CAMMINI MINIMI SUI POLIEDRI Consideriamo un cubo e due suoi vertici opposti, A e B come in figura, come si può andare da un vertice all altro facendo il cammino minimo, e muovendosi solo lungo gli spigoli? si scopre che il cammino minimo, sotto la condizione di muoversi esclusivamente lungo gli spigoli, è pari a tre volte la lunghezza del lato e che di questi cammini ce ne sono in tutto sei. Che cosa succede se si considera l intera superficie del cubo? Qual è il cammino più corto sulla superficie del cubo per andare dal vertice A al vertice B? Questi che si vedono tratteggiati in figura, pur essendo intuitivamente dei buoni candidati, non sono i cammini minimi: Proviamo ad aprire il cubo e a svilupparlo sul piano, qui segniamo i segmenti da A a B:
Si trovano due percorsi, rimontando il cubo in tre dimensioni otteniamo la risposta corretta: Si può continuare provando a considerare problemi di cammini minimi. altri poliedri e risolvere analoghi TOPOLOGIA E CARATTERISTICA DI EULERO Topologia e invarianti Ogni branca della geometria studia gli oggetti concentrandosi su specifici aspetti (o strutture ), ad esempio la geometria euclidea ha per oggetti figure geometriche, che vengono considerate equivalenti ovvero indistinguibili se esiste una isometria che porta una figura in una altra: due quadrati di pari lato sono lo stesso quadrato, perché dopo un movimento coincidono, ovvero la geometria euclidea è interessata al
quadrato in sé, non alla posizione che occupa nel piano. In effetti, l equivalenza per isometrie è tecnicamente una relazione di equivalenza sull insieme di tutti i sottoinsiemi del piano (geometria euclidea piana), dello spazio ( geometria euclidea tridimensionale), e in generale per i sottoinsiemi di E n, spazio euclideo n- dimensionale. Se siamo interessati a studiare altri aspetti degli oggetti geometrici, dobbiamo cambiare ambito geometrico. Ad esempio, la topologia è quella branca della geometria, nata nella seconda metà dell'ottocento, che si occupa degli insiemi (dotati di una certa struttura che li individua come spazi topologici ) a meno di trasformazioni bicontinue, cioè trasformazioni continue con trasformazione inversa continua. Dunque, sono considerati topologicamente equivalenti due spazi topologici (figure) che si possono deformare l'uno nell'altro come se fossero fatti di gomma, allungando o accorciando le distanze (che infatti in topologia non vengono definite), ma comunque senza mai effettuare strappi o incollamenti. In topologia dunque il concetto chiave è l esistenza di funzioni continue tra gli oggetti, e di connessioni continue tra i punti di una figura. La continuità ha una sua definizione rigorosa che a questo livello di studio risulterebbe troppo tecnica, e dunque tralasciamo. Per chiarire le idee, consideriamo una qualsiasi curva chiusa nel piano, non intrecciata, ad esempio il bordo di un poligono, se lo immaginiamo costituito da una corda, questa può assumere il bordo di un triangolo, come di un quadrato, di un esagono.. di un cerchio. Dal punto di vista topologico questi oggetti sono tutti uguali: gli spigoli non contano. Se però intrecciamo il nostro laccio, e disegniamo un 8, il punto di incrocio dell 8 non può essere scollato e quindi l 8 non è topologicamente equivalente a uno 0. Come distinguere un oggetto da un altro? In geometria euclidea classifichiamo le figure piane poligonali per numero dei lati, e tra quelle di pari lato, per lunghezza di lati e per ampiezza di angoli, tutte caratteristiche che non possono essere alterate da un movimento rigido, ovvero una isometria, ovvero tutte caratteristiche che rimangono inalterati all interno della classe di equivalenza della relazione che abbiamo scelto nell ambito della geometria euclidea: quella delle isometrie. Ciò che rimane inalterato all interno di una classe di equivalenza è definito invariante, rispetto alla geometria prescelta. La chiave per la comprensione è proprio questa: il primo strumento di indagine geometrica è individuare gli invarianti e classificare gli oggetti in funzione degli invarianti. Gli invarianti più semplici sono dei numeri naturali (come il numero dei lati di un poligono per la geometria piana), ma via via che si studiano oggetti più complessi si possono introdurre degli invarianti che hanno essi stessi una struttura (algebrica, topologica..) ad esempio quella di gruppo. Si noti che anche la quantità degli invarianti aumenta in genere, con l aumentare della complessità della struttura sotto indagine. Osserviamo ora che le misure, ad esempio la lunghezza, il perimetro, l area, il volume, non sono dati significativi dal punto di vista topologico, perché possono
