9 Travature elastiche

9 Travature elastiche 9 Travature elastiche La teoria delle travi fin qui introdotta ha consentito di determinare la soluzione statica per strutture staticamente determinate; tuttavia le sole equazioni di equilibrio non sono sufficienti a risolvere in maniera soddisfacente tutti i problemi. Caso emblematico è quello delle travature iperstatiche per le quali le sole equazioni di equilibrio non consentono di determinare univocamente le reazioni vincolari. Ad esempio per la trave in figura 9.1 si ha H B = F H A, dove ad H A è possibile assegnare un generico valore. Fig. 9.1 Al fine di superare questa difficoltà, è necessario arricchire il nostro modello considerando per le travi anche gli aspetti deformativi. A tal fine consideriamo il modello di travature linearmente elastiche. In questa trattazione restringiamo l attenzione al caso di travature piane ad asse rettilineo. A partire dalle grandezze di spostamento, verranno introdotte delle opportune grandezze di deformazione che andranno legate alle caratteristiche delle sollecitazioni mediante le equazioni costitutive. Tale modello consetirà inoltre di determinare, sia per le strutture staticamente determinate, sia per quelle indeterminate, la soluzione cinematica, descrivendo i campi di spostamento delle travi stesse. La scelta delle misure unidimensionali di deformazione e delle equazioni costitutive può operarsi in due modi differenti: in modo diretto, cioè senza far riferimento ad una teoria più generale (ad esempio la teoria dell elasticità per corpi tridimensionali), facendosi guidare da appropriate considerazioni sperimentali; deducendo da una teoria più generale, attraverso un procedimenti opportuni (ad esempio approcci asintotici, introduzione di vincoli cinematici interni) le equazioni fondamentali monodimensionali. Corso di Scienza delle Costruzioni 152 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali In questa trattazione si seguirà il primo approccio. Si consideri una trave piana ad asse rettilineo (figura 9.2), con sezione trasversale A (s) variabile, tale che l asse y sia asse di simmetria ortogonale per A (s). Nel passaggio al modello monodimensionale (figura 9.2), si considera agente sulla trave un sistema di carichi esterni p(s), q(s), c(s) e si denotano con u(s) =w(s)e 3 + v(s)e 2, ϕ(s), rispettivamente il campo degli spostamenti dei punti dell asse della trave e la rotazione della corrispondente sezione. Nell ambito di una cinematica infinitesima, si suppone w, v, ϕ 1. Lo stato di sollecitazione presente sulla generica sezione trasversale A (s) è pertanto rappresentato dalle caratteristiche della sollecitazione N(s), T (s), M(s) (figura 9.3), legate ai carichi p(s), q(s), c(s), dalle equazioni indefinite di equilibrio: dn(s) + p(s) = 0 dt (s) + q(s) = 0 (9.1) dm(s) T (s)+c(s) =0. Si riassumono in figura 9.3 le convenzioni di positività per i carichi e le caratteristiche della sollecitazione. Questo, in particolare, consente che nella scrittura di tutte le equazioni potremo confondere la configurazione deformata con quella indeformata. Fig. 9.3 9.1 Deformazioni estensionali Si consideri una trave omogenea a sezione costante soggetta al solo sforzo normale (figura 9.4). Il nostro approccio muove dall osservazione sperimentale di quanto accade. Si osserva che, a deformazione avvenuta: la linea d asse resta rettilinea con la sola componente di spostamento w(s); le sezioni trasversali restano ortogonali alla linea d asse; Fig. 9.2 la lunghezza del provino diviene L + L, dove, nel caso di comportamenti linearmente elastico, per L si ottiene (per piccoli valori di N) la Corso di Scienza delle Costruzioni 153 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 154 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali 9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali Fig. 9.5 seguente espressione: Fig. 9.4 dove al primo membro compare la quantit ε di tipo deformativo, che misura la