II modulo Le frazioni Il concetto di frazione I numeri naturali (0, 1, 2, 3, ecc.) sono il primo fondamentale strumento che l uomo ha utilizzato per contare. Tuttavia ci si è ben presto resi conto che tale strumento, in certe situazioni, non è più sufficiente. Il problema classico è quello del contare le fette di una torta: è facile capire che dire ho mangiato due fette di torta non è una informazione completa, perché non fa capire effettivamente quale porzione di torta ho mangiato. Supponiamo che la torta sia stata divisa in fette tutte uguali fra loro. È chiaro comunque che se il numero di fette in cui è stata divisa è, ad esempio, di otto, allora aver mangiato due fette equivale ad una certa porzione di torta. Ma se la torta era stata invece divisa solo in quattro parti uguali, allora aver mangiato due fette equivale ad aver mangiato esattamente mezza torta. In entrambi i casi, il numero di fette mangiate è sempre due, ma la parte di torta effettivamente consumata è diversa. Se ci poniamo dunque il problema di voler contare non più solo oggetti interi, indivisibili, ma anche parti di oggetti, ammettendo cioè la possibilità che un oggetto intero possa essere suddiviso in due o più parti, ci accorgiamo che i numeri naturali non bastano più, perché danno luogo ad informazioni non facilmente interpretabili (non basta dire due fette, occorre anche sapere quanto sono grandi queste fette). Cominciamo a fissare una prima regola: ammettiamo quindi la possibilità che un intero possa essere suddiviso in due o più parti, ma supponiamo di dividerlo sempre in parti tutte uguali fra loro. Se divido una torta in due parti delle quali una è più grande dell altra, è chiaro che non potrò assegnare lo stesso valore a queste due parti. Di conseguenza dobbiamo fare attenzione anche agli oggetti che usiamo: le torte vanno bene, perché di solito hanno forma circolare abbastanza regolare, quindi 1
si prestano bene ad essere divise in un qualsiasi numero di parti uguali. Non andrebbe bene, invece, un oggetto dalla forma irregolare, perché avremmo subito delle grosse difficoltà a suddividerlo in parti uguali. Prendiamo allora un oggetto intero di forma regolare (nel senso appena detto) e dividiamolo in un certo numero di parti tutte uguali fra loro. Chiamiamo n il numero di queste parti. È ovvio che n è un numero naturale maggiore di zero (non ha alcun significato dividere una torta o qualsiasi altro oggetto in zero parti uguali). Notiamo che potrebbe anche essere n = 1: se così fosse, significa che abbiamo diviso l oggetto in una sola parte uguale, ossia l abbiamo lasciato intero, non operando alcuna suddivisione! Se invece abbiamo effettivamente fatto qualche suddivisione, il numero n risulterà maggiore di uno. Non ci sono limiti: n potrebbe essere un numero anche molto grande. Conveniamo che l oggetto intero di partenza rappresentasse una unità, cioè la sua quantità fosse numericamente esprimibile col numero 1. Dopo aver effettuato la suddivisione dell oggetto in n parti uguali, consideriamo una qualsiasi di queste parti. Essa deve evidentemente rappresentare una quantità più piccola di 1, in quanto rappresenta una porzione dell intero. Tuttavia tale quantità deve anche essere più grande di 0, in quanto prendendo questa parte dell intero non posso dire di non aver nulla in mano: qualcosa, per quanto piccola, ce l ho! Diamo allora un nome ed un simbolo a questa piccola quantità: la chiamiamo un n-esimo e la indichiamo col simbolo 1 n. Questo simbolo rappresenta evidentemente un nuovo tipo di numero, diverso da qualsiasi numero naturale. Tant è che, come abbiamo detto, è maggiore di 0 ma minore di 1 (mentre, come sappiamo, fra 0 e non c è alcun numero naturale). Questo nuovo tipo di numero si chiama frazione unitaria: il numero n posto in basso sta ad indicare che l oggetto intero di partenza (ad esempio la solita torta) è stato suddiviso in n parti uguali, mentre il numero 1 posto in alto sta ad indicare che abbiamo preso in considerazione solo una di queste parti (fette). Ad esempio, se divido una torta in otto fette uguali, ciascuna di esse 2
