Modello dinamico del reparto produzione Norfolk s.p.a.

Modello dinamico del reparto produzione Norfolk s.p.a. La Norfolk s.p.a., un azienda che produce componenti ad alta tecnologia nel campo dell intrattenimento, vi commissiona la realizzazione di un semplice modello dinamico per prevedere l andamento della produzione dell area lettori DvD nei prossimi 3 anni. L azienda vi affianca uno dei suoi manager come collabotore per questo progetto. Egli vi fornisce i seguenti dati e vi spiega la politica della Norfolk s.p.a. nel corso degli ultimi 3 anni. I. La Norfolk s.p.a. opera nel settore già da 3 anni (dal 2000) ed il mercato dei lettori DvD ha avuto un espansione vertiginosa. Il top management vi richiede un analisi dei successivi 3 anni (dal 2003 al 2005) perché ritiene che saranno quelli in cui il mercato troverà un equilibrio di saturazione ed il lettore DvD raggiungerà lo status di prodotto maturo. II. Per soddisfare la crescente domanda, l azienda nel 2002 ha appena terminato di potenziare i suoi 3 impianti di produzione/assemblaggio di lettori DvD in Europa; essi hanno le seguenti caratteristiche: DVD Produzione massima annuale fino al 2002 % di utilizzo impianti nell anno 2002 Produzione massima dopo il potenziamento Italia 100.000 75% 1.000 Spagna.000 75% 75.000 Grecia.000 90% 100.000 LETTORI III. Il potenziamento degli impianti ha coinvolto strutture esterne agli impianti esistenti e non ha influito in alcun modo sui tempi di produzione. IV. Le commesse sono inviate in produzione ad inizio anno e ci si aspetta di soddisfare tali commesse a fine anno (cioè esattamente all inizio dell anno successivo). V. Le commesse avviate a produzione nel 2002 e quelle stimate per i 3 anni successivi sono riassunte nel seguente grafico, comprensivo di tutti gli impianti: Commesse avviate nel 2002 e stimate per i 3 anni seguenti (N lettori DvD) 300000 2000 200000 1000 100000 000 0 2002 2003 2004 2005

VI. La politica aziendale nel corso dei 3 anni passati ha spostato la percentuale delle commesse prodotte nei singoli impianti sempre più verso lo stabilimento Greco, che infatti ha avuto un incremento di capacità del 100%, ciò è stato determinato principalmente dalle politiche comunitarie di sovvenzione per le aree obiettivo 1 e dal costo del lavoro nella zona, più basso che in Italia e Spagna. Esistono comunque dei vincoli legali, sindacali e di profitto che si traducono in percentuali minime e massime di commesse producibili per ogni area. VII. Le percentuali di produzione spettanti ai singoli impianti si riferiscono alle variazioni delle commesse rispetto l anno precedente ed hanno avuto il seguente andamento nel corso dei 3 anni passati: % COMMESSE 2000 2001 2002 Min dal 2003 Max dal 2003 Italia 55% % 40% 30% 60% Spagna 35% 30% 25% 15% 45% Grecia 10% 20% 35% 25% 55% VIII. Il top management assegna un obiettivo di produzione annuale per ogni impianto esattamente uguale al totale unità prodotte l anno precedente da quell impianto; in più tale obiettivo è incrementato dell aliquota sulle variazioni delle commesse di cui al punto VII. Suggerimenti per la modellazione?? Verificare che per questa tipologia di modello (in condizioni di linearità) la produzione totale a fine anno è esattamente uguale alla domanda commissionata ad inizio anno.?? La scelta dei coefficienti di B è cruciale per il modello: in realtà coefficienti di questo tipo non sono né stazionari, né lineari, ma dipendono pesantemente dal tempo e dalle indicazioni dei vincoli di costo sul trasporto merci, sulla rete distributiva, dalle indicazioni della sezione marketing, dal potere sindacale relativo ad ogni impianto/nazione, etc.?? I costi di produzione, compresi quelli della manodopera, non sono rilevanti ai fini del modello.