variazione percentuale della lunghezza dell asse della trave, e risulta indipendente dalla lunghezza del provino. Poiché nel caso più generale N, A ed E possono variare, di seguito si deduce un modello per le deformazioni estensionali delle travi assumendo che la relazione trovata valga localmente. Si consideri il tronco elementare di una trave ad asse rettilineo (figura 9.6). L = L N EA, (9.2) dove A l area della sezione trasversale della trave, E il modulo di elasticità longitudinale o modulo di Young del materiale costituente la trave. Si ha: [E] = [FL 2 ] E =2.1 10 5 MPa (acciaio) E =2 4 10 4 MPa (calcestruzzo). Si osservi la linearit tra L e N (figura 9.5). L equazione (9.2) pu porsi nella forma: ε = L L = N EA, (9.3) Risulta: l l dw(s) = ε(s), Fig. 9.6 essendo ε(s) la deformazione della linea d asse in s, pertanto dw(s)/ viene a rappresentare la dilatazione della linea d asse. In altri termini in questa analisi locale sostituiamo il rapporto incrementale L/L con la derivata dw/. La (9.3) suggerisce per ε(s), coefficiente di dilatazione lineare per la linea d asse, Corso di Scienza delle Costruzioni 155 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 156 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali 9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali l equazione costitutiva ε(s) = N(s) (EA)(s), dove N(s) è lo sforzo normale in s, EA è detta rigidezza estensionale della trave. Riassumendo, le equazioni fondamentali per il caso in esame sono ε = dw ε = N EA dn Dalle (9.4) 1 e (9.4) 2 si ha (equazione di congruenza) (equazione costitutiva) = p (equazione di equilibrio). (9.4) dw = N EA ; (9.5) infine, facendo uso della (9.4) 3, si ottiene, in termini di w, l equazione della linea elastica che regge il problema dell equilibrio elastico per deformazioni estensionali: d ( EA dw ) = p. (9.6) La (9.6) un equazione differenziale ordinaria lineare di secondo ordine nella funzione incognita w. Per le deformazioni estensionali di travi ad asse rettilineo, la (9.6) permette la determinazione in modo univoco dello stato deformativo e statico quando ad essa si associano opportune condizioni al contorno di tipo statico e cinematico. Per travi a sezione costante, la (9.6) assume la forma semplificata w II (s) = p EA, (9.7) ove w II =d 2 w/ 2. Le deformazioni estensionali possono essere prodotte anche dalle variazioni di temperatura. Infatti, se pensiamo di sottoporre un provino omogeneo ad una variazione uniforme di temperatura t si ha L = α tl, dove α prende il nome di coefficiente di dilatazione termica. Per l acciaio e il calcestruzzo si ha α = 10 5 C 1. Pertanto risulta L L = α t ; per le travi poniamo quindi ε(s) =α t(s). Questa equazione, insieme alla (9.4) 2, utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, fornisce l equazione costitutiva ε(s) = N(s) + α t(s). (9.8) EA(s) Di conseguenza, in presenza di variazioni termiche la (9.6) diviene: [ ( )] d dw EA α t = p ; (9.9) quest ultima equazione, per travi a sezione costante soggette ad una variazione termica costante lungo la trave stessa, può essere nuovamente scritta nella forma (9.7). Applicazione. Si determini per la struttura in figura 9.7 l equazione della linea elastica estensionale, il diagramma dello sforzo normale e le reazioni vincolari, supponendo che la sezione trasversale ed il carico distribuito p siano costanti. L equazione differenziale che regge il problema data dalla (9.7). Integrando questa equazione due volte, si ottiene: w II (s) = p EA w I (s) = p EA s + c 1 s (0,L). (9.10) w(s) = p s 2 EA 2 + c 1s + c 2 Corso di Scienza delle Costruzioni 157 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 158 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali 9 Travature elastiche 9.1 Deformazioni estensionali nella seguente maniera (figura 9.9): H A = N(A) = N(0) = pl 2 Fig. 9.7 In queste equazioni le 2 costanti di integrazione c 1 e c 2 sono incognite e possono essere determinate imponendo