Foza agente ta due fili. Definizione di ampee. d I1 F I Consideiamo due fili pecosi dalle coenti I1 e I ispettivamente. Supponiamo che i due fili siano ettilinei, paalleli e infiniti. L'ultima ipotesi non è iealizzabile speimentalmente, ma significa che la pozione dei fili in inteazione ha una lunghezza l molto maggioe della distanza d ta i due fili e il esto del cicuito non inteagisce con i fili stessi. Il aggio dei fili deve essee invece molto minoe della loo distanza, come suggeisce la figua. Supponiamo che una condizione speimentale del genee possa essee effettivamente ealizzata. Alloa si veifica che la foza pe unità di lunghezza agente su un elemento di filo qualsiasi è data da: F d F μ0 I 1 I (1) = dl π d La foza isulta attattiva se le coenti sono concodi come in figua e epulsiva se le coenti sono discodi. La costante μ 0 è deteminata dalle unità di misua usate pe la coente e le alte gandezze fisiche. In veità la (1) è utilizzata pe definie l'unità di misua elettica fondamentale nel sistema intenzionale (SI). Dal 1960 l'ampee (A) è l'unità di misua elettica fondamentale. Secondo la (1) due conduttoi nella situazione sopa descitta (ettilinei, paalleli, indefiniti) pecosi ognuno da una coente di 1 A, a distanza d = 1 m ta di loo, inteagiscono con una foza pe unità di lunghezza di 10-7 N/m. Ciò fissa la costante moltiplicativa nella (1) in modo esatto a: () μ 0=4 π 10 7 N/A Definendo 1 Heny (H) = 1 N m/a, si ha una nuova gandezza deivata che ci saà utile in seguito e dunque d'oa in poi sciveemo: (') μ 0=4 π 10 7 H/m Notate fin da oa che 1 H 1 A = 1 J Consideiamo adesso la costante che appae nella legge di Coulomb, che isciviamo: 1 q1 q (3) F= 4 π ϵ0 Qualsiasi sia l'unità di misua pe le caiche e le coenti il podotto delle due costanti nella (1) e nella (3) è fissato dal fatto che le leggi dell'elettomagnetismo implicano che le onde elettomagnetiche nel vuoto si popaghino con la velocità della luce. Questo è il motivo pe cui deve valee sempe: 1 c=99 79 458 3 108 m/s (4) c Dunque con la nosta definizione di ampee: (5) ϵ 0=8.854 187 8176 10 1 F/m Inolte, detta l'unità di misua di una caica Coulomb(C), si ha 1 C = 1 A 1 s. Alloa due caiche q1 =q = 1 C, a distanza =1 m, si espingono pe la (3) con una foza di: 1 F= =8.987551 787 10 9 9 109 N (6) 4 π ϵ0 μ 0 ϵ 0= 1
Noi avevamo già enunciato la (5) e la (6) quando abbiamo intodotto la Legge di Coulomb. Abbiamo utilizzato il Coulomb come unità fondamentale pe l'elettomagnetismo peché non avevamo ancoa intodotto i fenomeni magnetici, come l'attazione ta due fili pecosi da coente. Adesso possiamo consideae il Coulomb come una gandezza deivata dalla gandezza fondamentale pe l'eletticità, che è l'ampee. Il SI si dice anche sistema MKSA. Natualmente non c'è nulla di assoluto nella scelta dell'unità di misua. Si possono scegliee alte unità fondamentali e utilizzae alti sistemi di misua. L'unica cosa assoluta è il pincipio su cui si basa l'elettomagnetismo e la Teoia della Relatività di Einstein: la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di ifeimento ineziali. Quello che faemo adesso è scompoe la foza (1) in un campo (il campo magnetico) e nella inteazione ta campo e paticelle (caiche in movimento). Inolte consideeemo l'influenza delle paticelle sul campo stesso: le caiche in movimento geneano (sono sogenti di) un campo magnetico. I Legge di Laplace Dato un conduttoe chiuso, pecoso da una coente I, di foma abitaia descitta matematicamente da una cuva g, possiamo definie un nuovo campo vettoiale, che diciamo campo di induzione magnetica B: μ0 I (7) dl 3 g 4π La (7) pende il nome di Pima Legge di Laplace. La costante moltiplicativa nella (7) è già stata definita. Ogni tatto dl del conduttoe pecoso da coente è sogente del nuovo campo. Pe esaminae il significato del podotto vettoiale mella (7), consideiamo di nuovo il semplice esempio del filo infinito pecoso da coente. Possiamo pendee un sistema di ifeimento tale che il filo coincida con l'asse z. Consideiamo oa un punto campo qualsiasi P. Possiamo oientae gli assi x e y in modo che P=(x,0,0), cioè che il punto campo sia sull'asse x. Vediamo alloa che con il sistema di ifeimento scelto l'elemento