rappresenta la quantità 1 8, mentre se invece divido la stessa torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse rappresenta la quantità 1 4. Queste due frazioni unitarie sono diverse fra loro! Infatti entrambe rappresentano una fetta di torta, ma le fette sono diverse: la frazione 1 8 (un ottavo) rappresenta una fetta più piccola, perché è stata ottenuta dividendo la torta in otto parti uguali, mentre la frazione 1 (un quarto) 4 rappresenta una fetta più grande, perché ottenuta dividendo la torta solo in quattro parti uguali. Osserviamo quindi che, di due frazioni unitarie, è più grande quella che ha il numero posto in basso più piccolo. Prendiamo nuovamente il nostro oggetto intero e dividiamolo sempre in n parti uguali. Questa volta, però, consideriamo non una sola, ma un certo numero di queste parti, numero che chiamiamo m. Visto che ciascuna delle parti considerate rappresenta un n-esimo, complessivamente abbiamo preso in considerazione m n-esimi. Ad esempio, se la torta è stata suddivisa in otto parti uguali (ciascuna delle quali vale un ottavo), e prendiamo quattro di queste parti, possiamo dire di aver preso quattro ottavi. Questa nuova quantità, ottenuta quindi prendendo un certo numero di frazioni unitarie, viene rappresentata dal simbolo m n, chiamato frazione. Il numero n che sta in basso, che si chiama denominatore della frazione, non è cambiato rispetto a prima, perché l intero è stato sempre diviso in n parti uguali. È invece cambiato il numero m che sta in alto, che si chiama numeratore della frazione: infatti prima avevamo preso una sola delle n parti uguali (per questo la frazione si chiamava unitaria), stavolta ne abbiamo prese m. Naturalmente quando m = 1 ci si riconduce al caso particolare delle frazioni unitarie. Nel nostro esempio con la torta divisa in otto fette delle quali se ne prendono quattro, abbiam preso 4 8 di torta, cioè 4 fette da 1 8 ciascuna. 3
Il motivo dei nomi numeratore e denominatore è presto detto. Tali nomi stanno ad indicare i due diversi ruoli che hanno questi due numeri nella frazione. Il numeratore, appunto, numera, cioè ci dice quante fette dobbiamo prendere. Il denominatore, invece, denomina, cioè dà un nome: ci dice precisamente quale tipo di fette stiamo considerando (fette da un quarto, da un ottavo, da un terzo, da un quindicesimo, ecc.). Abbiamo già osservato che il denominatore di una frazione può essere un numero naturale qualsiasi, tranne che zero. Per quanto riguarda il numeratore, invece, non c è alcuna limitazione: può essere un numero naturale qualsiasi, incluso zero. Nulla vieta infatti di dividere una torta in un certo numero di parti uguali ma poi di non mangiarne nessuna! Se ho diviso l intero in n parti uguali ma poi non prendo in considerazione nessuna di queste parti, la frazione che rappresenta questa situazione è 0 n. Il numeratore può essere, oltre che uguale a 0, anche uguale a (frazione unitaria) o più grande. Possiamo anche pensare di mangiare tutte le fette della torta. Ossia di dividere un intero in n parti uguali e poi considerarle tutte. In tal caso otteniamo la frazione n n, che ha il numeratore uguale al denominatore. Nulla vieta neanche di oltrepassare questo limite! Infatti, possiamo pensare di considerare non una sola, ma più torte, tutte uguali fra loro. Se dividiamo ciascuna di esse in n fette uguali, osserviamo che ciascuna fetta di ciascuna torta è identica a tutte le altre fette della stessa e delle altre torte. Pertanto ciascuna di queste fette rappresenta la frazione 1 n, ma, avendo usato più torte, abbiamo a disposizione un numero totale di fette maggiore di n. Usando quante torte vogliamo possiamo pensare di prendere, quindi, un numero qualsiasi m di fette, tutte del valore di un n-esimo, ottenendo la frazione m n nella quale il numeratore può essere molto più grande del denominatore. 4