Soluzione I dati sulla Norfolk s.p.a. suggeriscono un flusso logico che caratterizza il modello in questo modo: Commesse Reparto produzione lettori DvD della Norfolk s.p.a. Lettori DvD prodotti Informazioni del Manager Per cui scegliamo la variabile Commesse come unico ingresso u e la variabile Lettori DvD prodotti come unica uscita y. Scegliamo altresì come unità di misura il N pezzi, in migliaia di unità, per entrambe. Le informazioni del manager devono essere usate in maniera da specificare: 1. Le variabili di stato migliori per rappresentare il modello. 2. L unità di misura del tempo adeguata per lo specifico problema. 3. La struttura del sistema sotto forma di equazioni ingresso-stato e stato-uscita e, in caso di sistema lineare, la forma matriciale [A, B, C, D]. 4. I coefficienti del sistema che caratterizzano le equazioni/matrici per la Norfolk s.p.a. 5. Lo stato iniziale x 0 dell azienda, in relazione alle variabili di stato scelte. 6. La sequenza di ingressi u. 1. Le variabili di stato migliori per rappresentare il modello Possono essere fatte diverse scelte per le variabili che rappresentano la storia/memoria del reparto produttivo della Norfolk s.p.a., ad esempio x i potrebbe rappresentare la capacità produttiva di un singolo impianto, oppure la percentuale di produttività relativa al singolo impianto. La scelta più naturale sembra quella di definire x i come il numero di lettori DvD (in migliaia di pezzi) prodotte in un singolo impianto in un anno solare (dal 1 Gennaio al 31 Dicembre).

2. L unità di misura del tempo adeguata per lo specifico problema Tutti i dati ci vengono forniti dal manager in annualità, cosicché ci orientiamo verso un sistema tempo discreto e scegliamo l unità di misura del tempo in questo modo: Dal 1 Gennaio al 31 Dicembre Dal 1 Gennaio al 31 Dicembre Anno k Anno k+1 n.b. Come nella prassi di tutti i modelli su base annuale discreti, la fine dell anno k coincide con l inizio dell anno k+1. In particolare il modello della Norfolk s.p.a. presenta questa scala dei tempi: k = 0 1/1/04 31/12/04 k = 2 1/1/03 31/12/03 k = 1 1/1/05 31/12/05 k = 3 Ricordando l indicazione IV del manager, le commesse avviate l 1/1/2003 saranno completate il 31/12/2003; gli effetti sul modello sono che l ingresso relativo all anno k = 0 produrrà i suoi effetti sull uscita k = 1 e questo vale per tutti gli anni k. 3. La struttura del sistema sotto forma di equazioni ingresso-stato e statouscita e, in caso di sistema lineare, la forma matriciale [A, B, C, D] Seguendo le indicazioni del manager relative al punto VIII, ad ogni impianto è assegnata d ufficio la stessa quota produttiva dell anno passato, più la percentuale di variazioni sulle commesse che il top management decide di assegnargli per quell anno. Relativamente ad un singolo anno ed a un singolo impianto, vale la seguente relazione: N DvD prodotti (fine anno attuale/inizio anno prossimo) = N DvD prodotti (fine anno scorso/inizio anno attuale) + % var.commesse (inizio anno attuale) spettante a quello specifico impianto Cioè: con N DvD Impianto (k+1) = N DvD Impianto (k) + P Impianto *? Commesse (k)? Commesse (k) = Commesse(k) Commesse(k-1) n.b. Notiamo che? Commesse (k) = Commesse(k) Commesse(k-1), perché l informazione sulla memoria del sistema è nello stato, non nell ingresso. Per mostrare ciò consideriamo la formula:

N DvD Impianto (k+1) = N DvD Impianto (k) + P Impianto *? Commesse (k) Se al posto di? Commesse (k) mettessimo l ammontare delle commesse per quell anno, cioè Commesse(k), sommeremmo al N DvD Impianto (k) la frazione P Impianto dell intero ammontare di Commesse(k). Questo di fatto raddoppierebbe nei calcoli la produzione di ogni impianto per ogni anno, il modello fornirebbe una quantità di lettori DvD prodotti gonfiata perché calcolata 2 volte: in x i e nell aliquota di u. La produzione totale della Norfolk s.p.a. risulta: Tot. produzione Norfolk s.p.a. (fine anno att./inizio anno pr.) =? 3 impianti N DvD Impianto (fine anno att./inizio anno pr.) Se poniamo: e x 1 (k) = N DvD Italia (k) x 2 (k) = N DvD Spagna (k) x 3 (k) = N DvD Grecia (k) u(k) =? Commesse (k) le equazioni ingresso-stato e stato-uscita sono rispettivamente: x 1 (k+1) = x 1 (k) + b 1 *u(k) x 2 (k+1) = x 2 (k) + b 2 *u(k) x 3 (k+1) = x 3 (k) + b 3 *u(k) y(k) = x 1 (k) + x 2 (k) + x 3 (k) Il sistema risulta lineare nello stato, nell ingresso e nell uscita, rappresentabile pertanto in forma matriciale. La struttura delle matrici A, B e C del modello è presentata di seguito: x(k+1) Matrice A x(k) Matrice/Vettore B u(k) x1(k+1) 1 0 0 x1(k) b 1 x2(k+1) = 0 1 0 x2(k) + b 2 x3(k+1) 0 0 1 x3(k) b 3 u(k) Matrice/Vettore C x(k) y(k) = 1 1 1 x1(k) x2(k) x3(k) La matrice D, che sarebbe comunque un singolo scalare, non è presente perché l ingresso (? Commesse ) non ha effetto immediato sull uscita (Tot. produzione Norfolk s.p.a.) in quanto nel modello le commesse vengono considerate evase a fine anno. n.b. I coefficienti b i, ovvero le percentuali sulla variazione annuale delle commesse spettanti al singolo impianto, non sono in realtà stazionari, poiché dipendono delle decisioni annuali del top management. Tali decisioni sono peraltro influenzabili sia da fattori aleatori esterni al sistema (rincari di materie prime, sgravi/aggravi fiscali decisi dalle singole nazioni, sindacati sul piede di guerra, vantaggi/svantaggi nella distribuzione nei singoli paesi etc.), sia dagli u o x i stessi (non si vorrebbe forzare la produzione nei singoli impianti). Ci occuperemo di questo problema al punto 4.