di linea dl e il vettoe posizione, ta il punto sogente e il punto campo, individuano insieme il piano xz. Ciò accade inveo pe ogni elemento di linea del conduttoe quindi il campo B isultante avà diezione y. D'alta pate il sistema ha simmetia di otazione attono all'asse z (simmetia azimutale) e quindi cicolando attono a z dobbiamo misuae sempe lo stesso campo (ad una stessa distanza dal filo). Dunque, le linee di campo B sono ciconfeenze su piani pependicolai all'asse del filo. Alloa il significato della Pima Legge di Laplace è che le linee di campo B cicolano in senso antioaio attono alle sogenti (le coenti che lo poducono), come si mosta nella figua seguente. Indicheemo alloa: B= B uϕ dove u ϕ=( sin ϕ, cos ϕ, 0) è il vesoe che cicola attono all'asse al vaiae dell'angolo azimutale ϕ B= Sappiamo il veso e la diezione di B. Consideiamo oa il modulo. L'integale su tutto il cicuito va da z= a z=+ : μ I dz sin θ dove θ è l'angolo compeso ta dl e B= 0 4π Pe calcolae l'integale occoe ossevae che:
z x x x 1 = cot θ dz = d θ, =sin θ = sin θ x sin θ x z I dl θ Linea di campo B x uϕ ϕ L'integale nell'angolo θ si iduce a: μ I 1 π μ0 I B= 0 d θ sin θ= 4π x 0 π x Dunque possiamo scivee che a distanza d da un filo ettilineo indefinito, pecoso da coente I il campo magnetico è: μ0 I (8) B= uϕ πd L'espessione (8) pende il nome di campo di Biot-Savat. II Legge di Laplace. Foza di Loentz. Pendiamo di nuovo in consideazione la (1) e la (8). Da queste equazioni si deduce che la foza agente su un elemento di filo può essee espessa in temini dell'elemento di cicuito della coente che lo attavesa e del campo magnetico ceato dall'alto filo, secondo: df=i dl B (9) La (9) pende il nome di Seconda Legge di Laplace ed è del tutto geneale. 3
Riassumiamo il contenuto fisico delle leggi di Laplace. Una caica in movimento cea un campo magnetico concatenato alla coente ad essa associata (I Legge di Laplace). In pesenza di campo magnetico, le caiche in movimento subiscono una foza data dalla II Legge di Laplace. Il magnetismo è un fenomeno di inteazione ta caiche in movimento che viene scomposto in un campo, le cui sogenti sono un sistema di coenti, e in una foza a sua volta agente su alte coenti non appatenenti al sistema che genea il campo stesso. Pe una singola caica la (9) si tasfoma in: F =q v B (10) La (10) pende il nome di Foza di Loentz Vediamo che la Foza di Loentz è sempe pependicolae alla velocità e quindi impime alla caica una acceleazione nomale alla taiettoia, quindi una vaiazione di diezione. Nelle applicazioni industiali il campo magnetico è utilizzato pe cambiae la diezione di moto di un fascio di paticelle caiche (vedi esempi). Momento di dipolo magnetico Consideiamo un cicuito a foma di ciconfeenza di aggio R, pecoso da una coente I (spia cicolae). Si intende che i fili di ingesso e di uscita della coente sono uniti insieme in modo da non contibuie al campo magnetico (vedi Figua). R Calcoliamo il campo sull'asse della spia. Supponiamo che la spia giaccia sul piano xy e che il suo asse di simmetia coincida con l'asse z in modo che la coente cicoli in senso antioaio ispetto al veso positivo della coodinata z. Il campo in un geneico punto (0,0,z ) si calcola dalla Pima Legge di Laplace z I B y Notiamo che due elementi simmetici come in figua danno luogo a un campo lungo z. Se sommiamo tutte le coppie di contibuti è evidente che il campo complessivo della spia è lungo z. L'angolo ta dl ed è di 90 gadi. Infatti se ci ifeiamo alla figua dl = (0, dl,0) = (R, 0, z) e il loo podotto scalae è nullo La componente z del loo podotto vettoiale è uguale al podotto: dl R. dl μ 0 I dl R μ0 I μ 0 I R μ0 I R R B= 3 k= 4 π π R 3 k = 3 k= (R + z )3 / k 4π 4 x (11)
al limite pe R<<z: μ I R B 0 3 k z (1) Una linea di campo coincide quindi con l'asse z. Sappiamo che le linee di campo in possimità della coente cicolano attono alla coente stessa. Dunque la mappa delle linee di campo saà qualitativamente come nella figua seguente (http://it.wikipedia.og/wiki/file:vfpt_dipole_magnetic.svg). Questo campo a gande distanza dalla spia è equivalente a Consideiamo infatti il vettoe seguente: m=i An (13) 5 quello di un dipolo elettico.
