Disequazioni: caso generale Consideriamo ora la risoluzione di disequazioni che presentino al suo interno valori assoluti e radici. Cercheremo di stabilire con degli esempio delle linee guida per la risoluzione di tali esercizi Esempio 4 Poiché all interno dell esercizio abbiamo valori assoluti e radici, dobbiamo individuare un percorso risolutivo che tenga conto in primo luogo della natura della disequazione. La domanda che ci si deve porre innanzitutto per iniziare a risolvere questa disequazione è la seguente: Che tipo di disequazione devo risolvere? La risposta deve individuare il carattere fondamentale dell equazione, essa infatti è principalmente Una disequazione fratta Ecco che la risposta mi porta ad avere un primo percorso risolutivo: in una disequazione fratta si deve studiare separatamente il segno numeratore e del denominatore. Pertanto: 4 Si inizia con il porre N : 4 4 Che è una disequazione irrazionale la cui risoluzione è equivalente alla risoluzioni di due sistemi 4 ( ) 4
Le cui soluzioni sono. D : Poiché il valore assoluto rappresenta sempre una quantità positiva, possiamo osservare che la somma di due quantità positive, di cui una è il valore, rappresenta sempre una quantità maggiore di zero. In alternativa, nel caso in cui non si riconoscesse questa proprietà, si procede nel modo tradizionale. Essa è una disequazione modulare che si risolve come visto in precedenza, studiando il segno del valore assoluto e poi scomponendo la disequazione iniziale in due sistemi di disequazioni. Le cui soluzioni sono. Ora le soluzioni della disequazione iniziale, che è una disequazione fratta, si determinano con la regola dei segni. A questo punto si deve fare un osservazione importante: nello studio del numeratore, il sistema che risolve al disequazione irrazionale tiene conto del campo di esistenza della radice; nello studio del denominatore, il campo si esistenza non tiene conto del dominio del numeratore. Pertanto, quando si applica la regola dei segni finale si tracciano due rette, ma proprio dal fatto che a denominatore non si tiene conto del campo di esistenza del numeratore, anche per quest ultimo si considerano valori che inizialmente erano stati esclusi. Come ovviare questo problema per disequazioni razionali con valore assoluto e radici? Prima di tutto si deve studiare il campo di esistenza di ogni radicale che compare nel testo della disequazione. C.E. 4.
Pertanto le soluzioni che si determinano con la regola dei segni dovranno essere compatibili con C.E. Queste condizioni sono facili da dimenticare in una disequazione di questo genere, quindi è il caso, visto l incidenza che possono avere nella soluzione di una disequazione, porre come primo punto per risolvere questi esercizi lo studio di eventuali condizioni esistenza. Per determinare le soluzioni finali, allora si procede come segue. Passo : determiniamo le soluzioni della disequazione iniziale con la regola dei segni, senza tener conto delle C.E. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Poiché il vero generale della disequazione era, si devono prendere i valori negativi. Quindi. Passo : si deve ora applicare la condizione di esistenza della radice. Abbiamo possibilità per tener conto del dominio. possibilità Applichiamo la condizioni di esistenza direttamente allo schema della regola dei segni cancellando tutti i valori che non sono compresi nell intervallo del campo di esistenza, cioè essendo il dominio, devo cancellare i valori compresi tra - e, inoltre poiché gli estremi fanno parte del campo di esistenza essi vanno compresi nelle eventuali soluzioni accettabili, pertanto: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Pertanto le soluzioni cercate sono. possibilità Metto a sistema: ) le soluzioni ottenute dalla risoluzione iniziale, cioè quella ottenuta dalla regola dei segni e che non tiene conto delle condizioni di esistenza ; ) le condizioni di esistenza. Quindi: Si ottiene quindi. Le due possibilità illustrate sono equivalenti, vale a dire non ce n è una migliore dell altra, si utilizza quella con cui ci si trova meglio per considerare le C.E. Esempio 4 4 Che tipo di esercizio devo risolvere? Una disequazione razionale. Vi sono particolari condizioni di esistenza da porre per numeratore e denominatore? Si poiché esso è costituito da un numeratore che ha limitazioni per il C.E. in quanto contiene una radice, mentre il denominatore non presenta problemi per il campo di esistenza.
C.E. 4 4. Percorso risolutivo : in una disequazione fratta si deve studiare separatamente il segno numeratore e del denominatore. Pertanto: N : 4 4 Osserviamo che il valore assoluto restituisce un valore positivo, inoltre anche la radice restituisce un valore positivo, quindi la somma di due valori positivi è positiva. Vi è solo un caso eventuale caso su cui prestare attenzione, poiché la disequazione ha disuguaglianza, si devono escludere quei casi, se esistono, in cui 4 4 = 4 = 4 ( 4 ) ( ) = 4 8 6 = 4 9 = Da cui segue, 9 ± = 8 48 9 ± = Poiché l equazione iniziale considerata era una equazione irrazionale, si deve procedere con la verifica delle soluzioni ottenute, da cui 9 = non accettabile 9 = non accettabile Quindi l equazione 4 4 = non ha soluzioni, cioè 4 4 sempre verificata
D : È una disequazione modulare, equivalente a tre sistemi di disequazioni (lo si deduce dallo studio dei segni degli argomenti dei moduli). Risolvendo la disequazione si osserva che essa non è mai verificata. Applicando ora la regola dei segni per quanto ottenuto a numeratore e a denominatore e tenendo conto delle C.E. si ha: 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Poiché il verso generale della disequazione è, si devono prendere le soluzioni positive, quindi S =. Esempio 4 Che tipo di esercizio devo risolvere? Una disequazione razionale. Vi sono particolari condizioni di esistenza da porre per numeratore e denominatore? Si poiché esso è costituito da un numeratore che non ha limitazioni per il C.E., mentre il denominatore presenta due radici che richiedono la determinazione del campo di esistenza. Allora C.E. 4 4. Percorso risolutivo : in una disequazione fratta si deve studiare separatamente il segno numeratore e del denominatore.