esistere trasformazioni continue e con inversa continua tra figure che hanno diverse misure (perimetri aree, volumi). Neanche la proprietà di convessità è invariante per trasformazioni continue: una curva chiusa semplice che delimita una regione di piano non convessa può essere sempre trasformata in un cerchio (provare con un laccetto di cotone appoggiato su un tavolo!) dunque la convessità non è un invariante topologico. Vale anche la pena di notare che le parole sopra/sotto, destra/sinistra, alto/basso non hanno significato topologico (è però accettabile dentro/fuori), così come orizzontale/verticale non ha significato n geometria euclidea. Se in geometria euclidea distinguiamo il bordo dei triangoli da quello dei quadrati, in topologia questi sono equivalenti, ed entrambi equivalgono a un cerchio, ovvero a uno 0, ma un 8 dobbiamo distinguerlo dallo 0: in effetti 0 e 8 hanno un diverso invariante topologico, che è detto gruppo fondamentale,, il quale memorizza tutti i modi possibili ed essenzialmente diversi di compiere un percorso chiuso a partire da un punto dell oggetto. Per esempio, se p è un punto sull anello 0, ho un solo modo per compiere un percorso chiuso che parte e termina in p sopra lo 0: girare su tutto lo 0, se p è un punto sull 8, in particolare il punto di incrocio dell 8, posso girare sul cappio inferiore e tornare su p, oppure girare sul cappio superiore e ritornare ancora in p: questo due percorsi sono diversi, e vengono memorizzati nel gruppo fondamentale 0) o 8). Triangolazione di figure e caratteristica di Eulero Un importante invariante topologico, che risulta facile da visualizzare nel caso delle superfici, è la caratteristica di Eulero-Poincaré, χ, introdotta da Eulero per le superfici, poi generalizzata a varietà di dimensione qualsiasi da Poincaré. Per capire di cosa si tratta dobbiamo definire cosa sia una triangolarizzazione. Una triangolarizzazione è un metodo di indagine della topologia, che è alla base di calcoli, i quali hanno lo scopo di indagare e la struttura topologica degli oggetti. Una delle prime applicazioni che si incontrano è proprio il calcolo della caratteristica di Eulero. Una triangolazione di una superficie è il ricoprimento completo e senza sovrapposizione della stessa con triangoli, in generale, per un oggetto di dimensione n una triangolazione è il ricoprimento senza sovrapposizioni dell oggetto con triangoli n-dimensionali (ad esempio, tetraedri per dimensione 3, triangoli in dimensione 2, segmenti, compresi dei loro estremi, in dimensione 1), detti simplessi. Si dimostra che un oggetto compatto (chiuso e limitato, come una figura piana poligonale, o superficie esterna di un solido, in dimensione due, ovvero un solido poliedrale, in dimensione 3..) può sempre essere triangolarizzato, cioè ricoperto da una quantità finita di simplessi. Il modo per effettuare questi ricoprimenti non è unico, basta provare disegnare un esempio per convincersene, ma Eulero ha
dimostrato che, data una superficie S e una sua triangolarizzazione, il numero naturale χ(s)= v-s+f ove v sono i vertici dei triangoli della tassellazione, s gli spigoli, f i triangoli stessi (le facce), contati senza ripetizione, non solo non dipende dalla triangolarizzazione effettuata, ma non varia all interno della classe di equivalenza topologica di S, ovvero (teorema) χ(s)= v-s+f è un invariante topologico, come il numero dei lati è un invariante per isometrie dei poligoni in geometria euclidea. La quantità χ(s) viene detta Caratteristica di Eulero, e si può calcolare anche con ricoprimenti fatti da poligoni. Questo risultato si può generalizzare a dimensione qualsiasi, infatti, data una varietà X di dimensione n, si può definire χ(x) come la somma a segni alterni χ(x) = v 0 -v 1 +v 2 - v n ove v i è il numero delle componenti di dimensione i di una qualsiasi triangolarizzazione (v 0 punti, v 1 segmenti, v 2 facce ), χ(x) risulta non dipendere dalla triangolarizzazione, e risulta essere un invariante topologico anche in questa definizione generale. La formula di Eulero per le superfici poliedrali Un solido si dice semplice se è topologicamente equivalente ad una sfera, ad esempio, un cubo, un parallelepipedo, un prisma, un cono, una piramide. Tutti questi poliedri possono essere deformati in maniera continua ad una sfera, senza essere tagliati. Per visualizzare che i poliedri (definiti come l intersezione di un numero finito di semispazi, che sia non vuota e limitata..) sono topogicamente equivalenti ad una sfera basta immaginare di costruire dei modelli in pongo e lavorarli per rimodellare una sfera, osservando non è necessario aggiungere pongo, né separare il materiale in più parti. In effetti, rigorosamente bisognerebbe mostrare che esiste una trasformazione continua che porta un poliedro quale un cubo o un cono in una sfera, e viceversa.