dove A è l'aea del cicuito e n la nomale estena oientata in modo che il suo veso e il veso di pecoenza della coente siano in accodo con la egola della mano desta, vale a die come nella figua seguente (http://en.wikipedia.og/wiki/file:right-hand_gip_ule.svg): In geneale, qualunque cicuito piano si considei, se definiamo il momento di dipolo magnetico con la fomula (13) il campo a gande distanza dal cicuito stesso saà dato da: μ 3(m ) m B= 0 3 (14) 4π 5 La (14) quando viene calcolata sull'asse del dipolo (asse z) : μ m B= 0 3 π z coincide con il campo della spia nel limite R 0 (Eq. 1). L'espessione del campo di dipolo magnetico m è fomalmente identica a quella del campo di dipolo elettico p, pe questo motivo le linee di campo hanno la stessa distibuzione: 3(p ) p 1 E= 3 4 π ϵ0 5 ( ) ( 6 )
Foza e momento agenti su un dipolo magnetico F I a b sin θ B θ I b F' n Consideiamo una spia ettangolae di lati a e b, pecosa da una coente I immesa in un campo magnetico unifome oientato come in figua. Essendo il campo unifome la isultante delle foze agenti sulla spia è nulla ma il momento delle foze è diveso da zeo. In modulo: M =b sin θ F= I a b sin θ Il momento di dipolo della spia è: m=i a b n dunque: M=m B (15) La spia uota in modo che, all'equilibio, il momento di dipolo sia allineato al campo e il momento delle foze diventi nullo. Si può estendee la validità della (15) a un cicuito piano qualsisai, appossimandolo con una ete di spie ettangolai infinitesime pecose dalla stessa coente I e aventi le nomali concodemente oientate. Sappiamo che pe un copo igido sottoposto a foze consevative, che uota attono a un asse fisso: du = Ma dθ dove M è il momento assiale ispetto all'asse di otazione Applicando la (16) nel nosto caso: du = M a = m B sin θ U = mb cos θ= m B dθ (16) Il segno negativo del momento assiale indica che il momento tende a fa diminuie l'angolo quando esso isulta positivo, vale a die a ichiamae la spia veso la posizione di equilibio θ = 0. Il segno negativo nell'enegia potenziale indica che il minimo θ=0 è un punto di equilibio stabile e il massimo θ=π è un punto di equilibio instabile. 7
Infine, nel caso di un cicuito piano di aea molto piccola posto in un campo magnetico non unifome si ha: F= ( m B ) (17) dove si intende che le deivate iguadano la coodinate spaziali del campo magnetico e il momento di dipolo è consideato un vettoe costante. In paticolae, se il campo dipende da una sola coodinata, ad esempio z: db F z =m, F x =F y =0 dz Non ipotiamo la dimostazione della (17) pe bevità. Essa è comunque una fomula impotante che è necessaio tenee a mente pe isolvee alcuni esecizi. Magnetismo nella mateia (cenni) Dato il campo B come definito con le leggi fin qui esposte, si ha speimentalmente che un ago magnetico di una bussola si oienta lungo un campo B popio come un cicuito elementee. Ad un ago magnetico si può quindi associae quantitativamente un momento di dipolo magnetico m. Inolte si ha che un magnete esecita una foza su caiche in movimento, in patica cioè poduce un campo B attono a se. Cioè: il fenomeno di inteazione ta caiche in movimento è della stessa natua del magnetismo natuale. Ne consegue che i solidi che pesentano una attività magnetica devono avee al loo inteno delle caiche in movimento il cui effetto macoscopico non è statisticamente nullo. In effetti le caiche in movimento sono le caiche dei singoli atomi e a un solido magnetico si può associae un momento di dipolo magnetico pe unità di volume M. Il campo M ha effetti macoscopici in alcuni mateiali in cui le coenti i dipoli elementai sono altamente odinati. La tattazione del magnetismo della mateia imane fuoi dal pogamma di questo insegnamento. Ci limitiamo a ossevae che la natua di coente dei dipoli magnetici si