatore Allo stesso istante il condensatore cede al circuito tutta l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 19 Condensatore ideale: proprietà C i(t) = C d v(t) / d t In un condensatore ideale non vi sono particolari condizioni sulla funzione i(t) (che( non è una variabile di stato) Per la funzione v(t) vi sono invece delle limitazioni Esempio v v 0 t 0 t i t 0 t Se All istante si suppone t 0 che la la tensione passa vada istantaneamente a zero in un intervallo da v 0 a piccolissimo, zero ma L andamento non nullo nell intorno di v(t) è incompatibile dell istante t 0 con, si ottiene l equazione un impulso del condensatore di corrente (negativa) Allo stesso molto istante elevata il condensatore cede al circuito tutta l energia immagazzinata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 20 Condensatore reale La principale causa di non idealità dei condensatori reali è la presenza di un componente resistivo indesiderato posto in parallelo (resistore parassita) C Condensatore ideale per R R Conduttanza G= 1/R = 0 Il condensatore reale non è un componente senza perdite Se l energia immagazzinata E > 0, allora v = / 0 Se la tensione v = / 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita L energia immagazzinata nel condensatore diminuisce con il tempo Valori di C : da qualche pf (10-12 F ) a qualche mf (10-3 F )

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 21 Dualità Sulla base degli schemi equivalenti dell induttore e del condensatore reale, la tabella delle dualità può essere estesa nel modo seguente L R Induttore ideale per R = 0 C R=1/G Condensatore ideale per G = 0 Tabella di dualità v i L C serie parallelo R G

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 22 Componenti reattivi reali Per l induttore: corrente massima i max. Il superamento di i max comporta generalmente l interruzione della connessione fra i morsetti Per il condensatore: tensione massima v max. Il superamento di v max comporta generalmente l instaurazione di una connessione diretta fra i morsetti (condensatore in corto circuito) Il condensatore è sempre fornito con l indicazione della tensione massima Attenzione! Valori elevati di capacità, con v max elevate, possono costituire pericolo per gli operatori. Esempio: C = 10 µf, con v max = 1000 V, corrisponde a un energia E = 0,5 x 10 J = 5 J, sufficiente a creare grave danno. Le condizioni di pericolo possono sussistere anche ad apparecchiature spente In aggiunta ai componenti specifici, induttori sono presenti in molti schemi equivalenti di macchine elettriche, impianti elettrici, ecc. Nel caso di disinserzione rapida, tali dispositivi sono soggetti a extra-tensione di apertura. Condensatori equivalenti sono presenti fra conduttori affiancati, in presenza di sensibili differenze di potenziale.

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 23 Generatore ideale di tensione v(t) = v g (t) equazione di definizione del componente v g (t) tensione impressa L equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la tensione v(t) Tale tensione segue l andamento v g (t), indipendentemente dalla corrente che percorre il componente. Si dice che v g (t) è una grandezza impressa Esempi v g v g v g v g (t) = 0 t V t t equivalente a tensione sinusoidale v g (t) = sin t tensione costante v g (t) = V tensione nulla v g (t) = 0 corto circuito

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 24 Generatore ideale di tensione Connessione serie v g1 (t) v g2 (t) v g (t) v g1 (t) v g2 (t) Connessione parallelo v g1 (t) v g2 (t) Connessione non valida per v g1 (t) = / v g2 (t) Il parallelo di più generatori ideali di tensione (differenti) non è una connessione valida poiché più tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti.

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 24 Generatore ideale di tensione Connessione serie v g1 (t) v g2 (t) v g (t) v g1 (t) v g2 (t) Connessione parallelo Caso particolare: generatore di tensione in c.c. v g1 (t) v g2 (t) generatore in c.c. Connessione non valida per v g1 (t) = / v0 g2 (t) Il parallelo di più generatori ideali di tensione (differenti) non è una connessione valida poiché più tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti. Un generatore ideale di tensione (non nullo) non può essere posto in un corto circuito.

