1^ Parte: INTERESSE SEMPLICE E INTERESSE COMPOSTO Glossario: Capitale (C): è una somma di denaro che viene concessa in uso per un determinato tempo. Interesse (I): è il prezzo d'uso del capitale. Saggio o tasso di interesse (r): l'interesse prodotto dall'unità di capitale (1 euro) in un anno; è espresso in numero decimale (es. 0,05) o in percentuale (es. 5%). Montante (M nell'interesse semplice Cn nell'interesse composto): somma del capitale e dell'interesse prodotto in un determinato tempo. Sconto: è il pagamento anticipato di una cambiale da parte di una banca. Con lo stesso termine si indica anche la somma che la banca si trattiene a titolo di compenso. Note: negli esercizi gli importi in euro sono arrotondati al centesimo. Regime di interesse: a) Interesse semplice b) Interesse composto: - discontinuo annuo - discontinuo convertibile (convertibile t volte in un anno) a) Regime di interesse semplice Si ha quando gli interessi maturati vengono allontanati dal capitale, che perciò rimane immutato nel tempo. Si applica per periodi inferiori o pari a un anno. Interesse semplice (I) dove n è il numero di mesi diviso 12 oppure il numero di giorni diviso 365 (anno solare) o 360 (anno commerciale). Da questa formula è possibile ricavare le formule inverse che permettono di calcolare una qualsiasi delle variabili (C, r, n) note le altre tre (le formule inverse non vengono riportate per non appesantire la trattazione). Esercizio 1. Calcolare l'interesse prodotto da un capitale di 6.000 Euro impiegato al tasso di interesse del 4% in tre mesi. I = 6.000 x 0,04 x 3/12 = 60 Montante semplice (M) = C + I = C + C x r x n Anche in questo caso è possibile ricavare le formule inverse che permettono di calcolare una qualsiasi delle variabili (C, r, n) note le altre tre. Esercizio 2. Calcolare il montante prodotto da un capitale di 2.500 Euro in 6 mesi al tasso del 5%. M = 2.500 x (1 + 0,05 x 6/12) = 2.562,50 b) Regime di interesse composto Si ha quando gli interessi maturati si aggiungono al capitale diventando a loro volta fruttiferi. 1
Se gli interessi maturano una volta all'anno si parla di interesse composto discontinuo annuo, se maturano più volte all'anno si parla di interesse composto convertibile. Montante nell'interesse composto discontinuo annuo (C n ) q=1 +r n= numero di anni Esercizio 3. Una somma di 4.000 viene depositata in banca per 4 anni. Calcolare a quanto ammonterà il deposito complessivo al termine del quadriennio che il tasso di interesse è pari al 2%. C 4 = 4.000 x (1,02) 4 = 4.329,73 Montante nell'interesse composto convertibile C n = C x (1 + r/t) n x t Con t viene indicato il numero di volte in cui gli interessi maturano in un anno (es. t=2 se convertibile semestrale; t=4 se convertibile trimestrale; t=12 se convertibile mensile). Esercizio 4. Calcolare il montante prodotto in 3 anni da un capitale di 8.000 impiegato al saggio di interesse del 6% convertibile trimestrale. t=4 C 3 = 8.000 x (1 + 0,06/4) 3 X 4 = 9.564,95 Sconto commerciale Le banche nel calcolare lo sconto usano una formula semplificata (e meno rigorosa rispetto a quella derivata dall'interesse semplice e più vantaggiosa per loro) detta dello sconto commerciale. Tale formula può essere impiegata solo per questa operazione e per periodi limitati di tempo. Sconto commerciale (Sc) = Vc x r x n dove Vc = valore della cambiale da scontare r = tasso di sconto bancario n = n è il numero di mesi diviso 12 oppure il numero di giorni diviso 360 (anno commerciale) Esercizio 5. Calcolare il valore attuale di una cambiale di 6.000 che scadrà fra 60 giorni (tasso di sconto bancario 10%). Sc = 6.000 x 0,1 x 60/360 = 100 Valore attuale della cambiale = 6.000 100 = 5.900 2^ Parte: VALORI PERIODICI (rendite frazionate, annualità, periodicità) Glossario: Valori periodici: sono somme che si ripetono ad intervalli regolari. Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno (mensilità, bimestralità, semestralità, ecc.). Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno. 2
Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il periodo è detto turno = t). Anticipati o posticipati: i valori periodici sono anticipati o posticipati a seconda se cadono all'inizio o alla fine del periodo (es. per le mensilità - rendite frazionate - all'inizio o alla fine del mese, per le annualità all'inizio o alla fine dell'anno, per le periodicità all'inizio o alla fine del turno). Costanti o variabili: i valori periodici sono costanti se hanno lo stesso importo. Limitati o illimitati: se sono un certo numero di valori si dicono limitati, se se ripetono all'infinito sono illimitati. Valori periodici: a) Rendite frazionate (R) b) Annualità (a) c) Periodicità o poliannualità (P) a) Rendite frazionate (R) Rendite frazionate: valori che si ripetono ad intervalli pari a frazioni di anno. Sommatoria a fine anno (S 1 ) delle rendite frazionate R = importo rendita frazionata N = numero di rendite all'anno r = saggio di interesse ± 1 = +1 se sono rendite anticipate, -1 se posticipate Esercizio 1. Un immobile è affittato a un canone annuo di 8.400 pagabile con rate mensili anticipate. Calcolare l'ammontare del canone annuo posticipato (Cap). Saggio di interesse = 0,04 Cap = 700 x (12 + 0,04 x (12+1)/2) = 8.582 b) Annualità (a) Annualità: valori che si ripetono ad intervalli pari a un anno. I libri di testo riportano molte formule relative alle annualità limitate (finale, iniziale - o addirittura intermedia - di annualità posticipate e anticipate); noi preferiamo utilizzarne una soltanto, quella di accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate. Con questa è possibile accumulare un certo numero di annualità dove cade l'ultima e da lì, con il montante (q n ) o la formula inversa (1/q n ) è possibile riportare la somma all'istante desiderato. Formula di accumulazione finale di annualità costanti posticipate limitate n = numero di annualità Esercizio 2. Tizio deposita per 5 anni, alla fine di ogni anno, 2.000. Calcolare a quanto ammonta il deposito complessivo due anni dopo l ultimo deposito (r = 4%). A 7 = 2.000 x (q 5 1)/0,04 x q 2 = 2.000 x 5,41632256 x 1,0816 = 11716,59 3
c) Periodicità o poliannualità (P) Periodicità: valori che si ripetono ad intervalli pari a multipli di anno (ogni due anni, ogni tre anni, ecc.; il periodo è detto turno = t). E possibile ricavare le formule relative alle periodicità partendo da quelle delle annualità. Basta sostituire r con q t 1, e qn con q m x t, dove m indica il numero di periodicità; pertanto: Formula di accumulazione finale di periodicità costanti limitate A n = accumulazione di periodicità dove cade l ultima m = numero di periodicità t = turno o periodo (n di anni tra una periodicità e l altra) Esercizio 3. Calcolare l accumulazione finale di una periodicità posticipata di 4.000 che si ripete ogni 4 anni per 5 volte (r = 5%). A 20 = 4.000 x (q 20 1)/(q 4 1) = 30.686,77 Valori periodici illimitati Essendo valori (annualità o periodicità) che si ripetono all infinito, sarà possibile calcolare soltanto l accumulazione iniziale (queste formule sono dette anche di capitalizzazione). Accumulazione iniziale di annualità costanti posticipate illimitate A 0 = a/r Il caso di applicazione pratica più frequente è nella stima analitica del V 0 (V 0 = B f /r c ), dove B f è il