osseva anche in questo caso nelle linee del campo B. Se consideiamo due magneti in inteazione abbiamo che le loo estemità si attiano se coispondono a polaità (Nod,Sud) divese e si espingono se hanno la stessa polaità. Come in ogni caso che abbiamo esaminato le linee di campo sono chiuse su se stesse oppue divegono a distanza infinita. Non ci sono linee che teminano o iniziano al finito come nel caso del campo elettico, dove iniziano da una caica positiva e teminano a una caica negativa. Non si può inolte ottenee un polo N o un polo S isolati, cioè non esiste (in fisica non quantistica) un monopolo magnetico. La sogente elementae del campo magnetico è sempe un dipolo magnetico che è un elemento di coente e quindi non può essee ulteiomente scomponibile in due monopoli. 8
http://en.wikipedia.og/wiki/file:vfpt_cylindical_magnets_attacting.svg http://en.wikipedia.og/wiki/file:vfpt_cylindical_magnets_epelling.svg 9
Legge di Gauss pe il campo B Il campo B ha sempe flusso nullo attaveso qualsiasi supeficie chiusa. Questa affemazione è conseguenza della geometia delle linee di campo, chiuse su se stesse. Ogni supeficie chiusa avà la stessa quantità di flusso entante quanto di flusso uscente. Dunque sciviamo: Φ Σ (B)=0 con: Σ supeficie chiusa (18) Un campo che segue la (18) si dice solenoidale. Legge di Ampee Dalla pima Eq. Di Laplace (7) si può deivae una legge pe la cicuitazione del campo magnetico attaveso un qualsiasi cammino chiuso g: I (19) g B dl=μ 0 I Dove I è la coente eventualmente concatenata (cioè che passa attaveso) al cammino g. I vesi di pecoenza del cammino e della coente sono collegati dalla egola della mano desta come in figua. g Veifichiamo oa che la (18) e la (19) danno la stessa infomazione della (7), calcolando il campo geneato da un filo infinito ettilineo. Sia dato un filo ettilineo indefinito di aggio a, pecoso da una coente I. Facciamo coincidee l'asse coodinato z con l'asse di simmetia di otazione del sistema fisico. Chiamiamo inolte la distanza dal cento del filo. Chiamiamo ϕ l'angolo (azimutale) di otazione attono all'asse di simmetia. In questo modo ogni punto del sistema fisico è individuato dal sistema di coodinate cilindiche (, ϕ, z). 10 z a I ϕ
Facciamo oa delle consideazioni sulla simmetia del sistema fisico. Il campo non può dipendee dalle coodinate z o ϕ dal momento che c'è invaianza pe taslazione lungo z (il filo è infinito) e lungo ϕ (il filo è cilindico). Dunque B = B () Consideiamo oa le componenti del campo B ( ), B ϕ( ), B z ( ) Calcoliamo il flusso del campo attaveso una qualunque supeficie cilindica con asse z. Il flusso attaveso le due basi del cilindo, dovuto alla componente B z ( ) è uguale e opposto e non dà contibuto. Rimane il flusso di B ( ) attaveso la supecicie lateale, ma la componente adiale assume sempe lo stesso valoe a una stessa distanza dal cento, quindi, dalla (18): z a Φcilindo (B)=B π l=0 Risulta che la componente adiale è identicamente nulla Consideiamo oa un qualsiasi cammino ettangolae su un piano ϕ = costante Nell'equazione (19) della cicuitazione applicata al cammino ettangolae mostato in una delle figue compae solo la componente B z dato che B è sempe nulla e la abbiamo dimostato che la componente componente Bϕ è in diezione nomale al cammino stesso. Dal momento che non vi è nessun flusso di coente concatenata poiché la coente è dietta lungo z, isulta ettangolo B dl= B z ( ) l B z ( 1 )l=0 con ovvio significato dei temini. Dunque la componente z del campo è costante in tutto lo spazio, se tale costante non fosse nulla occoeebbe la pesenza di coenti infinitamente lontane e infinitamente estese concatenate al campo B z. Poiché non ammettiamo alte sogenti che il filo pecoso da coente possiamo escludee l'esistenza di un campo dietto lungo z. Alloa le linee di campo sono ciconfeenze che giacciono nei piani z =0 e sono centate nell'asse z. Conviene applicae la Legge di Ampee (19) su una linea di campo, pima intena al filo e poi estena. Occoe fae una ipotesi sulla densità di coente. Supponiamo che sia unifome, così: I J= πa Alloa pe <a una cicuitazione lungo una linea di campo da: π Bϕ π =μ 0 J π =μ 0 I π a dunque: μ I Bϕ= 0 pe: < a (0) πa Pe >a una cicuitazione lungo una linea di campo da: Bϕ π =μ 0 I 11 z a 1 l