Frazioni proprie, apparenti, improprie Consideriamo una qualsiasi frazione m. Supponiamo che il numeratore m sia un multiplo del denominatore n, cioè che m sia divisibile n per n. Ciò significa che dapprima abbiamo diviso una o più torte (uguali fra loro) ciascuna in n fette uguali, poi abbiamo considerato m di queste fette. Ma, essendo m un multiplo di n, è come se avessimo preso un certo numero di torte tutte intere, precisamente tante torte quanto è il risultato della divisione m : n. Ciò significa che la frazione m n rappresenta in realtà un numero naturale, esattamente il risultato della divisione tra il numeratore ed il denominatore. Per questo motivo, una frazione che abbia il numeratore multiplo del denominatore si chiama frazione apparente: essa in realtà non rappresenta, a differenza delle altre frazioni, alcun nuovo numero, perché corrisponde ad un numero naturale. Esempi di frazioni apparenti sono 9 3, 8 8, 63 9, 0 5 (eseguendo le divisioni, tali frazioni rappresentano rispettivamente i numeri 3, 1, 7, 0). In generale osserviamo che è apparente qualsiasi frazione che ha il numeratore uguale a 0: infatti 0 è multiplo di qualsiasi numero, quindi la frazione 0 è apparente qualunque sia il denominatore n e tale n frazione rappresenta il numero 0 (in quanto 0 : n = 0). Sono poi apparenti tutte quelle frazioni che hanno il numeratore uguale al denominatore: infatti ogni numero naturale n, diverso da zero, è multiplo di se stesso, quindi la frazione n è apparente e rappresenta il numero 1 (in quanto n n : n = 1). Abbiamo quindi scoperto che, se il numero naturale m è divisibile per il numero naturale n, e quest ultimo è diverso da 0, allora vale l uguaglianza m n = m : n. Se invece m non è multiplo di n, la frazione m non è apparente, quindi non n rappresenta alcun numero naturale. D altra parte, in tal caso, sappiamo che la divisione m : n non dà risultato intero. Di conseguenza possiamo 5
ben pensare che l uguaglianza sia valida anche in questo caso. m n = m : n Quindi l uso delle frazioni permette di dare un significato ben preciso all operazione di divisione fra numeri naturali anche quando il dividendo non è multiplo del divisore (purchè il divisore sia diverso da zero). Torneremo su questo più avanti, ma è il caso di osservare fin da ora che quindi la linea di frazione equivale in tutto e per tutto al simbolo della divisione. Le frazioni non apparenti si distinguono così: se la frazione rappresenta una parte dell intero, cioè se il suo valore è minore di 1, allora si chiama frazione propria; se invece la frazione è maggiore dell intero, cioè maggiore di 1, allora si chiama frazione impropria. Per quanto abbiamo visto in precedenza, è chiaro che la frazione è propria quando il numeratore è minore del denominatore, è impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore. Tuttavia, occorre sempre controllare che non sia apparente, ad esempio le frazioni 0 5, 12 4, che sembrerebbero una propria e l altra impropria, sono in realtà entrambe apparenti (la prima vale 0, la seconda vale 3). Frazioni equivalenti Consideriamo le frazioni 1 e 3. Per rappresentare la prima, dobbiamo 5 15 suddividere una torta in cinque parti uguali e poi prenderne una. Per rappresentare la seconda, dobbiamo dividere la stessa torta in quindici parti uguali e prenderne tre. Osserviamo però che 15 (denominatore della seconda frazione) è multiplo di 5 (denominatore della prima). Da ciò segue che, quando dividiamo la torta i5 fette uguali, se poi riuniamo queste fette a tre a tre otteniamo una suddivisione della torta in 5 parti uguali. Possiamo quindi affermare che tre fette da un quindicesimo, messe insieme, equivalgono ad una fetta da un quinto. Quindi le due 6
