Osservazioi dei supervisori di cui teere coto (dall autore precedete) la previsioe sui tempi è stata ridotta ei limiti del possibile proprietà dei coefficieti biomiali, è stato suggerito di fare precedere a questa sezioe quella sul triagolo di Tartaglia che i questa u.d. è alla fie. Le proprietà dei coefficieti biomiali si deducoo dalle corrispodeti proprietà del triagolo di Tartaglia. proprietà dei coefficieti biomiali, citare la regola di Stiffel e la legge dei tre fattoriali. Poteza di u biomio, alla verifica del biomio di Newto su dimostrazioe tradizioale della formula che si trova ei libri di testo 5 (2 3) va preferita la triagolo di Tartaglia, osservare che è più oto i tutto il modo co il ome di "Triagolo di Pascal". Come al solito è stato osservato che pur essedo ua u.d. i u liceo di ordiameto sarebbe opportuo iserire attività didattiche co software didattici, ad esempio co Excel. calcolo combiatorio 1
Destiatari Studeti della Classe V del Liceo Scietifico di ordiameto..b.: ella mia ud l avevo iserito i III Liceo Scietifico PNI visto che dovevo fare ache probabilità e statistica che ei programmi di ordiameto o soo citate. Iquadrameto ei programmi Per quato riguarda i programmi miisteriali del Liceo Scietifico l argometo è trattato i quita:. Disposizioi, permutazioi e combiazioi semplici. Biomio di Newto... Nei programmi PNI ivece lo troviamo sia el bieio che el trieio. Bieio PNI: TEMA 3. RELAZIONI E FUNZIONI a) Isiemi ed operazioi su di essi. Isiemi fiiti: prime ozioi di calcolo combiatorio Trieio PNI: Tema. 2 - Isiemi umerici e strutture 2.a Calcolo combiatorio: disposizioi, permutazioi, combiazioi. Suddivisioe per ao Classe terza: 2.a Prerequisiti Isiemistica. Prodotti otevoli. Equazioi di grado superiore al primo. Progressioi aritmetiche e geometriche. Pricipio di Iduzioe. Obbiettivi geerali Acquisire le coosceze, competeze e capacità previste dall U.D. Affiare le capacità logiche Educare ai procedimeti di astrazioe e di formalizzazioe dei cocetti Educare a ragioare iduttivamete e deduttivamete Sviluppare le attitudii sia logiche che sitetiche Abituare alla precisioe del liguaggio e alla coereza argometativa OBIETTIVI TRASVERSALI Sviluppare attitudie alla comuicazioe e ai rapporti iterpersoali favoredo lo scambio di opiioi tra docete e allievo e tra gli allievi. Proseguire ed ampliare il processo di preparazioe scietifica e culturale degli studeti Cotribuire a sviluppare lo spirito critico e l attitudie a riesamiare criticamete ed a sistemare logicamete le coosceze acquisite. Cotribuire a sviluppare capacità logiche ed argometative Acquisire abilità di studio. Comuicare i modo efficace OBIETTIVI SPECIFICI CONOSCENZE Cooscere le ozioi di permutazioe, disposizioe, combiazioe (semplici e co ripetizioe) Cooscere la fuzioe fattoriale. Cooscere i coefficieti biomiali e loro proprietà. Cooscere la relazioe tra triagolo di Tartaglia e coefficieti biomiali. Cooscere lo sviluppo della poteza di u biomio ella forma data dal biomio di Newto. COMPETENZE Sapere calcolare il umero di permutazioi, disposizioi, combiazioi. Saper calcolare la fuzioe fattoriale Saper calcolare i coefficieti biomiali Saper giustificare la relazioe tra triagolo di Tartaglia e i coefficieti biomiali Saper utilizzare lo sviluppo della poteza di u biomio calcolo combiatorio 2