Beneficio fondiario e r c il saggio di capitalizzazione. Come detto sopra, sostituendo r con q t 1, si ottiene la formula relativa alle periodicità: Accumulazione iniziale di periodicità costanti posticipate illimitate Esercizio 4. Calcolare l'accumulazione iniziale di una serie illimitata di annualità posticipate di 2.000, dato un saggio di interesse del 4%. A 0 = 2.000/0,04 = 50.000 Esercizio 5. Un bosco ceduo che si riproduce naturalmente, fornisce un reddito netto ogni 15 anni di 8.000. Calcolare il valore del bosco all'inizio del ciclo (cioè appena effettuato il taglio). (saggio di interesse 3%) V 0 = 8.000/(1,0315-1) = 14.337,77 4
3^ Parte: REINTEGRAZIONE e AMMORTAMENTO Glossario: Reintegrazione: in economia la quota di reintegrazione è la somma che si deve accantonare annualmente in previsione di dover sostenere una spesa futura per la sostituzione di un mezzo di produzione fisso (che dura più cicli); in matematica finanziaria, la reintegrazione è l'inverso dell'accumulazione finale. Ammortamento: ripartizione in valori annui di un determinato capitale iniziale. In matematica finanziaria, l'ammortamento è l'inverso dell'accumulazione iniziale. La rata annua di ammortamento è la somma pagata ogni anno per estinguere un debito in un certo numero di anni. Formule inverse della annualità: a) Reintegrazione b) Ammortamento a) Formula di reintegrazione Mediante questa formula (inversa della formula di accumulazione finale di annualità) è possibile determinare la somma che, accantonata annualmente per un certo numero di anni pari a n, permette di avere una determinata somma (A n ) al termine del periodo. Viene utilizzata anche per calcolare la media economica (ad. es. il reddito medio annuo posticipato Bfm di beni che danno redditi poliennali (boschi) o variabili annualmente (frutteti). Formula di reintegrazione a = somma annua A n = somma riferita alla fine del periodo Esercizio 1. Una macchina agricola viene acquistata al prezzo di 40.000.000. La sua durata in efficienza è prevista per 800 ore di funzionamento e nell'azienda essa sarà impiegata per 100 ore all'anno. Nell'ipotesi che sia realizzabile un valore di recupero pari al 10% del valore a nuovo, se ne calcoli la quota annua di reintegrazione (Q a ), dato un saggio di interesse del 5%. Durata = 8 anni Valore da reintegrare = 40.000-4.000 = 36.000 Q a = 36.000 x 0,05/(1,05 8-1) = 3.769,98 b) Formula di ammortamento Questa formula, detta anche di estinzione di un capitale, serve per calcolare la rata costante di ammortamento di un mutuo. Ogni rata risulta formata dalla quota d'interesse sul capitale prestato e dalla quota capitale che serve per rimborsare via via il debito. La rata di ammortamento risulta costante, mentre la quota interessi diminuisce con il decrescere del debito, mentre la quota capitale aumenta. 5
Formula di ammortamento n = numero di annualità a = rata annua di ammortamento A 0 = debito iniziale Esercizio 2. Per l'acquisto di un immobile viene contratto un mutuo decennale di 100.000 al tasso del 5,0%, estinguibile con rate annue di ammortamento. Calcolare la rata annua. Rata annua = 100.000 x (0,05 x 1,05 10 )/(1,05 10-1) = 12.950,46 Se il mutuo viene estinto con rate che maturano più volte in un anno (es. semestrali o mensili), dovrà essere utilizzata la stessa formula con l'avvertenza di dividere il saggio di interesse per t (t = numero di rate all'anno) e moltiplicare il numero di anni n sempre per t. Esercizio 3. Per l'acquisto di un immobile viene contratto un mutuo ventennale di 100.000 al tasso del 5,0%, estinguibile con rate semestrali di ammortamento. Calcolare la rata semestrale. Rata semestrale = 