Insegnaento di Idrologia Esercitazione n. 3 Si vuole progettare una fognatura nella zona sud di Milano e si accetta un'insufficienza della rete ediaente ogni 20 anni. Per l'analisi idrologica sono disponibili i assii annuali dell'altezza di precipitazione osservati nel periodo 1946-70 al pluviografo di Ronchettino. Deterinare la curva segnalatrice di possibilità cliatica della pioggia puntuale con tepo di ritorno di 20 anni - assuendo che il assio annuale dell'altezza di pioggia di una qualsiasi delle durate considerate sia distribuito secondo la legge di Gubel; - assuendo coe espressione analitica della curva due onoie distinte che si incontrano coe di consueto in corrispondenza della durata di un'ora; - adottando per la stia dei paraetri delle due curve il etodo dell'interpolazione grafica e quello dei inii quadrati. Confrontare la parte della curva di possibilità cliatica così deterinata relativa alle durate aggiori con quella fornita per la stessa zona dall'autorità di bacino del Po. Forule per la stia dei paraetri delle rette interpolanti con il etodo dei inii quadrati Le stie dei paraetri n e b della retta che interpola punti ottenute applicando il etodo dei inii quadrati alle ordinate y e senza iporre ulteriori condizioni sono fornite dalle espressioni b = x i - x i x 2 i - 2 x i i x 2 i - x i = 1 i x i = 1. x 2 i - i 2 x i = 1
Quelle ottenute iponendo il passaggio per il punto di coordinate (x 0 y 0 ) sono fornite dalle espressioni x i x 0 y 0 + x i -x 0 i - y 0 = 1 i = 1 x 2 i + x 2 0-2x 0 x i b = y 0 - nx 0. Ronchettino (Milano): assii annuali dell'altezza di precipitazione per diverse durate (dati ricavati direttaente dalle registrazioni effettuate al pluviografo) Durata [h] Anno 025 050 075 1 125 150 2 250 3 4 6 1946 192 276 306 326 326 384 407 407 407 407 407 1947 172 335 397 437 450 451 464 525 583 651 765 1948 192 243 248 257 268 276 286 290 299 336 441 1949 106 144 205 255 257 257 257 257 262 262 267 1950 132 132 132 135 169 190 205 235 241 300 469 1951 236 236 277 358 378 386 386 386 478 580 612 1952 139 231 335 357 406 427 427 427 427 434 484 1953 136 153 164 196 250 274 309 336 344 376 464 1954 115 153 175 187 205 230 236 267 302 362 374 1955 159 214 249 289 294 317 384 392 412 439 467 1956 253 298 325 330 338 373 417 475 510 540 540 1957 135 175 180 180 183 198 215 225 270 345 520 1958 71 109 150 183 219 241 267 286 295 364 428 1959 132 214 295 352 416 433 481 513 533 550 552 1960 246 260 287 314 341 377 384 385 409 424 439 1961 228 366 371 377 384 396 494 524 539 549 582 1962 90 174 192 201 210 218 223 226 227 264 267 1963 166 171 171 198 212 213 271 273 273 273 288 1964 147 212 252 280 296 309 323 329 336 368 485 1965 275 281 283 303 322 322 322 322 322 322 322 1966 180 349 454 495 503 519 538 538 538 538 563 1967 474 554 555 573 648 661 666 666 666 666 666 1968 219 230 240 254 259 259 329 347 362 374 415 1969 190 249 267 272 272 272 293 344 415 438 438 1970 244 253 255 255 255 258 261 261 261 261 261
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
Elaborazioni Le elaborazioni possibili sono due l'una alternativa all'altra. Con la pria elaborazione si stiano i paraetri delle due onoie che rappresentano la curva di possibilità cliatica nei capi delle durate rispettivaente inori e aggiori di 1 h utilizzando il etodo dei inii quadrati che si basa su di un procediento essenzialente analitico e non richiede in linea di principio nessuna operazione grafica. Con la seconda elaborazione invece si tracciano le curve (trasforate in rette con l'uso di una carta logaritica) a sentiento e solo dopo averle tracciate si ricavano i valori dei relativi paraetri. Coune a entrabe le elaborazioni è la stia delle altezze di precipitazione con il tepo di ritorno T assegnato corrispondenti alle diverse durate t. Calcolo delle altezze di precipitazione con tepo di ritorno di 20 anni Per ognuna delle 11 durate considerate si calcolano la edia (h) e lo scarto quadratico edio s(h) (corrispondente alla varianza indistorta) del capione dei assii annuali dell'altezza di precipitazione. Quindi si calcolano i paraetri α e u della legge di Gubel con il etodo dei oenti cioè adoperando le relazioni 1283 α = s(x) u = µ(h) - 0450σ(h) che legano tra loro edia µ(h) e scarto quadratico edio σ(h) [assunti uguali rispettivaente a (h) e a s(h)] e paraetri α e u. I risultati sono riportati nella tabella seguente. Durata t [h] (h) [] s(h)[ ] α [ -1 ] u [] 025 1852 810 01584 1488 050 2405 938 01368 1983 075 2706 990 01296 2261 1 2946 1033 01242 2481 125 3144 1107 01159 2646 150 3296 1120 01146 2792 2 3538 1140 01125 3025 250 3694 1164 01102 3170 3 3884 1205 01065 3342 4 4169 1205 01065 3627 6 4606 1260 01018 4039