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 25 Generatore ideale di tensione: potenza erogata Convenzione potenza uscente v g, i 1 o i(t) v g (t) o 2 3 o o 4 La potenza p(t) = v g (t) i(t) è potenza erogata in base alla scelta dei versi coordinati della tensione e della corrente. Il segno e il valore di p(t) sono indeterminati, essendo indeterminato il valore di i(t) t il generatore fornisce potenza al circuito il generatore assorbe potenza dal circuito i(t) v g (t) R i = v g / R P erogata = v g i P i R 0 i P

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 26 Generatore reale di tensione Principali cause di non idealità: a) la potenza erogabile non è infinita b) la tensione erogata dipende dalla corrente Si considera lo schema equivalente costituito da un generatore di tensione ideale in serie a un resistore v g (t) R i(t) R : resistenza interna v = v g R i v(t) i cc = v / g R v v g i cc i v = v g per i = 0 (tensione a vuoto) i = i cc per v = 0 (corrente di corto circuito)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 26 Generatore reale di tensione Principali cause di non idealità: a) la potenza erogabile non è infinita b) la tensione erogata dipende dalla corrente Si considera lo schema equivalente costituito da un generatore di tensione ideale in serie a un resistore C v g (t) R i(t) A B Generatore R : resistenza ideale per interna R = 0 v = v g R i v(t) i cc = v / g R v v g caso ideale: R = 0 i cc i v = v g per i = 0 (tensione a vuoto) i = i cc per v = 0 (corrente di corto circuito) A e B sono i morsetti esterni del generatore reale di tensione (C non è accessibile)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 27 Potenza erogata dal generatore v g v g R R i R v g 2 p = v i = = (v g R i) i v p max = v 2 g / 4R p p max R = 0 i cc /2 i cc =v g /R i cc /2 = v g /2R In queste condizioni di chiusura il circuito è detto adattato ed eroga sul carico la massima potenza (potenza disponibile). i cc i v g R i R u potenza utile P u = i 2 R u potenza erogata P e = i 2 (R R u ) Rendimento η= P u /P e = (R u /R) = 1 (R u /R) η 1.5 1 R u / R

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 28 Potenza erogata dal generatore Caso di circuiti di potenza Interessa garantire alti rendimenti v g R i < i max i v R u v v vgg i max η 1 i << i cc v v g i cc i P p max R u / R R u >> R p << p max i Caso di circuiti di segnale Interessa ottenere la max potenza sul carico (adattamento) v g R i v R v v vgg v g /2 i cc /2 η 1.5 1 i = i cc / 2 v = v g / 2 i cc i P p max R u / R R u = R η = 0,5 p = p max i

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 29 Generatore ideale di corrente i(t) = i g (t) equazione di definizione del componente i g (t) corrente impressa L equazione di definizione stabilisce un andamento prefissato per la corrente i(t) Tale corrente segue l andamento i g (t), indipendentemente dalla tensione ai capi del componente. Si dice che i g (t) è una grandezza impressa Esempi i g i g i g i g (t) = 0 t I t t equivalente a corrente sinusoidale i g (t) = sin t corrente costante i g (t) = I corrente nulla i g (t) = 0 circuito aperto

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 30 Generatore ideale di corrente Connessione parallelo i g1 (t) i g (t) i g2 (t) i g1 (t) i g2 (t) Connessione serie i g1 (t) i g2 (t) Connessione non valida per i g1 (t) = / i g2 (t) La serie di più generatori ideali di corrente (differenti) non è una connessione valida poiché più correnti differenti devono percorrere lo stesso ramo.

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 30 Generatore ideale di corrente Connessione parallelo i g1 (t) i g (t) i g2 (t) i g1 (t) i g2 (t) Connessione serie Caso particolare: generatore di corrente aperto i g1 (t) i g2 (t) generatore aperto Connessione non valida per i g1 (t) = i0 g2 (t) / La serie di più generatori ideali di corrente (differenti) non è una connessione valida poiché più correnti differenti devono percorrere lo stesso ramo. Un generatore ideale di corrente (non nullo) non può essere lasciato aperto.

