1 Frequenze cumulate Nel caso in cui le modalità del carattere in esame sono ordinate può essere interessante t studiare la frequenza con cui si presentano nel collettivo in esame modalità inferiori o uguali ad un certa soglia. Le frequenze cumulate sono utili quando vogliamo fissare una delle modalità e leggere i dati della distribuzione rispetto a questa Ricarica telefonica frequenza assoluta 10 10 10 50 6 16 fr. assoluta cumulata 100 5 21 Totale 21 Se vogliamo sapere quanti individui hanno acquistato una ricarica con un taglio inferiore o uguale adunacerta soglia bastaleggere lafrequenza cumulata incorrispondenzadella della modalità che ci interessa: ad es. se vogliamo il numero di unità statistiche che hanno ricaricato massimo (al più) 50 (minore o uguale) è pari a 16 (10+6) Se vogliamo sapere quanti individui hanno acquistato una ricarica con un taglio inferiore a una Se vogliamo sapere quanti individui hanno acquistato una ricarica con un taglio inferiore a una certa soglia basta leggere la frequenza cumulata della modalità precedente a quella che ci interessa: ad es. le unità che hanno ricaricato meno di 50 sono 10
2 Notazione È possibile calcolare le frequenze cumulate a partire dalle frequenze assolute, relative o percentuali. Per distinguere le frequenze cumulate vengono indicate con la lettera maiuscola corrispondente X N F P Nel prosieguo indicheremo con: x i la generica i esima modalità del carattere X (con i=1,2,,k) x 1 N 1 F 1 P 1 N i la i esima frequenza assoluta cumulata delle prime i modalità x 2 N 2 F 2 P 2 F i la i esima frequenza relativa cumulata delle prime i modalità P i la i esima frequenza percentuale cumulata delle prime i modalità x i N i F i P i x k N k F k P k totale - - - N i = i j= 1 n j, i = 1,2,..., k F i = i j= 1 f j, i = 1,2,..., k P i = i j= 1 p j, i = 1,2,..., k
3 I diversi tipi di frequenza (e distribuzione)
4 Esercizio Consideriamo nuovamente i due collettivi di famiglie e le distribuzioni del n di figli per famiglia COLLE ETTIVO A X n X n 0 5 0 20 1 12 1 10 2 19 2 35 3 9 3 15 4 4 4 10 5 1 5 10 Totale 50 Totale 100 COLLE ETTIVO B Relativamente al solo collettivo A: Quante sono le famiglie che hanno al più un figlio? Qual è la percentuale di famiglie che hanno al massimo 2 figli? Qual è la percentuale di famiglie che hanno almeno 2 figli? Quante sono le famiglie che hanno meno di 3 figli? Quante sono le famiglie che hanno non meno di 4 figli?
5 Soluzione Collettivo A X n N F P 0 5 5 0,10 10% 1 12 17 0,34 34% 2 19 36 0,72 72% 3 9 45 0,90 90% 4 4 49 0,98 98% 5 1 50 1 100% Totale 50 Calcoliamo innanzi tutto le frequenze cumulate
6 Rappresentazione grafica delle fr. cumulate Spesso è utile rappresentare graficamente la distribuzione delle frequenze cumulate In generale è possibile utilizzare un grafico a gradini del tipo riportato qui di seguito F(x) () Questo tipo di rappresentazione consente di 1 visualizzare la cosiddetta funzione di ripartizione empirica : se ad es. stiamo 0,8 studiando un carattere di tipo discreto potremmo essere interessati alla fr. relativa 0,6 (o %) di unità del collettivo sulle quali si è osservata una quantità inferiore ad una 0,4 soglia prefissata 0,2 f(x 6) X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Per rilevare la frequenza basta leggere il dato in corrispondenza del gradino che ci interessa
7 Poligono delle frequenze Un altro modo per rappresentare le frequenze cumulate è utilizzare il Poligono delle frequenze Distribuzione delle aziende per n di addetti n. di addetti n i f i F i 5 6 0,04 0,04 10 12 0,09 0,13 15 32 0,23 0,36 20 27 0,20 0,56 25 41 0,30 0,86 30 11 0,08 0,94 35 8 0,06 1,00 137 1,00 1.00 090 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 094 0.94 0.86 0.56 0.36 0.04 0.13 5 10 15 20 25 30 35 1.00 Dall analisi della tabella e del grafico possiamo immediatamente rilevare che le aziende con meno di 15 addetti sono il 36% del collettivo, mentre le aziende con meno di 20 addetti rappresentano complessivamente il 56% del collettivo (ovviamente includendo anche le aziende che ne hanno meno di 15)
8 Esercizio
9 Esercizio Il responsabile del settore personale del Comune di Cosenza conosce la distribuzione degli impiegati secondo la qualifica funzionale Qualifica I II III IV V VI VII Impiegati 58 308 287 71 52 28 12 816 Il Comune ha bandito un concorso per quattro posti riservati agli interni con qualifica non inferiore alla V Qual è la percentuale dei possibili candidati al concorso? Qual è il collettivo statistico e qual è il carattere oggetto di studio? Come traduciamo in termini statistici il quesito del responsabile del personale?