La relazione tra tepo di ritorno e probabilità di non superaento è 1 P = 1 - T. Al tepo di ritorno di 20 anni corrisponde quindi (trattandosi di assii annuali per definizione osservati una volta all'anno) la probabilità di non superaento 1 P = 1-20 = 095. Poiché la probabilità di non superaento P è legata alla portata Q dalla relazione P(h) = exp{-exp[-α(h - u)]} l'altezza di precipitazione h è fornita in funzione della probabilità di non superaento P dalla relazione inversa h = u - 1 α ln( -ln P ) = u + 29702. α I risultati del calcolo sono riportati nella tabella seguente. Durata t [h] h [] 025 336 050 415 075 455 1 487 125 521 150 538 2 567 250 587 3 613 4 642 6 696 Pria elaborazione: uso del etodo dei inii quadrati Per individuare le due onoie che rappresentano rispettivaente per le durate inferiori e superiori a 1 h la dipendenza dell'altezza di precipitazione dalla durata t si trasforano le due
grandezze t e h nei loro logariti naturali. Passando ai logariti la relazione onoia tra le grandezze originarie h = at n si trasfora nella relazione lineare tra i logariti lnh = lna + nlnt che con le posizioni x = lnt y = lnh b = lna si riscrive nella fora y = b + nx. La onoia che fornisce la relazione tra t e h diventa così in carta logaritica una retta i cui paraetri si possono stiare agevolente con il etodo dei inii quadrati senza doverla effettivaente tracciare. Per interpolare al eglio tutti i punti si considerano due onoie una relativa alle durate non inferiori a 1 h e l'altra relativa alle durate inferiori a 1 h. Calcolo dei paraetri della onoia relativa alle durate non inferiori a 1 h Per individuare i valori dei paraetri a ed n si cerca la retta che (su carta logaritica) interpola i punti che hanno coe ascisse le durate da 1 h a 6 h (coprese) e coe ordinate i valori calcolati per le stesse durate dell'altezza di precipitazione h. I paraetri della relazione lineare che lega i logariti delle altezze di pioggia a quelli delle durate si stiano applicando il etodo dei inii quadrati. Allo scopo si calcolano innanzi tutto i valori delle soatorie che entrano nelle espressioni che forniscono i paraetri con il etodo dei inii quadrati. Nel caso qui considerato si ottiene Σx = Σlnt = 65147 Σx 2 = Σlnt 2 = 78734 Σy= Σlnh = 324549
Σx y = Σlntlnh = 269217. Sostituendo nelle espressioni (in cui è il nuero dei punti da interpolare) b = x i - x i x 2 i - 2 x i x 2 i - x i x i x 2 i - 2 x i il valore di (uguale a 8) e i valori calcolati delle diverse soatorie si ottiene 8 269217-65147 324549 = 0192 8 78734-65147 2 324549 78734-65147 269217 b = = 39007 8 78734-65147 2 a = expb = 494. Quindi la curva segnalatrice di possibilità cliatica valida per durate non inori di 1 h è rappresentata dall'espressione onoia h = 494t 0192. Calcolo dei paraetri della onoia relativa alle durate non aggiori di 1 h Ancora passando ai logariti la onoia si trasfora in una retta e i paraetri della relazione lineare si stiano applicando il etodo dei inii quadrati. Questa volta però si ipone il passaggio della retta per il punto avente coe ascissa x 0 il logarito della durata di 1 h (uguale a zero) e coe ordinata il logarito (uguale a 39007) dell'altezza di precipitazione fornita per la durata di 1 h dalla onoia già individuata. Allo scopo si calcolano innanzi tutto i valori delle soatorie che entrano nelle espressioni dei paraetri della retta che interpola un assegnato insiee di punti con il etodo dei inii
