Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano v, w vettori non nulli dello spazio applicati in uno stesso punto. Definiamo: v w = v w cos θ, dove θ è l angolo convesso (cioè 0 θ π) definito da v e w. Se uno dei due vettori è nullo poniamo semplicemente v w = 0. Abbiamo immediatamente: Proposizione a) Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. b) Si ha v = v v. (Per convenzione, il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori). Dunque il prodotto scalare permette di misurare il modulo (lunghezza) di un vettore, e l angolo fra due vettori. Le proprietà del prodotto scalare nel piano si estendono inalterate al prodotto scalare nello spazio. 1.2 Calcolo in un riferimento cartesiano Ricordiamo che assegnare un riferimento cartesiano equivale a fissare un origine O e una base ortonormale di VO 3, diciamo ( e 1, e 2, e 3 ). Ricordiamo che una base ortonormale è formata da vettori a due a due ortogonali e di modulo 1. Dunque: { 1 se i = j e i e j = 0 se i j. 1

Ora ogni vettore si esprime v = OP = x e1 + y e 2 + z e 3, la coppia (x, y, z) dà luogo alle coordinate di v nel riferimento scelto, e scriveremo v = (x, y, z). Per definizione, le coordinate di un punto P sono uguali a quelle del vettore OP. Conoscendo le coordinate dei vettori, possiamo calcolare il prodotto scalare con facilità. Proposizione Siano v = (x, y, z) e w = (x, y, z ) vettori applicati nell origine. Allora In particolare, v = x 2 + y 2 + z 2. v w = xx + yy + zz. Esempio Calcolare il prodotto scalare tra v = 3 e 1 e 2 + 4 e 3 e w = e 1 + 5 e 2. Soluzione. Si ha v = (3, 1, 4), w = ( 1, 5, 0) quindi v w = 8. Ricordiamo che, dato un vettore v = AB dello spazio applicato in un qualunque punto A, le coordinate di v sono per definizione le coordinate del vettore v 0 = OB OA, traslato di v nell origine, e sono date dalla terna B A. Dunque: Due vettori sono equipollenti se e solo se hanno le stesse coordinate. Un vettore è identificato dal suo punto di applicazione e dalle sue coordinate: la scrittura AB = (l, m, n) indica l unico vettore di coordinate (l, m, n) applicato in A: esso unisce il punto di applicazione A = (x 0, y 0, z 0 ) con il punto B = (x 0 + l, y 0 + m, z 0 + n). Poiche la traslazione di due vettori mantiene inalterati sia i moduli che l angolo compreso, il prodotto scalare fra v e w è uguale al prodotto scalare dei rispettivi vettori traslati v 0 e w 0. Dunque abbiamo Proposizione Siano v e w vettori dello spazio applicati in un qualunque punto A del piano, di coordinate rispettive (x, y, z) e (x, y, z ). Allora: In particolare, v = x 2 + y 2 + z 2. 2 Distanze, angoli, aree 2.1 Formula della distanza v w = xx + yy + zz. Se A = (x 1, y 1, z 1 ) e B = (x 2, y 2, z 2 ) sono due punti dello spazio, allora la distanza di A da B è data dalla formula: d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 2

Infatti, la distanza di A da B uguaglia il modulo del vettore v = AB che ha coordinate B A = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), e quindi l asserzione scende dalla proposizione precedente. 2.2 Angoli Dalla formula che definisce il prodotto scalare, vediamo subito che il coseno dell angolo compreso fra i vettori v e w è dato da: v w cos θ = v w. 2.3 Area di un parallelogramma Dati due vettori non nulli v, w, l area A del parallelogramma definito dai due vettori è data dalla formula: v v v w A = v w w w. Esempio È dato il triangolo T di vertici A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3). Calcolare: a) Il perimetro di T. b) Il coseno di ciascuno degli angoli interni di T. c) L area di T. Soluzione. a) Abbiamo AB = ( 1, 2, 0), AC = ( 1, 0, 3), BC = (0, 2, 3). Dunque il perimetro vale AB + AC + BC = 5 + 10 + 13. b) Sia θ A l angolo in A. Dalla formula abbiamo: cos θ A = AB AC = 1. AB AC 50 Analogamente otteniamo cos θ B = 4 65, cos θ C = 9 130. c) Consideriamo i vettori v = AB = ( 1, 2, 0) e w = AC = ( 1, 0, 3). L area del parallelo- 3