Essendo un invariante topologico, ha senso calcolare la caratteristica di Eulero della classe di figure equivalenti ad una sfera, nella quale, per definizione, rientrano tutti i poliedri semplici. Vale la seguente proposizione. Per qualsiasi superficie poliedrale vale la relazione χ(s) = v-s+f=2 dove v è il numero dei vertici f quello delle facce e s quello degli spigoli. Nota: nell enunciato abbiamo usato il sintagma superficie poliedrale, piuttosto che poliedro per evidenziare che si sta lavorando sulla superfice del poliedro, non sul solido, benchè, come abbiamo già detto, la caratteristicadi Eulero possa essere definita anche sul solido pieno (ma allora non varrà più 2!). Nel testo che segue si userà la parola poliedro, anche per indicarne la sua superficie totale, cosa si intende è chiaro dal senso della frase. Per dimostrare questa affermazione, basta prendere uno dei poliedri in questione, e contare vertici, spigoli, facce, più in generale, se vogliamo utilizzare un qualsiasi poliedro, possiamo procedere come segue. Costruiamo il poliedro partendo da una sua faccia e aggiungendo una alla volta le altre, fino a completarlo. Partiamo da una faccia, cioè un poligono, diciamo con p 1 lati, e quindi si hanno p 1 spigoli e p 1 vertici, cosicché: v-s+f = p 1 + 1 p 1 = 1. Fig. 1 (Qui p 1 = 4). Aggiungiamo un altra faccia, di p 2 lati, con uno spigolo e 2 vertici a comune con quella precedente, quindi aggiungiamo (p 2-1) vertici, - (p 2-2) spigoli e 1 faccia, in tutto aggiungiamo nella formula: v-s+f = 1 + { (p 2-2) - (p 2-1) + 1} = 1.
Fig. 2 Continuando, a ogni passo aggiungiamo una nuova faccia di p spigoli, di cui alcuni (diciamo q) saranno a comune con le facce precedenti, e quindi anche q + 1 vertici saranno a comune con le facce precedenti, cosicché aggiungiamo solo (p - q) spigoli, e (p q - 1) vertici; di nuovo aggiungiamo (p q+ 1) - (p - q) + 1 = 0, alla quantità v- s+f=1, che rimane sempre pari a 1. Fig. 3 (Qui q = 2). All ultimo passo l ultima faccia che aggiungiamo ha tutti gli spigoli e i vertici in comune con le facce precedenti, quindi a questo passo aggiungiamo alla quantità v- s+f solo 1 (una faccia) e quindi alla fine avremo v-s+f = 2.
