MATEMATICA DI BASE 1

MATEMATICA DI BASE 1 Francesco Oliveri Dipartimento di Matematica, Università di Messina 30 Agosto 2010

MATEMATICA DI BASE MODULO 1 Insiemi Logica Numeri

Insiemi Intuitivamente, con il termine insieme si indica una collezione di oggetti chiamati elementi. Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente. x A l elemento x appartiene all insieme A; x / A l elemento x non appartiene all insieme A. Due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi, cioè, due insiemi A e B coincidono se per ogni elemento x tale che x A risulta x B, e per ogni elemento x B risulta x A, o, più concisamente: x A x B e x B x A.

Insiemi Un insieme può essere descritto in maniera estensiva (elencando gli elementi che lo compongono), A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, o in maniera intensiva (le proprietà possedute dai suoi elementi), A = {gli studenti di quest aula il cui compleanno cade in settembre.} Per gli elementi di un insieme non si fa caso all ordine di disposizione. rappresentano lo stesso insieme. A = {x, y, z} e B = {y, z, x}

Insiemi Un insieme B si dice sottoinsieme dell insieme A, e si indica con B A, se per ogni elemento x B risulta x A. Se esiste almeno un elemento x A che non appartiene a B (cioè x / B) allora si dice che B è una parte propria di A e si scrive B A. In particolare, due insiemi A e B coincidono se risulta B A e A B. Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.

Insiemi Diagrammi di Eulero Venn Un diagramma di Eulero Venn è la rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi all interno di una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dell insieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono all insieme con punti esterni ad essa.

Insiemi Diagrammi di Eulero Venn A B Insiemi disgiunti

L Insieme Vuoto Si chiama insieme vuoto l insieme che non contiene nessun elemento. Tale insieme si indica con il simbolo oppure con le parentesi graffe aperte e chiuse {}. L insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se stesso). L insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le operazioni tra insiemi. È l insieme più importante di tutta la Matematica, se non l unico che serve per edificare dal nulla la Matematica stessa.

Operazioni tra Insiemi Unione L unione di due insiemi A e B, A B, è l insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all insieme A o all insieme B o a entrambi. Intersezione L intersezione di due insiemi A e B, A B, è l insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B.

Operazioni tra Insiemi Differenza La differenza B meno A, B A è data dall insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A, B A = {x : x B e x / A} La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B. Differenza simmetrica La differenza simmetrica tra due insiemi è l insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A: A B = (A B) (B A) = (A B) (A B).

Operazioni tra Insiemi Unione e Intersezione A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A B = {4, 5, 6, 7}, A B = {0, 1, 2, 3}, A B = {0, 1, 2, 3, 8, 9}. Differenza e Differenza Simmetrica

Insieme Complementare Dati due insiemi A, ed U, con A U, si definisce complementare di A rispetto ad U l insieme formato dagli elementi che appartengono ad U ma non appartengono ad A: A = {x; : x U e x / A}. Solitamente con U si indica l insieme Universo.

Prodotto cartesiano Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b) con a A e b B: A B = {(a, b) : a A e b B}. Esempio Se A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4} risulta A B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.

Operazioni tra insiemi A = {x N tali che 0 < x < 12} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} A B = {2, 4, 6, 8, 10} A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15}

Logica La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazioni di un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle proposizioni che lo compongono. La prima formulazione della logica come scienza propedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele. La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di verità: Vero (V) e Falso (F). Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa. È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur).

Logica Booleana George Boole, considerando quantità logiche (cioè quantità che possono avere come valori solo V, rappresentato anche come 1, o F, rappresentato anche come 0), matematizzò la logica. Tra quantità logiche si possono eseguire operazioni, come tra i numeri: NOT OR AND XOR Negazione Disgiunzione Congiunzione OR Logica Logica Logica Esclusivo Ad ogni operazione logica corrisponde una sua tabellina, o tavola di verità.

Logica Booleana NOT A V F NOT(A) F V A NOT(A) 1 0 0 1 Operazioni binarie A B A OR B A AND B A XOR B 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0

Numeri Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri. I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale,... ). 1 Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3,...}. 2 Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3...}. 3 Numeri Razionali: Q = { m n con m, n Z, n 0}. 3 2, 15 229, 3 4 = 3 4 = 3 4. 4 Numeri Irrazionali: 2 = 1.414..., π = 3.14159..., e = 2.71828.... 5 Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali. 6 Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b R, i = 1}. 3 + 5i, 2.45 3.61i, 3 5 + π 6 i.

