La misura dell incerto: caso, probabilità e decisioni Macerata, 23 marzo 2011 Marco Gherghi Dipartimento di Matematica e Statistica Università degli Studi di Napoli Federico II gherghi@unina.it I numeri La matematica è l'alfabeto con il quale Dio ha scritto il mondo. Il grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l'universo) è scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali è impossibile a intenderne umanamente parola. Pitagora (570-490 A.C.) Il mondo è stato creato con delle frasi, composte da parole, formate da lettere. Dietro queste ultime sono nascosti dei numeri, rappresentazione di una struttura, di una costruzione ove appaiono senza dubbio degli altri mondi che io voglio analizzare e capire, perché l'importante non è questo o quel fenomeno, ma il nucleo, la vera essenza dell'universo. G. Galilei i (1564-1642) A. Einstein (1879-1955)
I numeri e la misura del certo Misurare il raccolto I numeri e la misura del certo Misurare le orbite dei pianeti intorno al sole oppure dei satelliti attorno ai pianeti
I numeri e la misura del certo Misurare la relazione tra pressione e volume a temperatura costante I numeri e la misura del certo Misurare la relazione tra pressione e volume a temperatura costante
La misura dell incerto L introduzione i della Probabilità bili La meccanica quantistica e il principio di indeterminatezza di Heisenberg (1926) W.K. Heisenberg (1901-1976) Nell ambito della realtà le cui connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono ad una completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l accadere (all interno delle frequenze determinate per mezzo delle connessioni) è piuttosto rimesso al gioco del caso. La Probabilità nelle scienze sociali Le teorie scientifiche non sono più destinate a spiegare i fenomeni sociali mediante schemi di natura logica necessitante, ed alla legge deterministica si viene a sostituire la legge probabilistica, che implica elementi di accidentalità, la presenza di disturbi e fluttuazioni. Se quest assunto di indeterminismo probabilistico è valido per il mondo naturale, esso sarà ancor più valido per il mondo sociale, il mondo del linguaggio, del pensiero, delle interazioni fra uomini. P. Corbetta
La Probabilità e la Statistica La Statistica affronta problemi di decisione in condizioni di incertezza, di previsione o, più in generale, di conoscenza del mondo reale basandosi sia su informazioni a priori sia su dati campionari e sperimentali che, per loro natura, costituiscono solo degli aspetti parziali di tale realtà. Negli ultimi anni, alle potenzialità metodologiche si sono affiancati gli enormi progressi della tecnologia computazionale che consentono l analisi di enormi file di dati in tempi eccezionalmente veloci anche su semplici pc. Le decisioni in condizioni di incertezza La Bioinformatica Intensità C5 16.00 E possibile studiare i livelli di 14.00 espressione dei geni di pazienti affetti da gravi patologie per 12.00 capire la relazione tra questi e la 10.00 patologia in esame (Tecnica dei Microarray). 8.00 G so essi Geni otto-espre Livello di espressione non significativo 6.00 4.00 2.00 Geni sovra-espressi 10.00 20.00 30.00 40.00 Intensità C3
Le decisioni in condizioni di incertezza La Finanza E possibile studiare i rendimenti e i rischi di titoli azionari e obbligazionari per costruire pacchetti ad hoc da proporre ai clienti con diverse propensioni al rischio. Le decisioni in condizioni di incertezza Il Marketing Cosa pensano i consumatori del prodotto dell azienda X? E opportuno in questo momento lanciare un nuovo prodotto?? Quali saranno le reazioni alla nuova iniziativa dell amministrazione pubblica? Utilizzando dati esistenti e indagini realizzate ad hoc, è possibile rispondere a queste domande quantificando il rischio di prendere una decisione sbagliata.
Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità bili che abbia il virus? Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia il Virus? V + V - P V T T + T -
Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia il Virus? In una situazione caratterizzata da queste condizioni, la probabilità che un soggetto positivo al test abbia effettivamente il virus è. Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia il Virus? L attendibilità dei risultati del test clinico può dunque essere migliorata o riducendo d la rarità della patologia (e questo è, ovviamente, improponibile) oppure migliorando le performance. Per esempio, se riuscissimo a migliorare il rendimento del test portando la P(T + V - ) da 0,01 a.,, la P(V + T + ) migliorerebbe in mode sensibile.
Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Qual è la probabilità che abbia il Virus? Migliorando il rendimento del test, portando la P(T + V - ) da 0,01 a,, la V + V - P(V + T + ) migliorerebbe in modo sensibile. P V T T + T - 100 99.900 100.000 Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 400 P V T V + ; T + V - ; T +
VIRUS HIV: Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 400 TEST CLINICO ELISA (Enzyme-Linked ImmunoSorbent Assay): 99,5% dei casi diagnostica correttamente la presenza del Virus 5% dei casi diagnostica il Virus a soggetti sani (c.d. falso positivo ) Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Cosa si fa?
Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Cosa si fa? 2 test t (uguale al primo) Virus No Virus per i soli soggetti risultati positivi al primo test Virus No Virus Test positivo Test positivo Test negativo 98 999 1.097 2 98.901901 98.903903 Test negativo 100 99.900 100.000 Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Cosa si fa? 2 test t (uguale al primo) per i soli soggetti risultati positivi al primo test Test iti P V T positivo 1 1 Test negativo Virus No Virus
Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Cosa si fa? 3 test t (uguale al primo) Virus No Virus per i soli soggetti risultati positivi al primo test Test iti P V T positivo 1 1 Test negativo Tasso di penetrazione nella popolazione: 1 1000 Una persona si sottopone al test e risulta positivo. Cosa si fa? 2 test t (diverso dal primo) per i soli soggetti risultati positivi al primo test In molti casi, come secondo test si utilizza un test più potente sia nel senso della sua sensibilità (riduzione dei falsi negativi ) che della sua specificità (riduzione dei falsi positivi )mapiù costoso, e quindi non utilizzabile come test di screening.
Le decisioni in condizioni di incertezza Incontriamo un amico che ci propone una scommessa: Si effettuano 50 lanci di una moneta: Se escono meno di 15 teste oppure più di 35 teste vince lui Se escono tra 15 e 35 teste vinciamo noi Le decisioni in condizioni di incertezza Incontriamo un amico che ci propone una scommessa: Si effettuano 50 lanci di una moneta: Se escono meno di 15 teste oppure più di 35 teste vince lui Se escono tra 15 e 35 teste vinciamo noi Vinciamo Perdiamo Perdiamo Numero di teste 0 10 15 20 30 35 40 50 in 50 lanci
Le decisioni in condizioni di incertezza Incontriamo un amico che ci propone una scommessa: Si effettuano 50 lanci di una moneta: Se escono meno di 15 teste oppure più di 35 teste vince lui Se escono tra 15 e 35 teste vinciamo noi Effettuiamo i lanci 38 teste 0 Perdiamo Vinciamo Perdiamo 10 15 20 30 35 40 50 Numero di teste in 50 lanci Le decisioni in condizioni di incertezza? Qual è il numero di teste oltre il quale mi comincio ad insospettire? E come lo determino?
