Misure d imulso Un aarato che ermette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) osto in un camo magnetico (ossibilmente uniforme) fornisce una misura dell imulso delle articelle a artire dalla misura del raggio di curvatura. Β Β 1
Magneti er eserimenti a bersaglio fisso I magneti comunemente usati in eserimenti a bersaglio fisso sono i magneti diolari. All uscita del bersaglio i rodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della articella incidente, a causa del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio. L aertura del cono è arossimativamente data dal raorto T / L (con T imulso trasverso e L imulso longitudinale risetto alla direzione della articella incidente) non serve un magnete con una grande aertura.
x y z fascio bersaglio Camere er trovare le tracce Raresentazione schematica di uno settrometro magnetico 3
Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l asse y, il fascio incidente sul bersaglio diretto lungo z. Dato il T limitato le articelle rodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle articelle secondarie entranti nello settrometro sono misurate rima e doo il magnete. x θ/ z θ Poiché il camo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle articelle è nel iano xz. 4
La forza di Lorentz è : d dt q mγ B Con costante. La forma di questa equazione cioè d/dt ortogonale a ed a B imlica moto circolare. 5
Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L l angolo di deflessione θ uò essere arossimato a : L x s B θ L ϑ ρ L qb y ρ θ 6
A causa della deflessione dovuta al camo magnetico la articella acquista un imulso trasverso addizionale: T sinθ~θlqb y Se il camo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora: T q L 0 B y dl 7
Tracciamento in camo non uniforme Il camo magnetico sara' in generale non uniforme Possiamo determinare se B e' misurato in tutti i unti mediante la: sin i sin o B dl T m 3.33 GeV /c Il valore di B uo' essere misurato er es. mediante una sonda Hall 8
La recisione della misura dell imulso è influenzata da : Precisione dell aarato tracciante Scattering multilo 9
Precisione dell aarato tracciante. Le articelle rima di entrare nel magnete e doo essere uscite sono rettilinee misura di θ. 1 Misure di osizione da qbyl θ d 1 qb yl dθ θ θ x θ d dθ ( ) ( θ ) θ θ Per determinare θ devo avere almeno 4 unti ( rima e doo il magnete), erché mi servono direzioni. % 10
Se ogni unto ha lo stesso errore (x) la varianza dell angolo di deflessione sarà: cioe' 4 ( θ ) ( x) 4 ( x) i 1 i ( θ ) ( x) Siccome θx/h essendo h il braccio di leva er la misura angolare rima e doo il magnete (θ)(x)/h E ricordando che: ( ) ( θ ) ( ) ( x) / h ( x) qb L θ h y x () e dunque roorzionale a. 11
A seconda della qualità dell aarato si ossono ottenere risoluzioni : ( ) 3 4 ( 10 10 ) [ GeV / c] (1) Se definiamo imulso massimo misurabile quello er cui: ( max ) 1 max Si ha che uno settrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) uò misurare imulsi fino a : [ Tev c] 1 10 / max 1
L imulso di una o iù articelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con ga in aria l effetto dello scattering multilo è di regola iccolo se aragonato all errore dovuto alla misura di θ nel tracciatore. Se erò vogliamo misurare l imulso di µ, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, sesso si usa un magnete di ferro magnetizzato ieno alto scattering multilo. 13
Un µ che attraversa un magnete di ferro ieno di sessore L acquisterà un ms imulso trasverso T, dovuto allo scattering multilo ms ms T sinθ rms ~ θ rms ovvero T ~ 19.(L/X 0 ) ½ [MeV/c] (β 1) Siccome la deflessione dovuta al x ferro L ( ) T ms z ms ms x magn L x 13.6 L X q 0 B y ( l ) camo magnetico è nella direzione x (articella lungo z e B lungo y, solo la comonente x è ms quella che ci interessa x 13.6(L/X 0 ) ½. La risoluzione in imulso, a causa dello scattering multilo, diventa, nel caso di camo magnetico non uniforme: Sia l angolo θ dovuto al camo magnetico, che l angolo di scattering multilo sono inversamente roorzionali a > la risoluzione (relativa) in imulso non diende dall imulso della articella incidente. dl 0 14
Per settrometri di ferro ieno (X 0 1.76 cm) con B 1.8 T, L3 m, ()/~11% Sommando l errore dovuto all incertezza della misura di osizione ()/ % 30 0 errore totale ()/ traccia ()/ ms 10 100 00 300 [Gev/c] Per un magnete in aria (X 0 304m) l errore dovuto allo scattering multilo è molto iu iccolo. er un magnete semre di 1.8 T e lungo 3 metri ()/ ms 0.08 % 15