le equazioni statiche e/o cinematiche associate ai vincoli. In particolare i due vincoli in A e B impongono che lo spostamento orizzontale w sia nullo nelle corrispondenti sezioni; dunque utilizzando le (9.10) si ha Si ha w(a) = w(0) = 0 w(b) = w(l) =0 c 2 =0 p EA L 2 2 + c 1L + c 2 =0 w(s) = p 2EA s2 + pl 2EA s = p s(l s) 2EA N(s) =EAε(s) =EAw I (s) = ps + pl ( ) L 2 = p 2 s c 1 = c 2 =0, pl 2EA ed i corrispondenti diagrammi sono rappresentati in figura 9.8. Si osservi che, Fig. 9.8 a meno di EA > 0, N = w. Le reazioni vincolari possono essere determinate H B = N(B) = N(L) = pl 2. La variazione di lunghezza dell intera trave risulta L = L 0 ε(s) = L 0 N(s) EA = p EA L 0 ( s + L ) = 0 ; 2 infatti i due vincoli in A e B impediscono alla trave di subire variazioni della sua lunghezza totale. Fig. 9.9 Se la trave soggetta ad una variazione termica uniforme t(figura 9.10), le equazioni (9.10) diventano: w II (s) =0 w I (s) =c 1 w(s) =c 1 s + c 2 s (0,L). (9.11) Ripetendo lo stesso ragionamento fatto precedentemente, si ha: w(a) = w(0) = 0 c 2 =0 c 1 =0 w(b) = w(l) =0 c 1 L + c 2 =0 c 2 =0, da cui: w(s) = 0 N(s) =EAε(s) =EAw I (s) = EAα t H A = N(A) = N(0) = EAα t H B = N(B) = N(L) = EAα t. Corso di Scienza delle Costruzioni 159 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 160 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.2 Deformazioni flessionali 9 Travature elastiche 9.2 Deformazioni flessionali Fig. 9.10 Fig. 9.11 Fig. 9.13 9.2 Deformazioni flessionali Fig. 9.12 Analogamente al caso precedente, il nostro punto di partenza è rappresentato dalla osservazione di quanto risulta dal seguente esperimento (figura 9.13). Si noti che l asse y è asse di simmetria ortogonale per la sezione trasversale A. Si osservano i seguenti fatti la linea d asse si dispone lungo un arco di circonferenza; le sezioni trasversali, a deformazione avvenuta, restano ortogonali alla linea d asse; lungo archi di circonferenza si dispongono anche tutte le fibre parallele all asse z; in particolare si ha che le fibre baricentriche (CD e, in par- ticolare, la linea d asse) non subiscono variazione di lunghezza; le fibre con y<0 (come la fibra EF) si accorciano (fibre compresse), le fibre con y>0 (come AB) si allungano (fibre compresse); indicato con ϕ l angolo al centro per ciascun arco di circonferenza (ad esempio C D ), ovvero l angolo formato dalle due sezioni trasversali, si ha: ϕ = L M EJ ; (9.12) nella (9.12) E è il modulo di elasticità longitudinale, J è il momento di inerzia assiale di A rispetto all asse x J = y 2 da ; A Corso di Scienza delle Costruzioni 161 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 162 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.2 Deformazioni flessionali 9 Travature elastiche 9.3 Deformazioni di scorrimento introducendo il raggio di curvatura r e la curvatura κ, si ha: κ = 1 r = ϕ L = M EJ ; (9.13) per la generica fibra longitudinale PQ i cui punti hanno in comune l ordinata y (figura 9.13) si ha: ε PQ = L P Q L L = κy. (9.14) Analogamente al caso delle deformazioni estensionali, le equazioni (9.13) suggeriscono per le travature elastiche il seguente modello (figura 9.14). ovvero, essendo dt/ = q, d 2 M 2 dc = q. (9.17) 9.3 Deformazioni di scorrimento Come è noto, la caratteristica taglio è legata al momento flettente da relazioni di equilibrio. Fatta eccezione per alcuni casi, in una travatura viè contemporanea presenza di taglio e momento flettente. Per queste ragioni non è possibile realizzare un esperimento in cui si abbia solo sforzo di taglio costante. Con riferimento al concio elementare, assumiamo pertanto il seguente comportamento (figura 9.15): le due sezioni, a distanza, scorrono l una parallela all altra di una quantità dv; la grandezza che prendiamo in esame è detta scorrimento δ. Essa rappresenta la differenza tra l angolo formato da questi elementi prima della deformazione (π/2) e quello finale. Pertanto δ > 0 se tale angolo diminuisce (caso in figura). L equazione costitutiva associata è: Fig. 9.14 Applicando tali equazioni al concio elementare di lunghezza, assumiamo quale grandezza deformativa la curvatura κ; l equazione di congruenza risulta pertanto: ϕ L dϕ(s) = κ(s), (9.15) essendo dϕ la variazione di angolo fra le due sezioni di estremità del concio elementare. L equazione costitutiva corrispondente è κ(s) = M(s) (EJ)(s), (9.16) dove EJ è detta rigidezza flessionale. L equazione di equilibrio da associare alla (9.16) è dm = T c, δ(s) = Fig. 9.15 T (s) χ(s), (9.18) (GA)(s) dove G è il modulo di elasticità tangenziale del materiale, e χ è un coefficiente adimensionale detto fattore di taglio, che dipende solo dalla forma della sezione trasversale. Si ha χ =6/5 per una sezione rettangolare, χ = 32/27 per una sezione circolare. Il termine GA/χ è detto rigidezza allo scorrimento. L equazione di congruenza assume la seguente forma (figura 9.16): ϕ(s) =δ(s) dv(s). Corso di Scienza delle Costruzioni 163 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 164 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.4 Travi inflesse 9 Travature elastiche 9.5 Variazioni termiche Fig. 9.16 Riassumendo, le equazioni di congruenza, costitutiva e di equilibrio per le deformazioni di scorrimento risultano: δ = ϕ + dv (equazione di congruenza) δ = dt T GA χ 9.4 Travi inflesse (equazione costitutiva) = q (equazione di equilibrio). (9.19) Le equazioni (9.19), con le corrispondenti equazioni associate alle deformazioni flessionali (9.16)-(9.17), possono essere opportunamente scritte in un altra forma. È infatti conveniente dividere lo spostamento verticale della linea d asse v in due parti corrispondenti all effetto dello sforzo di taglio e del momento flettente: Ponendo v = v T + v M. δ = dv T, (9.20) la (9.19) 1 porge: ϕ = δ dv = dv T dv = dv M. Infine, dalla (9.13) si ottiene κ = dϕ = v M d2 2, (9.21) Si osservi che la curvatura κ e la rotazione ϕ dipendono dalla sola parte v M di v. Dalle (9.16), (9.17), (9.18), (9.20), (9.21) si ottengono, in termini di v, le equazioni che reggono il problema dell equilibrio elastico per deformazioni flessionali e di scorrimento: d 2 ( EJ d2 v M ) d ( GA dv T χ ) = q dc (9.22) = q. (9.23) Nel caso particolare in cui la trave ha sezione costante e le coppie distribuite sono anche esse costanti, le equazioni precedenti assumono la seguente forma semplificata: v IV M = q EJ (9.24) v II T = q GA χ, (9.25) ove v IV M =d4 v M / 4, v II T =d2 v T / 2. 9.5 Variazioni termiche Coerentemente con l ipotesi di conservazione della planarità per le sezioni trasversali, appare opportuno considerare, nell ambito del modello di trave elastica, variazioni termiche di tipo lineare (figura 9.17): t(y) =t 0 + t 1 y, ove, t 0 è la variazione termica della fibra baricentrica, t 1 è la pendenza del diagrammadelle variazioni termiche. Risulta t 0 = b t i + a t e t 1 = t i t e H, (9.26) Corso di Scienza delle Costruzioni 165 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 166 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.5 Variazioni termiche 9 Travature elastiche 9.5 Variazioni termiche essendo H l altezza della sezione trasversale. Pertanto la variazione termi- (2) è una deformazione simile quella dovuta al momento flettente (curvatura della linea d asse) con curvatura κ = αt 1. In generale l equazione costitutiva relativa al momento flettente assume quindi l aspetto: κ = M EJ + αt 1. (9.28) Fig. 9.17 ca può convenientemente decomporsi, secondo il principio di sovrapposizione degli effetti, nelle seguenti due aliquote (figura 9.18): 1. una parte di valore costante t 0 che produce una deformazione estensionale di entità ε = αt 0 ; 2. una parte variabile (a farfalla ) con punto di nullo in corrispondenza della fibra baricentrica, che non provoca variazioni di lunghezza della linea d asse. Fig. 9.19 Fig. 9.18 Considerando la generica fibra longitudinale PQ di una trave di lunghezza L soggetta ad una