Programma di Matematica svolto durante l anno scolastico 2015-2016 nella classe 2 sez.e ALGEBRA 1) Richiami sul calcolo letterale e sulle equazioni algebriche lineari ad una incognita. 2) Disequazioni algebriche di 1 grado ad una incognita Disuguaglianze. Principi delle disuguaglianze. Disequazioni ad una incognita. Intervalli. Disequazioni equivalenti. Dominio di una disequazione. Principi di equivalenza delle disequazioni e loro conseguenze. Grado di una disequazione intera. Risoluzione algebrica delle disequazioni di 1 grado. Disequazioni frazionarie e disequazioni intere riconducibili al 1 grado. Sistemi di disequazioni e loro risoluzione. 3) Sistemi di equazioni di 1 grado Equazioni a due incognite. Forma normale, grado e soluzioni dell equazione. Equazioni lineari a due incognite. Insieme delle soluzioni e sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano. Sistemi di equazioni. Grado di un sistema e insieme delle soluzioni. Sistemi determinati, indeterminati e impossibili. Sistemi equivalenti. Sistemi lineari di due equazioni a due incognite in forma normale. L insieme delle soluzioni del sistema lineare e sua interpretazione geometrica nel piano cartesiano. Risoluzione grafica del sistema lineare di due equazioni a due incognite. Risoluzione algebrica con i metodi di sostituzione, confronto, riduzione e di Cramer. Problemi di 1 grado a due incognite. 4) Radicali Ripasso sul concetto di numero razionale, irrazionale e reale. Le operazioni inverse dell elevamento a potenza nell insieme R. Radice n-esima di un numero reale (caso del radicando positivo o nullo e caso del radicando negativo). Definizione generale di radice. Proprietà fondamentale dei radicali. La proprietà invariantiva e la semplificazione dei radicali. Riduzione di più radicali allo stesso indice. Prodotto e quoziente di radicali con lo stesso indice e con indice diverso. Somma e differenza di radicali. Trasporto di un fattore sotto il segno di radice. Trasporto di un fattore all esterno
del segno di radice. Potenza di un radicale. Radice di un radicale. Razionalizzazione del denominatore di una frazione. Potenze con esponente frazionario e relative proprietà. Semplificazione di espressioni irrazionali. 5) Numeri immaginari e complessi L operazione di estrazione di radice nell insieme R: studio del caso in cui l indice sia pari e il radicando negativo. Definizione di numero immaginario. L unità i dell insieme e sue potenze successive. Operazioni definite nell insieme dei numeri immaginari. Ampliamento dell insieme R: i numeri complessi. Rappresentazione algebrica di un numero complesso. Numeri complessi coniugati. Operazioni definite nell insieme dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi nel piano di Gauss. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi in un sistema di riferimento polare. 6) Equazioni algebriche di secondo grado e di grado superiore Forma canonica o normale dell equazione algebrica di 2 grado ad una incognita. Forme incomplete: spuria, pura e monomia e relativi metodi risolutivi. Risoluzione dell equazione completa. Formula risolutiva normale e ridotta. Studio del segno del discriminante e risoluzione grafica dell equazione. Equazioni frazionarie numeriche e letterali. Relazioni fra le radici e i coefficienti dell equazione. Somma e prodotto delle radici. Scomposizione del trinomio di secondo grado. Applicazioni delle equazioni di secondo grado. Equazioni parametriche. Problemi di secondo grado. Equazioni di grado superiore al secondo. Equazioni risolubili mediante scomposizione in fattori di primo e secondo grado. Studio di particolari forme incomplete e relativi metodi risolutivi: l equazione binomia, biquadratica e trinomia. 7) Sistemi di equazioni di grado superiore al primo Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite. Risoluzione mediante il metodo di sostituzione. Equazione risolvente il sistema. Sistemi determinati, impossibili, indeterminati. Il sistema simmetrico di 2 grado: forma canonica o normale ed equazione risolvente. Applicazione dei sistemi alla risoluzione di problemi. Sistemi risolubili mediante artifici.
