Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si possono riscontrare piccole differenze nei risultati finali. a. Si il numero di parassiti su una foglia è possibile considerarla come una variabile casuale. b. La distribuzione di probabilità di è data da: P P < P 7 P P P 7 P P P P P c. La funzione di ripartizione di è: F x < x < x < x < x < x d. P foglia presenta o parassiti P w w 9. a. una v.c. discreta. b. Dalla formula 9.. si ha che: ip i i Dalla formula 9.. si ha che: i P i i 7 9 c. una funzione di probabilità uniforme discreta. d. F x < x < x < x < x < x < x < x e. P > P F
9. a. Si ha f x se x che coincide con la formula 9.8. per a e b. altrove b. fx c. Si tratta della funzione di densità della distribuzione uniforme continua in [] d. Dalla formula 9.. si ha che: Dalla formula 9.. si ha che: x x dx. x x x x dx. Agli stessi risultati si può giungere osservando che si veda il paragrafo 9.8.. e 9. a. Si tratta di una v.c. Binomiale formula 9.7. con π e n. Pertanto si ha: b. Dalla formula 9.. si ha che: P ip i i Dalla formula 9.. si ha che: i. P i x 8 nπ e Agli stessi risultati si può giungere osservando che si veda il paragrafo 9.7. nπ π 9. a. Dal paragrafo 9.7. si ha che il numero medio di telefonate che arrivano al centralino è b. Dal paragrafo 9.7. si ha che λ. λ e dunque la deviazione standard è λ 87. 9. a. Si tratta di una v.c. uniforme continua in []. Dunque la funzione di densità è
se x f x che coincide con la formula 9.8. per a e b. altrove Per calcolare media e varianza si può operare allo stesso modo dell esercizio 9. modificando i limiti degli integrali necessari per il calcolo della media e varianza oppure si possono utilizzare i risultati noti relativi alla distribuzione uniforme continua. Dunque si ha si veda il paragrafo 9.8. e 8. b. Si tratta di una v.c. uniforme continua in []. Dunque la funzione di ripartizione è x x F x < x da cui P 8 F F 8. > 9.7 a. Dalla formula 9.7. con λ8 si ha che P periodo vita particella A non superiore a P x P x P x 8 8 8 8 8 8 e e e 799!!! Poiché per la v.c. Chi-quadrato la media corrisponde ai gradi di libertà utilizzando il Software Statasy si ottiene che: P periodo vita particella B non superiore a. Si può pertanto concludere che una durata di vita non superiore a giorni è più probabile per le particelle della sostanza A. b. Dalla formula 9.7. con λ8 si ha che Pperiodo vita particella A superiore o uguale a P P P P 97 Utilizzando il Software Statasy si ottiene che: P periodo vita particella B superiore o uguale a. Si può pertanto concludere che una durata di vita superiore o uguale a giorni è più probabile per le particelle della sostanza B. c. Si ha che per la v.c. di Poisson con λ8 la varianza è λ8 mentre per la v.c. Chi-quadrato con g la varianza è g8 che dunque è maggiore. 9.8 Utilizzando le tavole della Normale o il Software Statasy si ottiene: a. ~ N ; P P P Z P Z Φ Φ ~ N ; P > per la simmetria della v.c. normale rispetto al valore x. b. P P P Z Φ Φ Φ Φ Φ 977 c. ~ N ; P < P < P Z < 7 Φ 7 Φ 7 d. ~ N - ; [ ] 9 e. ~ N ; σ σ σ σ σ μ μ μ μ σ μ P μ μ σ P P Z Φ Φ σ σ σ P σ P P Z Φ Φ f. ~ N μ; σ 9.9 Il peso delle confezioni è una v.c. che si distribuisce come ~ N ; Software Statasy si ottiene:. Utilizzando le tavole della Normale o il