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 31 Generatori ideali Connessioni miste i g1 (t) v v g2 (t) g2 (t) i g1 (t) v g2 (t) i g1 (t) Dualità: i generatori di tensione e di corrente sono due componenti duali v g R i Tabella di dualità v ------ i v serie ---- parallelo R ----- G i i g G v

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 32 Equivalenza generatori reali di tensione e di corrente v g i g R Gen. reale di corrente i G i v = v g R i v i cc = v / g R v v v g caso ideale: R = 0 v = vg per i = 0 (tensione a vuoto) i cc i = i cc per v = 0 (corrente di corto circuito) i = i g G v ca = ig / G v v ca v ca v = v ca per i = 0 (tensione a vuoto) i g i = i g per v = 0 (corrente di corto circuito) i caso ideale: G = 0 i Condizioni di equivalenza { v g =v ca =i g /G R = 1 / G i g =i cc =v g /R v = g R i g { Si tratta della stessa resistenza

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 33 Generatori reali Impianti di alimentazione a tensione costante v g (t) Carico A Carico B Carico C La presenza del generatore ideale di tensione fa sì che l inserzione o la disinserzione di un carico non influenza il funzionamento degli altri. Se il generatore è reale ciò vale solo in modo approssimato. Generatori di tensione: pile, accumulatori, prese di corrente, ecc. Carichi: lampadine, elettrodomestici, motori, ecc. Es. di trasformazione di un gen. reale di corrente in un gen. reale di tensione i g G Gen. di corrente i g = 10 ma R =1/G = 10 MΩ Gen. di tensione v g =.01 x 10 7 = 0.1 MV R = 10 MΩ v g R

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 34 Elementi due-porte 1 3 i 1 i 3 1 Quadripolo 2 i 2 i 4 2 4 La coppia di morsetti 1, 3 forma una porta se risulta Anche la coppia di morsetti 2, 4 forma una porta se risulta i 1 i 3 = 0 i 2 i 4 = 0 Si ottiene così un elemento (o rete) due-porte, indicato nel modo seguente v 1 i 1 i 2 1 2 Rete due porte Non vengono indicate le correnti i v 3 e i 4 2 poiché sono rispettivamente uguali alle correnti - i 1 e - i 2 { Potenza entrante Porta 1: p 1 = v 1 i 1 Totale: p = v Porta 2: p 2 = v 2 i 1 i 1 v 2 i 2 2

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 35 Induttori accoppiati di v 1 (t) = L 1 (t) 1 M dt di v 2 (t) = M 1 (t) L dt 2 equazioni di definizione del componente di 2 (t) dt di 2 (t) dt v 1 i 1 M i 2 L 1 L 2 L 1 L 2 induttanza primaria induttanza secondaria M coeff. di mutua induzione v 2 Potenza entrante p = v 1 i 1 v 2 i 2 = = L 1 i d i 1 (t) 1 M i d i 2 (t) d i 1 M i d i 1 (t) 2 L 2 i 2 (t) > d t d t d t 2 d t < 0

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 36 Induttori accoppiati: passività passivi i componenti che non hanno fonti di energia interna Sono passivi Sono passivi i resistori (per R >0), gli induttori e i condensatori (per L > e C > 0) Sono attivi i componenti che hanno fonti di energia interna (p.es. res. con R<0) Induttori accoppiati: passivi se l energia immagazzinata non è mai negativa E = p(t) d t = [L 1 i 1 d i 1 (t) d i M i 2 (t) d i d i 1 M i 1 (t) 2 L 2 i 2 (t) 2 ] d t d t d t d t d t = L 1 i 1 d i 1 [ M i d i M i d i 1 2 2 1 ] L 2 i 2 d i 2 = 1 2 1 2 = L 1 i 12 M i 1 i 2 L 2 i 22 = posto x = i 1 /i 2 1 = 2 L 2 i 22 [(L 1 /L 2 ) x 12 (2 M /L 2 ) x 1] > 0 ( passività passività )