CAPACITÀ Discrimiare il ruolo di permutazioi e combiazioi el descrivere raggruppameti ordiati o o ordiati. Formulare semplici problemi i termii delle ozioi del calcolo combiatorio(permutazioi, disposizioi, combiazioi) e risolverli discutedo le soluzioi trovate. Valeze discipliari I coteuti del modulo sul calcolo combiatorio costituiscoo u argometo co legami co tutte le aree del corso matematica. Elecado alcui legami possiamo citare il ruolo delle permutazioi i algebra lieare el calcolo dei determiati e ei gruppi fiiti(simmetrie), il ruolo del biomio di Newto i aalisi ella defiizioe di e e le geeralizzazioi del biomio elle serie di poteze. Ioltre il calcolo combiatorio è la premessa ecessaria all itroduzioe di modelli probabilistici i spazi di probabilità fiiti(prove ripetute di Beroulli). Applicazioi si trovao poi i meccaica statistica: modelli di occupazioe (statistiche di Fermi- Dirac, Bose-Eistei; Maxwell-Boltzma) FINALITÀ: Matematizzare la realtà estera/ Simboleggiare e formalizzare, attraverso la costruzioe di modelli iterpretativi, gli strumeti di lettura dei feomei/ Esercitare al ragioameto iduttivo e deduttivo/ Cogliere l utilità del cofroto di idee e della orgaizzazioe del lavoro di gruppo/acquisire coosceze a livelli più elevati di astrazioe e di formalizzazioe. Coteuti Permutazioi Disposizioi Combiazioi Triagolo di Tartaglia Coefficieti biomiali Poteza di u biomio Metodologia Gli obbiettivi idicati per questo modulo vegoo coseguiti attraverso delle forme di isegametoappredimeto che procedoo dal cocreto all astratto, dal particolare al geerale. Lo sviluppo dei coteuti descritto el seguito itede evideziare questi iteti tramite l illustrazioe di casi cocreti e semplici per motivare la successiva itroduzioe dei cocetti del calcolo combiatorio. I particolare si usao come situazioi stimolo gli aagrammi per itrodurre le permutazioi semplici e ripetute, la geerazioe di umeri co vicoli o seza vicoli per itrodurre le disposizioi semplici e ripetute. Sempre co l iteto delieato, per la dimostrazioi delle proprietà si preferisce quato più possibile usare argometazioi combiatorie che deduzioi formali di difficile iterpretazioe. I particolare tale criterio viee adottato per le proprietà dei coefficieti biomiali e del biomio di Newto. Vegoo comuque fatti riferimeti alle dimostrazioi coteute el libro di testo per garatire l adeguata correttezza formale. Le lezioi devoo essere svolte garatedo la massima partecipazioe degli studeti, stimolado il dialogo co domade e accogliedo gli iterveti covergeti verso le coclusioi poste come obbiettivo. Per redere più compresibile l U.D. che spesso è rappresetata sui libri di testo i maiera complessa e molto frettolosa, e per facilitare l acquisizioe dei coteuti, potrò ricorrere alla tecica del problem solvig. La lezioe sarà codotta sotto forma di lezioe frotale dialogata che porta ad u coivolgimeto attivo degli alui e che accresce la loro partecipazioe e la lezioe frotale partecipata che permette la sistemazioe di cocetti, defiizioi e proprietà. Ivece, di itrodurre subito defiizioi, mostrerò l argometo come u gioco. Verifiche Soo previste ua verifica formativa di metà modulo e ua sommativa alla fie. Oltre a questi mometi formali la verifica degli appredimeti deve essere svolta i modo cotiuato, per tale scopo vegoo assegati degli esercizi da svolgere il cui svolgimeto e correzioe deve essere ua prassi cotiuata durate tutto il percorso didattico. No è prevista ua verifica i igresso sui prerequisiti per la loro esiguità i rapporto alla preparazioe di ua classe quita del liceo scietifico. Strumeti Lavaga, Calcolatrice, Libro di testo, laboratorio di iformatica. calcolo combiatorio 3