Un altro metodo utilizzato er determinare l imulso er un magnete in aria è la misura della sagitta (s). L x y B s La sagitta s è connessa al raggio di curvatura r ed all angolo di deflessione θ tramite : ϑ s ρ 1 cos ρ sin ϑ 4 Poiché er articelle relativistiche θ << 1 θ ρ s ρϑ 8 ρ qbl 8 s 0.3BL 8 qbl 8 Se B è in [T] L in [m] e in [GeV/c] 16
Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di osizione. Questo si uò ottenere con una camera all ingresso (x 1 ), una al centro (x ) ed una all uscita (x 3 ) del magnete. Poiché: s Assumendo risoluzioni (x) uguali er le 3 camere Per cui la risoluzione in imulso diventa: s s x ( x + x ) Se la traccia è misurata in N unti equisaziati lungo la lunghezza del magnete L, si uò dimostrare che la risoluzione in imulso dovuta all errore della misura della traccia è: 1 3 ( ) ( ) 3/ ( x) 0.3BL ( s) ( x) 8 3 ( ) tr ( x) 70 ( ) 0.3BL N + 4 Per B1.8 T, L3 m, N4 e (x)0.5 mm tr 10 3 / [ GeV c] Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (LkN) ( ) L 5 1 B 17
Magneti er eserimenti ad un Collider. A seconda del tio di anello di accumulazione ossono essere usati diversi tii di magneti. Per rotone rotone o antirotone rotone ossiamo usare un magnete diolare, ma vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di comensazione, ma con gradiente di camo oosto: Punto d interazione B Fascio Magnete biolare Fascio 1 Magneti di comensazione 18
Un magnete diolare uò autocomensarsi se si usa la configurazione slit field. In questo caso nella zona di giunzione dei dioli il camo è tutt altro che omogeneo > imossibile misure d imulso er articelle rodotte ad angolo olare ~ 90 o. Punto d interazione Fascio 1 B B Fascio 19
Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il camo è nullo nella zona dei fasci. Fra i cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r. Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multilo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d imulso dominata dallo scattering multilo. Cilindro esterno del toroide I B Cilindro interno del toroide Punto di interazione 0
I magneti iù comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano aralleli al camo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a arte effetti di bordo ). Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone Vanno bene sia er anelli di collisione di rotoni che di elettroni. Giogo cilindrico I B Punto d interazione 1
In un solenoide i tracciatori sono installati all interno del solenoide stesso e sono cilindrici. Il camo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla comonente trasversa dell imulso delle articelle trac ( ) ( x) T T 0.3BL 70 T ( N + 4) Dove (x) è la risoluzione er la coordinata nel iano ortogonale all asse dei fasci.
Utile usare coordinate cilindriche φ r µ µ θ µ + unto d interazione µ+ z roiezione rφ roiezione rz 3
Se misuriamo N unti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un accuratezza rφ (m) in un camo magnetico B (T), la risoluzione nell imulso trasverso e : ( ) T T rϕ 70 T / 0.3BL ( N + 4) [ GeV c] Oltre all errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multilo: ( ) T T ms 0.045 B LX 0 ( X in m) 0 4
L imulso totale della articella è ottenuto da T e dall angolo olare θ: T sinϑ Come nel caso del iano rφ (trasverso) anche la misura dell angolo olare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multilo. Nel caso di una misura di sole z ( ϑ ) z ( z) θ T Se la traccia è misurata in N unti equidistanti si avrà: z r ( ϑ ) tr ( z ) z 1( N N ( N 1) + 1) A questa dobbiamo sommare in quadratura l errore dovuto allo scattering multilo ( ϑ ) ms 0.0136 3 1 l X 0 dove è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X 0 e β1. 5
L angolo di scattering multilo <θ> che ci interessa er la misura dell angolo olare deve essere inteso come il raorto dello sostamento della traccia r ( a causa dello scattering multilo ) diviso er la lunghezza di traccia l. l θ r θ iano Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori ossiamo ignorare lo scattering multilo. 6
Concludendo: dalla ( ) T T rϕ 70 T / 0.3BL ( N + 4) [ GeV c] notiamo che la recisione migliora aumentando BL. Migliora solo come (N) 1/ aumentando N,, dove N è il numero di misure 7