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 37 Induttori accoppiati: passività Per la passività, l energia immagazzinata deve essere non negativa 1 E = L 2 i [(L 22 /L ) x (2 M /L ) x 1] > 0 per 2 ogni 1 2 12 2 x > 0 per L 2 > 0 > 0 per (M /L 2 ) 2 - (L 1 /L 2 ) < 0 M 2 < L 1 L 2 Condizioni di passività L 1 > 0 ; L 2 > 0 M < L 1 L 2 M 2 < L 1 L 2 x = i 1 /i 2 M 2 = L 1 L 2 x = i 1 /i 2 Coefficiente di accoppiamento k = M / L 1 L 2 0 < k < 1 k = 1 accoppiamento perfetto

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 38 Trasformatore ideale v 2 (t) = n v 1 (t) i 2 (t) = - 1 n i 1 (t) equazioni di definizione del componente v 1 i 1 1:n i 2 1:n rapporto di trasformazione Le induttanze accoppiate e il trasformatore ideale sono due diverse approssimazioni dello stesso dispositivo Le induttanze accoppiate sono componenti con memoria Il trasformatore ideale è componente senza memoria Potenza entrante p = v 1 i 1 v 2 i 2 = = v 1 i 1 n v 1 [- (1/n) i 1 ] = 0 v 2 Il trasformatore ideale non dissipa e non genera potenza

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 39 A B A B Trasformatore ideale: applicazioni i 1 n:1 v 1 i 2 v 2 n 2 R R { v 1 (t) = n v 2 (t) i 1 (t) = - 1 i 2 (t) n v 2 (t) = - R i 2 (t) v 1 = n v 2 = - n R i 2 = = - n R (- n i 1 ) = n 2 R i 1 Equazioni trasformatore (attenzione al rapporto n:1) Equazione resistore (attenzione ai versi coordinati) I bipoli A B e A B sono equivalenti rispetto a qualunque circuito a cui essi siano connessi Nel bipolo A B tutta la potenza entrante è dissipata sul resistore R. Il trasformatore ideale permette il transito della potenza dalla porta 1 verso la porta 2, senza dissipazioni interne

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 40 Trasformatore ideale: applicazioni v 1 i 1 1:1 i 2 v 2 Trasformatore ideale di rapporto di trasformazione 1 : 1. Le tensioni e le correnti fra la prima e la seconda porta non subiscono variazioni Esempio di applicazione La tensione alla porta 1 del circuito due porte v 1 è pari a v A v B Il terminale di massa è a tensione v B rispetto al terminale di terra. Questi terminali non possono essere connessi v A v B Circuito due porte sbilanciato 1 2 massa terra

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 40 Trasformatore ideale: applicazioni v 1 i 1 1:1 i 2 v 2 Trasformatore ideale di rapporto di trasformazione 1 : 1. Le tensioni e le correnti fra la prima e la seconda porta non subiscono variazioni Esempio di applicazione La tensione alla porta 1 del circuito due porte v 1 è pari a v A v B Il terminale di massa è a tensione v B rispetto al terminale di terra. Questi terminali non possono essere connessi v A v B 1:1 Circuito due porte sbilanciato 1 2 massa terra Dopo l inserzione del trasformatore 1 : 1, la tensione alla porta 1 del circuito due porte v 1 è sempre pari a v A v B. Tuttavia ora è possibile connettere a terra il terminale di massa, senza mettere in corto il generatore v B

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 41 Generatori controllati v 2 (t) = k v 1 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 1 (t) = 0 v 1 (t) k v 2 (t) equazioni di definizione del componente k guadagno in tensione Generatore di tensione controllato in tensione v 1 (t) : tensione di controllo v 2 (t) : tensione controllata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 41 Generatori controllati v v 2 (t) = k i 1 (t) iv 1 (t) = 0 v 1 (t) i 1 (t) k i 2 (t) v 2 (t) equazioni di definizione del componente k trans-resistenza ( Ω ) guadagno in tensione (resistenza di trasferimento) Generatore di tensione controllato in tensione corrente i 1 v(t) 1 (t) : corrente : tensione di di controllo controllo v 2 v(t) 2 (t) : tensione : tensione controllata controllata I generatori controllati si comportano come i generatori ideali,, ma la grandezza controllata dipende dalla grandezza di controllo e non è una funzione impressa. Si usano in schemi equivalenti,, p.es es.. in elettronica