10 Distribuzione in classi Quando si analizza un fenomeno che può essere espresso per mezzo di un carattere discreto con numerose modalità, (es. età in anni compiuti) oppure quando si usano caratteri continui (es. peso, altezza), è possibile che le distribuzioni di frequenza assolute o relative non siano idonee e non migliorino la comprensione dei dati In questi casi può essere adoperata un altra rappresentazione dei dati: le modalità (discrete o continue) sono organizzate in intervalli di valori dette classi, e le frequenze associate a ciascun intervallo rappresentano il n di unità sulle quali è osservato/misurato un valore appartenente all intervallo stesso Bisogna dire che se la rappresentazione in classi presenta la stessa facilità di lettura di una qualsiasi li idistribuzione ib i di frequenze (assolute o relative) lti non è però altrettanto tt t immediata e di facile costruzione a partire dalla distribuzione unitaria dei dati. È infatti necessario tenere in considerazione diversi elementi: il numero di classi adeguato al problema, l ampiezza delle diverse classi, la possibilità di includere tutte le modalità del carattere, e così via
11 Caratteristiche delle classi (1) In generale una classe può essere vista come un intervallo di valori numerici: ciascuno di questi intervalli deve essere disgiunto, non devono cioè esserci sovrapposizioni, in modo che ogni unità appartenga ad una e una sola classe L ampiezza di ciascuna classe può essere costante oppure differente: nel primo caso si parla di classi equiampie, nel secondo caso si parla di classi non equiampie. La scelta di un tipo dipende talvolta dallescelte soggettive delricercatore ma spessoè strettamente legata a fenomeno che si vuole rappresentare: CLASSE Da 0 a 5 anni Da 6 a 10 anni Da 11 a 13 anni Criterio Età prescolare Scuola elementare Scuola media In questo caso la suddivisione in classi del carattere età è dettata da un criterio esterno che fornisce comunque un interessante punto di vistarispetto altipo di fenomeno che si sta studiando Da 14 a 18 anni Scuola superiore NB: le classi non devono mai essere vuote (cioè con 0 unità statistiche)
12 Caratteristiche delle classi (2) È possibile parlare di classi aperte o chiuse a seconda che gli estremi siano inclusi o meno nell intervallo: la modalità più piccola della classe è detta estremo inferiore, la modalità più grande è detta invece estremo superiore Se l estremo inferiore è incluso nello classe mentre non lo è quello superiore allora si parla di classe chiusa a sinistra e aperta a destra; ; se invece l estremo inferiore della classe non è incluso nella classe mentre lo è quello superiore si parla di classe aperta a sinistra e chiusa a destra. Se includiamo sia l estremo inferiore che superiore allora parliamo genericamente di classe chiusa: questo tipo di classi è però idoneo per rappresentare i soli caratteri discreti La scelta di includere o meno uno degli estremi è univoca: se decidiamo che la prima classe della distribuzione è chiusa a sinistra e aperta a destra (o viceversa), allora tutte le classi della distribuzione saranno dello stesso tipo Un particolare tipo di classi sono quelle non limitate inferiormente o superiormente: in tal caso si utilizza la notazione matematica < (minore di) e > (maggiore di), oppure si ricorre ad esempio a locuzioni del tipo fino a (<) o più di (>)