8 9 8 8 8 Φ Φ Φ Φ a. P 8 9 P P Z [ ] [ ] 99 b. Pil peso di una scatola differisca dalla media per più di grammi P > P < 8 P > P < 8 8 P > P < 8 8 8 8 P Z > P Z < [ P Z ] P Z < [ Φ ] [ Φ ] [ Φ ] 9. Derivando si ha x x f e da cui ~ sp. a. P F e e 9 b. P > P F e e 7 9. a. Dalla formula 9.. si ha che: xp x Dalla formula 9.. si ha che: x P x x x 7 7 7 b. Y ; Y SD Y Y 7 da cui formula 9..7 si ha c. Y 7 ; Y 8 SD Y Y 8 da cui formula 9..7 si ha d. Y Y Y Y Y 9 Y e per l indipendenza tra le due variabili si ha 9. a. P P P 9 b. Dalla formula 9.. si ha che: xp x Dalla formula 9.. si ha che: x P x x x 7 Guadagno mensile.8 7 c. Guadagno mensile.8 78 7 SD Guadagno mensile Guadagno mensile da cui formula 9..7 si ha d. Dalla formula 9.. si ha che: xp x 7 x
Dalla formula 9.. si ha che: x 7 P x 7 7 7 7 x 7 7 7 9 Guadagno e dunque mensile 9.8 Guadagno mensile 9. 8 99 SD Guadagno mensile Guadagno mensile 99 da cui formula 9..7 si ha e. Conviene vendere il nuovo prodotto il guadagno mensile atteso è maggiore 9. a. Dalla formula 9.. si ha che: xp x Dalla formula 9.. si ha che: x x P x x b. Y Y 9 da cui formula 9..7 si ha SD Y Y 9. a. Le v.c. e Y non sono indipendenti poiché non vale x y P x P y P. b. xp x Y yp y x c. Dalla formula 9.. si ha che Y Y d. Y x y P x y x y y e sia Y la v.c. reddito medio netto. e 9. a. Sia la v.c. stipendio medio con e Poiché è Y segue che Y 9 Y. b. Dalla formula 9.. essendo SD Y 7 89 Y 9 < 97 P. k discende che k9 9. Possiamo pensare il numero di volte che viene superato lo stock su settimane come una v.c. ~ Binomiale π ; n. P a. Dalla formula 9.7. si ha che 987 b. Dalla formula 9.7. si ha che: P P P 987 987 987 97 9.7 a. Per la macchina A si ha: ~ Binomiale ; n π. Dalla formula 9.7. si ha che: P almeno volta - P mai 997 997 8 ; n b. Si in particolare Binomiale π 997 ~
; n c. ssendo anche Binomiale 999 ~ π si ha per la 9..7 n π n π 997 999 7 8 e per la 9.. 997 997 999 999 8 d. non si distribuisce come una binomiale. Infatti la variabile è la somma di n n variabili casuali bernoulliane non identicamente distribuite poiché π π. e. Utilizzando il software sulla binomiale che si trova sul sito web del libro possiamo ottenere le probabilità corrispondenti ai singoli valori delle due variabili casuali: P 8 P P P P 9 P 8 P P e quindi: P P < [ P P ] [ P P ] [ P [ P P P { ] [ P ] [ P P P ] [ P ] [ P P P ] ] [ P P ] [ P P ] } 79 8 7 f. Dal software sulla binomiale si trova che: P P P P 7 P 8 P P P P 7 P 8 P 8 [ P [ P [ P [ P [ P [ P [ P [ P [ P [ P P P P P 7 P P P P P P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P 7] [ P P P P P 7 P P P P P P 8] ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P ] [ P P P P P 8 P P P P P ] ] ] ] ] ] ] ] 7] 9.8 ~ N ; a a a. P a a P P Z 9 a a a a Φ Φ Φ Φ 9 da cui Φ a 97. a Dalle tavole o dal software per la normale si ha che 9 e dunque a 9. b b b. P b b P P Z 99 b b b b Φ Φ Φ Φ 99 da cui Φ b 99. b Dalle tavole o dal software per la normale si ha che 8 e dunque b 8. a b a b
9.9 μ μ μ P P < PZ < 8 da cui Φ 8 e dunque σ σ σ μ μ μ P PZ 877 da cui Φ 877 e dunque σ σ σ Risolvendo il sistema μ σ μ σ si ottiene μ 7 e σ. 9. Sia la v.c. guadagno a. - Px... b... Poichè < 9. Sia ~ Binomiale ; n π la v.c. numero di teste in tre lanci non conviene giocare perché in media si perde. a. Dalla formula 9.7. si ha che P b. Dalla formula 9.7. si ha che P P c. Dalla formula 9.7. si ha che P 7 d. La v. c. ha nπ e varianza nπ π. Per il teorema del limite centrale si ha ~ N ;. ssendo approssimata ad una v.c. continua sappiamo che P. Tuttavia si può migliorare l approssimazione considerando la probabilità di un intervallo unitario centrato rispetto a ossia P P9. Confrontando il valore non approssimato calcolato con il software della binomiale con n e π si ottiene P 9.. Risulta e. Per il teorema del limite centrale si ha ~ N 7 7 P 7 P P P 8 Z 8 988 Analogamente a quanto visto nel punto precedente possiamo migliorare l approssimazione considerando P 9 7 98. Il valore esatto calcolato con il software della binomiale con n e π è P 7 9. 