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 42 Generatori controllati i 2 (t) = k i 1 (t) v 1 (t) = 0 v 1 (t) i 1 (t) () k i 2 (t) () v 2 (t) equazioni di definizione del componente k guadagno in corrente Generatore di corrente controllato in corrente i 1 (t) : corrente di controllo i 2 (t) : corrente controllata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 42 Generatori controllati i 2 (t) = k vi 1 (t) vi 1 (t) = 0 v 1 (t) i 1 (t) () k i 2 (t) () v 2 (t) equazioni di definizione del componente Generatore di corrente controllato in corrente tensione k trans-conduttanza ( Ω k guadagno in corrente 1 ) (conduttanza di trasferimento) v 1 i (t) 1 (t) : : tensione corrente di di controllo controllo ii 2 (t) 2 (t) : : corrente corrente controllata controllata La potenza entrante nella porta di controllo è nulla.. La potenza uscente dalla porta controllata dipende dalla tensione e dalla corrente di uscita e può assumere qualunque valore (> = < 0). I generatori controllati sono componenti attivi

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 43 Nullore Generatore di tensione controllato in tensione : elementi parassiti v 1 i 1 G v g R v g = k v 1 ; i 2 indeterminata i 2 v2 i 1 = 0 v 2 = v g la potenza entrante nella porta 1 è maggiore di zero Caso ideale G = 0; R = 0 i 1 = 0 ; v 2 =v g Guadagni tensione v 2 /v 1 = k corrente i 2 /i 1 = potenza p 2 /p 1 = Ipotesi v g = k v 1 k molto elevato v 1 tende a zero v 2 limitato Caso ideale k infinito v 1 zero v 2 indeterminato Nullore i 1 (t) v 1 (t) v 1 = 0 i 1 = 0 8 i 2 (t) v 2 (t) v 2 indeterminata i 2 indeterminata

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 44 Nullore v 1 = 0 i 1 = 0 8 nullatore noratore simbolo circuitale Esempio R 1 R 2 amplificatore operazionale simbolo tecnico R 1 v g 8 i 1 v R g u i 1

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 44 Nullore v 1 = 0 i 1 = 0 8 nullatore noratore simbolo circuitale Esempio R 1 R 2 amplificatore operazionale simbolo tecnico R 1 v g 8 i 1 v R g u i 1 i 1 =v g / R 1 i 1 =v g / R 1

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 44 Nullore v 1 = 0 i 1 = 0 8 nullatore noratore simbolo circuitale Esempio v g amplificatore operazionale simbolo tecnico R 1 i R 1 2 R 8 2 i 1 i 1 v 2 v R g i i 1 v 1 =v g / R 1 u 2 = - R 2 i 1 R 1 i 1 =v g / R 1 ; v 2 = - R 2 i 1

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 44 Nullore v 1 = 0 i 1 = 0 8 nullatore noratore simbolo circuitale Esempio v g amplificatore operazionale simbolo tecnico R 1 i R 1 2 R 8 2 A v i i 1 v 21 = - (R 2 /R 1 )v 2 v R g i i g 1 v 1 =v g / R 1 u 2 = - R 2 i 1 massa A R 1 massa virtuale i 1 =v g / R 1 ; v 2 = - R 2 i 1

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 45 Linearità Resistore, Induttore, Condensatore Induttori accoppiati,trasformatore ideale Generatori controllati, Nullore Componenti Lineari equazioni di definizione lineari (algebriche o differenziali) e(t) Circuito lineare u(t) e(t) : eccitazione generatore di tensione o di corrente Circuito costituito da componenti lineari u(t) : risposta una tensione o una corrente del circuito Esistono altri componenti, come il diodo,che sononon lineari. Un circuito è non lineare se contiene anche un solo componente non lineare. Nel presente corso non saranno considerati componenti e circuiti non lineari