13 Determinazione del numero di classi Non esiste un modo univoco per determinare il numero di classi: molte volte, a seconda del fenomeno oggetto di studio, la scelta è lasciata all esperienza di chi effettua lo studio La regola da seguire è che non bisogna scegliere un n di classi eccessivamente piccolo per non perdere dettaglio nella rappresentazione del fenomeno, ma al contempo non bisogna scegliere un n di classi eccessivamente grande per non sacrificare la leggibilità della distribuzione Nel corso degli anni sono state proposte diverse soluzioni per determinare in modo oggettivo il numero di classi ideale per una popolazione di numerosità pari a N: una possibile soluzione è quella di considerare il numero k di classi ottenuto dalla regola di Sturges k 1+3,322ilog 10(N) REGOLA DI STURGES N DI CLASSI DA CONSIDERARE NELLA DISTRIBUZIONE
14 Determinazione dell ampiezza Una volta determinato il numero delle classi è necessario stabilire se si vogliono considerare classi di uguale ampiezza o meno Nel caso in cui si considerano classi di ampiezza diversa bisogna chiaramente procedere ad una scelta coerente con il fenomeno che si sta analizzando, come illustrato in precedenza con l esempio della distribuzione per età costruita sulla base del livello scolastico Se invece si considerano classi di ampiezza uguale allora è necessario trovare un modo per determinare in modo pratico e veloce la quantità che si assume costante per ogni intervallo Tale quantità può essere ottenuta facilmente considerando l ampiezza della distribuzione, a partire dalla differenza della modalità più grande e della modalità più piccola osservata nella distribuzione unitaria dei dati e dividendo per il numero di classi definito precedentemente: x (N) - x(1) k ω La lettera omega dell alfabeto greco è utilizzata per convenzione per indicare l ampiezza della classe: va chiaramente approssimata al numero intero più vicino
15 Notazione In generale una distribuzione in classi per un carattere con k classi distinte si presenta come: X n Nel prosieguo indicheremo con: x 1 -x 2 n 1 x i 1 x i la generica i esima classe di modalità del carattere X (con i=1,2,,k) x 2 -x 3 n 2 n i la i esima frequenza della classe x i 1 xx i La frequenza indica equivalentemente: x i-1 -x i n i 1) il numero di volte che la classe di modalità è stata rilevata sul collettivo 2) il numero di unità statistiche che appartengono ad una classe x k-1 -x k totale n k N k N = n =n +n +...+n +...+n i= 1 i 1 2 i k Si legge sommatoria per i che va da 1 a k di n con i
16 Classi aperte e chiuse In generale per indicare se una classe è aperta o chiusa a destra o a sinistra i si utilizza la seguente notazione: x i 1 x i oppure (x i 1, x i ] > la classe è chiusa a destra e aperta a sinistra (le unità che presentano x i 1 non sono incluse nella classe, quelle che presentano x i invece lo sono) x i 1 x i oppure [x i 1, x i ) > la classe è aperta a destra e chiusa a sinistra (le unità che presentano x i 1 sono incluse nella classe, quelle che presentano x i invece non lo sono) x i 1 x i oppure [x i 1, x i ] > la classe è chiusa a destra e sinistra (sia le unità con x i 1 che quelle che presentano x i sono incluse nella classe)
17 Rappresentazione dei dati Una volta ottenute le classi e contate quante sono le unità statistiche appartenente ad ogni classe abbiamo di fatto ottenuto una distribuzione di frequenze assolute come quelle viste nelle precedenti lezioni, con la differenza che non abbiamo tutte le modalità osservate ma intervalli di modalità Così come per le distribuzioni di frequenze è possibile leggere in modo differente i dati, ad esempio considerando le frequenze relative o percentuali, oppure calcolando le frequenze cumulate (assolute o relative) In tutti i casi in cui è necessario effettuare delle operazioni sulle distribuzioni in classe risulta difficile ritornare ad una distribuzione di frequenze o unitaria: a tal scopo per convenzione si fa riferimento ad un valore rappresentativo dell intera classe, detto valore centrale, che può essere e calcolato co ato dalla a semisomma so degli estremi e inferiore eee superiore e di cascu ciascuna aclasse estr. inferiore + estr. superiore 2 = valore centrale