4. I coefficienti del sistema che caratterizzano le equazioni/matrici per la Norfolk s.p.a. Le ultime incognite del modello sono i 3 valori da assegnare agli elementi della matrice B, che sono poi quelli che caratterizzano il modello. Sono possibili 3 scelte di massima, in relazione ai valori forniti dal manager nella tabella al punto VII. Ogni scelta per i coefficienti b i rappresenta una precisa politica aziendale. n.b. Nella scelta della matrice/vettore B supponiamo di assegnare i coefficienti b i una volta per tutte all inizio del 2003 e non cambiarli negli anni seguenti. Come spiegato nell ultima nota al punto precedente, si tratta di una ipotesi molto forte, ma che ci permette di trattare con un sistema lineare. 1 scenario % COMMESSE 2000 2001 2002 Min Max B Italia 55% % 40% 30% 60% 35% Spagna 35% 30% 25% 15% 45% 20% Grecia 10% 20% 35% 25% 55% 45% Questo scenario mostra l incremento dell importanza dell area Greca, sicuramente dettato dall esigenza del management di ridurre i costi per aumentare i ricavi; ne fanno le spese le aree Italiana e Spagnola, anche se non in maniera così drastica come nel 3 scenario. 2 scenario % COMMESSE 2000 2001 2002 Min Max B Italia 55% % 40% 30% 60% 30% Spagna 35% 30% 25% 15% 45% 15% Grecia 10% 20% 35% 25% 55% 55% In questo scenario il profitto della Norfolk s.p.a. la fa da padrone, le percentuali di assorbimento delle variazioni delle commesse degli impianti di Italia e Spagna vengono abbassate ai minimi livelli consentiti, mentre l impianto Greco, la cui produzione risulta nel complesso più economica, come spiegato dal manager al punto VI, assume un ruolo di primaria importanza. 3 scenario % COMMESSE 2000 2001 2002 Min Max B Italia 55% % 40% 30% 60% 45% Spagna 35% 30% 25% 15% 45% 30% Grecia 10% 20% 35% 25% 55% 25% L ultimo scenario presuppone un intervento deciso delle aree operative Italiana e Spagnola, probabilmente si tratta di azioni congiunte del sindacato e di alcuni dirigenti di queste zone, volte a riportare significativamente il baricentro aziendale della Norfolk s.p.a. in Italia e Spagna, a discapito del fatturato della società.

