CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO. Dsposo, permuo e combo semplc. S do u seme fo A d eleme () A{,,..., } Fsso u k N, co < k <, s chmo dsposo semplc degl eleme d A k k (o d clsse k) u rggruppme ord form co k eleme ds d A. S osserv che due quluque dsposo d A dell sess clsse dfferscoo o per qulche elemeo oppure per l orde cu s susseguoo gl eleme. ) S A{, b, c} ; le dsposo d clsse soo:, b, c; quelle d clsse soo: (, b), (, c), (b, ), (b, c), (c, ), (c, b) ; quelle d clsse soo:(, b, c),(,c,b), (b,, c), (b, c, ), (c,, b), (c, b, ). Teorem: Il umero delle dsposo semplc d clsse k degl eleme d A è: () D.k ( - ) ( - )... ( - k ). S chmo permuo semplc degl eleme d A le dsposo semplc d clsse. Il umero delle permuo semplc d A s dc co P e, per l (), s h: () P D, ( - ).... Do u N, co >, l umero ()!... ( - ) s chm forle (o forle d ). S poe per coveoe: ()!,!. S verfc fclmee che: (6) P! ( - )!! D,k. ( k)! - Clcolo comboro - 66

Se gl eleme d u permuoe soo dspos mer crcolre, modo che o s possble dvdure l prmo e l ulmo elemeo, s prl d permuoe le chus; l loro umero s dc co P (c) e rsul: (7) P (c) ( - )! Esempo: ) I qu mod dvers quro persoe possoo seders oro d u volo? Tle umero è P (c)! 6. If s h: d d b c b c? c;? b;? c ;? d;? d;? b b c d b c d L permuoe (,,... ) s chm permuoe fodmele. D u permuoe d A dvers dll fodmele, s dce che due suo eleme formo u versoe se ess s preseo orde verso rspeo quello cu s preseo ell permuoe fodmele. U permuoe s dce d clsse pr o d clsse dspr se suo eleme preseo rspevmee u umero pr o dspr d verso. L permuoe fodmele s cosder d clsse pr. Esempo: ) Clcolre l umero d verso che prese l permuoe (,,,, ) rspeo ll permuoe fodmele (,,,, ). S h:............... 6 qud l permuoe è d clsse pr. Teorem:U permuoe cmb d clsse se s scmbo d poso due eleme. - Clcolo comboro - 67

Se gl eleme soo cosecuv, l umero delle verso, dopo lo scmbo, dmusce o ume d u uà e qud l permuoe cmb clsse. Se r due eleme cosder ve e soo lr p, occorroo p scmb d poso d eleme cosecuv per oeere lo scmbo desdero e qud l permuoe cmb clsse, essedo p dspr. Teorem: Delle! permuo d A,!/ soo d clsse pr e!/ d clsse dspr. Per l eorem precedee, d og permuoe d clsse pr, scmbdo due eleme, qulss, corrspode u permuoe d clsse dspr e qud, essedo! pr, l umero d permuo d clsse pr è ugule l umero d permuo d clsse dspr. S chmo combo semplc degl eleme d A k k (o d clsse k) u rggruppme o ord form co k eleme ds d A. S osserv che due quluque combo d A dell sess clsse dfferscoo lmeo per u elemeo. Esempo: ) S A {, b, c}; le combo d clsse soo:, b, c; quelle d clsse soo: (, b), (, c), (b, c) ; quell d clsse è: (, b, c). Teorem: Il umero delle combo d clsse k degl eleme d A e: C, k ( )...( k ) k! D u qulss comboe d clsse k d A s oegoo k! dsposo coee medesm eleme dell comboe cosder, per cu s h: C, k. k! D, k ovvero: (8) C, k D, k k! ( )...( k ) k! - Clcolo comboro - 68