Le decisioni in condizioni di incertezza 1000 blocchi di 50 lanci con una moneta che so essere buona Blocco Blocco 1 : 26 teste 2 : 30 teste Blocco 3 : 28 teste Blocco 4 : 23 teste : Blocco 1000: 29 teste Le decisioni in condizioni di incertezza n di teste Frequenza 0.. 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36.. 50 0 0 1 2 4 9 14 26 40 63 78 94 108 112 108 98 80 57 44 28 18 9 4 2 1 0 0 Area critica Area critica 25 Numero di teste
Le decisioni in condizioni di incertezza Area critica=5% Area critica Area critica Se il nostro risultato cade nell area critica, la probabilità che provenga da lanci effettuati con una moneta non truccata è inferiore al 5%. 25 Numero di teste Nel nostro caso (38 teste), possiamo dunque scegliere tra due possibili decisioni: 1. Decidiamo che la moneta è buona ma siamo stati particolarmente sfortunati. 2. Decidiamo che la moneta è truccata. In questo caso sappiamo che il rischio di sbagliare (e di accusare ingiustamente l amico) è del 5%. I diversi tipi i di errore Test e regole di decisione Indipendentemente dalla regola adottata, un test porta sempre a dover scegliere tra due possibili decisioni, H 0 e H 1 e a poter commettere due possibili errori, rifiutare un ipotesi vera oppure accettare un ipotesi falsa. Quindi, la decisione deve considerare l importanza relativa dei due diversi tipi di errore o, nell ottica Situazione vera della Teoria delle decisioni, le diverse funzioni di perdita. H 0 H 1 Accetto H 0 falsa Decis sione H 0 Rifiuto H 0 vera Errore II tipo H 1 Errore I tipo
I diversi tipi i di errore Test e regole di decisione Stati della natura Piove Non piove Prendo l ombrello Errore Decision ne Non prendo l ombrello Errore Bagno il vestito nuovo e lo rovino Porto inutilmente l ombrello I diversi tipi i di errore Test e regole di decisione Innocente Realtà Colpevole Assoluzione Errore Decision ne Condanna Errore Condanno un innocente Assolvo un colpevole
Il concetto di gioco equo Un amico ci propone un gioco i cui risultati possono essere A, B o C con probabilità di realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,1, 0,2 e 0,7. SeesceA, sivincono20euro,seesceb se ne vincono 10 mentre se esce C se ne perdono 10. Ci si chiede quale sarà il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per un numero elevato di giocate. E chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall ammontare che si vince quando si presenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommato all ammontare ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettiva probabilità. Avremo dunque: Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di 3 a partita. I 3 euro non rappresentano l ammontare che si perde in una singola giocata ma ciò che si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte. Il valore atteso, o speranza matematica, di una v.c. X discreta sarà quindi dato da: n E X x f x i1 i i A proposito osito di giochi equi Rosso e Nero alla Roulette P Nero P Rosso 18 37 C è anche lo zero che è verde! Il valore atteso della vincita (V) su uno dei due colori (R/N), per una puntata di 1 euro è dunque: =
A proposito osito di giochi equi Facile? L ambo (e il terno, la quaterna ) al gioco del lotto P Ambo 5 4 0,00250 90 89 (su una singola ruota) Quindi, su diecimila giocate, ci si aspetta di vincere 25 volte,cioè1voltasu400. In caso di vincita sulla singola ruota, il banco paga (al netto delle ritenute del 3%) circa 243 volte la posta, quindise ho puntato un euro ne vinco 243 (compreso quello che ho puntato). Il valore atteso della vincita (V) per una puntata di 1 euro èdunque: = In pratica, se centomila persone giocano sull ambo, puntando ciascuno 1 euro, il guadagno previsto dal banco è di oltre 39mila euro.
Facile? Lotto Probabilità (1) Probabilità (2) Puntata ( ) Vincita ( ) Valore atteso Ambo 1 400 0.002500000 1 242-0.3925 Terno 1 11.748 0.000085121 1 4,123-0.6490 Quaterna 1 511.038 0.000001957 1 77,600-0.8482 Cinquina i 1 43.949.268 0.000000023 1 970,000-0.9779 Superenalotto Probabilità (1) Probabilità (2) Puntata ( ) Vincita media ( ) (vedi Nota) Valore atteso 3 punti 1 327 0,003058104 1 40-0,8746 4 1 11.907 0,000083984000083984 1 700-0,9411 09411 5 1 1.250.230 0,000000800 1 110.000-0,9120 5+1 1 103.769.105 0,000000010 1 1.600.000-0,9846 6 1 622.614.630 0,000000002 1 150.000.000-0,7591 N.B. La puntata minima al superenalotto è di 1 euro, che consente, però, di giocare due quadri di numeri. L importo medio delle vincite delle varie categorie è stato dunque moltiplicato per 2.