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 45 Linearità Resistore, Induttore, Condensatore Induttori accoppiati,trasformatore ideale Generatori controllati, Nullore Componenti Lineari equazioni di definizione lineari (algebriche o differenziali) e(t) Circuito lineare Circuito costituito da componenti lineari u(t) e(t) : eccitazione u(t) : risposta generatore di tensione o di corrente una tensione o una corrente del circuito { { Correnti Tensioni nulle sui condensatori Esistono altri componenti, come il diodo,che Nessuna eccitazione sononon lineari. Un circuito è non lineare se Circuito contiene anche a riposo un solo componente non lineare. Nel presente corso nonnulle saranno sugli considerati induttori Energia immagazzinata nulla risposte componenti nulle per e circuiti ogni non t lineari

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 46 Sovrapposizione degli effetti e 1 (t) Circuito lineare a riposo u 1 (t) caso a: u 1 (t) risposta all eccitazione e 1 (t)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 46 Sovrapposizione degli effetti e 1 (t) e 2 (t) Circuito lineare a riposo u 12 (t) caso a: u 1 (t) risposta all eccitazione e 1 (t) caso b: u 2 (t) risposta all eccitazione e 2 (t)

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 46 Sovrapposizione degli effetti e 1 (t) e 2 (t) Circuito lineare a riposo u(t) 12 = u 1 (t) u 2 (t) caso a: u 1 (t) risposta all eccitazione e 1 (t) caso b: u 2 (t) risposta all eccitazione e 2 (t) caso c: u(t) = u 1 (t) u 2 (t) risposta alle e 1 (t) e e 2 (t) Le e 1 (t) e e 2 (t) sono inserire in punti diversi del circuito, mentre la risposta totale u(t), e le risposte parziali u 1 (t) u 2 (t), sono prese allo stesso punto. Il circuito è inizialmente a riposo per evitare che ulteriori risposte si sovrappongano a causa della energia iniziale presente nei componenti reattivi

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 46 Sovrapposizione degli effetti e 1 (t) e 2 (t) Circuito lineare a riposo u(t) 12 = u 1 (t) u 2 (t) caso a: u 1 (t) risposta all eccitazione e 1 (t) caso b: u 2 (t) risposta all eccitazione e 2 (t) caso c: u(t) = u 1 (t) u 2 (t) risposta alle e 1 (t) e e 2 (t) Le Quando è presente e 1 (t) una e e 2 (t) sola sono eccitazione inserire in (caso punti a diversi o caso b), del l altra circuito, è disattivata. mentre la risposta Per disattivare totale u(t), un generatore e le risposte di parziali tensione, u 1 (t) sostituirlo u 2 (t), sono con un prese corto allo circuito. stesso punto. Per disattivare Il circuito un è generatore inizialmente di a corrente, riposo per sostituirlo evitare che con ulteriori un circuito risposte aperto. si sovrappongano a causa della energia iniziale presente nei componenti reattivi

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 46 Sovrapposizione degli effetti e 1 (t) e 2 (t) Circuito lineare a riposo u(t) 12 = u 1 (t) u 2 (t) caso a: u 1 (t) risposta all eccitazione e 1 (t) caso b: u 2 (t) risposta all eccitazione e 2 (t) caso c: u(t) = u 1 (t) u 2 (t) risposta alle e 1 (t) e e 2 (t) Le Quando è presente e 1 (t) una e e 2 (t) sola sono eccitazione inserire in (caso punti a diversi o caso b), del l altra circuito, è disattivata. mentre la risposta Il principio totale u(t), di sovrapposizione e le risposte parziali degli effetti u 1 (t) vale u 2 (t), per sono ogni prese circuito allo lineare. Per disattivare un generatore di tensione, sostituirlo con un corto circuito. stesso punto. Si può Il circuito estendere è inizialmente facilmente al a caso Per disattivare un generatore di corrente, riposo di per un numero sostituirlo evitare che qualsiasi con ulteriori di. un circuito risposte aperto. si sovrappongano a causa della energia iniziale presente nei componenti reattivi