S us scrvere: (9) C, k k e s legge: «su k» e s chmo coeffce boml. Dll (8) molplcdo umerore e deomore per (-k)! E eedo presee l (9), s h:! () k k!( k)! dll qule rsul: () k k Affché le () e () so vlde che per k s poe: (). Teorem (FORMULA DI STIFEL): () k k k Le combo C, k possoo coeere o meo u deermo A ; l umero d quelle che lo coegoo è mere l umero d quelle che o lo coegoo è per k k cu vle l (). - Clcolo comboro - 69

. Dsposo, permuo e combo co rpeoe. Do l seme () e fsso u k N*, s chmo dsposo co rpeoe degl eleme d A k k (o d clsse k) u rggruppme ord form prededo k eleme, egul o ds, r gl d A. Esempo: ) S A {, b}; le dsposo co rpeoe d clsse soo:, b; quelle d clsse soo: (, ), (, b), (b, ), (b, b); quelle d clsse soo: (,, ), (,, b), (, b, ), (, b, b), (b,, ), (b,, b), (b, b, ), (b, b, b); ecc. Teorem :Il umero delle dsposo co rpeoe d clsse k degl eleme d A è: () (r) D,k k If, pochè oguo de k eleme d D (r),k può essere uo qulss degl elème d A, s h: D (r),k... k S chmo permuo co rpeoe degl eleme d A u rggruppme ord form co u gl eleme d A pres rspevmee r, r,... r vole (r >, l,,...). S osserv che due quluque permuo co rpeoe dfferscoo r loro solo per l orde cu s susseguoo gl eleme. Esempo: ) S A {, b}, r e r. S ho le segue permuo co rpeoe: (, b, b, b), (b,, b, b), (b, b,, b), (b, b, b, ). - Clcolo comboro - 7

Teorem:Il umero delle permuo co rpeoe degl eleme d A pres rspevmee r, r,... r vole (r >, l,,...) è: () P ( r) ( r, r,..., r) M! r! r!... r! co M r r... r. S osserv che l (), per, dve: ( r) ( r r )! r r r r P ( r, r). r! r! r r S chmo combo co rpeoe degl eleme d A k k (o d clsse k) u rggruppme o ord form co k eleme, cu og elemeo può rpeers so k vole. S osserv che due quluque combo co rpeoe d clsse k dfferscoo o perchè coegoo eleme dvers o per l umero d vole cu u elemeo è rpeuo. Esempo: ) S A {, b, c}; le combo co rpeo d A d clsse soo:, b, c; quelle d clsse soo: (, ), (, b), (, c), (b, b), (b, c), (c, c) ; quelle d clsse soo: (,, ), (,,b), (,, c), (, b, c), (, b, b), (, c, c), (b, b, b), (b, b, c), (c, c, c), (c, c, b) ; ecc. Teorem : Il umero delle combo co rpeoe degl eleme d A k k è: (6) C ( r), k ( )...( k ) k. k! k - Clcolo comboro - 7

. Compleme ed esemp I problem d clcolo comboro possoo essere dvs due grd cegore secod dell ur de rggruppme cosder. I prcolre s può dsguere r rggruppme elemer (dsposo, permuo, combo semplc e co rpeoe), e rggruppme compless, che dervo dll guspposoe d pù rggruppme elemer. ) Problem elemer: clssfcoe de rggruppme. Il problem fodmele elle pplco elemer del clcolo comboro è l clssfcoe, l dvduoe coè del rggruppmeo elemere cosdero. Al rgurdo può rsulre ule l seguee schem: ) deermre l seme A, A, degl ogge cosder; ) deermre l clsse k, coè l umero d ogge che dovro fr pre d og rggruppmeo; ) verfcre se l orde è rleve: se l orde co, s r d dsposo o permuo; se l orde o co, s r d combo; ) se l orde è rleve, verfcre se og rggruppmeo devoo fgurre u gl ogge dell seme d pre: cso posvo s r d permuo, lrme d dsposo; ) verfcre se soo possbl rpeo d ogge: cso posvo s r d dsposo, combo o permuo co rpeoe; vcevers s r d dsposo, combo o permuo semplc. 6) Corollre l prese d eveul vcol o codo esplcmee mpos. I pu ), ) e ) soo r d loro colleg. Per esempo, se k> llor c srà lmeo u rggruppmeo cu fguro u gl ogge d A e se k> s vro cermee de rggruppme co rpeoe. Il puo ), prcolre, verfc se u gl ogge d A devoo essere prese cscu rggruppmeo cosdero. Così, r le dsposo e combo co rpeoe se k> c srà lmeo u rggruppmeo (esmee uo se el cso d comboe è k) cu fgurero u gl eleme d A; o è però vero che cscuo d l rggruppme soo prese u gl eleme d A. - Clcolo comboro - 7

