ISURA DELL ACCELARAZIOE DI GRAVIA E ISOCROISO DEL PEDOLO Procedmento d msura ed apparato spermentale Lo scopo dell esperenza è quello d verfcare quanttatvamente l socronsmo del pendolo per pccole oscllazon e d determnare l valore dell accelerazone d ravtà nel laboratoro msurando la lunhezza l e l perodo d un pendolo. Queste due randezze sono leate a medante la relazone: l = π relazone che racchude le quattro le del pendolo: a per un medesmo pendolo le pccole oscllazon sono socrone ndpendentemente dall ampezza (socronsmo del pendolo). Infatt dal momento che nell'espressone d non compare l'ampezza dell'oscllazone se ne deduce che l perodo sa ndpendente da questo parametro. Pertanto le pccole oscllazon s compono n temp uual ndpendentemente da quanto s sa spostato nzalmente l punto materale dalla poszone d equlbro purché s sa nel rspetto dell'potes fatta. a Il perodo non dpende dalla massa del pesetto. 3 a Il perodo è drettamente proporzonale alla radce quadrata della lunhezza l del pendolo a Il perodo è nversamente proporzonale alla radce quadrata dell accelerazone d ravtà. I materal dell apparato spermentale sono: un asta d metallo con supporto per appendere l pendolo; flo nestensble; un pesetto sferco; un onometro; un metro al mllmetro; un folo su cu senare le ampezze delle oscllazon; un cronometro al centesmo d secondo.
Prma d procedere allo svolmento dell espermento costruamo l apparato strumentale. Sospendamo l pesetto al flo non elastco: è possble realzzare una sospensone bflare; n questo modo s evtano le orbte ellttche della massa pendolare sospesa ad un unco flo e appendamo l flo all asta d metallo. Senamo po con l onometro le ampezze d dvers anol da 3 a 0 sul folo e fssamo questo all asta metallca con l accortezza d far corrspondere 0 con la poszone d equlbro del pendolo. suramo nfne la lunhezza l del pendolo (per convenzone la lunhezza d un pendolo è data dalla somma della lunhezza del flo e del rao del pesetto) ottenendo la msura d ( 0580 000) l = ± m avendo l metro sensbltà al mllmetro. L esecuzone dell espermento consste nello spostare l peso fno ad un seno d rfermento che ndca l ampezza α dell oscllazone e nel msurare con l cronometro l perodo del pendolo coè l ntervallo d tempo necessaro a compere un oscllazone completa. In realtà non msuramo un perodo del pendolo ma contamo 0 oscllazon complete msurandone la durata totale. Il perodo del pendolo sarà dato allora dal rapporto = 0. In questo modo l ncertezza su (dovuta alla sensbltà del cronometro e a rfless dello spermentatore) s dstrbusce su 0 perod rendendo l ncertezza sul snolo perodo 0 volte pù pccola. Ad on ampezza d oscllazone fssata effettuamo 0 msure del suddetto tpo. Dopo aver fatto queste prme 0 msure cambamo sstematcamente l ampezza α effettuando per on ampezza altre 0 msure. Rcordamo che lo spostamento nzale dalla poszone d equlbro non deve essere troppo rande: s parla nfatt d socronsmo del pendolo per pccole oscllazon.
Dat spermental: tabelle ed elaborazone. Propaazone del error L socronsmo del pendolo semplce Raccolamo le 0 msurazon fatte per on ampezza fssata nelle seuent tabelle: abella abella abella 3 abella α = 6 α = α = 8 α = 30 ' (sec) ='/0 ='/0 ='/0 ='/0 ' (sec) ' (sec) ' (sec) (sec) (sec) (sec) (sec) 95 95 5 5 5 5 53 53 50 50 56 56 50 50 535 535 50 50 57 57 500 500 55 55 50 50 507 507 50 50 5 5 99 99 506 506 9 9 5 5 99 99 533 533 503 503 56 56 89 89 89 89 50 50 5 5 53 53 53 53 506 506 5 5 50 50 59 59 530 530 57 57 99 99 53 53 5 5 53 53 53 53 58 58 53 53 5 5 503 503 56 56 53 53 55 55 503 503 50 50 57 57 53 53 507 507 50 50 509 509 53 53 506 506 5 5 99 99 538 538 99 99 533 533 89 89 56 56 50 50 50 50 53 53 53 53 56 56 50 50 55 55 5 5 50 50 537 537 5 5 5 5 53 53 5 5 50 50 57 57 Osservamo prelmnarmente che nel rportare nelle seconde colonne d cascuna tabella l valore d = 0 s è lascata l approssmazone alla terza cfra decmale per tenere conto della propaazone dell errore d sensbltà del cronometro par a 00 sec; pertanto l errore sul perodo = 0 sarà par a 0 0/0 sec = 0 00sec. Per una prma vsualzzazone d come le msure effettuate s dstrbuscono suddvdamole ne seuent ntervall contando l numero d msure che cadono n on ntervallo. I rsultat sono seuent.
IERVALLO UERO DI OCCOREZE α = 6 α = α = 8 α = 30. < 90sec 0. 90sec < 500sec 5 0 0 3. 500sec < 50sec 7 3 7 0. 50sec < 50sec 7 6 5. 50sec < 530sec 3 5 3 0 6. 530sec < 50sec 0 7. 50sec < 550sec 0 0 0 3 8. 550sec 0 0 0 Grafchamo ora con un storamma le occorrenze ottenute per avere un maore mpatto vsvo su come le msure s sono dstrbute. α=6 α= 8 8 6 6 0 3 5 6 7 8 0 3 5 6 7 8 ( sec) ( sec) α=8 α=30 8 6 0 3 5 6 7 8 Occorenze 0 8 6 0 3 5 6 7 8 ( sec) (sec) Con questa prma rappresentazone s mette n evdenza come valor delle msure tendono ad addensars salvo cas solat entro un certo ntervallo e come allontanandos dalla reone centrale valor s dradano.