quindi: μ I Bϕ = 0 π pe: > a (1) Il campo è lineae in all'inteno del filo e isulta il campo di Biot-Savat (8) all'esteno del filo come ci si aspettava. z a uϕ B Campo di un solenoide Consideaiamo oa, pe la sua impotanza, un semplice elettomagnete come mostato in figua (http://en.wikipedia.og/wiki/file:simple_electomagnet.gif), Esso consiste in un avvolgimento (o bobina), caatteizzato da n spie pe meto pecose da una coente I, avvolte attono a un mateiale feomagnetico. Il mateiale ha la funzione di amplificae il campo magnetico della bobina gazie all'oientazione colletiva dei momenti di dipolo magnetico inteni. Tuttavia, dal momento che non tattiamo nel coso i mateiali magnetici supponiamo che vi sia il vuoto al posto del feomagnete. Tascueemo anche il fatto che l'avvolgimento è una spiale e consideeemo pe semplicità le spie pefettamente paallele ta loo, tascuiamo cioè la componente assiale della coente. 1
L'avvolgimento in questione si dice anche solenoide, dal geco solen: canale, condotto. Le linee di campo sono mostate nella figua seguente (http://en.wikipedia.og/wiki/file:vfpt_solenoid_coect.svg) Notiamo che la geometia delle linee di campo all'esteno del solenoide icoda quella di un magnete cilindico. Non è un caso: in un magnete cilindico omogeneo i momenti di dipolo elementai sono oientati in modo che la coente isultante scoa in patica sulla supeficie lateale del mateiale. Calcoliamo oa il campo sull'asse del solenoide (asse z) utilizzando la Seconda Legge di Laplace. Si può pocedee sommando il campo di ogni singola spia: μ0 I R n dz tutti i campi delle singole spie sono dietti lungo z e quindi il campo totale è 3 dietto lungo z db= 13
Consideiamo un geneico punto campo P = (0, 0, z0) Con le coodinate, ϕ e z come nella figua si hanno le elazioni: μ ni R sin ϕ=r, z z 0= R cot ϕ, dz = d ϕ, db= 0 sin ϕ d ϕ, sin ϕ Dunque: μ ni μ ni B= 0 ( cos ϕ1 +cos ϕ )= 0 [ l + z 0 (l + z 0) +4 R + l z 0 ( l z ) +4 R 0 ] () dove l è la lunghezza totale del solenoide. Il valoe massimo del campo si ha al cento del solenoide (z0=0): B max=μ 0 n I l l + 4 R (3) Il campo () nell'inteno del solenoide tende a essee costante e vicino al valoe massimo quanto più R è piccolo ispetto a l. Nello stesso limite al di fuoi del solenoide il campo tende a essee sempe meno intenso quanto più piccolo è il appoto R/l. In figua è appesentato il campo lungo z pe divesi valoi di R/l (da MazzoldiNigo Voci, Fisica Vol. II Edises) l Si vede dalla fomula () che pe l>>r, z0, il campo sull'asse del solenoide tende alla costante B=μ 0 n I (4) Supponiamo adesso che il solenoide sia idealmente infinito. Questa appossimazione saà tanto più valida quanto più la lunghezza l del solenoide supea la dimensione tasvesale R. Calcoliamo il campo questa volta con la (18) e la (19) e con consideazioni di simmetia. Pe simmetia di otazione e di taslazione il campo può dipendee solamente da Dalla (18) con un agionamento analogo a quello utilizzato pe il campo di un filo pecoso da coente, possiamo escludee l'esistenza di una componente adiale del campo. Se vi fosse una componente adiale il flusso attaveso una supeficie cilindica con asse in z saebbe diveso da zeo. Dalla (19), consideando un cicuito chiuso cicolae nel piano z= cost e centato in z, abbiamo che la componente Bϕ deve essee nulla. Rimane solo la componente B z ( ) del campo. 14