5. Lo stato iniziale x 0 dell azienda, in relazione alle variabili di stato scelte Lo stato iniziale x 0 del nostro sistema rappresenta la produzione nei singoli stabilimenti della Norfolk s.p.a. subito dopo il potenziamento, cioè all inizio dell anno 2003. Per calcolare x 0 facciamo riferimento ai dati forniti dal manager dell azienda nella tabella al punto 2. DVD Produzione massima annuale fino al 2002 % di utilizzo impianti nell anno 2002 Produzione massima dopo il potenziamento Italia 100.000 75% 1.000 Spagna.000 75% 75.000 Grecia.000 90% 100.000 LETTORI Come si può notare dalla colonna centrale, tutti gli stabilimenti avevano raggiunto un livello percentuale di utilizzo medio tale da non poter più soddisfare l incremento della domanda per gli anni a venire. Lo stato x 0 corrisponde esattamente al numero di unità prodotte alla fine del 2002/inizio 2003 (che devono essere esattamente uguali alle commesse ad inizio 2002), dal momento che il potenziamento si è svolto senza influire sui tempi e modi produttivi della Norfolk s.p.a. (secondo le informazioni del manager relative al punto II). Risulta pertanto: x 1 (0) = N DvD Italia (0) = 75% di 100.000 = 75.000 x 2 (0) = N DvD Spagna (0) = 75% di.000 = 37.0 x 3 (0) = N DvD Grecia (0) = 90% di.000 = 45.000 n.b. La colonna relativa alla produzione massima dopo il potenziamento del 2003 rappresenta lo strumento per verificare che il nostro sistema si evolva ancora in condizioni di linearità, se scegliendo uno qualsiasi degli scenari di cui al punto 4, si arrivasse a violare uno qualsiasi dei vincoli di produzione massima, ciò starebbe a significare che i risultati del nostro modello non avrebbero più senso ed avremmo violato le condizioni di linearità. Nella realtà, le percentuali di commessa (parametri b i ) verrebbero assegnate dal top management tenendo conto della vicinanza alla saturazione degli impianti (x i ), oltrepassato un limite situato fra l 80 e il 90%. Questo si tradurrebbe in una forma delle percentuali di commessa di tipo non lineare b(x i ). Non ci occuperemo di trattare questo caso. 6. La sequenza di ingressi u La sequenza di ingresso u(k) per i 3 anni è ricavabile dal grafico fornito dal manager della Norfolk s.p.a. al punto V: Commesse(2003) Commesse(2002) = 200.000 157.0 lettori DvD? u(0) = 42,5 Commesse(2004) Commesse(2003) = 2.000 200.000 lettori DvD? u(1) = Commesse(2005) Commesse(2004) = 300.000 2.000 lettori DvD? u(2) =

Risposta del sistema alla sequenza di ingressi nel caso del 1 scenario x(1) Matrice A x(0) Matrice B u(0) 2003 89,875 1 0 0 75 0,35 46 = 0 1 0 37,5 + 0,2 64,125 0 0 1 45 0,45 y(0) x(0) 157,5 = 1 1 1 75 37,5 45 42,5 x(2) Matrice A x(1) Matrice B u(1) 2004 107,375 1 0 0 89,875 0,35 56 = 0 1 0 46 + 0,2 86,625 0 0 1 64,125 0,45 y(1) x(1) 200 = 1 1 1 89,875 46 64,125 x(3) Matrice A x(2) Matrice B u(2) 2005 124,875 1 0 0 107,375 0,35 66 = 0 1 0 56 + 0,2 109,125 0 0 1 86,625 0,45 y(2) x(2) 2 = 1 1 1 107,375 56 86,625

Risposta del sistema alla sequenza di ingressi nel caso del 2 scenario x(1) Matrice A x(0) Matrice B u(0) 2003 87,75 1 0 0 75 0,3 43,875 = 0 1 0 37,5 + 0,15 68,375 0 0 1 45 0,55 y(0) x(0) 157,5 = 1 1 1 75 37,5 45 42,5 x(2) Matrice A x(1) Matrice B u(1) 2004 102,75 1 0 0 87,75 0,3 51,375 = 0 1 0 43,875 + 0,15 95,875 0 0 1 68,375 0,55 y(1) x(1) 200 = 1 1 1 87,75 43,875 68,375 x(3) Matrice A x(2) Matrice B u(2) 2005 117,75 1 0 0 102,75 0,3 58,875 = 0 1 0 51,375 + 0,15 123,375 0 0 1 95,875 0,55 y(2) x(2) 2 = 1 1 1 102,75 51,375 95,875

Risposta del sistema alla sequenza di ingressi nel caso del 3 scenario x(1) Matrice A x(0) Matrice B u(0) 2003 94,125 1 0 0 75 0,45,25 = 0 1 0 37,5 + 0,3 55,625 0 0 1 45 0,25 y(0) x(0) 157,5 = 1 1 1 75 37,5 45 42,5 x(2) Matrice A x(1) Matrice B u(1) 2004 116,625 1 0 0 94,125 0,45 65,25 = 0 1 0,25 + 0,3 68,125 0 0 1 55,625 0,25 y(1) x(1) 200 = 1 1 1 94,125,25 55,625 x(3) Matrice A x(2) Matrice B u(2) 2005 139,125 1 0 0 116,625 0,45 80,25 = 0 1 0 65,25 + 0,3 80,625 0 0 1 68,125 0,25 y(2) x(2) 2 = 1 1 1 116,625 65,25 68,125