Tempi Lezioi frotali e svolgimeto degli esercizi Verifica formativa + discussioe Attività di laboratorio Verifica sommativa + discussioe TOTALE 3h 1h 2h 3h 9h Per u totale di 9 ore che, che teuto coto delle 3 ore settimaali di matematica, equivalgoo a circa tre settimae di lavoro. La previsioe è da itedersi elastica, perché occorre teer coto dell adameto e dei processi di appredimeto della classe..b.: ella mia ud avevo messo 12 ore e mi hao detto che era troppo. Sviluppo dei coteuti Il calcolo combiatorio studia i modi di raggruppare, secodo certi criteri, gli elemeti di u dato isieme. Itrodurrò il calcolo combiatorio come la disciplia che si occupa dei problemi coessi ai diversi modi di ordiare o di raccogliere oggetti. Per esempio, le estrazioi al Lotto, costituiscoo u problema di calcolo combiatorio. Ci si può chiedere Quati soo i teri possibili al Lotto?, E quate soo le quatere?. Oppure se devo sistemare dei commesali a tavola mi chiederò: I quati modi diversi si possoo sedere?. Quidi, i ragazzi potrao osservare come il calcolo combiatorio coivolge ogi passaggio della vita quotidiaa, dal gioco alle scelte pratiche, all orgaizzazioe di ua cea. I questa U.D., proporrò ai ragazzi due soli problemi: la ricerca della lughezza fissa che si può costruire co gli oggetti di u certo isieme, che sarà detto problema delle disposizioi semplici, e il calcolo dei sottoisiemi coteuti i u umero assegato di elemeti estraibili di u isieme dato, detto problema delle combiazioi semplici. Come problemi relativi a questi due argometi potrò cosiderare: a) Trovare tutte le parole di lettere che si possoo costruire utilizzado le lettere della parola Tavolo; b) Calcolare quati soo i possibili teri al Lotto. Prima di itrodurre permutazioi, combiazioi ecc. ecc. itrodurrei co u semplice esempio quello che è il metodo base per affrotare i problemi del calcolo combiatorio. U ragazzo ha a disposizioe due paia di pataloi e quattro magliette. Ci domadiamo i quati modi diversi può vestirsi. Fissato u paio di pataloi, a questo può accostare, ua alla volta, ogua delle quattro magliette e quidi soo quattro possibilità. Ma a questo umero di possibilità dobbiamo aggiugere acora le possibilità che si ottegoo co il secodo paio di pataloi e di uovo ogua delle quattro magliette. Quidi le possibilità soo i totale otto. Per visualizzare la situazioe possiamo utilizzare diverse rappresetazioi grafiche diagramma sagittale, diagramma cartesiao, diagramma ad albero Il diagramma ad albero suggerisce u metodo per determiare il umero di tutti i gruppi che è possibile formare. Le 2 possibilità corrispodeti ai rami dei pataloi idicao quate volte vegoo ripetute le possibilità corrispodeti ai rami delle magliette. Quidi i totale abbiamo 2 =8 gruppi. Quado si predoo i esame gruppi di più di due oggetti, il diagramma ad albero è lo strumeto di rappresetazioe più efficace. Ioltre esso forisce u metodo per essere sicuri di elecare tutti i raggruppameti. è possibile e pratico disegare il diagramma solo se le possibilità o soo molte, altrimeti si può pesare di percorrere i rami solo metalmete. I geerale per determiare quati gruppi si possoo formare assegado il primo posto a u elemeto di u isieme A co elemeti, il secodo a uo di u isieme B co m elemeti, il terzo a uo di u isieme C co elemeti, occorre calcolare il prodotto m... Possiamo chiamare metodo delle possibilità il metodo usato i questo esempio per il calcolo dei raggruppameti. calcolo combiatorio
Quella che mi propogo di fare è u itroduzioe AMICHEVOLE al Calcolo Combiatorio. I particolare, dapprima farò co i ragazzi pochissima teoria e molti esercizi: utilizzado solamete u metodo grafico (il "grafo ad albero", detto ache "diagramma ad albero" o semplicemete "albero") e due o tre "pricipi geerali", saremo i grado, seza pesare a formule precostituite e seza aver adottato ua termiologia specifica, di risolvere problemi apparetemete molto complicati - ma, i geere, curiosi e diverteti. Permutazioi Problema 1: quati aagrammi puoi ricavare dalla parola ROMA? Per rispodere a questa domada, e soprattutto per acquisire u metodo di ragioameto che ci servirà i molti altri problemi di questo tipo, pesiamo di scrivere