gramma su v e w vale: A = 5 1 1 10 = 7, dunque l area del triangolo T (che è la metà dell area del parallelogramma) vale 7 2. Esempio Sono dati i vettori v 1 = (1, 1, 1) e v 2 = (2, 0, 1), applicati in un punto fissato dello spazio. a) Descrivere l insieme dei vettori w ortogonali sia a v 1 che a v 2. b) Trovare tutti i vettori u ortogonali sia a v 1 che a v 2 e aventi modulo 1. Soluzione. a) Poniamo w = (x, y, z). Allora w è ortogonale a v 1 se e solo se w v 1 = 0 dunque se e solo se x + y z = 0. Analogamente, w è ortogonale a v 2 se e solo se w v 2 = 0, cioè se e solo se 2x + z = 0. In conclusione, le coordinate di w sono le soluzioni del sistema lineare omogeneo { x + y z = 0. La matrice dei coefficienti A = e un calcolo mostra che ( 1 1 1 2 0 1 2x + z = 0 ) ha rango 2; dunque il sistema ammette 1 soluzioni Sol(S) = {t(1, 3, 2) : t R}. Dunque i vettori w ortogonali sia a v 1 che a v 2 sono tutti e soli i vettori di coordinate: dove t R. w = (t, 3t, 2t), b) Imponiamo ora che il vettore w abbia modulo 1. Si ha: w 2 = 14t 2, e dunque 14t 2 = 1 cioè t = 1 14, t = 1 14. Otteniamo due vettori: l uno opposto dell altro. u 1 = 1 14 (1, 3, 2), u 2 = 1 14 (1, 3, 2), 4

3 Il prodotto vettoriale Premettiamo la seguente osservazione. Consideriamo un sistema lineare omogeneo di due equazioni in tre incognite: { ax + by + cz = 0 S : a x + b y + c z = 0 e supponiamo che la sua matrice dei coefficienti abbia rango massimo (quindi due): ( ) a b c rk a b c = 2. Proposizione Nelle ipotesi precedenti, il sistema S ammette 1 soluzioni: Sol(S) = {t(α, β, γ) : t R}, dove α = b c b c, β = a c a c, γ = a b a b. Notiamo che α, β, γ sono i minori di ordine due della matrice dei coefficienti, presi a segni alterni. Poiché la matrice ha rango due, si ha (α, β, γ) (0, 0, 0). Dimostrazione. Dal teorema di Rouché-Capelli sappiamo che S ammette 1 soluzioni. Dunque basta verificare che la terna (α, β, γ) è una soluzione di S (abbiamo già osservato che (α, β, γ) è non nulla). Ora consideriamo la seguente identità, ottenuta sviluppando il determinante lungo la prima riga: a b c aα + bβ + cγ = a b c a b c, e allora aα+bβ +cγ = 0 poiché la matrice a secondo membro ha due righe uguali. Analogamente si dimostra che a α + b β + c γ = 0. Applichiamo le considerazioni precedenti alla seguente situazione. Supponiamo di avere due vettori dello spazio applicati in uno stesso punto, diciamo v = (a, b, c), w = (a, b, c ). Definiamo prodotto vettoriale di v = (a, b, c) e w = (a, b, c ) il vettore di coordinate v w = (α, β, γ), dove α = b c b c, β = a c a c, γ = a b a b sono i minori di ordine due della matrice ( ) a b c a b c, presi a segni alterni. 5

