UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MACERATA Scuola Interuniversitaria di Specializzazione all Insegnamento Secondario Anno Accademico 2006-2007 VII Ciclo III semestre TIROCINIO INDIRETTO del 25/10/2006 SPECIALIZZANDI Laura Arcangeli Mariagrazia Trasarti Manuela Sciarra Giovanna Carancia (A049) (A049) (A047) (A047)
Premessa La seguente lezione è pensata per introdurre le funzioni goniometriche in un III ITIS. Le funzioni trigonometriche in un istituto tecnico sono di fondamentale importanza non solo in ambito matematico, ma anche in altre discipline quali fisica, elettronica e sistemi. Ci si prefigge con questa lezione di formare una disposizione mentale che permetta di utilizzare con profitto gli strumenti forniti in qualsiasi campo di applicazione. Riportiamo, di seguito, prerequisiti, obiettivi e contenuti della lezione. PREREQUISITI Concetto di funzione e relativa rappresentazione cartesiana; Similitudine dei triangoli; OBIETTIVI Acquisire i concetti di base della trigonometria e saperli utilizzare nella risoluzione di problemi sui triangoli. CONTENUTI La funzione seno; Applicazione della funzione seno alla risoluzione dei triangoli; La funzione coseno; Applicazione della funzione coseno alla risoluzione dei triangoli; Relazione fondamentale tra seno e coseno ; TEMPI: 2 ore STRUTTURA DELLA LEZIONE PERSONAGGIO AZIONE METODOLOGIA TEMPI DOCENTE SALUTO COUNSELLING 5 MINUTI ALUNNO COMPETENTE DOCENTE ED ALUNNI CORDIALE INVITATO ALLA LAVAGNA A RIPRENDERE I CONCETTI DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI IL DOCENTE STIMOLA LA CLASSE AD AIUTARE L ALUNNO A CERCARE DI RISOLVERE DUE ESEMPI (in seguito inseriti), UNO RISOLVIBILE CON I SEMPLICI CRITERI DI GEOMETRIA RAZIONALE L ALTRO NO, DA QUI LA NECESSITA DI INTRODURRE LA FUNZIONE SENO. AMICALE LAVAGNA LEZIONE INTERATTIVA 10 MINUTI 30 MINUTI
DOCENTE DOCENTE E CLASSE CLASSE DOCENTE INTRODUCE LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA E LA FUNZIONE SENO,COSENO E TEOREMA DEI SENI IL DOCENTE INVITA UN ALUNNO A RISOLVERE L ESEMPIO PRIMA NON RISOLVIBILE CON LA NUOVA COMPETENZA, SUPPORTANDOLO. CHIEDE CHIARIFICAZIONI DA DELLE DELUCIDAZIONI E ASSEGNA I COMPITI LAVAGNA,LIBRO E PC (tramite il quale mostrare segni e andamento della funzione) LAVAGNA LAVAGNA 10 LAVAGNA E LIBRO 10 30 minuti 20 MINUTI Elementi di trigonometria La parola Trigonometria in greco significa misura dei triangoli, da questo abbiamo preso spunto per presentare il nuovo argomento in modo diverso: invece di partire dal cerchio trigonometrico partiamo dal concetto di similitudine dei triangoli. In questo modo, presentando gli oggetti di studio della trigonometria come le relazioni intercorrenti fra i lati e gli angoli di un medesimo triangolo, si facilitano la comprensione, la continuità e l apprendimento ricollegandosi a conoscenze pregresse dei ragazzi. Possiamo cominciare dal far notare ai ragazzi che grazie ai criteri di geometria razionale si riesce a calcolare le misure di alcuni elementi del triangolo, ma per casi molto particolari (ad es, triangoli con angoli che misuravano 30,45,60 ); nei casi più generali, per triangoli qualunque ci sono delle difficoltà. Vediamo un esempio. Es1. Vogliamo calcolare l angolo in C ed i lati AB e CB del seguente triangolo, sapendo che :
La somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è un angolo piatto, quindi l angolo in C sarà pari a: 180 - (30 + 45 ) = 105 Per trovare i lati AB e CB osserviamo che AHC è un triangolo rettangolo, per la precisione la metà di un triangolo equilatero, mentre BCH è anch esso un triangolo rettangolo, per la precisione la metà di un quadrato. Quindi sfruttando il fatto che AHC è un triangolo rettangolo metà di un triangolo equilatero: e sfruttando il fatto che CHB è un triangolo rettangolo metà di un quadrato: Es2. Nel seguente caso invece: le nozioni geometriche conosciute fino a questo punto non ci consentono di risolvere questo problema. Partiamo da qualcosa a noi conosciuto per risolvere il problema: la similitudine tra due triangoli rettangoli. 1.CRITERIO DI SIMILITUDINE: Se due triangoli hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti, essi sono simili. 2.CRITERIO DI SIMILITUDINE: Se due triangoli hanno una coppia di angoli corrispondenti congruenti tra lati omologhi in proporzione, essi sono simili 3.CRITERIO DI SIMILITUDINE:Se due triangoli hanno tutti i lati omologhi in proporzione, essi sono simili.