Esempo. U ed vuole ssumere 6 lure provee d quro fcolà uversre, qu mod possbl può effeure l ssuoe? ) l seme A degl ogge cosder è cosuo dlle quro fcolà uversre; ) d og rggruppmeo dovro fr pre 6 eleme; ) l orde o co: s r percò d combo; ) o s r d permuo (ovvo); )le rpeo soo mmesse e scurmee og rggruppmeo c soo rpeo (k6>). I defv s h (r) C,6. Esempo. Al goco del loo, que dverse cque possoo frs uldo l emo gà ssego (,, 8)? ) Gl eleme cosder soo gl 87 umer del loo rme, u vol esr, e 8; ) og rggruppmeo dovrà coeere due eleme, coè due umer che compledo l ero formo l cqu; ) l orde o co e s r percò d combo; ) o s r, ovvmee, d permuo; ) o c soo rpeo. I defv s h C 87,. Esempo. Nel ssem d umeroe decmle, qu dffere umer d quro cfre possoo scrvers soo le codo c <c <c <c, ove co c j s dc l j-esm cfr (d ssr)? ) Gl eleme cosder soo le ove cfre,, 9; lo ero o s cosder perchè o poedo essere l prm cfr (sgfcv) o può essere emmeo u delle cfre successve, che devoo f essere ue mggor dell prm; ) og rggruppmeo è formo d quro eleme; ) rggruppme o dfferscoo r d loro per l orde degl eleme, quo l orde è gà so prefsso: le cfre compoe l umero dovro sempre presers orde crescee; ) o s r d permuo; ) o c soo rpeo. I defv s h C 9,. - Clcolo comboro - 7

Esempo. Qu dffere orr scolsc d ore cscuo possoo progrmmrs prevededo ore d Formoe Dscre, ore d Formoe Alc ed u or d Progrmmoe? ) Gl eleme soo le re mere cosdere: Formoe Dscre, Formoe Alc e Progrmmoe; ) og rggruppmeo deve essere formo d cque eleme corrspode lle ore; ) l orde è rleve; og rggruppmeo dffersce dll lro solo per l orde; )u e re gl eleme devoo essere prese og rggruppmeo: s r percò d permuo; ) og rggruppmeo c soo rpeo, prcolre Formoe Dscre e Formoe Alc soo rpeue due vole cscuo. I defv s r d P (r),,. b) Problem compless: scomposoe de rggruppme rggruppme elemer. I problem pù complc d clcolo comboro s rsolvoo dvdudo dpprm le compoe elemer de rggruppme compless, po cosderdo le relo che ercorroo r ess. Ques scomposoe v codo dvdudo u successoe d opero che permee d oeere rggruppme semplc rches dl problem. Esempo. S h u mo d cre ( color umer d ).Que dffere m d 8 cre cscu coegoo esmee due ss? Le opero per oeere u mo che rspe le dco del problem soo: ) sceglere r quro ss due ss che devoo fr pre dell mo; ) sceglere r le lre 6 cre le se cre che devoo complere l mo. L operoe ) può svolgers C, mod possbl: s r f d rggruppme d quro eleme ( quro ss), d clsse due ( due ss d sceglere), l orde o co e o soo mmesse rpeo (e percò combo semplc). L operoe ) può svolgers C 66 mod possbl: s r f d rggruppme d 6 eleme (le cre dverse dgl ss), d clsse se (l umero d cre per complere l mo), l orde o co e o soo mmesse rpeo (e percò s r d combo semplc). Dl momeo che og copp d soluo mmssbl dell operoe ) e dell operoe ) corrspode u dfferee mo d Oo cre r quelle rchese dl problem, per oeere l umero ole delle m bs molplcre l umero d possbl - Clcolo comboro - 7