100.000 x (0,025 x 1,025 40 )/(1,025 40-1) = 3.983,62 Debito residuo di un mutuo Il piano di ammortamento di un mutuo riporta anche il debito che resta da estinguere dopo aver pagato le singole rate. Qualora di debba calcolare il debito residuo dopo aver pagato un certo numero di rate, si dovrà accumulare (attraverso la formula di accumulazione iniziale di annualità limitate) le rate che devono essere ancora pagate. Esercizio 4. Viene acceso un mutuo ventennale di 80.000 da estinguere con rate semestrali al saggio del 5%. Calcolare l'importo che deve essere pagato (Debito residuo Dr) qualora si voglia estinguerlo anticipatamente quando sta per scadere la quindicesima rata. Rata semestrale = 3.186,90 Mancano da pagare 25 rate più la rata in scadenza. Importo da versare (Dr) = 3.186,90 x (1,025 25 1)/(0,025 x 1,025 25 ) + 3.186,90 = 61,903,52 E' possibile scaricare (cliccando qui >>>) un file in formato.xls (Microsoft Excel) che permette di calcolare il piano di ammortamento di un mutuo. Istruzioni: Inserire i dati nelle caselle con numeri in rosso (importo mutuo, durata in anni, saggio di interesse e numero di rate all'anno (se annue = 1, se semestrali = 2, se mensili = 12). 4^ Parte: VALORI INTERMEDI - REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI VALORI INTERMEDI Glossario: V o = Valore capitale del fondo riferito all'inizio dell'anno se il ciclo produttivo è annuale, o all'inizio del 6
turno se il ciclo è poliannuale (valore del suolo nudo). V m = Valore del fondo in un momento intermedio dell'anno se il ciclo produttivo è annuale, o del turno se il ciclo è poliannuale (valore dell'arboreto suolo più soprassuolo). Se si deve determinare il valore di un bene in un periodo intermedio del ciclo (es. a metà maggio nei cicli annuali, o al 6 anno in un frutteto), i libri di testo riportano tre diversi procedimenti: a) in base ai redditi passati (o in base al costo) b) in base ai redditi futuri c) in base al ciclo fittizio Per non appesantire inutilmente la trattazione preferiamo riportare soltanto le formule relative ai primi due procedimenti, in quanto l'ultima non ha nessun utilizzo pratico. Inoltre riportiamo solo quelle riferite ai cicli poliannuali perché, di fatto, sono le uniche ad essere utilizzate. Da queste è comunque possibile ricavare quelle relative ai cicli annuali, utilizzando il montante semplice anziché quello composto. a) V m in base ai redditi passati o in base al costo (cicli poliannuali) Consiste nel posticipare di m anni il Vo e sommare le spese sostenute da 0 a m (al netto degli eventuali ricavi): Valore dell'arboreto V m in base ai redditi passati m = anno intermedio del ciclo Σ = sommatoria da 0 a m delle spese meno i prodotti V 0 = valore del suolo nudo Esercizio 1. Il ciclo produttivo di un frutteto è di 20 anni. Le spese d impianto sono di 40.000,00 già riferite alla fine del 2 anno. Dal 3 anno in poi le spese di coltivazione e generali, annue e posticipate, ammontano a 8.000,00. A partire dal 3 anno si ottengono i seguenti prodotti annui posticipati: - al 3 anno 10.000,00; - al 4 anno 16.000,00; - dal 5 al 15 anno 23.000,00; - dal 16 al 20 anno 14.500,00. Calcolare il valore del frutteto (suolo e soprassuolo) alla fine del 5 anno (saggio del 3%). Si calcola prima il valore del suolo nudo capitalizzando il reddito periodico fornito dal frutteto (in estimo, è consigliabile ricavare questo valore con procedimento sintetico). Il reddito periodico (Rp) si ricava dalla differenza tra ricavi e costi dell'intero ciclo (riferendo il tutto alla fine del ciclo o turno): Rp = (10.000xq 17 + 16.000xq 16 + 23.000 x ((q 11 1)/r) x q 5 + 14.500 x (q 5 