frazioni considerate hanno in realtà lo stesso valore numerico (anche se sono completamente diverse nei numeratori e nei denominatori), perché rappresentano la stessa quantità. Esistono quindi frazioni diverse tra loro ma con ugual valore. Due frazioni di questo tipo si chiamano equivalenti. Il nostro prossimo obiettivo è cercare un metodo per riconoscere quando due frazioni sono tra loro equivalenti. Semplificazione e riduzione ai minimi termini Consideriamo la frazione 9. Osserviamo che il numeratore ed il denominatore sono entrambi divisibili per 3. Per rappresentare questa 15 frazione dovremmo dividere la torta in quindici parti uguali e poi considerare nove fette. Tuttavia, se riuniamo le fette a tre a tre, osserviamo che le quindici fette iniziali diventano cinque fette più grandi (ciascuna da un quinto), mentre le nove fette da prendere in considerazione diventano tre di queste cinque fette più grandi. Questo procedimento ci mostra che la frazione data è equivalente a 3. Se guardiamo bene il procedimento 5 utilizzato (di raggruppare le fette a tre a tre), esso consiste di fatto nel dividere il numeratore ed il denominatore per un loro divisore comune (nel nostro esempio il 3). Possiamo quindi concludere che, se in una qualsiasi frazione si dividono il numeratore ed il denominatore per uno stesso numero naturale (che dev essere ovviamente un loro divisore comune), si ottiene una nuova frazione che è però equivalente a quella di partenza. Questo procedimento si chiama semplificazione della frazione, in quanto ogni volta che viene applicato si ottiene una frazione non solo equivalente ma anche in forma più semplice (il numeratore ed il denominatore sono entrambi diminuiti, essendo risultato di divisioni). Fino a che punto è possibile semplificare una frazione? Una volta effettuata una prima semplificazione, la nuova frazione che si è ottenuta sarà ulteriormente semplificabile se il numeratore ed il denominatore hanno ancora dei divisori comuni. Ci si deve fermare quando il numeratore 7
ed il denominatore non hanno più divisori comuni diversi da 1 (dividere per 1 non cambia ovviamente nulla). Quando si arriva ad una frazione siffatta, in cui cioé l unico divisore comune tra numeratore e denominatore è 1, si dice che la frazione è stata ridotta ai minimi termini. Si è ottenuta cioé la più semplice frazione possibile tra tutte quelle equivalenti alla frazione di partenza. Per ridurre ai minimi termini una frazione si può procedere sostanzialmente in due modi. Il primo permette di ridurre ai minimi termini mediante un unica semplificazione: si individua anzitutto il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore e poi si dividono questi ultimi per tale massimo comune divisore. In questo modo si è sicuri di aver effettuato in un colpo solo la semplificazione di tutti i fattori comuni, quindi la frazione così semplificata sarà certamente ridotta ai minimi termini. Il secondo metodo consiste invece in semplificazioni successive: si individua un divisore comune e si dividono numeratore e denominatore per tale divisore, poi si va alla ricerca di un altro divisore comune e così via. Quasi sempre è consigliabile il secondo metodo, perché il primo è solo in apparenza più breve: per poter applicare il primo occorre risolvere dapprima il problema di individuare il massimo comune divisore, il che è spesso molto lungo e complicato. È dunque di solito più conveniente individuare divisori comuni più piccoli uno alla volta, per evitare calcoli laboriosi. Osserviamo che, per riconoscere se due frazioni sono equivalenti, occorre ridurle entrambe ai minimi termini e vedere se risultano uguali. Ad esempio, date le frazioni 8 e 14 20 35, osserviamo che, semplificando solo una delle due, non si riesce mai ad ottenere l altra. Tuttavia, se le semplifichiamo entrambe riducendole ai minimi termini, risultano entrambe uguali a 2 : vuol dire che le due frazioni erano equivalenti. 5 Addizione e sottrazione Consideriamo le frazioni 4 e 2. È abbastanza chiaro che possiamo 7 7 eseguire l addizione e la sottrazione tra queste frazioni nei seguenti modi: 4 7 + 2 7 = 4 + 2 = 6 7 7, 8