Dunque, il prodotto vettoriale associa a due vettori dello spazio un terzo vettore. Questa operazione ha proprietà notevoli. Proposizione Dati due vettori dello spazio v, w, si ha: a) v, w sono allineati (paralleli) se e solo se v w = O. b) v w è un vettore ortogonale sia a v che a w. c) Il modulo del prodotto vettoriale v w uguaglia l area del parallelogramma definito da v e w. ( ) a b c Dimostrazione. a) I vettori v, w sono allineati se e solo se rk a b c = 1 e questo è vero se e solo se i tre minori di ordine due hanno determinante nullo, cioè (α, β, γ) = (0, 0, 0). b) Dalla proposizione precedente, abbiamo che la terna (α, β, γ) è una soluzione del sistema S, cioè: { aα + bβ + cγ = 0 a α + b β + c γ = 0. Ma questo significa che il prodotto scalare di v w con v e con w è nullo. Dunque v w è ortogonale sia a v che a w. c) Si ha v w 2 = α 2 + β 2 + γ 2. Un calcolo esplicito mostra che α 2 + β 2 + γ 2 = v v v w v w w w, e l espressione a secondo membro è il quadrato dell area del parallelogramma definito da v e w (vedi sezione 2.3). Esempio Dati i vettori v = (1, 1, 1), w = (2, 0, 1) si ha v w = (1, 3, 2), che è ortogonale sia v che a w (vedi esempio nella sezione 2.3). L area del parallelogramma su v e w vale dunque v w = 14. Esempio Calcolare l area del triangolo di vertici A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3). Soluzione. Consideriamo v = AB = ( 1, 2, 0) e w = AC = ( 1, 0, 3). L area del triangolo cercato sarà la metà dell area del parallelogramma P definito da v e w. Ora v w = (6, 3, 2); l area di P è v w = 7 e quindi l area del triangolo è 7 2. 6

4 Perpendicolarità di rette Due rette r, r si dicono ortogonali (o perpendicolari) se hanno vettori direttori ortogonali. In modo equivalente, r r se e solo se il prodotto scalare dei vettori direttori di r e r è nullo. Otteniamo la seguente: Proposizione Due rette di parametri direttori (l, m, n), (l, m, n ) sono ortogonali se e solo se ll + mm + nn = 0. Occorre notare che due rette possono essere ortogonali fra loro senza necessariamente incontrarsi in un punto; in particolare, esistono rette sghembe ortogonali fra loro. { { y = 0 x = 0 Esempio L asse x, di equazioni, e la retta z = 0 z = 1 sono sghembe e ortogonali. Diremo che le rette r, r sono ortogonali e incidenti, se sono ortogonali fra loro e si incontrano in un punto. Osserviamo che due rette r, s non parallele determinano una unica direzione ortogonale a entrambe, data dal prodotto vettoriale dei vettori direttori di r e s. Esempio Determinare equazioni parametriche della retta passante per l origine e ortogonale a x = 1 + 2t { x y = 0 entrambe le rette r : y = t e s : y z = 0. z = 3t Soluzione. Un vettore direttore di r è v = (2, 1, 3) mentre un vettore direttore di s è w = (1, 1, 1). La retta cercata avra vettore direttore ortogonale sia a v che a w. Dunque possiamo prendere come vettore direttore della retta cercata il prodotto vettoriale v w = (4, 5, 1). x = 4t Equazioni parametriche: y = 5t. z = t 5 Interpretazione geometrica dei parametri di giacitura Dato il piano ax+by+cz+d = 0, possiamo considerare il vettore di coordinate (a, b, c), applicato in un punto P 0 del piano. Quale proprietà geometrica ha? Innanzitutto, un definizione. 7

Fissato un piano π e un qualunque punto P 0 π, diremo che il vettore n è ortogonale a π se è ortogonale a tutti i vettori applicati in P 0 e contenuti in π. Proposizione Dato il piano ax + by + cz + d = 0, il vettore di coordinate (a, b, c) è ortogonale al piano. In altre parole, i parametri di giacitura di un piano rappresentano le coordinate di un vettore ortogonale al piano. Dimostrazione. Fissiamo un punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) del piano. Allora l equazione del piano π si scrive: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0. Consideriamo il vettore n = (a, b, c) applicato in P 0 e un vettore arbitrario contenuto nel piano, P 0 P. Se P = (x, y, z) π allora P 0 P ha coordinate (x x 0, y y 0, z z 0 ). Il prodotto scalare: n P 0 P = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, dunque n è ortogonale a P 0 P e poiche P π è arbitrario, n è ortogonale a tutti i vettori di π. 6 Perpendicolarità fra retta e piano Con l interpretazione geometrica dei parametri di giacitura data in precedenza abbiamo la Proposizione La retta di parametri direttori (l, m, n) è ortogonale al piano di parametri di giacitura (a, b, c) se e solo se ( ) a b c rk = 1, l m n vale a dire, se e solo se i parametri direttori della retta sono proporzionali ai parametri di giacitura del piano. Esempio Determinare equazioni parametriche della retta passante per P 0 = (1, 2, 3) e ortogonale al piano x y + 2z = 0. Soluzione. Ci sono infinite rette (precisamente, 2 rette) ortogonali ad un piano dato. Fra tutte queste ce ne una sola passante per P 0. I suoi parametri direttori dovranno essere proporzionali alla terna (1, 1, 2): li prendiamo uguali a tale terna. Dunque la retta ha equazioni parametriche x = 1 + t y = 2 t. z = 3 + 2t 8