Numeri Naturali Numeri Primi Un NUMERO PRIMO è un numero naturale che è divisibile solamente per se stesso e per 1. I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.c.): 2, 3, 4, 7, 11, 13, 17,... Numeri Composti Un NUMERO COMPOSTO è numero naturale che ha più di due divisori: 6 = 2 3, 280 = 2 2 2 5 7. Teorema fondamentale dell Aritmetica Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di numeri primi. Tale scomposizione è unica a meno dell ordine dei fattori. 23244 = 2 2 3 13 149.

Numeri Naturali Massimo Comun Divisore (MCD) di due interi È il più grande numero naturale che li divide entrambi. Ad es., MCD(30, 18) = 6, MCD(242, 180) = 2. Due numeri a, b si dicono coprimi se MCD(a, b) = 1. Minimo Comune Multiplo (mcm) di due interi È il più piccolo numero naturale multiplo di entrambi. Ad es., mcm(30, 18) = 90. Vale la relazione mcm(a, b) = a b MCD(a, b).

Calcolo di MCD e mcm MCD(23244, 1456) Scomposizione in fattori primi: 23244 = 2 2 3 13 149, 1456 = 2 4 7 13. Dunque: MCD(23244, 1456) = 2 2 13 = 52, mcm(23244, 1456) = 23244 1456 52 = 650832. Usare la scomposizione in fattori primi per calcolare il MCD (e anche il mcm) non è il metodo più efficiente.

Calcolo del Massimo Comune Divisore Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo in primi ricorrendo alle seguenti proprietà: MCD(m, 0) = m se m 0; MCD(m, n) = MCD(m n, n), se m > n; MCD(m, n) = MCD(n, r), se n > 0, dove r è il resto della divisione tra m ed n. L ultima proprietà (Algoritmo di Euclide) è quella che rende i conti più veloci.

Calcolo del Massimo Comune Divisore Per calcolare MCD(23244, 1456) si divide 23244 per 1456 (quoziente 15 e resto 1404). Dunque MCD(23244, 1456) = MCD(1456, 1404). Si divide 1456 per 1404 (quoziente 1 e resto 52) e quindi MCD(1456, 1404) = MCD(1404, 52). Si divide 1404 per 52 (quoziente 27 e resto 0) da cui MCD(1404, 52) = MCD(52, 0) = 52.

Calcolo del Massimo Comune Divisore Per calcolare MCD(3 1287 + 1, 3 1287 1) che si fa? (Sono numeri con più di 600 cifre!). Semplice, facendo la differenza tra i due numeri si ha: MCD(3 1287 + 1, 3 1287 1) = MCD(2, 3 1287 1). Poiché il secondo numero è pari (e quindi divisibile per 2) il MCD è semplicemente 2.

1 4 + 7 18 5 36 = 9 + 14 5 = 18 36 36 = 1 2. MCD e mcm: cui prodest? I numeri razionali non hanno una rappresentazione unica! Le frazioni 3 4, 6 8, 21 28, 243 324 rappresentano tutte lo stesso numero 0.75. La rappresentazione è unica se si considerano le frazioni ridotte ai minimi termini, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori in comune (basta dividerli per il loro MCD). Ad es., 23244 1456 = 23244/52 1456/52 = 447 28. Il mcm serve quando si eseguono operazioni aritmetiche tra numeri razionali. E il MCD per semplificare eventualmente il risultato.

Potenza Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n esima di x (x n ) è data dal prodotto x n = x x... x }{{} n volte. Proprietà della Potenza x 0 = 1 x m x n = x m+n, x m x n = x m n, (x m ) n = x m n. (a patto che x 0, altrimenti è indeterminato),

Radice La radice n esima (n numero naturale) del numero x, n x, è quel numero y tale che y n = x, cioè y = n x y n = x. Se n è pari x non può essere negativo. Dalla definizione di radice n esima e dalle proprietà delle potenze, si può scrivere n x = x 1/n.