8) Disequazioni algebriche di 2 grado ad una incognita Studio del segno del trinomio di 2 grado. Caso del discriminante positivo, nullo e negativo. Forma canonica o normale della disequazione di 2 grado ad una incognita. Risoluzione algebrica e grafica delle disequazioni di 2 grado. Disequazioni di grado superiore al 2. Sistemi e relativa risoluzione algebrica. 9) Relazioni e funzioni Concetti fondamentali, dominio e rappresentazione cartesiana di una funzione. Funzioni biunivoche. Variabili indipendenti e dipendenti. Funzioni notevoli e loro grafici. Studio della funzione lineare ax+by+c=0. La retta nel piano cartesiano. Sistemi di rette. Studio delle posizioni reciproche nel piano cartesiano fra due rette: risoluzione algebrica e grafica. Studio della funzione quadratica y=ax 2 +bx+c. La parabola nel piano cartesiano. Principali caratteristiche della curva: concavità, vertice asse di simmetria. Casi particolari. Studio delle posizioni reciproche nel piano cartesiano fra una retta e una parabola e fra due parabole: risoluzione algebrica e grafica. La funzione della proporzionalità inversa e sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano. Cenni alle sezioni coniche come intersezioni di una superficie conica indefinita con un piano: circonferenza, ellisse, parabola, iperbole. 10)Elementi di trigonometria Angoli orientati. Misura dell ampiezza di un angolo in gradi e in radianti. Ampiezze angolari orientate. La circonferenza goniometrica. Angoli e quadranti. Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente. La prima e la seconda relazione fondamentale della goniometria. Funzioni goniometriche degli angoli notevoli. Angoli associati e relative funzioni goniometriche. Caratteristiche fondamentali delle funzioni goniometriche:dominio,codominio,segno e periodicità. Grafici delle funzioni goniometriche y=senx, y=cosx e y=tgx. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Relazioni fra gli elementi dei triangoli. Risoluzione dei triangoli rettangoli note le misure di tre elementi, tra cui almeno un lato. Area di un triangolo qualsiasi e di un parallelogramma. Il teorema della corda. Il teorema dei seni. Il teorema del coseno o di Carnot. Risoluzione di semplici problemi sui triangoli e sulla circonferenza mediante i teoremi della corda, dei seni e del coseno.
GEOMETRIA RAZIONALE 1)Richiami sui criteri di congruenza dei triangoli e sui criteri di parallelismo e relative applicazioni. 2) Luoghi geometrici. Parallelogrammi. Definizione di luogo geometrico. Asse di un segmento. Bisettrice di un angolo. Parallelogrammi e loro proprietà. Criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma. Parallelogrammi particolari: rettangolo, rombo, quadrato. Trapezi. Schema riassuntivo sui quadrilateri. 3) La circonferenza e il cerchio La circonferenza e il cerchio come luoghi geometrici. Corde e diametri. Archi e angoli al centro. Proprietà della circonferenza: teoremi e relative dimostrazioni. Distanza di un punto da una circonferenza. Posizioni reciproche di una retta e di una circonferenza: teoremi e relative dimostrazioni. Retta secante, tangente, esterna. Proprietà della retta tangente ad una circonferenza in un punto. Posizioni reciproche di due circonferenze complanari. Definizione di angolo alla circonferenza. Angoli al centro e alla circonferenza che insistono sullo stesso arco: teorema e relativa dimostrazione. Corollari. Tangenti da un punto ad una circonferenza. Teorema delle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza e relativa dimostrazione. Poligoni inscritti e circoscritti: definizioni e proprietà generali. Caso dei triangoli. Punti notevoli di un triangolo: circocentro e incentro. Teoremi sui quadrilateri circoscrittibili e inscrittibili in una circonferenza. 4) Trasformazioni geometriche nel piano euclideo Le isometrie: traslazioni, rotazioni, simmetrie centrali e assiali. Composizione di isometrie. Omotetie e similitudini. Principali proprietà invarianti nelle trasformazioni. 5) Grandezze geometriche. Teorema di Talete Classi di grandezze omogenee. Rapporto di grandezze omogenee. Classi di grandezze in corrispondenza biunivoca. Classi di grandezze direttamente proporzionali. Costante di proporzionalità. Criterio generale di proporzionalità. Fascio di rette parallele. Trasversali di un fascio. Elementi corrispondenti. Teorema e relativa
dimostrazione. Corollario al teorema. Parallela ad un lato di un triangolo: teorema e relativa dimostrazione. Divisione di un segmento in un numero qualsiasi di parti congruenti. Teorema di Talete e sue conseguenze. Costruzioni con riga e compasso in applicazione del teorema di Talete. 6) Triangoli simili Definizione di triangoli simili. Elementi corrispondenti o omologhi. Rapporto di similitudine. I criteri di similitudine: teoremi con relativa dimostrazione. Corollario al primo criterio di similitudine. Proprietà dei triangoli simili e relative applicazioni. Dimostrazione dei teoremi di Euclide sui triangoli rettangoli mediante la similitudine. Il concetto generale di similitudine. Riduzioni o ingrandimenti di figure piane. Risoluzione algebrica di problemi geometrici di 1 e 2 grado sui triangoli e i quadrilateri mediante i criteri di similitudine. 7) Complementi di geometria piana Il triangolo rettangolo: la media geometrica e i teoremi di Euclide. Il teorema di Pitagora. Il triangolo rettangolo con gli angoli di 30 e 60. Il triangolo rettangolo con gli angoli di 45. Il triangolo equilatero: relazione fra lato e altezza. Applicazioni dell algebra alla geometria: i problemi geometrici. Risoluzione algebrica dei problemi geometrici. Le fasi della risoluzione algebrica. Problemi determinati, impossibili, indeterminati. Risoluzione algebrica di problemi geometrici di 1 e 2 grado sui triangoli, i quadrilateri particolari (parallelogrammi e trapezi).