6.1 Distanza di un punto da un piano Dato un piano π e un punto P 0 dello spazio, definiamo distanza di P 0 da π come la distanza minima di P 0 da un punto del piano. Un facile argomento mostra che la distanza di P 0 da π uguaglia la distanza di P 0 dal piede della perpendicolare, diciamo H, condotta da P 0 al piano: d(p 0, π) = d(p 0, H). Dunque, per trovare la distanza d(p 0, π), occorre: Trovare la retta r passante per P 0 e ortogonale al piano π. Calcolare il punto d intersezione H = r π. Calcolare la distanza di P 0 da H. Il punto H è detto la proiezione ortogonale del punto P 0 sul piano π. Esso è il punto di π piú vicino a P 0. Esempio Calcolare la distanza del punto P 0 = (1, 1, 3) dal piano x y + 2z = 0. Determinare inoltre le coordinate del punto di π piu vicino a P 0. Soluzione. La retta per P 0 ortogonale al piano ha equazioni parametriche: x = 1 + t r : y = 1 t. z = 3 + 2t Il punto H, piede della perpendicolare, si ottiene come intersezione H = π r. Sostituendo le equazioni parametriche nell equazione del piano, otteniamo t = 1 e il punto H = (0, 2, 1), che è il punto di π piu vicino a P 0. Si ha infine: d(p 0, π) = d(p 0, H) = 6. 6.2 Formula della distanza di un punto da un piano C è una formula esplicita per il calcolo della distanza di un punto da un piano. Proposizione Dati il piano di equazione π : ax + by + cz + d = 0 e il punto P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) si ha: d(p 0, π) = ax 0 + by 0 + cz 0 + d. a 2 + b 2 + c 2 Dimostrazione. Omessa. 9

Esempio Siano P 0 = (1, 1, 3) e π : x y + 2z = 0. Allora d(p 0, π) = 1 1 + 6 1 + 1 + 4 = 6 6 = 6. 6.3 Distanza di un punto da una retta La distanza del punto P dalla retta r è definita, nel solito modo, come la distanza minima di P da un punto di r. Il punto di distanza minima H si ottiene come intersezione di r con il piano per P ortogonale a r (H è detto anche proiezione ortogonale di P su r). La distanza minima sarà quindi la distanza del punto dalla sua proiezione ortogonale. x = 1 t Esempio Calcolare la distanza minima dell origine dalla retta r : y = 2t. z = 5 t Soluzione. Il piano per l origine perpendicolare a r ha equazione π : x + 2y z = 0 e quindi r π si ottiene (1 t) + 4t (5 t) = 0, che dà t = 1. Il punto di distanza minima è (0, 2, 4) e la distanza minima vale 20. In modo alternativo, il punto mobile su r ha coordinate P = (1 t, 2t, 5 t). La sua distanza dall origine, elevata al quadrato, è: f(t) = (t 1) 2 + 4t 2 + (5 t) 2 = 6t 2 12t + 26. Cerchiamo il valore di t che rende minima la distanza f(t): tale valore va cercato fra i valori di t che annullano la derivata di f(t). Troviamo il solo valore t = 1 che dà il risultato trovato in precedenza. 7 Ortogonalità di due piani Abbiamo visto che ogni piano determina una direzione ad esso ortogonale, data dai parametri di giacitura. Se il piano ha equazione ax + by + cz + d = 0 allora il vettore n = (a, b, c) è ortogonale al piano. Dunque un piano individua una direzione ad esso ortogonale. Diremo che due piani sono ortogonali se i rispettivi vettori normali sono ortogonali. In conclusione, il piano ax + by + cz + d = 0 è ortogonale al piano a x + b y + c z + d = 0 se e solo se: aa + bb + cc = 0. Dato un piano π e un punto P esistono infiniti piani passanti per P e ortogonali al piano π. 10