9. Dato che si risponde a caso ~ Binomiale ;. Per il teorema del limite centrale si ha ~ N 9. ~ N ;9 a. Si ha per la simmetria della v.c. Normale rispetto al valore b. 8 P 8 P P Z P Z < c. 9 P 9 P P Z 8 P Z < 8. x P. d. Dato che si risponde a caso ~ Binomiale;. Per il teorema del limite centrale si ha ~ N; 87. Quindi P > P P P Z 77 e 8 7 8 7 P P P Z 879. 8 7 8 7
7 7 7 Φ 9 Φ 9 Φ 9 Φ 9 Φ 9 7 7 a. P P P 9 Z 9 [ ] 8 b. P > P > P Z > P Z Φ 8 87 9. ~ N 8; 8 8 8 8 P < 8. per la simmetria della v.c. Normale rispetto al valore x 8. a. P P P Z 7 Φ 7 Φ 7 997 b. 8 8 8 8 8 8 Φ Φ Φ Φ Φ 9 c. P P P Z [ ] 8 x 8 8 P da cui Φ x 8 8 e dunque x. Ne 8 8 8 segue che x 9 8. d. < x P Z < 9. Sia la v.c. differenza tra il numero di teste e il numero di croci a. - - Px 7 7 b. F x 87 x < x < x < x < x c. Dalla formula 9.. si ha che: 7 7 Dalla formula 9.. si ha che: 7 SD 7 da cui formula 9..7 si ha 9. Sia la v.c. peso medio dei due uomini estratti. Consideriamo estrazioni senza ripetizioni allora: a. 7 Px / / / / / / Dalla formula 9.. si ha che: 8 8 7 8 8 8 b. Dalla formula 9.. si ha che: 7 8 8 9.7 x a. P < < f x dx xdx x dx x < b. P f x dx dx xdx x dx x 8 x x x
c. x F x x x x < x < x x > 9.8 Sia la v.c. media giornaliera di nati con e a. numero bambini nati in un periodo di tre giorni numero bambini nati in un periodo di tre giorni b. numero maschi nati in un giorno numero bambini nati in un giorno 9.9 a. Poiché le tre variabili sono indipendenti si ha: P Y W P PY PW e la corrispondente distribuzione di probabilità: Y W 8 P Y W /8 /8 /8 /8 b. la corrispondente distribuzione di probabilità è: Y W Y W 8 P Y W Y W /8 /8 /8 /8 c. la corrispondente distribuzione di probabilità è: Y W 8 P Y W /8 / / / /8 9. a. La distribuzione della è la seguente: - - P / / / / La v.c. Y può assumere solo i valori e con probabilità: Y P Y / / b. La funzione di probabilità congiunta è la seguente: c. Dalla distribuzione congiunta si possono calcolare: Y Y 8 8 Cov Y Y Y Cor Y Y totale - / / - / / / / / / totale / / d. No. Infatti se e Y fossero indipendenti ogni probabilità congiunta potrebbe calcolarsi come prodotto tra le corrispondenti probabilità marginali. immediato constatare dalla distribuzione congiunta del punto b. che in questo caso ciò non è vero. Questo esempio mostra che sebbene Y sia una funzione di è possibile che la covarianza e la correlazione siano nulle e questo può accadere anche se le due variabili casuali non sono indipendenti. 9. Ricordiamo che ar e quindi ar ; Cov e poiché le due v.c. sono indipendenti
. Y 9. Partendo dall espressione data nella definizione 9..8: [ ][ ] { } Cov la possiamo riscrivere nel modo seguente: [ ][ ] { } [ ] [ ] { } { } { } { } { } Cov Cov ar Cov 9. a. La v.c. Y essendo la somma dei quadrati di v.c. Normali standardizzate indipendenti si distribuisce come a una v.c. Chi-quadrato con gradi di libertà. b. Y e Y. c. Dalla tavola del Chi-quadrato si trova che 97 87 Y P e quindi la 97 > Y P Y P