variazione termica di tipo 2 (figura 9.19), si osserva una variazione di lunghezza L PQ = αt 1 yl, per cui la deformazione di tale fibra ε PQ = L PQ L = αt 1 y (9.27) risulta analoga alla (9.14) prodotta da coppie flettenti. Dal confronto della (9.27) con la (9.14), si ha che l effetto di una variazione termica a farfalla Corso di Scienza delle Costruzioni 167 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 168 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.5 Variazioni termiche 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni Si riassumono nel seguito le equazioni fondamentali associate alle linee elastiche studiate. variabili equazioni di equazioni equazioni di deformative congruenza costitutive equilibrio N ε ε = dw ε = N EA + αt 0 dn = p 9.6 Applicazioni Applicazione 1. Si consideri la struttura in figura 9.20, ove si suppone che la sezione trasversale sia costante. Si osservi che essa è isostatica, per cui è possibile determinare con le sole equazioni di equilibrio le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione. In particolare risulta: { T (s) =F s (0,L). M(s) = F (L s) T δ δ = dv T δ = T GA χ dt = q M κ κ = d2 v M 2 κ = M EJ + αt 1 dm = T c Fig. 9.20 Le equazioni costitutive e di congruenza associate a queste sollecitazioni forniscono: vt I (s) = T GA χ = F GA χ vm II (s) = M EJ = F v(s) =v T (s)+v M (s), s (0,L). EJ (L s) Integrando la prima equazione si ottiene v T (s) = F GA χs + c 1, mentre dalla seconda si ha: vm I (s) = F ) (Ls s2 + c 2 EJ 2 v M (s) = F ) (L s2 EJ 2 s3 + c 2 s + c 3, 6 Corso di Scienza delle Costruzioni 169 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 170 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni da cui: v(s) =v T (s)+v M (s) = F GA χs + c 1 + F EJ = F GA χs + F EJ (L s2 (L s2 2 s3 6 2 s3 6 ) + c 2 s + c 3 = ) + c 2 s + c 1. Per determinare le due costanti di integrazione c 1 = c 1 + c 3 e c 2, basta imporre le condizioni cinematiche dettate dal vincolo in A: v(a) = v(0) = 0 c 1 =0 ϕ(a) = vm I (0) = 0 c 2 =0, per cui si ha: v(s) =v T (s)+v M (s) = F GA χs + F EJ ( L 2 s ) s 2. 6 L andamento dei due termini v T (s) ev M (s) è schematicamente riportato in figura 9.21. Confrontiamo i due contributi dovuti al taglio ed al momento flettente nella sezione B di estremità: v T (L) v M (L) = FL GA χ FL 3 = 3EJ GAL 2 χ. 3EJ Ricordiamo la definizione di raggio di inerzia della sezione A rispetto all asse x J ρ = A. Il raggio di inerzia ha una lunghezza dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni della sezione trasversale (ad esempio per una sezione rettangolare A = BH, J = BH 3 /12, ρ = H/ 12). Risulta dunque: v T (L) v M (L) = 3E ( ρ ) 2 G χ. L Fig. 9.21 Il rapporto ρ/l definisce la snellezza della trave. Se si suppone ad esempio che il materiale di cui è costituita la trave sia acciaio e che la sezione sia rettangolare, risulta: E G =2.6, χ = 6 5, per cui si ha v T (L) ( ρ ) 2 v M (L) =9.36. L Dunque se la trave è sufficientemente snella v T è molto più piccolo di v M. Ad esempio già per h/l=1/10, da cui ρ/l =0.029, v T è dell ordine di 1/100 di v M. Dunque in tali condizioni si può assumere v v M e trascurare le deformazioni dovute al taglio. Per travi tozze o quando il rapporto E/G è molto elevato (per esempio alcuni materiali fibro-rinforzati) le deformazioni dovute al taglio non possono essere trascurate. Applicazione 2. Si determini per la struttura in figura 9.22 l equazione della linea elastica flessionale, supponendo che la sezione trasversale ed il carico Corso di Scienza delle Costruzioni 171 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 172 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni distribuito q siano costanti, e che la trave sia snella. Per le ipotesi fatte si trascurano le deformazioni di scorrimento. Fig. 9.22 L equazione differenziale che regge il problema, e l integrale generale, sono v IV (s) = q EJ v III (s) = q EJ s + c 1 v II (s) = v I (s) = q s 2 EJ 2 + c 1s + c 2 q s 3 EJ 6 + c s 2 1 2 + c 2s + c 3 v(s) = q EJ 24 + c 1 6 + c 2 2 + c 3s + c 4 In queste equazioni le 4 costanti di integrazione possono essere determinate imponendo le equazioni cinematiche associate ai vincoli. In particolare i due vincoli in A e B impongono che lo spostamento verticale v a la rotazione ϕ siano nulli nelle corrispondenti sezioni, dunque si ha v(a) = v(0) = 0 c 4 =0 c 3 =0 ϕ(a) = ϕ(0) = 0 q L 4 v(b) = v(l) = 0 EJ 24 + c L 3 1 6 + c L 2 2 2 + c 3L + c 4 =0 q L 3 ϕ(b) = ϕ(l) =0 EJ 6 + c L 2 1 2 + c 2L + c 3 =0 s 4 s 3 s 2 s (0,L). (9.29) Dunque risulta: v(s) = q ( s 4 EJ 24 L ) 12 s3 L2 144 s2 ( s M(s) =EJκ(s) = EJv II 2 (s) = q 2 L ) 2 s + L2 12 ( ) L T (s) =M I (s) = EJv III (s) =q 2 s, ed i corrispondenti diagrammi sono rappresentati in figura 9.23. Fig. 9.23 Si osservi che, sulla base dell equazione di congruenza con t 1 = 0, nei tratti in cui il momento flettente è negativo (fibre superiori tese) la concavità dell asse della trave deformato e rivolta verso il basso, viceversa dove il momento flettente è positivo. Nei punti di nullo del momento vi sono dei flessi nell asse della trave. c 1 = ql 2EJ, c 2 = ql2 12EJ, c 3 =0, c 4 =0. Corso di Scienza delle Costruzioni 173 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 174 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni Le reazioni vincolari possono essere determinate come segue (figura 9.24): V A = T (A) = T (0) = ql 2 V B = T (B) = T (L) = ql 2 M A = M(A) = M(0) = ql2 12 M B = M(B) = M(L) = ql2 12. Fig. 9.25 L equazione differenziale che regge il problema flessionale, e l integrale generale, sono: v IV (s) = 0 v III (s) =c 1 Fig. 9.24 Applicazione 3. Si consideri la trave in figura 9.25, soggetta ad una variazione termica variabile linearmente rispetto alla coordinata y e costante rispetto all asse della trave. Risulta t 1 = t i t e H = 2 t H. v II (s) =c 1 s + c 2 v I (s) =c 1 s 2 v(s) =c 1 s 3 2 + c 2s + c 3 6 + c 2 s 2 2 + c 3s + c 4 s (0,L). In queste equazioni le 4 costanti di integrazione possono essere determinate imponendo le equazioni cinematiche e statiche associate ai vincoli. In particolare il vincolo in A impone che lo spostamento verticale v a la rotazione ϕ siano nulli, mentre nella sezione in B si annullano lo spostamento verticale ed il momento flettente; dunque si ha: v(a) = v(0) = 0 c 4 =0 ϕ(a) = ϕ(0) = 0 v(b) = v(l) =0 M(B) = EJ(v II (L)+αt 1 ) = 0 c 3 =0 L 3 c 1 6 + c L 2 2 2 + c 3L + c 4 =0 EJ(c 1 L + c 2 + αt 1 ) = 0 = 0 c 1 = 3 αt 1 2 L, c 2 = 1 2 αt 1, c 3 =0, c 4 =0. Corso di Scienza delle Costruzioni 175 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 176 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni Dunque risulta: v(s) = αt 1 4L s2 (L s) M(s) = EJ(v II (s)+αt 1 )= 3 2 T (s) = EJv III (s) = 3 EJαt 1, 2 L EJαt 1 (L s) L ed i corrispondenti diagrammi sono rappresentati in figura 9.26. Le reazioni vincolari possono essere determinate come segue (figura 9.27): V A = T (A) = T (0) = 3 EJαt 1 2 L V B = T (B) = T (L) = 3 EJαt 1 2 L M A = M(A) = M(0) = 3 2 EJαt 1. Fig. 9.26 La curvatura dell asse della trave in questo caso è pari a: κ = M EJ + αt 1 = 3 αt 1 2 2L (L s)+αt 1 = αt 1 (3s L), 2 dunque si ha κ < 0 (concavità verso il basso) per s (0, L/3), viceversa κ > 0 (concavità verso l alto) per s (L/3,L). Si osservi che le sollecitazioni sono tanto maggiori quanto più la trave è rigida (cioè per valori elevati della rigidezza flessionale EJ). Fig. 9.27 Applicazione 4. Si consideri la trave in figura 9.28 e si ipotizzi che la sezione trasversale sia costante e che si possano trascurare le deformazioni di scorrimento. Essa è soggetta a carichi che provocano deformazioni sia di tipo flessionale che estensionale. Separando i rispettivi contributi si ottengono gli schemi riportati nella stessa figura 9.28. Risolviamo la linea elastica estensionale. Poiché nella sezione in B vi sono discontinuità del carico distribuito e della variazione termica (che si intende