svolgme dell operoe ) per l umero d possbl svolgme dell operoe ). I defv, duque, l umero delle m rchese è: C, C 6, 6 Esempo 6. Qu dffere cosgl d mmsroe d 7 membr è possble formre dspoedo d cdd, de qul però solo possoo ssumere l presde? Le opero per oeere u possble cosglo d mmsroe soo: ) decdere de re cdd che possoo predere l presde qu fre precpre quluque olo l cosglo d mmsroe: uo, due o re; ) sblre qul de cdd che possoo ssumere l presde serre el cosglo d mmsroe: ques operoe è ble el cso che l puo ) s decd d serre u e re cdd; ) dvdure qul de cdd che o possoo ssumere l presde serre el cosglo d mmsroe. L operoe ) dà re rsul dvers: ) serre uo de cdd che possoo ssumere l presde; b) serre due; e) serrl u e re. L operoe ) h u umero d possbl svolgme pr el cso ) C,, el cso b) C,, el cso c) C,. L operoe ) h u umero d possbl svolgme pr el cso ) C 7,6, el cso b) C 7,, el cso c) C 7,. Poché ), b) e c) soo lerv r d loro, bsog sommre l umero de cs possbl elle re suo. Complessvmee percò possbl cosgl d mmsroe soo: C, C 7,6 C, C 7, C, C 7,. S osserv che e cs b) e c) s cosder solmee l effev composoe del cosglo d mmsroe, prescdedo d ch e ssum effevmee l presde. Esempo 7. U ed h u orgco d drge ecc e mmsrv. I que dverse mere può cosurs u como d 6 drge, de qul lmeo so ecc? Idchmo co drge ecc e co drge mmsrv. I com possbl sro de segue re p: ) ) ) Nel cso ) s ho drge ecc scel u ros d ve e drge mmsrv scel u ros d dec: pochè l orde o co, cs possbl soo: C, C,. - Clcolo comboro - 7

Alogmee, per cs ) e ) s h rspevmee C, C, e C, 6. Essedo cs ), ) e ) lerv r loro, complessvmee rggruppme possbl soo: C, C 6, C, C 6, C,6 Esempo 8. Qu soo el ssem d umeroe decmle umer d cque cfre che rsulo ugul leggedo d ssr desr o vcevers (es. )? E qu soo quell d se cfre? Se s può ccere lo come prm cfr, bs fssre le prme re cfre, b e c r le possbl, oeedo bcb. Qud (orde rleve e rpeo possbl) D (r),.ache per umer d se cfre vle lo sesso rsulo, essedo cor suffcee fssre le prme re cfre,b,c (d cu s oee bccb). Se lo o s può ccere come cfr le, llor s fssero sempre le prme re cfre, m l prm cfr s porà sceglere r 9 cfre; qud: 9D, 9 S h lo sesso rsulo che per umer d 6 cfre. - Clcolo comboro - 76

. Bomo d Newo Teorem:Per og, b R e N* s h: (*) ( b ) k -k b k. k S osserv che: (b) ( b) ( b)...( b)a A - b A k -k b k A b, dove A k (k,,, ) rpprese l umero delle permuo co rpeoe degl eleme e b pres rspevmee -k e k vole, coè s h:! A k. ( k)! k! k e qud vle l (*). L (*), per b, dve: mere, per l e b-, s h: - (-) k (-). k Esemp. ) ( y) k () k k b k () () 8 y () y 8 y y () y y y ( ) y y y ) ( b ) ( ) k k k ( b ) k 8 6 8 b b 6 b 9 6b - Clcolo comboro - 77