EFFETTIVAMENTE tutti i possibili aagrammi. Ua volta scritti li coteremo. Evidetemete, per evitare cofusioe, omissioi o ripetizioi, dovremo seguire u certo ordie, u certo schema el "mettere giù" tutte queste parole. Per esempio, potremmo stilare u "grafo ad albero" come il seguete: Possiamo otare che solo alcui dei possibili 2 aagrammi di ROMA soo sigificativi ella ligua italiaa. Il metodo co cui abbiamo ricavato gli aagrammi è utile per ragioare ache su altri tipi di oggetti che o siao lettere. Isieme agli studeti abbiamo costruito la risposta al problema di parteza: gli aagrammi della parola ROMA soo 2. Defiizioe Dati elemeti distiti, si dicoo permutazioi di tali elemeti tutti i possibili raggruppameti formati i modo che oguo cotega tutti gli elemeti e differisca dagli altri per l'ordie secodo il quale gli elemeti si susseguoo. Nell'esempio aalizzato, gli aagrammi di ROMA, abbiamo ricercato tutte le permutazioi degli elemeti dell'isieme {R; O; M; A}. I geerale si ha che il umero delle permutazioi di elemeti dipede solo dal umero ; tale umero si idica co P. Per quato abbiamo visto i precedeza grazie all esempio sappiamo che il umero di permutazioi di elemeti è P 2. Il umero P delle permutazioi degli elemeti dell'isieme dato, è P ( 1)( 2) 3 2 1 Sarà opportuo osservare che tale espressioe vale per ogi umero aturale maggiore di 0, ifatti o ha seso chiederci il umero di permutazioi di 0 oggetti. Potremo pertato dare la defiizioe di fattoriale: Il fattoriale del umero aturale è il prodotto di umeri iteri decresceti a partire da, el caso = 0 si poe, per covezioe, il fattoriale pari a 1. Il fattoriale di è idicato co!. Abbiamo allora che per >0! P Verrao svolti vari esempi i classe. Disposizioi semplici Fio ad ora abbiamo cosiderato le permutazioi, cioè dei raggruppameti di oggetti che e cotegoo, cioè tutti gli oggetti. Problema: Quati umeri di due cifre si possoo formare, co la codizioe che le cifre siao diverse tra loro ed etrambe dispari? Ivitiamo i ragazzi a risolvere il problema attraverso il diagramma ad albero Attraverso l aalisi dei vari diagrammi potremo osservare che la prima cifra del umero da formare può essere scelta i 5 modi diversi e i corrispodeza di ciascua di tali cique scelte, vi soo possibilità di scegliere la secoda cifra. I tutto vi soo perciò 5 = 20 umeri diversi. calcolo combiatorio 5
Stimoleremo i ragazzi el fare alcue osservazioi e a tal fii faremo loro delle domade mirate per stimolare la riflessioe. Ci soo aalogie co il metodo precedete? I cosa differisce? Osserveremo che il problema ora risolto assomiglia ai problemi di permutazioe affrotati i precedeza co la differeza che el caso delle permutazioi si devoo scegliere tutti gli elemeti di u isieme dato, metre i questo caso si richiede di cosiderare le disposizioi di solo due elemeti scelti ell'isieme {1; 3; 5; 7; 9} che ha cique elemeti: si richiede, cioè, di determiare le disposizioi di quei 5 elemeti a 2 a 2, cioè quelle che vegoo chiamate le disposizioi di 5 elemeti di classe 2. A questo puto potremo dare la seguete Defiizioe Dati elemeti e u umero, si dicoo disposizioi semplici, o ache solo disposizioi, di classe tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli elemeti dati, i modo che ogi raggruppameto e cotega e che due raggruppameti differiscao tra loro o per qualche elemeto oppure per l'ordie secodo il quale gli elemeti si susseguoo. Il umero delle disposizioi dì classe di elemeti dipede solo dai umeri aturali e, si idica co il simbolo D ;. Per calcolare tale umero si può immagiare di dover riempire caselle co altrettati elemeti scelti da u dato isieme di elemeti (aturalmete dovrà sempre essere ). L elemeto da iserire ella prima casella può essere scelto i modi