Passamo ora ad un anals quanttatva pù dettalata: calcolamo per on ampezza α la meda matematca de perod medante la relazone = n= essendo le 0 msurazon effettuate per on ampezza. S è scelto d usare la meda matematca e non una meda pesata come teorcamente sarebbe loco perché tutte le 0 msurazon effettuate dallo stesso spermentatore e nelle stesse condzon hanno lo stesso peso. I valor così ottenut sono rspettvamente: = 505900 sec ; per α = per α = 8 = 57950 sec ; = 509550 sec ; = 5950 sec. Calcolamo ora l errore standard d medante la relazone = = = σ ( ) ( ). I valor così ottenut sono rspettvamente: = 00003 sec ; per α = per α = 8 = 00076 sec ; = 00035 sec ; = 0007 sec. Poché è l errore con la sua prma cfra snfcatva a determnare l numero d cfre decmal da consderare allora ne quattro cas esamnat l perodo del pendolo msurato per on ampezza fssata è = 506 ± 000sec ; per α = = 58 ± 0003sec ;
per α = 8 3 = 50 ± 000sec ; = 59 ± 000sec. Come s vede allora per le msure effettuate è confermata anche quanttatvamente la lee dell socronsmo del pendolo per pccole oscllazon. I rsultat così ottenut sono basat sul presupposto che le msure d fossero tutte uualmente ncerte e che le ncertezze su α fossero trascurabl. In effett nel nostro caso l ncertezza su è dovuta all errore d sensbltà del cronometro v compres anche rfless dello spermentatore e pertanto le msure su possono consderars uualmente ncerte; mentre nelle msure d α c sono delle ncertezze dovute ad esempo al poszonamento della scala raduata con var anol con lo zero n lnea con la poszone d equlbro del pendolo o dovute all apertura stessa del pendolo: c s affdava n questo caso alla propretà che per tre rette ( due fl che sorreono l pesetto e la semretta ndcante l anolo d apertura) passa uno ed un solo pano. S potrebbe dmostrare che la presenza d ncertezze anche n α ntrodurrebbe una dfferenza sorprendentemente pccola. sura dell accelerazone d ravtà Rcordamo che l accelerazone d ravtà è leata al perodo d un pendolo dalla relazone l = π ovvero l = π. Allora calcolamo valor d medante la relazone precedente applcata a valor trovat n precedenza. Ottenamo: per α = = 009707 m/sec ; = 99370 m/sec ;
per α = 8 = 008303 m/sec ; = 978853 m/sec. Essendo ora una msura ndretta funzone del perodo e della lunhezza l medante la relazone l = ( l) = π per calcolare l errore standard d dobbamo usare le le d propaazone del errore ovvero: e r ( ) = er ( ); l er ( ) ( ); = er l + er l l l e ; = r l = π. Applcando allora queste formule al nostro caso ovvero per ottenamo seuent valor: per α = per α = 8 = 00358 m/sec ; = 000006 m/sec ; = 0036755 m/sec ; = e per l = 058m = 00330 m/sec. Poché come al solto è l errore con la sua prma cfra snfcatva a determnare l numero d cfre decmal da consderare ne quattro cas esamnat allora l accelerazone d ravtà nel laboratoro msurata per on ampezza fssata è per α = per α = 8 00 0 03 / sec = ± m ; 99 0 0 / sec = ± m ; 3 005 00 / sec = ± m ; 979 003 / sec = ± m.
Poché nfne l valore d all nterno del laboratoro deve essere costante possamo pensare d fare la meda de valor precedentemente ottenut. In questo caso però non faremo la meda matematca n quanto quattro valor precedent d avendo ncertezza dversa hanno anche peso dverso. Per tal motvo allora faremo una meda pesata attraverso coeffcent peso rappresentat da termn ( ) : = = = ottenendo = 9963 m /sec con un errore standard dato da = = = σ ( ) ( ) ovvero per nostr dat = 0068678 m / sec. In conclusone possamo allora dre che l accelerazone d ravtà all nterno del laboratoro msura sulla base de nostr dat ( ) m = 996 ± 007. sec
Consderazon fnal ella msura dretta delle dec oscllazone complete del pendolo s sono scuramente verfcat error casual. Una scura fonte d errore casuale è rappresentata dal tempo d reazone dell osservatore nell avvare e nell arrestare l cronometro e poché l rtardo nell avvo o nell arresto del cronometro può varare mpercettblmente da msura a msura questo causa una sottostma o una sovrastma del tutto casuale nel perodo msurato. Altre font d error casual potrebbero essere dovute a pccole vbrazon della struttura che sostene l pendolo o a pccole corrent d ara: queste varazon sono tpcamente causal e s manfestano solo se la sensbltà del cronometro è suffcentemente alta. L errore sstematco nvece n questo tpo d msura può provenre sa da un cattvo funzonamento del cronometro sa da una non perfetta procedura d msura (ad esempo un errore d parallasse nell allneare fl che sostenono l pesetto con la semretta che ndca l anolazone da cu partre). In entramb cas s tratta d error sstematc n quanto ascono sempre n una determnata drezone (sottostma o sovrastma del valore della randezza n esame) e non sono da no valutabl e qund elmnabl a pror.