La componente B z è costante, sia all'inteno del solenoide che all'esteno. Questo si dimosta consideando la cicuitazione (19) su cicuiti chiusi ettangolai inteni (osso) ed esteni al solenoide(blu), che evidentemente non hanno alcuna coente concatenata. La costante è diffeente peché passando dall'inteno all'esteno del solenoide abbiamo una discontinuità del campo. Consideiamo infatti un ettangolo di lati a e b che ha concatenate na spie come in figua: B z,int a B z,est a=μ 0 n a I (5) Sappiamo che il campo all'esteno diminuisce quanto più la idealizzazione di solenoide infinito isulta valida. Dunque il campo esteno deve essee nullo e il campo inteno: B z =μ 0 n I (6) al limite in cui il solenoide tende a una lunghezza infinita. Si nota che l'intensità del campo magnetico è bassa anche con coenti alte. Con I=100 A e n=10 si ottengono 1.6 10- T. Come ifeimento, l'odine di gandezza del campo magnetico teeste è di 0.5 10-4 T.L'intoduzione di un nucleo feomagnetico nel solenoide può aumentae il campo fino a valoi di cica 1 T. Continuità e discontinuità del campo magnetico Dalla (5) che isciviamo: B z,int B z, est=μ 0 n I isulta che il campo vaia buscamente attavesando la egione in cui ci sono le spie. Spesso si considea nei poblemi lo spessoe delle spie tascuabile e alloa la coente del solenoide diventa una coente pe unità di lunghezza. In effetti ni ha le dimensioni di ampee pe meto. Se ipotiamo il campo in funzione della distanza dall'asse z in un diagamma e consideiamo tascuabile lo spessoe delle spie otteniamo l'andamento seguente: Bz μ 0 n I 0 = R/ 15 B Solenoide fomato da un guscio di n spie pe unità di lunghezza infinitamente sottili I
Vale a die: il campo magnetico tangenziale a una supeficie ha una discontinuità se alla supeficie stessa scoe una densità di coente pe unità di lunghezza. Cioè il fatto di avee appossimato idealmente una densità di coente pe unità di supeficie (quella che scoe nelle spie) in una densità pe unità di lunghezza (consideando la sezione tasvesale delle spie paticamente zeo) intoduce una discontinuità nel campo tangenziale pai alla costante μ 0 pe la densità lineae di coente j= ni. Si tatta di un concetto analogo a quello di discontinuità della componente nomale del campo elettico, che nasce quando una caica su uno stato passa da una distibuzione di caica pe unità di volume a una distibuzione di caica pe unità di supeficie s al tendee dello spessoe dello stato a zeo. Vediamo un alto caso dove si applica questa egola. Consideiamo una lasta metallica indefinita che occupa il piano xz. Supponiamo che essa sia pecosa da una coente che scoe lungo z con densità J. y x J La coente che scoe in un tatto dx di spessoe a è data da di = J a dx Pe schematizzae in modo più semplice il poblema tascuiamo lo spessoe a della lasta, alloa se a tende a zeo J deve tendee a infinito in modo che la coente nel tatto dx sia finita. Avemo: y j x pe: a 0, J a j, j dx=i j è una densità di coente pe unità di lunghezza. Consideiamo oa un punto campo P e due tatti dx' e dx equidistanti da P. Essi sono pecosi da due coenti I' = j dx' e I = j dx. Siccome dx è piccolo questi tatti sono assimilabili a fili sottili indefiniti lungo z e quindi geneano ambedue un campo di Biot Savat con linee di campo cicolai. 16