Dato un piano π e una retta r esiste sempre un piano π perpendicolare a π e contenente r. Se la retta r non è ortogonale a π, tale piano è unico. Esempio Sia π : 3x y 2z = 0 e r : perpendicolare a π. { x y = 0 x + 2z = 0. Determinare il piano π contenente r e Soluzione. Fascio (ridotto) di piani di asse r ha equazione x y + k(x + 2z) = 0 ovvero: (k + 1)x y + 2kz = 0. Imponiamo la perpendicolarità a π e otteniamo: ovvero k = 4. Il piano è π : 5x y + 8z = 0. 3(k + 1) + 1 4k = 0, Metodo alternativo: n = (3, 1, 2) è un vettore ortogonale a π, mentre v = (2, 2, 1) è un vettore direttore di r. Un vettore n ortogonale a π dovra essere ortogonale a n (poiche π π) e dovra essere ortogonale anche a v poiche π contiene r. Dunque possiamo prendere n = n v = (5, 1, 8) che dà i parametri di giacitura di π. Ora l origine è un punto di r, dunque anche di π, e l equazione di π è: π : 5x y + 8z = 0. 7.1 Proiezione ortogonale di una retta su un piano Data una retta r e un piano π, consideriamo l insieme dei punti che si ottengono proiettando tutti i punti di r sul piano. Si ottiene cosi una retta (contenuta in π) detta proiezione ortogonale di r su π. La proiezione ortogonale di r su π è la retta r intersezione di π con il piano π contenente r e perpendicolare a π: r = π π. Esempio Calcoliamo la retta proiezione ortogonale della retta r : 3x y 2z = 0 (vedi esempio precedente). { x y = 0 x + 2z = 0 sul piano π : Soluzione. Il piano π contenente r e perpendicolare a π è π : 5x y + 8z = 0. Dunque { 3x y 2z = 0 r : 5x y + 8z = 0. 11

8 Distanza di due rette sghembe Date due rette sghembe r, r la distanza di r da r è come al solito definita come la distanza minima di un punto di r da un punto di r. Tale distanza si puo calcolare cosi : Sia π il piano contenente r e parallelo a r. Sia π il piano contenente r e parallelo a r. I piani π e π sono fra loro paralleli. La distanza di r da r uguaglia la distanza di π da π. { { x y = 0 x z = 0 Esempio Calcolare la distanza minima delle due rette r : z 2 = 0, r : y 1 = 0. Soluzione. Notiamo che i parametri direttori di r sono (1, 1, 0) e quelli di r sono (1, 0, 1). Infatti le equazioni parametriche sono: x = t x = s r : y = t, r : y = 1. z = 2 z = s Fascio di piani di asse r ha equazione x y + kz 2k = 0; imponiamo il parallelismo con r e otteniamo k = 1. Dunque: π : x y z + 2 = 0. Fascio di piani di asse r ha equazione x z + k(y 1) = 0 ovvero x + ky z k = 0; imponiamo il parallelismo con r e otteniamo k = 1. Dunque: π : x y z + 1 = 0. Notiamo che in effetti i due piani sono paralleli. La loro distanza è d = d(r, r ) = d(π, π ) = 1 3. Risolveremo il problema in modo alternativo, utilizzando il seguente fatto generale (che per il momento non dimostriamo): Date due rette sghembe r, r esiste una e una sola retta ρ perpendicolare e incidente a entrambe le rette. Ora, la distanza minima fra r e r si ottiene precisamente come distanza fra i punti di intersezione r ρ, r ρ. Per trovare esplicitamente tale retta ρ procediamo come segue. Il 12

punto mobile su r ha coordinate P = (t, t, 2) mentre quello su r ha coordinate P = (s, 1, s). Consideriamo il vettore P P = (s t, 1 t, s 2). È evidente che la retta cercata unira quei punti P e P tali che P P sia perpendicolare sia a r che a r. Utilizzando il prodotto scalare, dobbiamo quindi imporre che (s t, 1 t, s 2) abbia prodotto scalare nullo sia con (1, 1, 0) che con (1, 0, 1). Otteniamo il sistema: { s 2t + 1 = 0 2s t 2 = 0 che dà l unica soluzione t = 4 3, s = 5 3. Dunque ρ è la retta per i punti e la distanza minima di r da r vale P = ( 4 3, 4 3, 2), P = ( 5 3, 1, 5 3 ), d(r, r ) = d(p, P ) = 1 3. 13