quadrati conteporaneaente soddisfacendo alla condizione di passare per il punto di coordinate (x 0 y 0 ): Σx = Σlnt = -23671 Σx 2 = Σlnt 2 = 24850 Σy= Σlnh = 110579 Σx y = Σlntlnh = -85529. Sostituendo nell'espressione di n (in cui ancora è il nuero dei punti da interpolare) x i x 0 y 0 + x i -x 0 i - y 0 = 1 i = 1 x 2 i + x 2 0-2x 0 x i il valore di (uguale a 3) e i valori calcolati delle diverse soatorie si ottiene -85529-39007 (-23671) = 0274. 24850 Il paraetro a (uguale all'altezza di precipitazione corrispondente alla durata di 1 h) è necessariaente uguale per entrabe le onoie. Così anche per la onoia valida per durate non aggiori di 1 h è a = 494. Quindi la curva segnalatrice di possibilità cliatica valida per durate non inori di 1 h è rappresentata dall'espressione onoia h = 494t 0274. Curva di possibilità cliatica valida per tutte le durate In conclusione la curva di possibilità cliatica relativa al tepo di ritorno di 20 anni è fornita dall'insiee delle due onoie sopra riportate. Ci si può rendere conto visivaente del grado di adattaento delle due onoie ai punti sperientali riportando su una carta logaritica sia i punti sia le rette interpolanti. (Per iniizzare gli errori di disegno conviene scegliere i punti
che individuano ciascuna retta il più possibile distanti tra loro quindi anche esterni al capo di durate per cui la retta effettivaente rappresenta la curva di possibilità cliatica. Per esepio si possono assuere i due punti in corispondenza delle durate di 01 h e di 100 h.) Seconda elaborazione: tracciaento delle curve a sentiento Il secondo etodo è più seplice e più veloce anche se soggettivo. Dopo avere riportato i punti sperientali su una carta logaritica si tracciano a sentiento le due rette che interpolano eglio i punti. Più precisaente si traccia pria la retta che interpola i punti relativi alle durate non inori di 1 h (il cui tracciaento è generalente più agevole e sicuro) e poi - iponendo il passaggio per il punto della retta già tracciata che corrisponde alla durata di 1 h - quella che interpola i punti relativi alle durate inori di 1 h. La scelta è soggettiva anche se ovviaente finalizzata a ottenere la igliore interpolazione possibile. A questo punto occorre soltanto deterinare i valori dei paraetri delle due rette. Illustriao breveente il procediento per il caso della pria retta. Innanzi tutto si leggono sulla retta in corrispondenza di due durate t 1 e t 2 olto diverse tra loro (anche tanto diverse da risultare esterne al capo di validità della porzione di curva di possibilità cliatica che la retta rappresenta: per esepio la durata di 01 h e quella di 100 h) i corrispondenti valori h 1 e h 2 dell'altezza di pioggia. Ora dalle due relazioni h 1 = at 1 n h 2 = at 2 n si ricava iediataente dividendo ebro a ebro h 1 t n = 1 h 2 t 2 t 1 t n 2 e quindi lnh 1 - lnh 2 lnt 1 - lnt. 2 Il valore di a si ricava poi per esepio dalla relazione h 1 = at 1 n. Nel caso della seconda retta basta ricavare - in odo del tutto analogo - il valore del paraetro n. Il valore del paraetro a è necessariaente uguale a quello già trovato per la pria retta dal oento che il punto che corrisponde alla durata di 1 h è coune a entrabe le rette.
Curva segnalatrice di probabilità pluvioetrica riportata nel PAI L'Autorità di bacino del Po fornisce nel proprio sito internet (http://www.adbpo.it) i paraetri delle curve segnalatrici di probabilità pluvioetrica da utilizzarsi "per le esigenze connesse a studi e progettazioni che per diensioni e iportanza non possano svolgere direttaente valutazioni idrologiche più approfondite a scala locale". Le curve si riferiscono alla pioggia puntuale sono costituite da una sola onoia e si assuono valide all'interno di una cella quadrata di 2 k di lato. Il docuento è l'allegato 3 al piano stralcio per l'assetto Idrogeologico (PAI) intitolato Paraetri delle linee segnalatrici di probabilità pluvioetrica. Il percorso da seguire per avere accesso al docuento è il seguente: - Hoe - Pianificazione - Direttive tecniche e regolaenti - Direttive tecniche per l'assetto idrogeologico - Direttive sulla piena di progetto da assuere per le progettazioni e le verifiche di copatibilità idraulica - Allegato 3: Distribuzione spaziale delle precipitazioni intense. Per ogni cella sono forniti i paraetri di quattro onoie corrispondenti ai tepi di ritorno di 20 100 200 e 500 anni. La onoia relativa alla cella (DC86) che contiene la stazione di Ronchettino è costituita dall'espressione h = 5209t 0235. L'espressione benché sia naturalente diversa è sostanzialente in accordo con quelle ottenute con l'una o con l'altra delle due elaborazioni descritte in precedenza.