agente sul solo secondo tratto BC), è necessario scrivere due equazioni differenziali, una valida per il tratto ABe l altra relativa al tratto BC. Fissate le Corso di Scienza delle Costruzioni 177 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 178 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni salto dello sforzo normale. Si ha quindi: w 1 (A) = w 1 (0) = 0 w 2 (C) = w 2 (L) =0 [[w]] B = w 2 (0) w 1 (L) = 0 [[w]] B = N 2 (0) N 1 (L) = 0 c 2 =0 c 3 L + c 4 =0 ( q L 2 ) c 4 EA 2 + c 1L + c 2 =0 ( q ) EA(c 3 αt 0 ) EA EA L + c 1 =0 c 1 = 3 ql 4 EA αt 0 2, c 2 =0, c 3 = 1 ql 4 EA +αt 0 2, c 4 = 1 ql 2 4 EA αt 0L, 2 ove t 0 =2 t/3. Risulta dunque: ascisse curvilinee sui due tratti, si ha: AB s 1 (0,L) w II 1 (s 1)= p EA = w I 1(s 1 )= w 1 (s 1 )= q EA Fig. 9.28 BC s 2 (0,L) w II 2 (s 2)= p EA =0 q EA s 1 + c 1 w I 2(s 2 )=c 3 q s 2 1 EA 2 + c 1s 1 + c 2 w 2 (s 2 )=c 3 s 2 + c 4. Per determinare le quattro costanti di integrazione è necessario imporre le condizioni al contorno dettate dai vincoli esterni e le condizioni di raccordo in corrispondenza della sezione in B. In particolare osserviamo come lo spostamento w nelle due sezioni di estremità sia nullo per effetto del doppio pendolo e dell appoggio, mentre in B è nullo il salto di w non essendovi sconnessioni, inoltre in B, non essendovi forze concentrate dirette lungo l asse, è nullo il N 1 (s 1 )=EAw I 1 (s 1)=qs 1 3 4 ql EAαt 0 2 N 2 (s 2 )=EA(w2(s I 2 ) αt 0 )= ql 4 EAαt 0 2 w 1 (s 1 )= q ( s 2 1 2EA 3 ) 4 s 1 αt 0 2 s 1 w 2 (s 2 )= ql 4EA (s 2 L)+ αt 0 2 (s 2 L) In figura 9.29 si riportano i diagrammi di sforzo normale e spostamento orizzontale. Studiamo ora le deformazioni flessionali. Nella sezione in B vi sono discontinuità del carico distribuito, della variazione termica, di taglio e momento (per effetto delle eventuali reazioni esplicate dal doppio pendolo), dunque è Corso di Scienza delle Costruzioni 179 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 180 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni taglio e la rotazione; in C il momento flettente è pari alla coppia applicata e lo spostamento verticale è pari al cedimento vincolare δ; infine in B si annullano spostamento e rotazione: T 1 (A) = T 1 (0) = 0 c 1 =0 ϕ 1 (C) = v I 1 (0) = 0 c 3 =0 Fig. 9.29 necessario anche in questo caso scrivere due equazioni differenziali: AB s (0,L) v1 IV (s 1)= q EJ v1 III (s 1 )= q EJ s 1 + c 1 BC s (0,L) v IV 2 (s 2)=0 v III 2 (s 2 )=c 5 v1 II (s 1 )= q s 2 1 EJ 2 + c 1s 1 + c 2 v2 II (s 2 )=c 5 s 2 + c 6 v I 1(s 1 )= v 1 (s 1 )= q s 3 1 EJ 6 + c s 2 1 1 2 + c 2s 1 + c 3 v2(s I s 2 2 2 )=c 5 2 + c 6s 2 + c 7 q s 4 1 EJ 24 + c s 3 1 1 6 + c s 2 1 2 2 + c s 3 2 3s 1 + c 4 v 2 (s 2 )=c 5 6 + c s 2 2 6 2 + c 7s 2 + c 8. Per determinare le otto costanti di integrazione imponiamo le condizioni al contorno e le condizioni di raccordo. In particolare in A si annullano il v 2 (C) = v 2 (L) =δ M 2 (C) = M 2 (L) =C v 1 (B) = v 1 (L) = 0 v 2 (B) = v 2 (0) = 0 ϕ 1 (B) = v1 I (L) = 0 ϕ 2 (B) = v2 I (0) = 0 L 3 c 5 6 + c L 2 6 2 + c 7L + c 8 = δ EJ(c 5 L + c 6 + αt 1 )=C ql 4 24EJ + c L 3 1 6 + c 2 L 2 2 + c 3L + c 4 =0 ql 3 6EJ + c L 2 1 2 + c 2L + c 3 =0 c 8 =0 c 7 =0 c 1 =0, c 2 = ql2 6EJ, c 3 =0, c 4 = ql4 24EJ, c 7 =0, c 8 =0, c 5 = 3C 2EJL 3δ L 3 3αt 1 2L, c 6 = C 2EJ + 3δ L 2 + αt 1 2. ove t 1 = t/h. Risulta dunque T 1 (s 1 ) = EJv III 1 (s 1)= qs 1 T 2 (s 2 ) = EJv2 III (s 2 )= 3C 2L + 3EJδ L 3 + 3EJαt 1 2L ( L 2 ) M 1 (s 1 ) = EJv1 II (s 1 )=q M 2 (s 2 ) = EJ 6 s2 1 2 ( v II 2 (s 2)+αt 1 ) = = C 2L (L 3s 2) 3EJδ L 3 (L s 2 ) 3EJαt 1 2L (L s 2) Corso di Scienza delle Costruzioni 181 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 182 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni q v 1 (s 1 ) = 24EJ (s4 1 2L2 s 2 1 + L4 ) v 2 (s 2 ) = C 4EJL (s 2 L)s 2 2 δ 2L 3 (s 2 3L)s 2 2 αt 1 4L (s 2 L)s 2 2. Nelle figure 9.30 e 9.31 si riportano i diagrammi del taglio, del momento flettente e dello spostamento