y B' P B x dx' dx I campi geneati dai due elementi hanno una isultante dietta solamente lungo y. Alloa isulta chiao che, pendendo elementi della lasta a due a due simmetici ispetto al punto P, il campo totale della lasta sia dietto lungo x. Inolte il campo magnetico può dipendee solo dalla coodinata y peché vi è invaianza taslazionale secondo x e z. y Bx(y) x Bx(-y)= - Bx(y) Consideando un cammino ettangolae, simmetico ispetto alla lasta (blu in figua), si ottiene, dalla Legge di Ampee: B x ( y) l B( y )l=μ 0 jl da cui: μ j B x= 0 come abbiamo visto pima, ecco una nuova discontinuità del campo tangenziale, dovuta al fatto che abbiamo schematizzato la lasta conduttice come una supeficie bidimensionale, a spessoe nullo, e quindi abbiamo dovuto intodue una densità di caica pe unità di lunghezza anziché pe unità di supeficie. Nel caso vi sia una componente nomale del campo magnetico, essa è continua attaveso qualsiasi supeficie di sepaazione. Quset'ultima affemazione deiva dal Teoema di Gauss pe il campo magnetico (18). Infatti 17
consideando una qualsiasi supeficie piana che delimiti due zone dello spazio, si può applicae la (18) a un cilindo infinitesimo con le due basi giacenti nelle due divese egioni. Bn B1n Φ cilindo (B)=B n A B1n A+ϕ (h)=0 dove A è l'aea delle basi del cilindo, ϕ(h) è il contibuto della eventuale componente tangenziale attaveso la supeficie lateale (di altezza h) del cilindo. Pe h 0, ϕ(h) 0 e la condizione alla supeficie diventa B n B1n =0 Riassumendo, pe quanto iguada il campo magnetico B, nell'attavesae una supeficie la componente tangenziale del campo magnetico isulta discontinua in pesenza di densità di coente pe unità di lunghezza, mente la componente nomale del campo magnetico è sempe continua. Questo isultato va confontato con quello già studiato pe il campo E. La componente tangenziale del campo elettico è sempe continua attaveso qualsiasi supeficie di sepaazione ta due egioni dello spazio, la componente nomale è discontinua quando sulla supeficie è pesente una densità di caica pe unità di supeficie. Leggi della Magnetostatica e dell'elettostatica Riassumiamo le Equazioni fondamentali dell'elettomagnetismo che abbiamo studiato fino ad adesso Q Φ Σ (E)= ϵint 0 g E dl=0 18 con: Σ supeficie chiusa, Q int caica contenuta all'inteno di Σ (7) (8)
Φ Σ(B)=0 con: Σ supeficie chiusa g B dl=μ 0 I (18) (19) Queste sono le Equazioni di Maxwell pe il campo elettico e pe il campo magnetico e valgono nel caso in cui i campi elettico e magnetico non vaiano nel tempo. La (7) e la (8) valgono pe l'elettostatica cioè quando le distibuzioni di caica elettica sono fisse e valgono anche in pesenza di coenti elettiche quando la vaiazione dei campi con il tempo è abbastanza lenta da essee tascuata. La (18) e la (19) si dicono equazioni della Magnetostatica, peché descivono poblemi in cui il campo magnetico (e anche quello elettico) non vaia nel tempo. I campi elettici e magnetici seguono coppie di equazioni vettoiali ta loo indipendenti. Nelle equazioni del campo elettico non compae il campo magnetico e vicevesa. Nel caso più completo, quello dell'elettodinamica le equazioni non sono più disaccoppiate. L'Eq. (8) deve essee modificata aggiungendo un temine che dipende dalla vaiazione nel tempo del campo magnetico. Allo stesso modo la Legge di Ampee (19) deve essee modificata aggiungendo un temine che dipende dalla vaiazione nel tempo del campo elettico. Quando i campi vaiano nel tempo sono dunque uno sogente dell'alto: una vaiazione di campo magnetico induce una vaiazione di campo elettico che, a sua volta, fa vaiae il campo magnetico. Questa concatenazione di vaiazioni indotte ecipocamente sta alla base dell'esistenza delle onde elettomagnetiche. Nella lezione successiva completeemo le Eq. di Maxwell, scivendole nel caso dinamico e taemo da esse alcune impotanti conseguenze patiche. Olte alle leggi che pemettono di deteminae il campo dalle sue sogenti (caiche e coenti) abbiamo la legge che egola l'inteazione ta paticelle e campi: F=q ( E+ v B ) (9) Una paticella di caica q, immesa in un campo elettomagnetico subisce una foza di Coulomb e una foza di Loentz in accodo con la (9). 19