. Prcpo d clusoe ed esclusoe Soo d u seme A formo d N ogge d ur qulss ed propreà α,,,,, rgurd ques ogge. Defmo: ) N(α, α,, α r ) è l umero d ogge d A che godoo delle propreà α, α,, α r. ) N(,,..., r) è l umero d ogge d A che o godoo delle popreà α, α,, α r. ) N(α, α,, α r, j, j,..., j ) è l umero d ogge d A che godoo delle propreà α,, α r m o godoo delle α j,, α j (dove le α soo dverse dlle α j ). Sussse l seguee formul ("Prcpo d clusoe ed esclusoe"): N(,,..., ) N N( ),j N(, j) { C },,j,k N(, j, k) { C }, () - N(α,,α,- ) () N(α,,α, ) Dmosroe S procede per duoe su. Trmo solo l pssggo d. Cs prcolr: N( ) N N(α ) N(, ) N N(α ) N(α ) N(α,α ) Pssggo d Per l poes duv rsul: N(,,, ) N(α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α,α ) N(α,α,α ) N(α,α,α ) N(α,α,α,α ) N(,, ) N N(α ) N(α ) N(α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α,α ) Essedo N(,,, ) N(,, ) N(,,, ) N N(α ) N(α,α j ) N(α,α j,α k ) N(α,α,α,α ) S h l es. - Clcolo comboro - 78

Esempo S S l seme de soc d u club. Cosdermo segue soosem d S: ) A { : S e goco es}; ) B { : S e goco golf}: ) C { : S e prco lr spors}. Deermre l umero de soc che o prco essuo spor el cso cu s cooscoo A, B, C, S, A B, A C, B C e A B C Applcdo l prcpo d clusoe ed esclusoe s h: S S A B C A B A C B C A B C 6. Equo ler dofeee Vegoo chme equo dofee, oore d Dofo, memco greco del III sec. d C. che scrsse u lbro su l equo, quelle equo ler deerme ( due o pù coge) delle qul s cerco le soluo ere, vole co uleror resro. Mol problem, che semplc, dell v comue s rsolvoo mede quese equo. Ad esempo: Problem. Deermre l umero delle soluo ere o egve ( ) dell equoe () m Il problem è equvlee l seguee Problem. I qu mod s possoo dsrbure m plle scole? Il umero delle soluo dell () è do d m m (*) C (r) m m,. - Clcolo comboro - 79

Problem. Deermre l umero delle soluo ere dell () l che ()... m r Z,,..., Poso ell () r, l () dve: r () m r, co ed r Per l (*), l umero delle soluo ere che soddsfo l () è do d C (r), m-r m - r - m - r m - r - - Problem. Deermre l umero d soluo ere dell () l che ()... m > r Z,,..., Essedo r,,,,, poedo,..., (r ),,..., s h: m - ( r ) m r r r e qud l umero d soluo rchese è do d C (r), m-r- m - r - m - r - m - r - - Clcolo comboro - 8

- Clcolo comboro - 8 Problem. Deermre l umero delle soluo ere dell () le che () >,..., u,,..., r m... Poedo ( ),..., u,,..., r L () dve m - ( ) ( ) u r r co r m u r e qud l umero d soluo rchese è do d r m r m r m Problem 6. Deermre l umero delle soluo ere dell () cu lcue coge soo soggee lmo superor. Esempo. Deermre l umero d soluo soddsfcee le segue codo < 7,,,, Iroducmo le segue propreà α { 6} α { < 7} α { } Applcdo l prcpo d clusoe ed esclusoe s h: N(,, ) N N(α ) N(α ) N(α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α ) N(α,α,α ) Rsul N ( ) N 6,, ( ) N 7,,

- Clcolo comboro - 8 ( ) N,, ( ) 7 7, N, 7 6 ( ) 9 9, N, 6 ( ) 8 8, N, 7 ( ),, N 7,, Allor l umero delle soluo rchese è N(,, ) 8 6 7 Esempo. Deermre l umero d soluo ere le che >,, 9,, 9 Poedo,, s h Il umero rcheso è

- Clcolo comboro - 8 Esempo. Trovre l umero d soluo ere l che ( ) > >,,,,, Il umero d soluo rchese è