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 47 Teorema di sostituzione Circuito A lineare i(t) Circuito B lineare a riposo equivalenza n. 1 Circuito A lineare i(t) Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di corrente i(t) L equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un solo generatore di corrente

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 47 Teorema di sostituzione Circuito A lineare i(t) v(t) Circuito B lineare a riposo Circuito A lineare equivalenza n. 12 v(t) i(t) Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di corrente tensione v(t) i(t) L equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un solo generatore di corrente tensione

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 48 Teorema di Thévenin di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo Circuito B lineare a riposo

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 48 Teorema di Thévenin di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo v(t) Circuito B lineare a riposo teorema di sostituzione presenti nel circuito di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di corrente che sostituisce il circuito B risposta v(t) sovrapposizione degli effetti Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di corrente

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 48 Teorema di Thévenin di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo v(t) 0 circuito A a vuoto Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di corrente che sostituisce il circuito B attivate disattivata risposta v(t) tensione a vuoto v 0 (t) Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di corrente

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 48 Teorema di Thévenin di tensione Circuito Circuito A A disattivato di corrente Circuito lineare a riposo v(t) 01 circuito A a vuoto Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di corrente che sostituisce il circuito B attivate disattivata disattivate attivata risposta v(t) v(t) = v 0 (t) v 1 (t) tensione a vuoto v 0 (t) tensione v 1 (t) su circuito A disattivato Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di corrente

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 48 Teorema di Thévenin presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione Circuito Circuito A A disattivato di corrente Circuito lineare a riposo circuito equivalente di Thévenin tensione a vuoto v 0 (t) di tensione di corrente interne al circuito A v(t) 01 eccitazione di corrente che sostituisce il circuito B Circuito A attivate disattivato disattivata disattivate attivata v(t) circuito A a vuoto Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato risposta v(t) v(t) = v 0 (t) v 1 (t) Circuito B lineare a riposo tensione a vuoto v 0 (t) tensione v 1 (t) su circuito riposo A disattivato Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin) generatore di circuito A validi Circuito solo sea il circuito A non coincide con in un serie solo generatore di corrente tensione v 0 (t) disattivato

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 49 Teorema di Norton di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo Circuito B lineare a riposo

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 49 Teorema di Norton di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo i(t) Circuito B lineare a riposo teorema di sostituzione presenti nel circuito di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di tensione che sostituisce il circuito B risposta i(t) sovrapposizione degli effetti Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di tensione

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 49 Teorema di Norton di tensione Circuito A di corrente Circuito lineare a riposo circuito A in corto circuito ii(t) cc (t) Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di tensione che sostituisce il circuito B attivate disattivata risposta i(t) corrente di c.c. i cc (t) Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di tensione

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 49 Teorema di Norton di tensione Circuito Circuito A A disattivato di corrente Circuito lineare a riposo circuito A in corto circuito ii(t) cc 1 (t) Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione di corrente interne al circuito A eccitazione di tensione che sostituisce il circuito B attivate disattivata disattivate attivata risposta i(t) i(t) = i cc (t) i 1 (t) corrente di c.c. i cc (t) corrente i 1 (t) su circuito A disattivato Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton) validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di tensione

M. Salerno Componenti Dominio del tempo 49 Teorema di Norton presenti nel circuito sovrapposizione degli effetti di tensione Circuito Circuito A A disattivato di corrente Circuito lineare a riposo circuito equivalente di Norton corrente di c.c. i cc (t) di tensione di corrente interne al circuito A i(t) cc 1 (t) eccitazione di tensione che sostituisce il circuito B attivate Circuito disattivata A disattivate disattivato attivata circuito A in corto circuito i(t) Circuito B lineare a riposo teorema generatore di sostituzione disattivato risposta i(t) i(t) = i cc (t) i 1 (t) Circuito B lineare a riposo corrente di c.c. i cc (t) corrente i 1 (t) su circuito riposo A disattivato Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton) generatore di in circuito A validi Circuito solo sea il circuito A non coincide con un solo generatore di tensione corrente i cc (t) parallelo disattivato