ESEMPI Uno ione 58 di 19 Ni di caica e= 1.6 10 C (singolo-caico) e massa m=9.70 10 6 kg viene acceleato (patendo dalla quiete) attaveso una diffeenza di potenziale V =3 kv. Successivamente enta in una zona dove è pesente solamente un campo magnetico unifome B = 0.1 T pependicolae al piano della taiettoia. Tutto il pocesso si svolge in condizioni di alto vuoto. Si chiede di: (i) calcolae il aggio di cuvatua R della taiettoia dello ione nella zona del campo magnetico. Si calcoli inolte: (ii) il aggio di cuvatua R' nel caso dello ione 60Ni (anch'esso singolo-caico,) la cui massa m' sta nel appoto con quella dello ione pecedente m ' /m=60 /58. Abbiamo che: m ' =m 60/58=1.00 10 5 Il fascio viene acceleato dal campo elettico fino a una velocità data dalla consevazione dell'enegia: 1 m v =e ΔV v= e ΔV 1.6 10 19 3000 = =9.94 10 4 m/s 6 m 9.7 10 Il fascio enta senza pedee velocità (in vuoto) nella zona del campo magnetico dove viene deviato dalla foza di Loentz di modulo: F =evb Pe la Seconda Legge di Newton applicata a un moto cicolae: m v / R=evB mv R= =50.5 cm eb Nel secondo caso la velocità diminusice di un fattoe m/m' =0.983 : v '= e ΔV =9.78 10 4 m/s m' Dunque il aggio aumenta di un fattoe complessivo m ' /m= 60 /58=1.017 R= m' v ' =51.1 cm eb Il poblema pesenta una vesione semplificata di uno spettometo di massa. La sostanza da analizzae viene vapoizzata e ionizzata. Sono utilizzati divesi metodi pe questo, ad esempio, gli ioni del mateiale da analizzae possono essee ottenuti bombadando il mateiale con un fascio ionico pimaio e accogliendo gli ioni secondai che vengono espulsi dal mateiale stesso 0
(Seconday Ion Mass Spectomety, SIMS) Gli ioni da analizzae vengono poi collimati, e possono essee acceleati e deviati come nel poblema. Dalla posizione in cui vengono ivelati, che dipende dal aggio di cuvatua della taiettoia, si icava il appoto caica/massa. Si identificano in questo modo gli elementi che costituiscono il mateiale e si misua la loo abbondanza. In paticolae, si ilevano impuezze pesenti, con altissima sensibilità (pati pe milione.) Si ipota qui uno schema di spettometo di massa peso da Wikipedia: http://en.wikipedia.og/wiki/mass_spectomety z a I 1 Un filo conduttoe pecoso da una coente I è cicondato da una guaina conduttice cilindica, coassiale al filo, di spessoe tascuabile e aggio a. La guaina è pecoa da una coente uguale in intensità e diezione, ma di veso opposto. Si chiede di calcolae: (i) il campo B dovunque nello spazio al di fuoi del filo; (ii) la foza pe unità di lunghezza che agisce ta i conduttoi.
Applichiamo la legge di Ampèe assumendo il filo e la guaina infiniti (cioè che la loo lunghezza sia molto maggioe del aggio a della guaina. La geometia del sistema impone che l'unica componente non nulla del campo uoti in senso antioaio intono alla coente. Eseguendo una cicuitazione su una linea di campo (una ciconfeenza) di aggio 0 a otteniamo: I B = 0 (il segno negativo indica che il campo cisola in senso oaio ispetto all'asse z del sistema di coodinate cilindiche,, z ) Pe ' a, la oente concatenata è nulla, quindi B=0 all'esteno della guaina. La discontinuità del campo (tangente alla supeficie della guaina) nel passae dall'inteno all'esteno della guaina è: B B B1 = 0 I ' Bϕ() in accodo col fatto che sulla supeficie è pesente una densità di coente pe unità di lunghezza: I j= a Pe quanto iguada la foza, conviene dividee la guaina in infiniti fili, ognuno dei quali pecoso da una coente di L'espessione del modulo della foza pe unità di lunghezza (epulsiva) su ogni filo infinitesimo è: 0 I di a Dato che tutti gli elementi sono equidistanti, si ha una somma di temini identici; la foza pe unità di lunghezza, epulsiva, che si esecita ta filo e guaina è: d F 0 I = dl a