Supponiamo che questi due triangoli sono simili, allora : Osserviamo che la variazione di questo rapporto dipende unicamente dagli angoli. A questo punto consideriamo un triangolo rettangolo ABC, retto in A e prendiamo la sua ipotenusa CB=1, consideriamo un riferimento cartesiano ortogonale monometrico XOY centrato in C e disegniamo una circonferenza di raggio pari a CB=1 e centro C=O. B C=O x A (1,0 Il punto B avrà coordinate (B x,b y ). Indicando con x l ampiezza dell angolo in C definiamo la funzione seno come il rapporto tra il cateto AB e l ipotenusa CB:. Essendo il raggio della circonferenza di raggio unitario:
sen(x)=ab=b y x B La funzione seno, per le proprietà dei triangoli rettangoli simili precedentemente esplicati, assume valori indipendenti dal raggio della circonferenza considerata, dunque i valori che assume dipendono solo dall ampiezza dell angolo x. A questo punto andiamo ad approfondire lo studio di questa funzione determinandone il dominio, il condominio e la variazione. Prendendo come origine degli archi della circonferenza il punto D(1,0), assumiamo per convenzione che se il punto B si muove in senso antiorario allora l arco DB ha verso positivo, altrimenti negativo. Ad ogni posizione del punto B, mobile sulla circonferenza goniometrica, e quindi ad ogni angolo corrisponde un ben determinato valore della funzione seno : sen(x)=y B
Come possiamo vedere il punto B descrive un intero angolo giro, quindi il dominio della funzione seno è : Inoltre la funzione seno al variare di x assume tutti i valori tra [-1,1] e quindi il suo condominio sarà: Il segno del funzione sarà quindi positivo nel primo e secondo quadrante e negativo nel terzo e quarto quadrante. Disegniamo a questo punto la funzione seno: Osserviamo che a questo punto siamo già in grado di risolvere l Es.2: Infatti considerando i due triangoli rettangoli AHC e CHB, calcoliamo CH:
CH ci permette di calcolare il cateto del triangolo rettangolo CHB: Uguagliando le due espressioni: Equivalente alla seguente proporzione: Da cui: Manca il cateto AB. Innanzitutto osserviamo che l angolo in C è pari a: Abbiamo visto che il rapporto tra la misura del lato BC e il seno dell angolo (opposto a BC) è uguale al rapporto tra la misura dell altro lato AC e il seno dell angolo (opposto ad AC). A questo punto ci chiediamo se anche il terzo rapporto coincida con i precedenti. La risposta è affermativa infatti tracciando l altezza AK: C K 10 62 40 A H Considerando i triangoli rettangoli BKA e AKC si ha: B da cui: Teorema dei seni In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra la misura di un lato e il seno dell angolo opposto:
A questo punto, con lo stesso procedimento, è possibile definire la funzione coseno. Esso è il valore dell ascissa del punto B in corrispondenza dell angolo y=cos(x) x B Anche per il coseno utilizziamo la circonferenza goniometrica,perché il suo raggio unitario permette notevoli semplificazioni di calcolo e perché la funzione y=cos(x) assume valori dipendenti soltanto dall angolo x, indipendenti quindi dalla particolare circonferenza presa in esame, per gli stessi motivi precedentemente illustrati per il seno. Andiamo a vedere dominio e condominio e il segno della funzione coseno facendo muovere il punto B lungo la circonferenza:
Quindi anche per la funzione coseno il suo dominio sarà: Il suo condominio: Il segno del funzione sarà quindi positivo nel primo e quarto quadrante e negativo nel secondo e terzo quadrante. Disegniamo a questo punto la funzione coseno: Es. di applicazione della funzione coseno alla risoluzione dei triangoli rettangoli. Tracciando il riferimento cartesiano e la circonferenza goniometrica:
POH è simile ad ABC, posso quindi scrivere: equivalente a : da cui: Ne risulta un importante teorema: In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente a quel cateto. Andiamo adesso a vedere la relazione fondamentale tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo x: P x O H Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo POH, ottenendo: HP 2 +OH 2 =1 sen 2 x + cos 2 x=1 Possiamo quindi affermare che la somma dei quadrati del seno e coseno di uno stesso angolo è uguale a 1.