N : si può elevare entrambi i membri al cubo, in quanto la radice cubica non necessita di considerazioni riguardo il dominio Le soluzioni sono 7. D : 4 4 Poiché la disequazione coinvolge due radicali quadratici, e non è del tipo f ( ) g( ) un radicale ed un polinomio è sufficiente porre a sistema le condizioni di esistenza per entrambi gli argomenti dei radicali; elevare al quadrato entrambi i membri. 4 4 Le cui soluzioni sono S =., cioè tra Applicando ora la regola dei segni per quanto ottenuto a numeratore e a denominatore e tenendo conto delle C.E. si ha: 7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Poiché il verso generale della disequazione è, si devono prendere le soluzioni negative, quindi Esempio 4 S : 7. Che tipo di esercizio devo risolvere? Una sistema.
Percorso risolutivo : in un sistema risolviamo separatamente le prima e la seconda disequazione, prendendo alla fine le soluzioni comuni ad entrambe. Prima disequazione Che tipo di disequazione devo risolvere? Una disequazione irrazionale, quindi essa equivale ad un sistema di tre disequazioni tradizionale, in quanto la radice ha verso di sé il minore. che equivale a risolvere Le cui soluzioni sono. Seconda disequazione Che tipo di disequazione devo risolvere? È una disequazione modulare, pertanto si deve studiare il segno dell argomento del valore assoluto e suddividere la disequazione originaria nell unione si più sistemi di disequazioni tradizionali. Studio del segno dell argomento del modulo Le cui soluzioni sono. La disequazione assegnata equivale allora al unione dei seguenti sistemi:
Le cui soluzioni sono, 4 8. Quindi le soluzioni del sistema sono: 8 4 Si ottiene quindi 4 8. Esempio 4 Che tipo di esercizio devo risolvere? Una sistema. Percorso risolutivo : in un sistema risolviamo separatamente le prima e la seconda disequazione, prendendo alla fine le soluzioni comuni ad entrambe. Prima disequazione 4 Che tipo di disequazione devo risolvere? Una disequazione razionale. Vi sono particolari condizioni di esistenza da porre per numeratore e denominatore? Si poiché esso è costituito da un numeratore che ha una radice, mentre il denominatore, tranne il fatto che deve essere diverso da zero, non presenta problemi il del campo di esistenza.
C.E. 4 N : 4 4 Le cui soluzioni sono D : Poiché ho la somma (che non si annulla mai) di due quantità positive. Le soluzioni della prima disequazione sono quindi. Seconda disequazione Che tipo di disequazione devo risolvere? Una disequazione razionale. Vi sono particolari condizioni di esistenza da porre per numeratore e denominatore? Si poiché esso è costituito da un numeratore che non presenta problemi per il campo di esistenza, mentre il denominatore contiene una radice di cui deve essere determinato il dominio. C.E. In questo caso abbiamo posto l argomento del denominatore e non, in quanto essendo il denominatore costituito unicamente dalla radice, se esso si annulla avremmo zero a denominatore, che non è accettabile come condizione. Osservazione Se il denominatore fosse stato, avremmo dovuto porre, in quanto l annullarsi dell argomento della radice, in questo caso, non avrebbe annullato il denominatore,
poiché il radicale è una parte del polinomio, infatti il suo argomento si annulla per =, ma tale valore non fa annullare tutto il denominatore, che si annulla invece per = ed è proprio quest ultimo il valore da escludere per questa condizione (oltre ai valori da escludere legati alla presenza del radicale). Torniamo ora alla risoluzione dell esercizio assegnato : N Disequazione modulare Si studiano i segni degli argomenti dei moduli La disequazione assegnata equivale alla risoluzione di tre sistemi di disequazioni: : D (ovviamente che soddisfi il dominio del radicale). Applicando al regola dei segni e tenendo conto delle C.E. si ottengono le soluzioni della seconda disequazione 7 : S Quindi le soluzioni del sistema sono: 7 7 : S
Osservazione Vi sono alcuni casi il cui lo studio del segno è particolarmente veloce se si tiene conto di alcune osservazioni: f ( ) Dom( f ) f ( ) cui risulta ( ) = f ); f ( ) Dom( f ) ( si devono escludere gli eventuali valori della per ; f ( ) Dom( f ) f ( ) cui risulta ( ) = f ); f ( ) Dom( f ) ( si devono escludere gli eventuali valori della per. Allora basta osservare che: ) il prodotto di quantità positive è sempre positivo: f ( ) g( ) Dom( f, g) f ( ) g( ) Dom( f, g) f ( ) g( ) ) La somma di quantità positive è sempre positivo: f ( ) g( ) Dom( f, g) f ( ) g( ) Dom( f, g) f ( ) g( ) f ( ) k Dom( f ) con k g ( ) k Dom( g) con k Con considerazioni simili si possono risolvere rapidamente i casi in cui si hanno quantità negative. Osservazione Riguardo le condizioni da porre all inizio per il campo di esistenza esse devono essere inserite all inizio della risoluzione dell esercizio quando il numeratore (o il denominatore) presenta delle restrizioni, mentre il denominatore (o il numeratore) non ha problemi per le condizioni di esistenza.