1)/r) (40.000xq 18 + 8.000 x (q 18 1)/r) Rp = (16.528,48 + 25.675,30 + 341.498,15 + 76.982,47) (68.097,32 + 187.315,48) = 205.271,60 V o = Rp/(q 20-1) = 254.644,26 Si passa poi al calcolo del V 5 utilizzando il procedimento in base ai redditi passati, in quanto la stima cade in un momento vicino all'inizio del ciclo e, pertanto, è più facilmente rilevabile il costo sostenuto nel tempo passato: V 5 = Vo x q 5 + (40.000xq 3 + 8.000 x (q 3 1)/r 10.000xq 2 16.000xq 23.000) = V5 = 295.202,49 + (43.709,08 + 24.727,20 10.609,00 16.480,00 23.000) = V 5 = 313.549,77 7
b) Vm in base ai redditi futuri (cicli poliannuali) Tale metodo consiste nello scontare al momento m sia il V o (che si trova alla fine n del turno, cioè all'inizio del turno successivo), sia i redditi futuri, da m alla fine n del ciclo: Valore dell'arboreto V m in base ai redditi futuri m = anno intermedio del ciclo Σ = sommatoria da m alla fine del ciclo (n) dei prodotti meno le spese V 0 = valore del suolo nudo (all'inizio di ogni turno che coincide con la fine del turno precedente) Esercizio 2. Con i dati del precedente esercizio si calcoli il valore del frutteto alla fine del 14 anno. Attenzione: non si devono considerare i prodotti e le spese che si trovano su 14 perché sono relative all'anno 14, che inizia all'istante 13 e termina all'istante 14. V 0 = 254.644,26 V 14 = (V 0 + 23.000 x q 5 + 14.500 x (q 5 1)/r 8.000 x (q 6 1)/r)/q 6 = V 14 = (254.644,26 + 26.663,30 + 76.982,47-51.747,28)/q 6 = 256.724,73 REDDITI TRANSITORI E PERMANENTI Nella ricerca del valore capitale di un bene, può capitare che i redditi dopo un certo numero di anni subiscano una variazione aumentativa o, più raramente, diminutiva, mantenendosi poi costanti all'infinito. In questo caso si parla di redditi transitori e permanenti. Un esempio è quello di un fondo non irriguo che si trova in una zona dove la maggior parte dei fondi simili è dotato di impianto di irrigazione. Oppure di un appartamento affittato per un periodo residuo ad un canone inferiore (o superiore) a quello ordinario. Riportiamo solo le formule del procedimento estimativo, che si basa sulla capitalizzazione del Bf ordinario (che normalmente è quello permanente Bf p ), detraendo o sommando poi il minor reddito relativo al periodo transitorio (Bf t ). 8
V = Valore di un fondo che fornisce un reddito transitorio inferiore a quello permanente. a = Valore di un fondo che fornisce un reddito costante (il valore di ottiene capitalizzando il Bf p ): questa area corrisponde alla seconda parte della formula riportata qui sotto. b = Minor reddito transitorio (Bf p Bf t ): questa area corrisponde alla seconda parte della formula riportata qui sotto. Valore V 0 di un immobile caratterizzato da redditi transitori e permanenti: La formula si riferisce al caso più frequente (reddito transitorio Bf t inferiore a quello permanente Bf p ; capitalizzando il Bf p, che nella maggior parte dei casi pratici è quello ordinario, si ottiene il valore ordinario). La seconda parte della formula è costituita dal minor reddito transitorio (che deve essere detratto al valore ordinario). 9
Esercizio 3. Un fondo rustico fornirà nei i prossimi 2 anni un beneficio fondiario pari a 4.500,00. A partire dal 3 anno, per l entrata in funzione di un impianto irriguo già presente ma per il momento inattivo, il beneficio fondiario salirà a 7.400,00. Dato un saggio d interesse del 4% e un saggio di capitalizzazione del 1%, calcolare il valore del fondo (V o ). Utilizzare il saggio di interesse del 4% nella detrazione del minor reddito transitorio. V o = 7.400/0,01 (7.400 4.500) x (q 2 1)/(r x q 2 ) = 740.000 5469,67 = 734.530,33 10