diversi; quello da iserire ella secoda casella si può scegliere i - 1 modi diversi (perché u elemeto dell'isieme dato si trova già ella prima casella); l'elemeto da iserire ella terza casella si può scegliere i - 2 modi diversi e cosi via. Quado si deve scegliere l'elemeto co cui riempire l'ultima casella, ossia la -esima, - 1 elemeti dell'isieme soo già stati posti elle precedeti caselle, perciò tale scelta si può fare i ( 1) 1 modi diversi. Pertato il umero di possibili scelte per riempire le caselle, ossia il umero D; classe degli elemeti dell isieme dato, è D; ( 1) ( 2) ( 1) delle disposizioi di Cioè il umero delle disposizioi di classe di elemeti è eguale al prodotto di umeri iteri cosecutivi decresceti a partire da. Proporrei u particolare esercizio per arrivare a cocludere che Le disposizioi di elemeti di classe coicidoo co le permutazioi di elemeti, allora D; P. Si può verificare altresì sostituedo i D ; co e verificado che coicide co! cioè P. Permutazioi co ripetizioe Per itrodurre il cocetto di permutazioe abbiamo calcolato il umero di aagrammi della parola ROMA. Le lettere che formao tale parola soo tutte diverse tra loro: tale circostaza ha reso relativamete semplice l aalisi. Ci propoiamo ora di calcolare il umero di aagrammi (come per ROMA prescidedo dal loro sigificato) di ua parola come ESSERE, i cui o tutte le lettere soo diverse. Per ricodurre tale problema al caso precedetemete aalizzato, poiamo degli idici alle tre E e alle due S che formao la parola, i modo da poterle distiguere, cosideriamo cioè i sei simboli E 1 S 1, S 2, E 2, R, E 3, Essedo ora tali simboli tutti distiti tra loro, per quato visto al paragrafo sulle permutazioi, vi soo 6! = 720 diverse permutazioi di essi. È però evidete che queste permutazioi o corrispodoo a 720 diversi aagrammi della parola ESSERE; ifatti ad esempio le due permutazioi E 1 R E 2 S 1 S 2 E 3 e E 2 R E 3 S 2 S 1 E 1 corrispodoo etrambe al medesimo aagramma ERESSE. I qualuque modo si permutio le tre E, a codizioe di mateerle ella prima, terza e sesta posto, si ottiee sempre lo stesso aagramma ERESSE. Duque per cotare più volte gli aagrammi i cui le E occupao gli stessi posti dobbiamo dividere 720 per il umero di modi di permutare le tre E che è, per quato già visto, 3! = 6. Dopo aver scelto ua qualsiasi di queste sei disposizioi delle tre E possiamo acora permutare le due S, a codizioe di mateerle el quarto e quito posto ad abbiamo sempre lo stesso aagramma. I defiitiva gli aagrammi della parola ESSERE soo 60 (= 720/3!.2!) calcolo combiatorio 6
GENERALIZZANDO: Cosideriamo oggetti, di cui 1 uguali ad a, 2 eguali a b,..., m eguali a z: a, a,, a, b, b,, b,, z, z,, z (1) 1 2 m 1 2 Avremo che P (,, m )!!!! 1 2 m Disposizioi co ripetizioe Ache per le disposizioi è iteressate chiederci come dobbiamo calcolare il loro umero quado gli oggetti che vogliamo raggruppare cotegao elemeti che si ripetoo. Dalla defiizioe data di disposizioe è evidete che si sottoitedeva che di oggetti distiti a a (che si dicoo ache disposizioi semplici), ogi elemeto è coteuto i ciascu gruppo ua volta sola. Suppoiamo ora che ogi raggruppameto possa coteere elemeti o tutti distiti, cioè che possa coteere uo stesso elemeto o ua sola volta, ma 2, 3,..,, volte. Si parla i tal caso di disposizioi co ripetizioe e si formula così la seguete defiizioe. Defiizioe Dati elemeti distiti, si dicoo disposizioi co ripetizioe di oggetti di classe tutti i raggruppameti che si possoo formare co gli elemeti dati, i modo che ogi gruppo e cotega, ma ogi elemeto possa trovarsi ripetuto el gruppo 1, 2, 3,... volte e i modo che ogi gruppo differisca dall'altro per qualche elemeto o per l'ordie co cui gli elemeti soo disposti. Si cocluderà osservado che il