18 V. centrale e ampiezza costante Una volta definito il numero delle classi e l ampiezza di ciascuna di esse per ottenere gli estremi inferiore e superiore di ciascuna di esse si procede come segue: innanzi tutto è necessario ordinare tutte le modalità in senso crescente, dalla più piccola alla più grande 1a classe > x 1 x 2 = x 1 x 1 + ω 2a classe > x 2 x 3 = x 1 + ω x 1 + 2ω oppure x 2 x 2 + ω 3a classe > x 3 x 4 = x 1 + 2ω x 1 + 3ω oppure x 3 x 3 + ω In generale > x i 1 x i = x 1 + (i 1) ω x 1 + i ω Quindi una volta otaindividuato duato l estremo e inferiore edella acasseè classe possb possibile eottenere e e l estremo e superiore aggiungendo la quantità relativa all ampiezza Per calcolare il valore centrale di ciascuna classe è sufficiente a questo punto aggiungere ad ogni estremo inferiore delle classi la metà dell ampiezza ω/2
19 Esempio Consideriamo la seguente distribuzione unitaria per un collettivo di 200 unità statistiche ω non equiampie ω equiampie
20 Esercizio A 150 studenti iscritti al Corso di Laurea Triennale in Economa e Commercio è stato chiesto il Numero di Crediti Formativi ottenendo il seguente elenco grezzo di modalità: Cl Calcolare l il numero di classi Costruire delle classi equiampie chiuse a sinistra Calcolare il valore centrale
21 Soluzione Considerando 150 unità statistiche possiamo considerare 8 classi 1+3,322 log (150)=8,229 i 10 Alla luce del numero di classi e dei valori della distribuzione possiamo assumere un ampiezza pari a 23 = 180-0 22,5 8 1 0 23 11.5 2 23 46 34.5 3 46 69 57.5 4 69 92 80.5 5 92 115 6 115 138 7 138 161 8 161 184 103.5 126.5 149.5 172.5 valore cen ntrale Calcolate adesso, sulla base della tabella precedente, le frequenze assolute, relative, e percentuali
22 Uso delle distribuzioni di frequenza Abbiamo visto come sia possibile dare un idea efficace e immediata della manifestazione di un fenomeno, in un collettivo, attraverso la costruzione di distribuzioni di frequenza e l utilizzo delle rappresentazioni grafiche Nel caso in cui abbiamo tanti dati è spesso più utile la costruzione di una distribuzione di frequenza in classi: perdiamo informazioni ma la lettura è più facile Codice ETA Codice ETA intervista intervista 1 6 11 45 2 18 12 50 3 10 13 32 4 12 14 65 5 14 15 72 6 35 16 16 7 40 17 24 8 60 18 38 9 25 19 52 10 37 20 43 Classi di Età Frequenze n i 6 14 3 14 25 4 25 40 5 40 65 6 >65 2 Totale 20
23 Rappresentazione in classi e grafici Quando consideriamo una distribuzione di frequenze possiamo rappresentarla graficamente attraverso l utilizzo di un grafico a torta se ad esempio siamo interessati alla composizione (percentuale) delcollettivo inrelazione alfenomeno studiato, oppureseil carattere è ditipo quantitativo a mettere a confronto l intensità dei diversi modi di presentarsi del fenomeno (le modalità) attraverso una rappresentazione a barre Cosa accade nel caso di rappresentazioni statistiche in cui il carattere è sintetizzato mediante l utilizzo di classi? Possiamo ancora rappresentare graficamente la composizione del collettivo utilizzando un grafico a torta, ma se vogliamo comparare l intensità delle diverse modalità del carattere nel collettivo alloraè necessarioprendereinconsiderazioneil in considerazione il fatto che le classipossanoavere avere la stessa ampiezza o essere di ampiezza diversa: in questo secondo caso infatti vogliamo tener conto del fatto che un carattere si sia potuto manifestare in un certo modo in una classe più o meno ampia,,perché questo ha di fatto ha una diversa interpretazione