Fig. 4 Dunque, anche per la sfera χ(s) = 2. Ci sono superficie per cui χ(s) non è uguale a 2; ad esempio per il toro: Infatti per questa superficie χ(s) = 0, cioè comunque si scelga una sua triangolazione, essa avrà v-s+f = 0. Questo vuol dire che non il toro non è equivalente topologicamente ad una sfera, ovvero che non può essere deformato plasticamente ad una sfera: che cosa hanno di diverso? Il toro ha un buco la sfera no! Provate a disegnare un toro cubico, cioè un cubo con un buco, a forma di parallelepipedo al centro: avrà χ(s) = 0 (ma non è un poliedro in senso stretto!). In generale le superfici compatte differiscono topologicamente tra loro proprio per il numero di buchi, che è anche esso un invariante topologico, detto genere di una superficie: un buco non si può eliminare, o creare, se non rompendo la superficie.
toro con due buchi toro con tre buchi Quindi la sfera ha genere g=0, la ciambella genere g=1, le figure sopra genere g=2 e g=3 rispettivamente. Si trova che le triangolarizzazione e i buchi non sono indipendenti tra loro, per le superfici vale infatti la relazione ove g è il genere. χ(s) =2 2g (per g=0, il caso di un un poliedro semplice, ritroviamo, ovviamente χ(s) =2!) Perché è importante la caratteristica di Eulero? Il calcolo di v-s+f viene presentato spesso come un semplice giochino nei testi di matematica di base, senza che venga menzionato il motivo per il quale i matematici lavorano su tali apparentemente bizzarri giochini. In realtà la caratteristica di Eulero, come abbiamo evidenziato, è un invariante topologico, è dunque importante proprio perché la sua proprietà di essere un invariante, cioè ci aiuta a distinguere oggetti topologicamente diversi tra loro. Si noti che la caratteristica di Eulero implica dei vincoli all esistenza, e dunque alla costruzione, di poliedri: non è possibile costruire un poliedro con delle bacchette che
ne costituiscano gli spigoli che non rispettino la formula, non è possibile, ad esempio, costruire un poliedro con tre spigoli, tre vertici e tre facce. Oltre ad aiutarci a distinguere oggetti diversi tra loro dal punto di vista topologico, la caratteristica di Eulero ci dà anche una altra importante informazione, che solo apparentemente è di carattere metrico. In effetti un importante teorema, detto teorema di Gauss-Bonnet, lega χ(s) con la curvatura di una superficie. L idea intuitiva di curvatura di un oggetto può essere matematizzata e definita rigorosamente, e anche misurata, punto per punto, su una figura geometrica. Ad esempio, in ogni suo punto, la curvatura della retta o del piano ha misura 0, quella di una circonferenza di raggio r, o di una sfera di raggio r vale 1/r, evidentemente, la curvatura che viene definita su una ellisse non sarà la stessa in ogni suo punto. Inoltre su una curva chiusa, e anche su una superficie chiusa, si può anche fare la somma di tutti i valori della curvatura, al variare del punto sulla curva, o sulla superficie. Tale valore prende il nome di curvatura totale. Poiché parliamo di misurare una curvatura, sarebbe intuitivo pensare che essa non sia un invariante topologico, giacché in topologia non siamo in grado di effettuare misure: due sfere - di gomma- sono topologicamente equivalenti, indipendentemente dalla loro misura, ovvero dal loro raggio. Ma il teorema di Gauss-Bonnet ci dice che la curvatura totale è in realtà un invariante topologico, essendo essa pari a χ(s), cosa piuttosto sorprendente ad un primo sguardo intuitivo. Questo spiega, ad esempio, perché se gonfiamo un palloncino, pigiamo in un punto col dito, in quel punto la curvatura aumenta mentre da qualche altra parte il palloncino si gonfia, aumentando in raggio e dunque diminuendo la sua curvatura (è un esempio ideale, siamo interessati solo alla forma del palloncino, non ci interessano valutazioni di carattere fisico circa la pressione all interno dello stesso!). Osserviamo anche che per una sfera, il teorema di Gauss-Bonnet ci dice che la curvatura totale è 4, cioè il rapporto tra la superficie 4 r 2 e il suo raggio al quadrato; mentre per un toro, che ha χ(s) nulla, la curvatura totale è nulla: non essendo un piano, significa che esso ha zone di curvatura positiva e zone di curvatura negativa, che si compensano. La spiegazione sta nel fatto che stiamo valutando una informazione di carattere globale, quale è la curvatura totale, definita dalla somma di valori della curvatura punto per punto, somma effettuata su tutti i punti della superficie, pur essendo la curvatura definita su un punto una informazione di carattere locale, e metrico.