verticale. Fig. 9.31 Fig. 9.30 Nella tabella seguente si riassumono le condizioni al contorno e di raccordo per la risoluzione delle linee elastiche estensionali e flessionali, in corrispondenza delle più frequenti tipologie di vincolo o connessione. Per le condizioni di raccordo si indicano con un apice le grandezze riferite alla sezione dal lato positivo o negativo della sezione di raccordo. Corso di Scienza delle Costruzioni 183 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 184 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni Corso di Scienza delle Costruzioni 185 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 186 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.6 Applicazioni 9 Travature elastiche 9.7 Deformazioni torsionali 9.7 Deformazioni torsionali Anche in questo caso il punto di partenza è rappresentato dalla osservazione di quanto risulta dal seguente esperimento (figura 9.32). Si consideri una trave di lunghezza L sollecitata da coppie torcenti M t applicate sulle basi. Per piccoli valori di M t si osserva che Fig. 9.32 la linea d asse dela trave resta rettilinea; le sezioni trasversali, a deformazione avvenuta, ruotano (rigidamente nel loro piano) intorno all asse z di un angolo ϑ (angolo di rotazione) che dipende dall ascissa s della sezione; la rotazione relativa ϑ tra le due basi della trave vale: ϑ = L M t GJ 0 q γ = ϑ L = M t GJ 0 /q ; (9.30) nella (9.30) G è il modulo di elasticità tangenziale, J 0 è il momento di inerzia polare di A rispetto al baricentro G: J 0 = (x 2 + y 2 )da ; A q è un fattore adimensionale detto fattore di torsione e dipende dalla forma della sezione (q = 1 per sezione circolare, q>1 negli altri casi). Da quanto visto, per le deformazioni torsionali di travi elastiche ad asse rettilineo appare lecito considerare quanto segue: Corso di Scienza delle Costruzioni 187 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 188 A. A. 2009-2010

9 Travature elastiche 9.7 Deformazioni torsionali 9 Travature elastiche 9.7 Deformazioni torsionali la variabile di spostamento significativa è rappresentata dalla rotazione ϑ della sezione trasversale intorno al asse z; la grandezza deformativa significativa è l angolo unitario di torsione γ, che rappresenta la rotazione relativa tra due sezioni a distanza unitaria; analogamente ai casi trattati precedentemente, nel caso generale in cui le grandezze considerate non sono costanti, si assume la seguente equazione di congruenza: dϑ = γ (9.31) e la corrispondente equazione costitutiva: γ = M t GJ 0 /q dove GJ 0 /q è denominata rigidezza torsionale. (9.32) Si tenga conto del fatto che il momento torcente non è una caratteristica della sollecitazione presente nelle travature piane, pertanto andrebbe considerata nell ambito più generale delle travature spaziali. Tuttavia in questa trattazione ci restringiamo al semplice caso di travi ad asse rettilineo per le quali è sufficiente osservare quanto segue: il vincolo incastro è definito cinematicamente dall equazione ϑ = 0; Fig. 9.33 Infatti, basta considerare l equazione di equilibrio alla rotazione intorno all asse z (figura 9.34) applicata ad un tratto di trave compreso tra due sezioni di ascisse s 1 ed s 2 sul quale non agiscono coppie concentrate: s2 s2 ( ) dmt M t (s 2 ) M t (s 1 )+ m t =0 s 1 + m t =0 s 1,s 2 dm t + m t =0. Dalle equazioni (9.31), (9.32) e (9.33) si ottiene quindi l equazione della linea elastica torsionale: ( ) d GJ0 dϑ = m t (9.34) q che, per trave a sezione costante, diviene: d 2 ϑ 2 = m t GJ 0 q. (9.35) s 1 le condizioni di carico sono rappresentate da (figura 9.33) coppie distribuite di intensità m t (m t > 0 se concorde con l asse z), e coppie concentrate di entità M. In queste situazioni è facile osservare che l equazione indefinita di equilibrio assume l aspetto: Fig. 9.34 dm t = m t. (9.33) Corso di Scienza delle Costruzioni 189 A. A. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 190 A. A. 2009-2010