LABORATORIO DI MATEMATICA LO STUDIO DELLE FUNZIONI ESERCITAZIONE GUIDATA Data la seguente famiglia di funzioni nella variabile reale, con il parametro, f ( ) =, costruiamo un foglio che, ricevuto un valore del parametro, permetta di ottenere: a) il dominio della funzione, b) le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani, c) le equazioni degli eventuali asintoti, d) le coordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativo, e) i grafici della funzione e degli asintoti dopo aver inserito gli estremi di variazione della. L analisi del problema a) Se! 0, il dominio della funzione è! ; se = 0, è dato da R (il grafico della funzione diventa una parabola). b) Notiamo che tutte le funzioni intersecano l asse y in (0; ). Intersezioni con l asse : = 0 con! 0, da cui =!, per!! 0, cioè! e!. Quindi, se! e!, le intersezioni con l asse sono (; 0) e (; 0). Se = o =, il grafico della funzione diventa quello di una retta con un punto di discontinuità di terza specie in b ;0 l. Proseguiamo lo studio delle funzioni escludendo i valori, 0, del parametro che portano ai casi particolari visti. c) Calcoliamo, lim =, lim ( = e lim " ) b l " =, ottenendo le " equazioni dell asintoto verticale d) Determiniamo la derivata prima ( ) = e dell asintoto obliquo y = +. fl + = e, per discuterla, calcoliamo il discriminante ( ) D del numeratore = Dquarti = 6. Se Dquarti 0, cioè, il grafico ammette due Dquarti punti estremanti, le cui ascisse sono = Dquarti e = +. Se Dquarti 0 e 0, cioè se 0, la funzione è crescente per valori esterni all intervallo [ ; ] ed è decrescente per valori interni, quindi la funzione ha un massimo in e un minimo in. Se Dquarti 0 e 0, cioè se 0, la funzione è crescente per valori interni all intervallo [ ; ] (se 0, ) ed è decrescente per valori esterni, quindi ha ancora un minimo in e un massimo in. Se Dquarti 0 e 0, cioè se, la funzione è sempre crescente. Se Dquarti 0 e 0, cioè se, la funzione è sempre decrescente. Il caso Dquarti = 0 porta a = o =, situazioni che abbiamo già considerato. La struttura del foglio Scriviamo le didascalie per ricordare il testo del problema, per indicare dove inserire il valore del parametro (nella cella bordata D) e per leggere i risultati. Imponiamo al sistema di rappresentare numeri con quattro cifre decimali, evidenziando la zona del foglio A:D e usando il comando Formato Celle Numero. Copyright 0 Zanichelli editore S.p.A., Bologna
Assegniamo alla cella D il nome e alla cella D il nome deltaq digitandoli nel campo Casella del nome. Basandoci sull analisi svolta immettiamo le formule di Ecel con le istruzioni condizionali, che selezionano i vari casi possibili. Per fornire il risultato del dominio, digitiamo = SE( = 0; R ; diverso da ) in B e = SE( = 0; ; /) in C. Selezioniamo il tipo di funzione scrivendo = SE(O( = ; = ); retta ; SE( = 0; parabola ; funzione razionale fratta )) in C7. Precisiamo le intersezioni con l asse digi tando = SE(C7 = retta ; ha ascissa ; hanno ascis se ) in C e formule con lo stesso controllo in A, B e C. Per lasciare vuote le celle adibite a mostrare i risultati degli asintoti e della crescenza della funzione, nei casi particolari, digitiamo all inizio di ogni formula la condizione = SE(O( = 0; = ; = ); ;...). Per esempio, scriviamo = SE(O( = 0; = ; = ); ; Gli asintoti hanno equazione: ) in A. Istruzioni analoghe vanno in A, B, D, A6, B6, C6, D6. D Per distinguere i vari casi di crescenza e di decrescenza di f (), calcoliamo il discriminante del numeratore della derivata prima. Nella cella D (quella che abbiamo chiamato deltaq) digitiamo = SE(O( = 0; = ; = ); ; 6 *^) e facciamo poi dipendere le uscite delle celle seguenti dal valore di deltaq. Digitiamo in = SE(O( = 0; = ; = ); ; La funzione ) A9 = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; ha un massimo in ; SE( 0; è sempre crescente ; è sempre decrescente ))) B9 = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; ( RADQ(deltaq))/; )) B0 = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; (B0^ )/(*B0 ); )) D0 = SE(O( = 0; = ; = ; deltaq 0); ; La funzione ) A = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; ha un minimo in ; )) B = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; ( + RADQ(deltaq))/; )) B = SE(O( = 0; = ; = ); ; SE(deltaq 0; (B^ )/(*B ); )) D L uso del foglio Proviamo il foglio con un valore di, scrivendo = / in D. Otteniamo il foglio della figura. Figura Il foglio dopo l inserimento del valore nella casella D alla quale abbiamo assegnato il nome. Copyright 0 Zanichelli editore S.p.A., Bologna