4 7 2 7 = 4 2 = 2 7 7. Ciò dipende dal fatto che se ho quattro fette di torta da un settimo da una parte ed altre due fette di torta sempre da un settimo dall altra parte, mettendole insieme avrò sempre fette di torta da un settimo (quindi nell addizione il denominatore non cambia!) e precisamente ne avrò quattro più due, cioè sei. Allo stesso modo, se dalle quattro fette da un settimo ne tolgo due, mi rimarranno due fette, sempre da un settimo. Possiamo quindi affermare che l addizione e la sottrazione tra frazioni si possono facilmente eseguire quando le frazioni hanno lo stesso denominatore: il risultato sarà una frazione che ha ancora lo stesso denominatore, mentre il numeratore si otterrà rispettivamente dall addizione o dalla sottrazione dei numeratori. Naturalmente, perché si possa eseguire la sottrazione, occorre che la prima frazione sia maggiore o uguale della seconda. Come si eseguono invece l addizione e la sottrazione quando le due frazioni non hanno lo stesso denominatore? Supponiamo di voler eseguire l addizione 4 9 + 7 15. Non è possibile fare calcoli immediati: mettendo insieme quattro fette da un nono e sette fette da un quindicesimo si ottengono in tutto undici fette, ma queste undici fette non sono tutte uguali fra loro! Per procedere, occorre ricondursi al caso dei denominatori uguali. E per ricondursi a questo caso, occorre trasformare le due frazioni date in nuove frazioni ad esse equivalenti, ma che abbiano in comune fra loro lo stesso denominatore. Per arrivare a questo, quasi sempre, non basta semplificare le due frazioni date (tant è che, nel nostro esempio, le due frazioni sono entrambe già ridotte ai minimi termini). Occorre, di solito, fare invece l operazione inversa della semplificazione: anziché dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero, bisogna moltiplicarli per uno stesso numero. In questo modo si ottiene chiaramente una frazione equivalente a quella di partenza, ma per quali numeri bisogna moltiplicare in modo che le due nuove frazioni risultino avere lo stesso denominatore? Se ci pensiamo un po capiamo che i due denominatori, quando vengo- 9
no moltiplicati, si trasformano in loro multipli. Occorre evidentemente individuare un multiplo comune dei due denominatori. Il multiplo comune più semplice è il minimo comune multiplo. Una volta individuato il minimo comune multiplo tra i due denominatori (nel nostro esempio il minimo comune multiplo tra 9 e 15 è 45), ciascuna delle due frazioni va trasformata in una frazione equivalente che abbia come denominatore il minimo comune multiplo appena trovato. Per farlo, si prende questo minimo comune multiplo (nel nostro caso 45) e lo si divide per il denominatore della prima frazione (45 : 9 = 5). Il risultato che si ottiene è quel numero per cui moltiplicare il numeratore ed il denominatore della prima frazione (4 5 = 20 ed, ovviamente, 9 5 = 45, sicché si ha 4 9 = 20 45 ). Si procede allo stesso modo per la seconda frazione (45 : 15 = 3, quindi 7 3 = 21 ed, ovviamente, 15 3 = 45, sicché 7 = 21 15 45 ). A questo punto, le due nuove frazioni ottenute hanno lo stesso denominatore (minimo comune multiplo dei denominatori di partenza) ma sono equivalenti a quelle di partenza, per cui si può eseguire l addizione: 4 9 + 7 15 = 20 45 + 21 45 = 20 + 21 45 = 41 45. Una volta eseguita l addizione, se possibile, si passa a semplificare il risultato (nel nostro esempio non è possibile perché la frazione 41 45 è già ridotta ai minimi termini). La sottrazione si esegue allo stesso modo. Notiamo che, se volessimo eseguire la sottrazione 4 9 7 15, ci accorgeremmo solo dopo aver eseguito le trasformazioni a denominatore comune che in realtà tale sottrazione non può essere eseguita: la frazione 4 9 è minore di 7 21 45 15 20, in quanto la prima equivale a, la seconda a 45. Si può invece eseguire la sottrazione inversa: 7 15 4 9 = 21 45 20 45 = 21 20 45 = 1 45. È interessante sottolineare come, nello studio delle frazioni, risultano fondamentali due concetti che avevamo visto nel I modulo, quelli di 10