umero di possibili scelte per riempire le caselle, ossia il umero D ' ; delle disposizioi co ripetizioe di elemeti di classe, è il prodotto di fattori eguali a. D ' ; Osservazioe didattica: osserviamo cofrotado co aalogo esempio per le disposizioi semplici che il umero i questo caso è maggiore, come è logico. Combiazioi semplici I problemi di raggruppameto di oggetti che abbiamo aalizzato fio ad ora avevao u assuto importate: raggruppameti che avevao gli stessi oggetti co ordie diverso erao cosiderati diversi. Ad esempio el gioco del lotto si estraggoo cique umeri ciascuo imbussolato i ua piccola sfera( da 1 a 90). I tale gioco importa sapere quali soo i cique umeri estratti, ma o cota l'ordie i cui essi si presetao. Estrarre questi cique umeri equivale a scegliere u sottoisieme di 5 elemeti dell'isieme {1; 2: 3:...: 89: 90}: si parla, i tal caso, di combiazioi dei 90 elemeti presi a 5 a 5 (o di classe 5). Si ha quidi la seguete defiizioe. Defiizioe Si chiama combiazioe, o ache combiazioe semplice, di classe di elemeti (co ), o ache combiazioe di elemeti presi a a, u qualuque sottoisieme di elemeti, di u dato isieme di elemeti, tutti distiti tra loro. Quidi, dati elemeti distiti e u umero, si dicoo combiazioi di elemeti di classe (o a a ) tutti i raggruppameti che si possoo formare co degli elemeti i modo che i diversi raggruppameti differiscao tra loro almeo per u elemeto. Il umero di combiazioi di classe di elemeti dipede solo da e da, e si idica co C ;. Per calcolare C; cosideriamo u esempio e solo i seguito daremo la formula geerale: C ; fattori D; ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) ( 1) P ( 1) 2 1! Ovvero: il umero delle combiazioi di classe che si possoo formare co elemeti distiti è uguale al prodotto di umeri iteri decresceti a partire da, diviso per il prodotto dei primi umeri iteri, cioè per il fattoriale di. Potremo far osservare che equivaletemete, utilizzado esclusivamete i fattoriali, potremo scrivere: D;! C; P!!. A questo puto chiariremo u po di termiologia e quidi che i umeri C ; calcolo combiatorio 7
soo detti coefficieti biomiali e vegoo idicati co il simbolo ( 1)( 2) ( 1) allora defiire =! che si legge su. Possiamo Si decide per comodità di defiire ache 0 0 1 Proprietà dei coefficieti biomiali: Utilizzado la formula per le disposizioi semplici espressa come rapporto di fattoriali si ottiee la formula seguete, detta Legge dei tre fattoriali. D;! 1! C; P ( )!!!! Legge dei tre fattoriali Osservazioe: si tratta della stessa formula usata per le permutazioi co ripetizioe di elemeti dei quali e - soo ripetuti: (, )! P! ( )! Geeralizzado il risultato!! C!( )! ( )!( )!,, C Ovvero si ha la seguete proprietà detta Legge delle classi complemetari: C, C, Osservazioe didattica: la verità di questa relazioe è evidete perché è il umero di modi i cui si possoo scegliere elemeti tra dati, ma questo equivale a scegliere - tra gli stessi, il che si può fare i modi. Osservazioe didattica: La legge delle classi complemetari è utile el calcolo delle combiazioi quado 10 10 9 8 7... 3 /2. Ad esempio ivece di calcolare C10,8 è più rapido calcolare 8 8... 2 1 10 10 9 C10,2 2 2 Altra importate proprietà dei coefficieti biomiali è la cosiddetta formula di ricorreza:, facile da verificare co la def di coefficiete biomiale. 1 1 A questo puto sarà opportuo itrodurre il triagolo di Tartaglia (più oto all estero come triagolo di Pascal) grazie al quale potremo i seguito dedurre le proprietà dei coefficieti biomiali. Triagolo di Tartaglia Il triagolo di Tartaglia è stato già visto egli ai precedeti, quidi faremo i modo che gli studeti lo ricostruiscao. Esso è stato sostazialmete utilizzato per determiare i coefficieti umerici del poliomio a b co 1. Faremo otare come i coefficieti del triagolo di Tartaglia possoo essere visti come coefficieti biomiali, per esempio se prediamo i cosiderazioe la quarta riga del triagolo di Tartaglia calcolo combiatorio 8