Le tabelle per ricavare il grafico Costruiamo le tabelle con i valori della e i corrispondenti valori della f () in Foglio: una con i valori a sinistra del punto di discontinuità, una con i valori a destra. Inoltre determiniamo per ognuno dei due asintoti le coordinate di due dei loro punti agli estremi dell area visibile del grafico. Richiediamo, come dato d ingresso, l incremento della nella cella D di Foglio. Importiamo da Foglio il punto di discontinuità delle funzioni digitando = Foglio!$C$ nella cella D. Per il ramo a sinistra del punto di discontinuità scriviamo = D D in A9, = A9 $D$ in A0 e la copiamo sino alla cella A, = (A9^ )/(Foglio!$D$*A9 ) in B9 la copiamo sino alla cella B. Operiamo in modo simile con la tabella per il ramo a destra dell asintoto. Digitiamo = A in A, = Foglio!$B$6* A + Foglio!$D$6 in B, = C in A6 e = Foglio!$B$6*A6 + Foglio!$D$6 in B6, per determinare due punti appartenenti all asintoto obliquo. Scriviamo = D in C, = MIN(B9:B; D9:D; B:B6) in D, = D in C6, = MAX(B9:B; D9:D; B:B6) in D6, per determinare due punti dell asintoto verticale. Immettiamo 0, in D e le tabelle si aggiornano come in figura. Figura Le tabelle per i grafici della funzione e degli asintoti contenute in Foglio. Il grafico Evidenziamo la zona del foglio A:B (quella del ramo del grafico della funzione a sinistra dell asintoto verticale) e facciamo clic sul bottone Autocomposizione grafico. Scegliamo il tipo di grafico: Dispers.(XY), Dispersione con coordinate unite da linee smussate e senza indicatori di dati. Nella seconda finestra di dialogo sfruttiamo la possibilità di unire più grafici nello stesso riferimento cartesiano per rappresentare il ramo a destra dell asintoto e i due asintoti. Facciamo clic sul bottone Aggiungi e importiamo nel campo Valori della quelli contenuti nella zona C9:C e nel campo Valori della y quelli contenuti nella zona D9:D. Figura I grafici dei due rami della funzione, corrispondente al valore =, e dei due asintoti. Copyright 0 Zanichelli editore S.p.A., Bologna
Operiamo similmente per aggiungere il grafico dell asintoto obliquo, tenendo presente le zone nelle quali abbiamo determinato le coordinate di due dei suoi punti, la A:A6 e la B:B6. Scriviamo L asintoto obliquo nel campo Nome per farlo riportare da Ecel nella Legenda. Aggiungiamo pure l asintoto verticale, ricordando le zone con le coordinate di due dei suoi punti, la C:C6 e la D:D6. Togliamo la griglia dei valori e vediamo in Grafico il grafico di figura. Possiamo rappresentare un altra funzione facendo clic su Foglio e digitando un altro valore per il parametro, esclusi quelli dei casi limite. Esercitazioni Usa lo strumento informatico che hai a disposizione per svolgere una discussione completa sullo studio delle seguenti famiglie di funzioni, in relazione ai valori del parametro! R. Sul quaderno, poi, studia (in modo indipendente) la funzione che ottieni sostituendo i valori indicati del parametro e confronta i tuoi risultati con quelli del computer. f ( ) f ( ) =, =, = 7. + =, =, =. f ( ) =, =, =. f ( ) = + +, = e, =. ln( + ) 6 f ( ) = + +, =, =. = f ( ) e, =, =. Per ognuna delle seguenti famiglie di funzioni, nella variabile reale e parametro h! Z, opera in modo simile a quello proposto nelle esercitazioni precedenti. 7 9 0 f ( ) = ( ) h e, h = 0,,. f ( ) = sen+ hcos, h = 0,,. ( ) f ( ) = + h, h =,,. h f ( ) = ( + ) ln( + ), h = 0,,. Con l aiuto del computer, realizza una sessione di lavoro in cui, dopo aver ricevuto il valore del parametro, si trovino le coordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativi, per ognuna delle seguenti funzioni. f ( ) = ( ) + f ( ) = f ( ) = ( ) e + Come nelle esercitazioni precedenti, determina l equazione egli asintoti delle seguenti funzioni. + f ( ) = f ( ) = 6 f ( ) = + ( ) + + Copyright 0 Zanichelli editore S.p.A., Bologna
Per ognuna delle seguenti funzioni, costruisci una sessione di lavoro al computer che, dopo aver ricevuto il valore della grandezza indicata, trovi, se esistono, quelli delle grandezze richieste e dia la possibilità di ottenere un grafico per verifica. 7 9 Data f() = ( a) ln(a ) e assegnata l ascissa M del punto di massimo M del grafico di f, determina il valore di a, l ordinata di M e l intersezione A con l asse. Prova con M = e. [a =, y M = 0,679, A(; 0)] Data g() = + a e assegnata l ascissa T del punto T, dove la tangente al grafico di g è parallela alla retta y =, determina il valore di a, l ordinata di T e l equazione della tangente. Prova con T =. [a =,0, y T =,0, y =,00 + 0,0] a Data f ( ) = e assegnato il coefficiente m della retta y = m, parallela alla tangente del grafico di f + nel punto T, di ascissa, determina il valore di a, l ordinata di T e l equazione della tangente. Prova con m =. [a = 9, yt =, y =,60,0] Copyright 0 Zanichelli editore S.p.A., Bologna