24 L istogramma Lo strumento grafico utilizzato per visualizzare le distribuzioni di frequenze in classi è il cosiddetto istogramma: sull asse orizzontale sono rappresentate le classi, su quello verticale è invece espressa l intensità del fenomeno (in termini di frequenza assoluta, relativa o %) 10 50% 8 40% 6 30% 4 20% 2 10% 0 10 30 50 70 90 0% 10 30 50 70 90 L area di ciascuna barra sarà proporzionale all intensità: la proporzione ovviamente è la stessa sia che l intensità è misurata con le frequenze assolute che l intensità è espressa, ad esempio, in termini percentuali. Le barre non sono tra loro distanziate per dare un idea di continuità nella rappresentazione del carattere
25 Istogramma per classi non equiampie Nel caso di classi con ampiezza diversa è ancora possibile l utilizzo dell istogramma come rappresentazione grafica In questo caso assume però un significato differente il fatto che l intensità in una specifica classe sia maggiore o minore, perché i possibili valori osservati sulle unità statistiche sono pochi o molti a seconda che l ampiezza della classe sia minore o maggiore ità di frequenz za Densi Per poter allora ottenere delle barre proporzionali all intensità espressa nella classe, e allo stesso tempo considerare l ampiezza della stessa, si utilizza come misura dell intensità non più la frequenza ma la cosiddetta densità di frequenza : Area = base x altezza Classi di età Area > frequenza base > ampiezza altezza > densità di frequenza
26 Esempio n i N i f i F i d i 15 20 4 4 0,4 0,4 0,08 20 25 3 7 0,3 0,7 0,06 25 30 1 8 01 0,1 08 0,8 002 0,02 30 35 2 10 0,2 1 0,04 10 1 4 3 2 1 0 15 20 25 30 35 Leggendo i dati in tabella e nel grafico corrispondente si rileva come ci sia una maggiore incidenza della classe 15 20 : tale aspetto è verificato anche dalle frequenze relative e dalle densità di frequenza, dal momento che tutte le classi hanno la stessa ampiezza
27 Esempio classi di età amp. classe freq. % densità 0 5 5 17,0 3,4 5 15 10 40,0 4,0 15 30 15 37,0 2,5 30 35 5 6,0 1,2 Dall analisi della tabella si vede come la frequenza percentuale più alta sia stata osservata in corrispondenza della classe di età 5 15: ciò vuol dire che le unità statistiche che hanno una età tra i 5 e i 15 anni sono quelle più presenti Densità di frequenza Classi di età Se consideriamo le classi 0 5 e 15 30 osserviamo che sono rispettivamente la terza e la seconda classe più osservata: calcolando però le densità di frequenza vediamo che in realtà, tenendo conto della diversa ampiezza delle classi, la classe 0 5 è più importante della classe 15 30 perché le unità statistiche sono meno disperse, cioè assumono meno valori rispetto a quelli dell altra classe
28 Altri utilizzi degli istogrammi È possibile accoppiare due istogrammi, rappresentanti ad esempio la misura di un fenomeno quantitativo su due sottopopolazioni omogenee per una certa caratteristica, in modo da avere una idea immediata delle diverse intensità nei due gruppi > 90 85 89 80 84 75 79 70 74 65 69 60 64 55 59 50 54 45 49 40 44 35 39 30 34 25 29 20 24 15 19 10 14 5 9 0 4 Popolazione straniera residente in Italia 2001 (ISTAT) MASCHI FEMMINE 15 10 5 0 5 10 15 Esempio Piramide delle età Tale rappresentazione è usata soprattutto nello studio per età delle popolazioni: è possibile rilevare ad esempio, oltre alla composizione, i momenti storici durante i quali ci sono state delle dll flessioni o degli aumenti delle nascite