Esponenziali e Logaritmi Una funzione importante in Matematica è la funzione esponenziale e x, dove ( e = lim 1 + 1 ) n 2.718281828459045... n n è la costante di Nepero. Questa funzione si definisce come somma della serie e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 4!... = x k k!. Il logaritmo in base e (logaritmo naturale) di un numero x > 0 (ln x) è il valore y per cui e y = x. Si ha dunque che la funzione logaritmo naturale è la funzione inversa della funzione esponenziale e x, cioè, y = ln x x = e y. k=0

Esponenziali e Logaritmi Per ogni numero reale a > 0, e per ogni numero reale x, si può definire la funzione esponenziale a x di base a come segue: Valgono le seguenti identità: a x = e (ln a)x. a 0 = 1, a 1 = a, a 1 = 1 a, (a x ) y = a xy, a x a y = a x+y. Oltre a quelli naturali, importanti logaritmi sono quelli in base 10 (log 10 x), e, per il loro uso in Informatica, i logaritmi in base 2 (log 2 x). Per i logaritmi valgono le seguenti relazioni: log a 1 = 0, log a (x y) = log a x + log a y, log a x n = n log a x, log a (x/y) = log a x log a y, log b a = 1/log a b, log b a = log c a/log c b.

Numero di cifre Il Logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre si rappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è: e log 10 1 = 0, log 10 10 = 1, log 10 100 = 2,..., log 10 10 n = n,... x < y log 10 x < log 10 y, aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero si ottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale. Numero di cifre(195 2799 ) = 1 + log 10 195 2799 = 1 + 2799 log 10 195 6410 Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, in maniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base 2.

Manipolazione di Espressioni Aritmetiche 1 3 4 = 1 4 3 3 4 4 3 = 4 3 1 = 4 3. 1 3 + 3 4 8 9 7 4 13 = = 4+9 12 32 63 36 12 36 31 31 36 36 31 = 13 12 31 36 = 468 372 1 = = 39 31

Notazione scientifica dei numeri reali 0.71 10 3 = 710 13.609 10 4 = 0.0013609 0.9 10 5 0.9 = 30 10 2 30 10 5 0.9 = 10 2 30 107 = 0.03 10 7 = 3 10 5. 10 8 2 = 1 2 10 8 = 0.5 10 8 = 5 10 9. Spero nessuno pensi che il risultato giusto sia 5 8 oppure 10 4!

Manipolazione di Espressioni Aritmetiche 10 2 + 0.5 10 3 2 + 3.2 10 2 = 1 10 2 + 0.05 10 2 = 2 + 0.032 (1 + 0.05) 10 2 = = 1.05 2.032 2.032 10 2 = 0.516732 10 2 72 23 3 3 = 3 2 = 54 2 3 3 = (23 3 2 ) 1/2 (2 3 3 ) 1/3 = 23/2 3 2 1/3 3 = 23/2 2 1/3 = 27/6 = 2 1+1/6 = 2 6 2.

Manipolazione di Espressioni Aritmetiche Il numero più grande tra è il secondo, perché 45 46 e 46 47 45 47 < 46 2. Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è compreso il numero 27 + 1. 27 è maggiore di 5 (5 2 = 25) e minore di 6 (6 2 = 36), cioè 5 < 27 < 6 5 + 1 < 27 + 1 < 6 + 1 6 < 27 + 1 < 7.

Manipolazione di Espressioni Aritmetiche Stimare (senza usare la calcolatrice) il numero 3 141 5. Dunque: 3 141 > 5 perché 141 > 5 3 = 125; 3 141 < 6 perché 141 < 6 3 = 216; 5 è compreso tra 2 e 3. 5 < 3 141 < 6, 2 < 5 < 3, 3 < 5 < 2. 5 + ( 3) < 3 141 + ( 5) < 6 + ( 2) 2 < 3 141 5 < 4.

Percentuali Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il risultato per 100. Ad es., Il 17% di 234 è : 234 17 100 = 1989 50 = 39.78. Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%? x + x p 100 x(100 + p) =. 100 Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è 35(100 + 7) 100 = 749 20 = 37.45.

Percentuali Se una quantità x, diminuita del p% vale y, quanto vale x? Deve essere: y = x x p x(100 p) = 100 100 x = 100y 100 p. Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata 59.99 Euro, il prezzo originale era: 100 59.99 100 30 = 85.70 Euro.