che da i coefficieti dello sviluppo di 1. Quidi potremo scrivere lo sviluppo di a b 0 a 1 a 3 b 2 a 2 b a b, ci accorgiamo che 1; 0 1 2 3 ab 3 ab ; 6 2 ; ; 3 a b i questo modo: I geerale avremo pertato che: a r r b a b r 0 r Co il biomio di Newto si riesce ad esprimere ogi poteza itera positiva di u biomio come somma di prodotti di poteze dei due termii del biomio. I termii hao tutti lo stesso grado ache se decresce la poteza i u termie aumeta ell altro. La formula del biomio di Newto giustifica il termie coefficieti biomiali attribuito ai umeri. Proprietà dei coefficieti biomiali e Combiazioi co ripetizioe Osservado il triagolo di Tartaglia potremo fare delle osservazioi e dedurre i parte le proprietà dei coefficieti biomiali che abbiamo prima aticipato. Osserveremo che: legge delle classi complemetari dalla simmetria delle righe 1 1 Formula di Stifel dalla regola di formazioe del triagolo (E comuque 1 facile verificare la validità usado la legge dei tre fattoriali) Combiazioi co ripetizioe Nelle combiazioi di oggetti presi volte, cosi come soo state defiite, ogi oggetto è coteuto i ciascu gruppo ua volta sola; può accadere, però, che i elemeti formati u raggruppameto o siao tutti distiti tra loro. Può, cioè, accadere che uo o più dei elemeti scelti siao coteuti i uo stesso gruppo o ua sola volta, ma 2, 3,... volte. Si hao, i tal caso combiazioi co ripetizioe degli elemeti a a. Defiizioe Le combiazioi co ripetizioe di oggetti dì classe soo i raggruppameti che si possoo formare co gli elemeti di u isieme dato, i modo che ogi gruppo e cotega, ma ogi elemeto possa trovarsi ripetuto el gruppo 1. 2 volte e i modo che ogi gruppo differisca dall'altro per almeo u elemeto. Il calcolo combiatorio co Derive: Co Derive è possibile calcolare il umero delle disposizioi e delle combiazioi semplici metre o possiede fuzioi predefiite per calcolare il umero delle disposizioi e delle combiazioi co ripetizioe, iviteremo allora gli studeti, partedo dalle formule, a creare ua fuzioe che permetta tale calcolo. Ua volta defiita tale fuzioe sarà possibile calcolare il umero delle disposizioi sostituedo al posto di e i valori desiderati. Altro utilizzo del software potrebbe essere quello della verifica delle proprietà dei coefficieti biomiali. Verrao calcolati separatamete I due membri dell equazioe e cofrotati tra loro I risultati otteuti, i questo modo I ragazzi si covicerao che tale relazioe è sempre vera ache cosiderado valori elevati di e. Per e piccoli è sufficiete u cofroto co il triagolo di Tartaglia. Excel Ache Excel possiede delle fuzioi di calcolo per determiare il umero delle disposizioi e delle combiazioi di elemeti di classe ; vediamo la sitassi: PERMUTAZIONE(;) calcolo combiatorio 9
Per calcolare il umero delle disposizioi. Se e soo uguali viee calcolato il umero delle permutazioi di elemeti COMBINAZIONE(;) Per calcolare il umero delle combiazioi Come Derive ache excel o possiede fuzioi predefiite per calcolare il umero delle disposizioi o di combiazioi co ripetizioe; occorre quidi costruire di volta i volta ua formula appropriata. (Altre possibili applicazioi per chi coosce il liguaggio pascal) Il modo migliore per realizzare dei programmi semplici relativi al calcolo combiatorio è quello di utilizzare il liguaggio Pascal sfruttado il comado Radom(M). Pertato potrei portare i ragazzi i laboratorio e cercare di creare semplici programmi come il gioco Testa o Croce, estrazioi da u ura. calcolo combiatorio 10
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