massimo comune divisore (usato nella semplificazione di una frazione) e soprattutto quello di minimo comune multiplo (fondamentale nell eseguire addizioni e sottrazioni tra frazioni). Possiamo quindi finalmente affermare che l aver studiato a fondo questi concetti di aritmetica dei numeri naturali (che all epoca sembravano non servire a nulla) non è stata una fatica inutile... Moltiplicazione e divisione Vogliamo eseguire la moltiplicazione tra la frazione 2 ed il numero 17 naturale 4. La frazione rappresenta due fette di torta ciascuna da un diciassettesimo. Moltiplicare questa quantità per quattro significa prendere quattro volte questa quantità, cioè quattro volte due fette da un diciassettesimo. È chiaro che ciò equivale a considerare otto fette (cioé quattro per due) ma sempre da un diciassettesimo! Possiamo quindi affermare che la moltiplicazione tra una frazione ed un numero naturale si esegue moltiplicando solo il numeratore della frazione per tale numero naturale, mentre il denominatore rimane invariato. Nel nostro caso scriviamo 2 17 4 = 2 17 + 2 17 + 2 17 + 2 17 = 2 + 2 + 2 + 2 17 La regola è quindi ottiene d n 2 = n 2. d = 2 4 17 = 8 17. In particolare, se = 1, cioé se la frazione considerata è unitaria, si 1 d n = n d = n : d. Quindi, moltiplicare un numero naturale per una frazione unitaria equivale a dividerlo per il denominatore di tale frazione. Proviamo ora a dividere una frazione qualsiasi naturale n 2. Si ottiene: d : n 2 = d n 2. 11 d per un numero
Il motivo è che la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione, quindi il risultato della moltiplicazione dev essere un numero che, moltiplicato per il divisore, dà il dividendo. Ed, in effetti, si ha n 2 = n 2 = d n 2 d n 2 d (dove nell ultimo passaggio si è semplificato, dividendo numeratore e denominatore per n 2 ). Possiamo quindi affermare che la divisione tra una frazione ed un numero naturale si esegue moltiplicando il denominatore della frazione per tale numero naturale, mentre il numeratore rimane invariato. Mettendo insieme le due regole n 2 = n 2, d 2 : d 2 = d 2, si ottiene la regola generale della moltiplicazione tra frazioni: n2 d 2 = n 2 : d 2 = n 2 : d 2 = n 2 d 2. Quindi la moltiplicazione tra frazioni si esegue moltiplicando fra loro i numeratori e moltiplicando fra loro i denominatori. Notiamo che è un operazione molto più semplice dell addizione e della sottrazione, in quanto non è necessario portare le frazioni allo stesso denominatore. Inoltre, nell eseguirla, è possibile eseguire le semplificazioni prima ancora di eseguire i prodotti: anziché calcolare 24 35 7 40 = 24 7 35 40 = 168 1400 = 84 700 = 42 350 = 21 175 = 3 25, è più conveniente scrivere 24 35 7 40 = 24 7 35 40 = 24 5 40 = 12 5 20 = 6 5 10 = 3 5 5 = 3 25, effettuando cioé le cosiddette semplificazioni incrociate (numeratore di una frazione col denominatore dell altra). 12
Per quel che riguarda la divisione tra frazioni, è facile verificare che, dalle regole precedenti, si ottiene : n 2 d 2 = d2 n 2. Quindi la divisione tra frazioni viene sempre trasformata in una moltiplicazione, lasciando invariata la prima frazione ed invertendo numeratore e denominatore della seconda. Una volta fatto ciò si esegue la moltiplicazione con le regole appena viste (semplificazioni incrociate e prodotti numeratore per numeratore e denominatore per denominatore). Potenze Chiudiamo questo modulo con un breve cenno alle potenze (con esponente un numero naturale) di una frazione. Il discorso è molto semplice, perché se si vuole elevare a potenza una frazione, è sufficiente elevare alla stessa potenza sia il numeratore che il denominatore. Ad esempio, calcoliamo ( 2 3 )5 = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 = 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 = 25 3 5 = 32 243. Ovviamente, una volta che ci siamo resi conto che il meccanismo funziona sempre, si possono omettere i passaggi intermedi: scriveremo ( 2 3 )5 = 25 3 5 = 32 243. È fondamentale osservare quanto siano importanti le parentesi: se scriviamo 2 3 5, vogliamo significare che solo il numeratore viene elevato alla quinta, ma non il denominatore. 13